CC BY
12УДК 537.86
Е.М. Громов, В.В. Тютин, В.П. Морозов
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КОРОТКИХ ОДНОКОМПОНЕНТНЫХ ВЕКТОРНЫХ СОЛИТОНОВ В СРЕДАХ СО СМЕЩЕННОЙ ДИСПЕРСИЕЙ (АДИАБАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ)
Государственный университет - Высшая школа экономики (Нижегородский филиал)
Рассмотрено взаимодействие однокомпонентных (взаимно ортогональных) векторных солитонов малой протяженности (длительностью в несколько длин волн) в анизотропных средах при учете смещения дисперсии. Рассмотрение проведено в рамках двух связанных нелинейных уравнений Шредингера третьего порядка, содержащих линейные члены третьего порядка (линейная дисперсия третьего порядка), и нелинейные члены третьего порядка, отвечающие как самовоздействию (самоукручению и самоиндуцированному рамановскому рассеянию), так и перекрестному нелинейному взаимодействию различных поляризаций (перекрестной нелинейной дисперсии и перекрестному индуцированному рамановскому рассеянию). Найдены режимы отражения и прохождения солитонов друг через друга, а также режим осцилляторного взаимодействия векторных солитонов (векторный бризер).
Ключевые слова: дисперсия, нелинейность, поляризация, короткий векторный солитон, взаимодействие, бризер.
Введение
Интерес к солитонам обусловлен возможностью их распространения на значительные расстояния с сохранением своей формы и переноса энергии и информации без значительных потерь. Солитонные решения возникают во многих нелинейных моделях различных областей физики при исследовании распространения интенсивных волновых полей в нелинейных диспергирующих средах: оптических импульсов в волоконных линиях связи, поверхностных волн на воде [1-3]. В оптике значительное внимание уделяется солитонам в линиях волоконной оптической связи [4]. Распространение оптических импульсов достаточно большой протяженности в одномодовых линиях хорошо описывается нелинейным уравнением Шредингера (NSE) [5-6], учитывающим линейную дисперсию второго порядка и кубичную нелинейность (self-phase modulation). Солитонное решение в этом уравнении возникает в результате баланса дисперсионного разбегания и нелинейного сжатия волнового пакета. В двухмо-довых волноводах - это связанные нелинейные уравнения Шредингера (CNSE) [7-9], учитывающие взаимодействие мод через перекрестную фазовую модуляцию (cross-phase modulation), и связанные уравнения Гинзбурга-Ландау (CGL) [10-12], учитывающие также и линейную дисперсию третьего порядка (third-order linear dispersion) и потери в волноводе.
Уменьшение протяженности волновых импульсов, c одной стороны, и, с другой стороны, использование сред со смещенной дисперсией приводит к необходимости учета в модельных нелинейных уравнениях членов более высокого (третьего) порядка малости, соответствующих нелинейным эффектам укручения [13], и индуцированное рамановское рассеяние (stimulated Raman-scattering) [14]. Так, в одномодовых волноводах распространение коротких оптических импульсов может быть описано нелинейным уравнением Шредингера третьего порядка (TNSE) [15-21], содержащим как линейное слагаемое, отвечающее линейной дисперсии третьего порядка, так и нелинейные члены само воздействия: самоукручение (self-stepping) и самоиндуцированное рамановское рассеяние (self-stimulated Raman-scattering). В этом уравнении солитонное решение возникает в результате баланса линейного аберрационного искажения волнового импульса и нелинейных изменений, обусловленных нелинейной дисперсией и индуцированным рамановским рассеянием.
Стационарные волны в рамках НУШ-3 (TNSE) исследовались как численно [22, 23],
© Громов Е.М., Тютин В.В., Морозов В.П., 2010.
так и аналитически. В работах [22, 23] рассматривалось солитонное решение с пространственной модуляцией волнового числа в точке перегиба линейной дисперсионной характеристики (при отсутствии линейной дисперсии второго порядка, но при учете линейной дисперсии третьего порядка) и в пренебрежении членами нелинейной дисперсии третьего порядка.
Анализ НУШ-3 методом обратной задачи рассеяния с нахождением точных N - соли-тонных решений был проведен в трех случаях. При отсутствии линейной дисперсии второго порядка и квадратичной нелинейности и для действительного волнового поля НУШ-3 сводится к модифицированному уравнению Кортевега - де Вриза, решение которого было получено в [24-27]. Солитонные решения с смодулированным волновым числом найдены в следующих двух случаях: в НУШ-3 в точке нулевой линейной дисперсии второго порядка - в [28, 29]; в НУШ-3 при произвольных параметрах среды - в [19, 30].
При распространении коротких векторных оптических импульсов в двухмодовых волноводах возникает необходимость учета в каждом из нелинейных уравнений Шредингера третьего порядка для различных поляризаций еще и перекрестных нелинейных членов третьего порядка малости, соответствующих перекрестному укручению (cross-stepping) и перекрестному индуцированному рамановскому рассеянию (cross-stimulated Raman-scattering) [31-33]. Так возникают два связанных нелинейных уравнения Шредингера третьего порядка (CTNSE), содержащих нелинейные члены третьего порядка малости, описывающие как самовоздействие (self-stepping и self-stimulated Raman-scattering), так и перекрестное взаимодействие различных поляризаций (cross-stepping и cross-stimulated Raman-scattering) [31].
В данной работе рассмотрена динамика однокомпонентных нелинейных волновых полей малой протяженности (протяженностью в несколько длин волн). Рассмотрение будет проведено в рамках третьего приближения теории дисперсии нелинейных волн в анизотропных средах при учете смещения дисперсии, т.е. при отсутствии линейной дисперсии второго порядка. Показано, что в рамках этого приближения возникает взаимодействие нелинейных волновых полей различной поляризации. В качестве примера рассмотрено взаимодействие коротких однокомпонентных векторных солитонов. Найдены режимы отражения и прохождения коротких векторных солитонов друг через друга, а также режим осцилляторного взаимодействия коротких взаимно ортогональных солитонов, при котором происходит периодический обмен энергией между солитонами различной поляризации (векторный бризер).
Короткие однокомпонентные векторные солитоны
Распространение векторного волнового поля E = e U (§, t )exp(irat - iku §)+e2 W(§, t )exp(irat - ikw§) малой протяженностью (в несколько длин волн ku wLu w > 1) и малой длительности (в несколько периодов юГи w > 1), в слабо анизотропных нелинейных диспергирующих средах
достаточно хорошо описываются третьим (аберрационным) приближением теории дисперсии нелинейных волн, в котором учитываются члены третьего порядка малости: это линейные члены s3 ~ б3U / б§3, бW / б§3, соответствующие линейной дисперсии третьего порядка (third-order linear dispersion), и нелинейные члены, соответствующие эффектам самоукруче-
ния (self-stepping) s3 ~ б(и|2U)/б§, б(ж|2w)/б§, самоиндуцированного рамановского рассеяния (self-stimulated Raman-scattering) s ~ W6(w| 2 )/ б§, иб(и|2 )/ б§, перекрестного укру-
чения (cross-stepping) s ~ б(ж|2и)/б§, (и|V, б(ж2U*)/б§, (и2W*)' § и перекрестного
индуцированного рамановского рассеяния (cross-stimulated Raman-scattering) s3 ~ W(и|2)§, U6(w|2)/ б§, U*6(w2)/ бЕ,, W*б(и2 )/ бЕ, . В этом приближении базовыми уравнениями дина-
мики медленных огибающих и и Ж различных поляризационных компонент при условии малого отличия их волновых чисел к — к << к является система двух связанных нели-
| и и
нейных уравнений Шредингера третьего порядка:
2i
ди+ д{и\2и + aW|pa d(wU) ^{Ц2 + QW\2)
+ 2a
+ -1—1—z + ---*-z+uU-
д^ д£, 2 д; д£,
d3U
u '
2
(U2 + a|W|2 ) U + aaW2 U * + iy
= 0,
2i
dW di
+ p-
dllWl 2W + a|U| 2W
d^
) pa d(UW*)
d^
d^
dlW +
OU!)
d^
w
2
d(W2 )
d^
д^
(1)
+ 2a(W|2 + aU 2 ) W + a aU 2W * + iy^ = 0,
Xlll/ д^3
(2)
- нелинейное
где ; = x - Vf • t, Vf = дю / д£ - линейная групповая скорость; ш=ш(^, Щ2, |W|2)
дисперсионное соотношение; а = дш / д(u|2 )=дш / д(w|2 ) - коэффициент кубичной нелинейности (self-phase modulation); a - коэффициент перекрестной фазовой модуляции (cross-phase modulation) (так, для «керровской» нелинейности a = 2/3 ), y = -д ю / (зд£3 ) - коэффициент линейной дисперсии третьего порядка (third-order linear dispersion); p - коэффициент самоукручения (self-stepping) или нелинейной дисперсии; д - коэффициент самоиндуцированного рамановского рассеяния (self-stimulated Raman-scattering); U *, W * - величины, комплексно сопряженные U, W соответсвенно.
Система уравнений (1)-(2) имеет двухкомпонентное (включающее обе ненулевые компоненты U и W ) солитонное решение:
U fe t ) =
W = 0
A
cosh^sfe- Vit ))
exp(iQ1t + iK;),
(3)
и
W fe, t ) =
U = 0,
A2
cosh^sfe- V2t ))
exp(ifi2t + iK;),
(4)
где А1 2 - амплитуды солитонов; 9 = 2р. — р, е = д/0/3у , К = 3ау /б(р — р,)у - добавочное волновое число; 012 = 2Ку(к2/2 — 9Д22/б) - добавочные частоты векторных солитонов различной поляризации; =9 Д22/6 — 3уК2/2 - скорости движения солитонов различной поляризации.
Такие солитонные решения по отдельности являются точными решениями несвязанного (скалярного) нелинейного уравнения Шредингера третьего порядка [19-20]. Как было показано в [21], такие короткие однокомпонентные (или скалярные) солитоны являются устойчивыми при условии у(2р, — р) > 0 . Устойчивость этого солитонного решения исследована в [21] аналитически в адиабатическом приближении и численном эксперименте. В численном эксперименте при малом возмущении точного решения получено, что в зависимости от параметров среды различные компоненты возмущенного солитона могут осциллировать друг относительно друга или одна из векторных компонент может усиливаться при угасании другой компоненты. Остается нерешенным важный вопрос о точном описании соотношений па-
2
<
раметров среды и параметров солитонных компонент различном поляризации, соответствующих различным типам поведения компонент. Также важен вопрос о поведении отдельных векторных компонент, сильно разнесенных в пространстве. В дальнейшем исследовании подразумевается выполнение условий устойчивости однокомпонентных солитонов.
Сохранение энергии системы коротких ортогональных векторных волновых пакетов
Определим закон изменения энергии ортогональных волновых полей малой протяженности в системе (1)-(2). Для этого умножим (1) на величину и *, комплексно сопряженную к и, и сложим полученное уравнение с комплексно ему сопряжённым. Интегрируя полученное уравнение по х от - да до да при нулевых условиях на бесконечности (и, Щ) ^ ^ 0, получим скорость изменения энергии поляризационной компоненты и :
| >|2 ^ = -а(2,-3Р)| Щ2 | ЭР!
(и * )2 зИ+и 2 зк!
¿6. (5)
В частном случае при одинаковой пространственной фазовой модуляции различных поляризаций и = |и| ехр(/0„ ()+/ф(б)), Щ = Щ ехр(Ю№ (г)+/ф(б)) соотношение (5) принимает более простую форму:
2 ¿6 = - 3 .(2,-30/ и2 1 ^^.
ёг 11 2
-да -да "
Аналогично из уравнения (2) получим скорость изменения энергии для поляризационной компоненты Щ:
, +да +да С^Т Л2
2 ё6 = -о(2ц-3Р) ||Щ|2 М- ё6-Я(2ц-Р)/
— пп —пп ~ —пт
Щ * ) +Щ 2 З<и1
¿6. (6)
Из (5)-(6) следует, что распространение короткого волнового поля одной поляризации в присутствии волнового поля другой поляризации сопровождается энергообменом между различными поляризационными компонентами. Складывая соотношения (5) и (6), получим закон сохранения энергии векторного волнового пакета:
ёТ(и|2+|Щ|2к = 0. (7)
-да
В дальнейшем взаимодействие коротких векторных волновых полей рассмотрим на примере взаимодействия коротких однокомпонентных векторных солитонов.
Взаимодействие коротких однокомпонентных векторных солитонов
Рассмотрим начальную задачу взаимодействия двух коротких векторных солитонов различной поляризации. Пусть в момент времени г = 0 в анизотропной среде существуют два взаимно ортогональных векторных солитона различной поляризации и различной амплитуды с расстоянием 6 0 между их центрами:
^ = 0)= Л,Й(6-6о)) еХР^ (8)
Щ =0)=совдЪ ^
Полагая, что изменение параметров солитонов происходит достаточно медленно, решение при г > 0 будем искать в адиабатическом приближении:
-да
да
-да
U fe, t )=
A (t )
cosh
Ж (£, t ) = -
t
A(t)s £ —£0 — jFj(~)d?
V 0
A2 (t )
expj i jQ^t )d~ + ¡Щ,
(9)
expjijQ2 (t )dt + iK^l,
Г t ^ ^
cosh A2 (t)s £ - jF2 (~)d~
_ V о
где F12(t)=0 Aj22(t)/6 — 3y K2/2 - скорости движения солитонов в момент времени t ;
Qj 2(t ) = 2Ку(к2 /2 — 0 A22 (t )/б) - мгновенные частоты смещений солитонов в момент времени t. Расстояние между центрами солитонов изменяется по закону
-С
Д£ = £о +J(F(t )—F2(t ))dt =£о jAA(t
(10)
о 6 0
где ДА = A1 — A2 - различие амплитуд солитонов. Подставляя (10) в закон сохранения энергии системы солитонов (7), для амплитуд солитонов получим
Ai (t) + А2 (t) = Aj (0) + A2 (0) = Со . (11)
Далее, дифференцируя соотношение (10) по времени, а также подставляя (10) в (5), получим систему уравнений для траекторий движении солитонов
dM _ 3as(2|i — р)(Со2 — (м)2) +р tanh цй(tanhц)_
= Г_
dt 16 c osh2 ((C0 + Д4):Д£ / 2) c osh2 (S^Jl — tanh(S^) • tanh((C0 + AA)sA£ / 2)]
dA£ _ 0Со
ДЛ.
-, (12)
(13)
dt 6
где S = A1 / A2 = (C0 + M)/(C0 — ДA) - отношение амплитуд солитонов.
В дальнейшем рассмотрим взаимодействие коротких однокомпонентных векторных солитонов при малом различии их амплитуд |Д4| << C0. В этом случае, принимая в правой части (12) S = 1 и обозначая Ду = С^ДЕ, / 2, получим систему уравнений для траекторий движения солитонов:
dДy
dt dM dt
= Pi^4,
= P21 (Ду),
(14)
(15)
где р1 = е С029/12, р2 = стф|а — 3р) /16,
/(ду) = 1 +Г (1 — т2 Ц = 2(3 Ау — 31апЬ(Ау) — Ау • 1апЬ2 (Ау)) ( собЬ2 (Ау Д[1 — т 1апЬ(Ау )]2 1апЬ4 (Ау) .
В результате линеаризации в окрестности состояния равновесия ( АА = 0, Ау = 0 ), т.е. при малых значениях Ау, система уравнений (14)-(15) примет вид
йАу
dt dM dt
= Pi ДA,
8 Л
= J^P2 Ду.
(16)
(17)
Тип и устойчивость состояния равновесия определяются знаком величины р^2 . Так, при р1р2 > 0 состояние равновесия является неустойчивым (типа «седло»), при р1р2 < 0 -
0
2
устойчивым (типа «центр»), что соответствует колебаниям взаимно ортогональных солито-нов друг относительно друга с периодом у]- 8р|р2 /15 .
Проанализируем систему (14)-(15) при произвольных значениях Ау . Для этого поделим (15) на (14), разделим переменные в полученном уравнении и проинтегрируем его:
(АЛ)2 + 4 ф(Ау) = (АА0 )2 + 4 ф(Ау0 ) = const, (18)
Pi Pi
где АА0 = АА(Ау0) - начальное различие амплитуд солитонов, Ау0 = (Ау)i=0 - начальное расстояние между центрами солитонов, ф(Ау) =-—)— - эффективный потенциал
cosh2 (Ау) • tanh3 (Ау)
взаимодействия векторных солитонов.
Проанализируем траектории движения (18) при р1р2 > 0 и р1р2 < 0, отвечающих соответственно неустойчивому и устойчивому состояниям равновесия системы (16)-(17).
1. При р1р2 > 0 примем, что в начальный момент времени t = 0 короткие векторные солитоны находятся на значительном расстоянии друг от друга, много большем их протя-женностей |Ду0| >>1, и имеют различные начальные амплитуды (АА0 )2 = (АА)2Ау|* 0 . Тогда с учетом lim Ф(Ау)= 0 получим из (18) для траекторий движения
|Ау|
(АА)2 + 4 Ь- ф(Ау) = (АА)|2 ,^ . (19)
ы -
Pl 1 у
На рис. 1 приведены графики решений (19) (траектории), отвечающие различным значениям (АЛо )2 = (AA]2Äyl.
При достаточно большом различии начальных амплитуд солитонов (AA )2 >(äAc )2 = 8р2 /(3р) солитоны, находящиеся в начальный момент времени на значительном расстоянии друг от друга, в результате взаимодействия проходят друг мимо друга (траектории 1, рис. 1) и амплитуды каждого из солитонов до и после взаимодействия остаются равны прежним значениям.
При различии начальных амплитуд солитонов, соответствующем критическому значению (AA )2 =(äAc )2, солитоны, находящиеся в начальный момент времени на значительном расстоянии друг от друга, в результате взаимодействия асимптотически приближаются друг к другу и в момент совпадения их центров их амплитуды также совпадают (траектории 2, рис. 1). Уравнение для траекторий 2 (рис. 1) найдем из условия их прохождения через начало координат (AA).0 = 0. С учетом lim Ф(Ду ) = 2/3 получим из (19) для траекторий 2
у Ау—0
(рис. 1 )
(AA)2 = 4 р2 (2 "Ф(АУ)). (20)
При достаточно малом различии начальных амплитуд солитонов: при (AA )2 < (AAC )2
- солитоны, находящиеся в начальный момент времени на значительном расстоянии друг от друга, в результате взаимодействия отталкиваются друг от друга (траектории 3, рис. 1). Наименьшее расстояние Aymin между центрами солитонов в этом случае определяется из условия равенства амплитуд солитонов в точке наибольшего сближения солитонов, т.е. при наименьшем расстоянии (AA)Aj = 0, и в этом случае из (19) имеем
(АА0 )2 = 4 ^ Ф^ ). (21)
р1
В частности, при достаточно малом различии начальных амплитуд солитонов, отвечающих соотношению |АА| <<|ААС| соотношение (21) выполняется при условии малого перекрытия солитонов |»1, и в этом случае из (21) с учетом
ф(Ау^п )« 4 ДУтп I' ехр(_ 2 ^Ушп |) получим уравнение, описывающее наименьшее расстояние между солитонами:
(АА, )2 = 16 — |Аут;п | • ехр (- 2 |Аут;п |). (22)
Р1
лА
лАсу^ -
-"Т лу
——ч —
Рис. 1. Траектории движения центра «масс» однокомпонентных солитонов при ptp2 > 0:
1 - прохождение солитонов друг через друга; 2 - сепаратрисы, соответствующие критическому различию начальных амплитуд солитонов; 3 - отталкивание солитонов друг от друга
2. При pjp2 < 0 примем, что в начальный момент времени t = 0 короткие векторные солитоны находятся в одной точке Ду0 = 0 и имеют различные амплитуды (ДА)2 = (ДА)^=0 ^ 0. В этом случае с учетом lim Ф(Ду) = 2/3 получим из (19) для траекторий движения солитонов:
(ДА)2 + 4 ^ Ф(Ду) = (ДА)Ду=0, (23)
Pi У
в котором р2/ р1 < 0. На рис. 2. приведены траектории (23) при различных значениях
(АЛ )2 = (АА^=о .
При достаточно большом различии начальных амплитуд солитонов: при (АА, )2 > (ААс) =-8р2/(3р1) - солитоны разбегаются, и на больших расстояниях друг от друга амплитуды солитонов стремятся к различным значениям (траектории 1, на рис. 2). При этом выполняется. (АА)2 =(АА )2 -(ААс )2.
При различии начальных амплитуд солитонов, соответствующем критическому значению (АА )2 = (ААс )2, солитоны разбегаются, и на больших расстояниях друг от друга амплитуды солитонов стремятся к равным между собой значениям (траектории 2, рис. 2). Траектории 2 опишем из (23) при условии их асимптотического приближения к оси Ау при
|Ду| ^ да : ^ 0. С учетом lim Ф(Ду) = 0 получим из (23) уравнение для траекторий 2
(рис. 2)
(ДА)2 = -4 ^ Ф(Ду). (24)
Pi
При достаточно малом различии начальных амплитуд солитонов: при (ДА )2 < (ДА )2
- расстояние между солитонами и их амплитуды меняются во времени периодическим образом (траектории 3, рис. 2). Этот режим взаимодействия коротких векторных солитонов можно определить как векторный бризер. В частности, при достаточно малом, по сравнению с их протяженностями, разбегании солитонов |Ду| <<1 и с учетом Ф(Ду)~ 2/3 - 4(Ду)2/15 получим из (24) для траекторий 3 (рис. 2)
(ДА)2 -16P2 (Ду)2 =(ДА )2, (25)
15 Pi
что соответствует проведенному анализу линеаризованной около состояния равновесия системы (16)-(17).
А А
гУ1 с? ^ АУ
/ 2
1
Рис. 2. Траектории движения центра «масс» однокомпонентных солитонов при РхР2 < 0:
1 с- прохождение солитонов друг через друга; 2 - сепаратрисы, соответствующие критическому различию начальных амплитуд солитонов; 3 - осцилляторное движение солитонов друг относительно друга (векторный бризер)
Случай р1р2 = 0 возможен (при условии существования однокомпонентных солитонов) только при 2р. - 3р = 0, что приводит к сохранению энергий каждой из взаимно ортогональных компонент и и Ж по отдельности вследствие выражений (5) и (6). В этом случае отсутствует передача энергии от одной компоненты к другой, т.е. отсутствует взаимодействие компонент и однокомпонентные (взаимно ортогональные) солитоны распространяются, не реагируя друг на друга.
Выводы
В данной работе проанализировано движение пары однокомпонентных векторных солитонов малой протяженности в анизотропных средах со смещенной дисперсией. Найден закон сохранения суммарной энергии таких солитонов. Исследование взаимодействия соли-
тонов проведено в адиабатическом приближении при достаточно малом различии амплитуд солитонов |Д4| << Д2, но при произвольном расстоянии между солитонами. В явном виде
найдены траектории движения солитонов и соответствующие им изменения амплитуд солитонов. В зависимости от величин параметров среды и начальных амплитуд солитонов возможно как прохождение солитонов друг через друга, так и отталкивание солитонов, а также периодическое движение солитонов относительно общего центра - векторное бризерное состояние. Определены соотношения между параметрами среды и параметрами солитонов, соответствующие разным типам взаимодействия солитонов.
Работа проведена при поддержке РФФИ (проект № 11 - 02 - 01307).
Библиографический список
1. Yang, Y. Solitons in Field Theory and Nonlinear Analysis / Y. Yang. - New York: Springer, 2001.
2. Dickey, L.A. Soliton Equation and Hamiltonian Systems / L.A. Dickey. - New York: World Scientific, 2005.
3. Kivshar, Y.S. Optical Solitons: From Fibers to Photonic Crystals / Y.S. Kivshar, G.P. Agraval. -San Diego: Academic, 2003.
4. Agraval, G.P. Fiber Optic Communication Systems / G.P. Agraval. - New York: Wiley, 2002.
5. Zakharov, V.E. Exact theory of two-dimensional self-focusing and one-dimensional self-modulation of waves in nonlinear media / V.E. Zakharov, A.B. Shabat // Sov. Phys. JETP. 1972. V. 34. P.62 -69.
6. Hasegawa, A. Transmission of Stationary Nonlinear Optical Physics in Dispersive Dielectric Fibers I: Anomalous Dispersion / A. Hasegawa, F. Tappert // Appl. Phys. Lett. 1973. V. 23. N. 3. P. 142-144.
7. Manakov, S.V. On the theory of two-dimensional stationary self focussing of electromagnetic waves // Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1973. V. 65. P. 505-516; Sov. Phys. JETP. 1974. V.38. P. 248-253.
8. Fordy, A.P. Nonlinear Schrodnger equations and simple Lie algebras / A.P. Fordy, P.P. Kulish // Commun. Math. Phys. 1983. V. 89. P. 427-443.
9. Menyuk, C.R. Nonlinear pulse-propagation in birefringent optical fibers // Optics Letters. 1987. V.12. P.614; J. Opt. Soc. Am. B. 1988. V. 5. P. 392.
10. Cundiff, S.T. Observation of Polarization-Locked Vector Solitons in an Optical Fiber / S.T. Cundiff [at al.] // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82. 3988; Akhmediev [at al.] // Opt. Lett. 1998. V. 23. P. 852.
11. Tang, D.Y. Observation of high-order polarization-locked vector solitons in a fiber laser / D.Y. Tang, H. Zhang, L.M. Zhao, X.Wu // Phys. Rev. Lett. 2008. V.101. 153904.
12. Christodoulides, D. N. Vector solitons in birefringent nonlinear dispersive media / D. N. Christo-doulides, R. I. Joseph // Opt. Lett. 1988. V.13. N. 1. P. 53-55.
13. Oliviera, J.R. Analytical Solution for the Modified Nonlinear Schrodinger Equation Describing Optical Shock Formation / J.R. Oliviera, M.A. Moura // Phys. Rev. E. 1998, V. 57. P. 4751-4755.
14. Gordon J.P., Theory of the soliton self-frequency shift // Opt. Lett. 1986. V. 11. P. 662-664.
15. Kodama Y., Optical solitons in a monomode fiber // J. Stat. Phys. 1985. V. 39. P. 597- 14.
16. Zaspel C.E., Optical Solitary Wave and Shock Solutions of the Higher Order Nonlinear Schrodinger Equation. //Phys. Rev. Lett. 1999. V.82. N.4. P.723 - 726.
17. Hong, B. New Jacobi functions solitons for the higher-order nonlinear Schrodiger equation /
B. Hong, D. Lu // Inter. Journal of Nonlinear Science. 2009. V. 7. N. 3. P. 360-367.
18. Karpman, V.I. The extended third-order nonlinear Schrodinger equation and Galilean transformation // The European Physical Journal B. 2004.V.39. P. 341-350.
19. Gromov, E.M. Nonlinear dynamics of short wave trains in dispersive media / E.M. Gromov, V.I. Talanov // Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1996. V.110. P.137.; JETP. 1996. V.83. P. 73-79.
20. Gromov, E.M. Short optical solitons in fibers / E.M. Gromov, V.I. Talanov // Chaos. 2000. V.10. N. 3. P.551-558.
21. Gromov, E.M. Dynamics of wave packets in the frame of third-order nonlinear Schrodinger equation / E.M. Gromov, L.V. Piskunova, V.V. Tyutin // Physics Letters A. 1999. V. 256. P. 153-158.
22. Wal, P.K.A. Soliton at the zerogroup-dispersion wavelength of a single-model fiber / P.K.A. Wal,
C.R. Menyuk, H.H. Chen, Y.C. Lee // Opt. Lett. 1987. V. 12. P. 628.
23. Мезенцев, B.K. Новый класс солитонов в волоконных световодах вблизи точки нулевой дисперсии / B.K. Мезенцев, C.K. Турицын // Квантовая Электроника. 1991. Т. 18. N.5. C. 610-612.
24. Wadati, М. The exact solution of the modified Korteveg-de Vries equation // Phys. Soc. Jap. 1972. V.32. P. 1681.
25. Hirota, R. Exact solution of the sine-Gordon equation for multiple collisions of solitons // J. Math. Phys. 1972. V.33. P.805.
26. Hirota, R. Exact solutions of the modified Korteweg-de Vries equation for multiple collisions of solitons // J.Phys.Soc.Jap. 1972. V. 33. P. 1456.
27. Miura, R.M. Korteweg-de Vries equations and generalizations. I. A remarkable explicit nonlinear transformation // J.Math.Phys. 1969. V.9. P.1202-1204.
28. Frantzeskakis, D.J. Nonlinear dynamics of femtosecond optical solitary wave propagation at the zero dispersion point / D.J. Frantzeskakis, К. Hizanidis, G.S. Tombas, I. Belia // IEEE J. Quantum Electron. 1995. V. 31. P. 183.
29. Frantzeskakis, D.J. Ultrashort solitary-wave propagation in dielectric media with resonance dominated chromatic dispersion / D.J. Frantzeskakis, K. Hizanidis, C. Polymills // J. Opt. Soc. Am. B. 1995. V.12. N.4. P.628.
30. Громов, Е.М. Короткие солитоны огибающей (комбинированное нелинейное уравнение) / Е.М. Громов, В.И. Таланов // Изв. вузов. Радиофизика. 1996. Т. 39. N. 6. C. 735.
31. Kim J., A coupled higher-order nonlinear Schrodiger equation including higher-order bright and dark soltons // ETRI Journal. 2001. V.23. N.1. P. 9-15.
32. Lu, F. Vector soliton fission / F. Lu [at al.] // Phys. Rev. Lett. 2004. V. 93. N.18. 183901.
33. Gromov, E.M. Short vector soliton / E.M. Gromov, V.V. Tyutin, D.E. Vorontzov // Physics Letters A. 2001. V. 287. issue 3-4. P. 233-239.
Дата поступления в редакцию 12.10.10
E.M. Gromov, V.V. Tyutin, V.P. Morozov
SHORT SINGLE-COMPONENT VECTOR SOLITONS INTERACTION IN DISPERSION-SHIFTED MEDIA (ADIABATIC APPROXIMATION)
The interaction of short single-component vector solitons in the frame of the coupled third-order nonlinear Schrodinger equations taking into account third-order linear dispersion, self-stepping, self-stimulated Raman-scattering, cross-stepping and cross-stimulated Raman-scattering terms is considered. Conditions of reflection and propagation of the solitons through each other and also the condition of oscillator interaction (vector breather) are obtained.
Keywords: dispersion, nonlinearity, polarization, short vector soliton, interaction, breather.
