О стабилизации пространственного спектра коротких солитонов в неконсервативных средах с неоднородной дисперсией Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.86

Н.В. Асеева, Е.М. Громов, В.В. Тютин

О СТАБИЛИЗАЦИИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО СПЕКТРА КОРОТКИХ СОЛИТОНОВВ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СРЕДАХ С НЕОДНОРОДНОЙ ДИСПЕРСИЕЙ

Национальный исследовательский университет - Высшая школа экономики

Цель работы: Предложен новый механизм стабилизации коротких солитонов огибающей в рамках нелинейного эволюционного уравнения Шредингера третьего порядка

дП , ч52П , |2 -(П2и) д(и|2) д3П

2/ — + + 2аи\и\ + 2/Р-П—> + ц и + /у^П + /иП = 0

д/ ^ ' д^2 1 1 д^3

с учетом индуцированного рассеяния Рамана ц, кубичной нелинейности а, нелинейной дисперсии р, линейной

дисперсии третьего порядка у, пространственно неоднородной линейной дисперсии второго порядка д(^) и

потерь и.

Научный подход: Исследование проведено с использованием адиабатического приближения, при котором волновой пакет распространяется с сохранением своей формы.

Результат: Показано, что при потерях, не превышающих критического значения и < и, возможна компенсация рамановского смещения пространственного спектра солитонов в длинноволновую область к « —цЛ4 < 0

ц г

(Л - амплитуда солитона) возрастающей линейной дисперсией второго порядка, смещающей пространственный спектр солитона в коротковолновую область к = (дд / с£,)(к — к0 )2 > 0. В этом случае найден устойчивый

режим распространения коротких солитонов с неизменным пространственным спектром, постоянной амплитудой и протяженностью.

Новизна: Результаты исследования новы и могут иметь практическое приложение для оптических волоконных линий связи с индуцированным рассеянием Рамана, переменной дисперсией второго порядка и потерями.

Ключевые слова: короткие солитоны, индуцированное рассеяние Рамана, пространственная неоднородность, линейная дисперсия второго порядка, нелинейная дисперсия, потери, адиабатическое приближение.

Введение

Интерес к солитонам обусловлен возможностью их распространения на значительные расстояния с сохранением своей формы и переноса энергии и информации без значительных потерь. Солитонные решения возникают во многих нелинейных моделях различных областей физики при исследовании распространения интенсивных волновых полей в нелинейных диспергирующих средах: оптических импульсов в волоконных линиях связи, поверхностных волн на воде [1-3]. В оптике значительное внимание уделяется солитонам в волоконно-оптических линиях связи [4]. Распространение высокочастотных волновых пакетов достаточно большой протяженности может быть описано нелинейным уравнением Шредингера [5-6], учитывающим линейную дисперсию второго порядка (second-order dispersion) и кубичную нелинейность. Солитонное решение в этом уравнении возникает в результате баланса дисперсионного разбегания и нелинейного сжатия волнового пакета.

Уменьшение протяженности высокочастотных волновых пакетов приводит к необходимости учета в модельных нелинейных уравнениях членов более высокого (третьего) порядка малости, соответствующих как линейным аберрационным эффектам дисперсии третьего порядка (third-order dispersion), так и нелинейным эффектам укручения (nonlinear dispersion) [7] и индуцированного рассеяния Рамана (stimulated Raman-scattering) [8]. Это приводит к нелинейному уравнению Шредингера третьего порядка [9-15] как базовому уравнению

© Асеева Н.В., Громов Е.М., Тютин В.В., 2012.

третьего приближения теории дисперсии нелинейных волн. В пренебрежении индуцированным рассеянием, солитонное решение в этом уравнении возникает в результате баланса линейного аберрационного искажения волнового импульса, обусловленного линейной дисперсией третьего порядка и нелинейных изменений, обусловленных нелинейной дисперсией. Учет индуцированного рамановского рассеяния приводит к смещению спектра волнового пакета в область малых значений и нарушает устойчивость распространения коротких солитонов.

Так, индуцированное рамановское рассеяние во временном представлении, отвечающее запаздыванию нелинейного отклика, приводит к смещению частотного спектра волнового пакета в область малых частот [8]. В [16] рассматривалась возможность компенсации этого эффекта линейными полями излучения из солитонного ядра, ускоряющими ядро и, как следствие, увеличивающими частоту солитона. Возможность компенсации эффекта раманов-ского рассеяния в пространственно неоднородных средах рассматривалась для сред с периодическим законом изменения дисперсии второго порядка [17], с уменьшающейся по абсолютной величине аномальной дисперсией (dispersion decreasing fiber) [18] и сред со смещающейся точкой нулевой линейной дисперсии (zero dispersion point) [19].

Индуцированное рамановское рассеяние в пространственном представлении, отвечающее нелокальности нелинейного отклика, приводит к смещению пространственного спектра волнового пакета в длинноволновую область. В тоже время пространственная неоднородность параметров среды также приводит к изменению волнового числа [20]. Так, в гео-метрооптическом приближении скорость изменения волнового числа пакета при движении в

плавно неоднородной среде описывается хорошо известным соотношением к = —ш^, где ш = ш(к, Ç) - линейное дисперсионное соотношение. В частности, при пространственной неоднородности линейной дисперсии второго порядка q = -шкк скорость изменения волнового

числа пакета пропорциональна градиенту дисперсии к = qÇ (к - к0 )2 и при qÇ > 0 волновое

число пакета растет. Баланс этих эффектов может приводить к стабилизации пространственного спектра коротких волновых пакетов.

В данной работе рассмотрено распространение коротких солитонов огибающей с учетом рамановского рассеяния в пространственном представлении в неконсервативных средах с монотонно меняющейся линейной дисперсией второго порядка и с потерями. Показана возможность стабилизации пространственного спектра коротких солитонов при возрастающей дисперсии и потерях, не превышающих критического значения.

Основное уравнение

Рассмотрим динамику высокочастотного волнового поля U(Ç, t)exp fat — 1к£) малой протяженности (в несколько длин волн) и малой длительности (в несколько периодов) в рамках модельного нелинейного эволюционного уравнения Шредингера третьего порядка с плавно неоднородной линейной дисперсией второго порядка, линейными потерями и индуцированным рамановским рассеянием в пространственном представлении:

ги ь лд2П ,,2 0.r4u|2U) TTd(u\2 ) • д31

2т — + q(Ç,t)— + 2aU|U + 2тр H ' ' + + ту—r + rnU = 0, (1)

dt d^2 д£, д£, д^3

где ш = ш(к, |U|2) - нелинейное дисперсионное соотношение; q = —д2ш / дк2 - коэффициент

линейной дисперсии второго порядка; a = —дш / д(|2 ) - коэффициент кубичной нелинейности; у =

-д3ш/(здк3 )

- коэффициент линейной дисперсии третьего порядка; Р - коэффици-

ент нелинейной дисперсии; ц - коэффициент индуцированного рассеяния Рамана; и - коэффициент линейных потерь.

Изменение энергии волнового пакета

Умножим (1) на величину П*, комплексно сопряженную к П, и вычтем из полученного уравнения комплексно ему сопряжённое. Интегрируя полученное уравнение по £ от

— да до да при нулевых условиях на бесконечности ^ ^ 0, получим для скорости изменения энергии волнового пакета

^ +да „• да а„ ^ агг

Ж

1 +да . да ^ (

— и и2 —£=—/ дадд

и

дП ди --и -

+да

—£ —и||и|2 —£.

(2)

Первое слагаемое в правой части (2) отвечает изменению энергии волнового пакета, обусловленному неоднородностью линейной дисперсии второго порядка, второе - линейными потерями.

Изменение импульса волнового пакета

Продифференцируем (1) по £ и умножим полученное уравнение на П*. Сложим полученное уравнение с комплексно ему сопряженным. Затем, складывая полученное уравнение с комплексно сопряженным и интегрируя полученное соотношение по £ от — да до да

при нулевых условиях на бесконечности П^^ ^ 0, получим для скорости изменения импульса волнового пакета

. —

— Пи'

— 1 I

дП ТТдП' --и

*\

—£ = ц |

г- и2Л2

—£ —

дд ди ди

ди _дП:

—'и II и * -п—и

У *

(3)

—£.

Правая часть (3) описывает изменение импульса волнового пакета: первое слагаемое обусловлено индуцированным рамановским рассеянием, второе - неоднородностью дисперсии, третье - потерями. Обозначая П = |\| ехр ('ф), вводя локальное волновое число пакета -ф / -£ = к и полагая масштабы неоднородностей дисперсии и волнового числа много большими масштаба неоднородности огибающей пакета >> Ь\\, соотношения (2) и (3) при-

мут вид

Ы—к = —г

Гд\и\2Л

—£+-

дд

\ | да

ир

Л

ЛЫ

-£

кЫ — иЫ,

—£ — Ык2

— икЫ,

(4)

(5)

да 1 да

где N = | |и| —£ - энергия волнового пакета; £(/) = — |£| \2 —£ - координата центра

«масс»

волнового пакета. Правая часть (4) описывает изменение волнового числа пакета: первое слагаемое в правой части (4) отвечает индуцированному рамановскому рассеянию, второе -неоднородности линейной дисперсии второго порядка, третье - линейным потерям. Состоя-

—да

—да

—да

—да

—да

да

—да

—да

2

2

да

1

2

—да

У

—да

ние равновесия системы (4)-(5), определяемое условиями к = N = 0, для волновых пакетов амплитуды А и протяженности А можно оценить следующим образом:

рА*2 « (^ ^ (1 - А2к* )- 2ик* А2, (6)

(^ к* « 2и. (7)

С учетом (7) соотношение (6) примет вид

мА2 feWq)2- - 8А2и2 . (8)

)2 о*2.2

Так, для волновых пакетов с неизменной протяженностью А = const и при и > 0 (дис-сипативные среды) соотношение (8) реализуется при достаточно большой величине градиента дисперсии |(q^)| > 2л/2иА .

Для волновых пакетов, амплитуда и протяженность которых связаны солитоноподоб-ным соотношением АА = 1/ в = const, соотношение (8) примет вид

M.(q'X А - (^ )2 А + 8в2 и2 = 0.

Данное уравнение имеет положительные решения А*2 > 0 как при достаточно быстро возрастающей дисперсии (q^ > ^32^в2и2 > 0, так и при любой убывающей (q^ < 0 .

В однородных стационарных средах при q£ = q't = 0 без учета индуцированного рассеяния Рамана (м = 0) и потерь (и = 0) уравнение (1) имеет солитонное решение [13-14]:

U fe t) = ехР № + Щ), (9)

где А - амплитуда солитона; в = д/P/y ; K = (qP-ay)/(2Py) - добавочное волновое число;

1 12 3 2 1 2 ay 2

V = — I P А + Kq — yK I - скорость движения солитона; Q = aA н--K - добавочная ча-

2 ^ 2 j 2P

стота солитона. Решение (9) существует при одинаковых знаках коэффициентов нелинейной дисперсии и линейной дисперсии третьего порядка Py > 0. Данное решение является единственным устойчивым локализованным решением (1) в пренебрежении индуцированным рассеянием, неоднородностью дисперсии и потерями [15]. Учет индуцированного раманов-ского рассеяния, неоднородности среды и потерь приводит к изменению параметров солито-на (9). Вначале рассмотрим динамику коротких солитонов в рамках (1) в адиабатическом приближении.

Адиабатическое приближение

Для детального анализа системы (4)-(5) рассмотрим динамику волновых пакетов, огибающая которых описывается cosh-like функцией, а амплитуда А и протяженность А пакетов связаны солитоноподобным соотношением АА = 1 / в = const. В этом случае решение системы (4)-(5) представим в виде

им=—А^. (10)

1 V А cosh(А^ )£)

В качестве примера взаимного действия эффектов индуцированного рамановского рассеяния и неоднородности дисперсии среды на динамику волновых пакетов рассмотрим в

дальнейшем среды с постоянным градиентом линейной дисперсии второго порядка = q = const • В этом случае система (4)-(5) с учетом (10) примет вид

^ = _±s^4 + /1г2А2 _Ik2^, (11)

dt 15 Ч 6 2 )

dA

— = q kA_vA . (12)

dt

Первое слагаемое в правой части (11) приводит к уменьшению волнового числа соли-тона и обусловлено индуцированным рамановским рассеянием, второе приводит к изменению волнового числа, обусловленному неоднородностью линейной дисперсии второго порядка, третье обусловлено линейными потерями. Нетрудно видеть, что при однородной дисперсии ( q' = 0 ) система (11)—(12) имеет состояние равновесия лишь при нулевой амплитуде солитона А = 0. В этой связи ниже проанализируем систему (11)—(12) при q' ^ 0 .

Возрастающая дисперсия

При q' > 0 (возрастающая дисперсия) система (11)—(12) в результате замены х = tq'/2, и a = s2А2/3 примет вид:

— = _pa2 + a _ k2 _ 2vk, (13) dx

— = 4ka _ 4va, (14) dx

где p = 24^/(5q's2 )> 0 - параметр отношения коэффициента индуцированного рамановского рассеяния к градиенту дисперсии второго порядка; v = u/q' - параметр отношения коэффициента линейных потерь к градиенту линейной дисперсии второго порядка.

Консервативные среды

При v = 0 и p > 0 система (13)-(14) имеет два состояния равновесия:

к = 0 п 0 i - седло, (15)

К = 0 , ( )

fa0 = V p > 0

ik0 = 0 - центр. (16) Фазовые траектории системы (15)-(16) описываются выражением

,2 , РГ5 1 _ГЗПТ и2 , p ГГ 1 гз

4а • к2 + Р4аъ - -Vа3 = С = 70"' к2 + - ао , О7)

где а0 = а(о), к0 = к (о) - значения амплитуды и волнового числа солитона в начальный момент времени. На рис. 1 приведена фазовая плоскость (а, к) системы (15)-(16) при у = 0 и р = 1. Приведены траектории, соединяющие состояния равновесия (сепаратрисы). Траектория, проходящая через начало координат (сепаратриса), описывается уравнением эллипса

( 5 V * . ( * V

a --

V

5

+ - k2 =

6p ) p V 6p

5

(18)

Внутри эллипса (18) реализуются локализованные траектории. В этом случае изменение волнового числа пакета носит периодический характер: смещение волнового числа вниз по спектру, обусловленное индуцированным рамановским рассеянием, компенсируется возрастающей дисперсией второго порядка, приводящей к увеличению волнового числа соли-

тона. Наибольший интервал значений начальных волновых чисел &о, при которых возможны локализованные траектории из (18) составляет |к0| <(к0)шах = V5(9р) и реализуется при начальной амплитуде солитона а0 = 5/6р. Наибольший интервал значений начальных амплитуд солитона для реализации локализованных траекторий достигается при к0 = 0 и составляет 0 < а0 < 5/3р.

Вне эллипса (18) реализуются нелокализованные траектории. В этом случае изменение волнового числа пакета носит непериодический характер: возрастающая линейная дисперсия второго порядка не компенсирует эффекта индуцированного рамановского рассеяния, что приводит в итоге к уменьшению волнового числа пакета.

Рис. 1. Фазовая плоскость (а, к) системы (13)-(14) при V = 0 (консервативная среда) и р = 1

Неконсервативные среды

При V ^ 0 состояния равновесия системы (13)-(14) удовлетворяют системе уравнений

а(1 - ра)-к (к — 2^ = 0, (19)

а(к ^) = 0 . (20)

При нулевой амплитуде солитона система (19)-(20) имеет два состояния равновесия:

устойчивый узел, (21)

- седло. (22)

I к0 = —2V

При 12pv2 < 1 система (19)-(20) имеет еще два состояния равновесия при ненулевой амплитуде солитона:

а0 = 0,

к0 = 0

а = 0,

1*0 = —2v

ап =

1 -д/1 -12 pv

2p

- седло,

(23)

К = v

а0 =

1+ 1 -12 pv2

2p

(24)

¿о =v

Тип состояния равновесия (24) определяется величиной параметра pv2 и знаком V .

1. Диссипативные среды

1.1. Малые потери. При V < V! = 2/ 7д/р состояние равновесия (24) является устойчивым фокусом. На рис. 2 приведена фазовая плоскость (а, к) системы (13)-(14) при значениях параметров р = 1 и V = 0,2, отвечающих малым потерям V < у. На рис. 2 приведены траектории, соединяющие состояния равновесия (сепаратрисы). В этом случае возможна компенсация индуцированного рамановского рассеяния при распространении коротких солитонов огибающей в неоднородно диспергирующих средах с потерями. Для такой компенсации начальные параметры солитона (амплитуда а0 и волновое число к0 ) должны лежать в области между сепаратрисами, идущими в правое седло (рис. 2).

2

<

Рис. 2. Фазовая плоскость (а, к) системы (13)-(14) при значениях параметров р = 1 и V = 0,2 , отвечающих малым потерям V < V.

Устойчивое состояние равновесия при ненулевой амплитуде солитона - фокус

1.2. Промежуточные потери. При v1 = 1/^/эр состояние равновесия (24)

устойчивый узел. На рис. 3 приведена фазовая плоскость (а, к) системы (13)-(14) при значениях параметров р = 1 и V = 0,286, удовлетворяющих соотношению V < V < V . В этом случае сохраняется возможность компенсации индуцированного рамановского рассеяния при распространении коротких солитонов в неоднородно диспергирующих средах с потерями (траектории, идущие в устойчивый узел). Для такой компенсации начальные параметры со-

литона (амплитуда а0 и волновое число к0 ) должны лежать в области между сепаратрисами, идущими в правое седло (рис. 3).

Рис. 3. Фазовая плоскость (а, к) системы (13)-(14) при значениях параметров р = 1 и V = 0,286, отвечающих промежуточным потерям < V < V».

Устойчивое состояние равновесия при ненулевой амплитуде солитона - узел

1.3. Критические потери. При критическом значении потерь V = V* состояния равновесия (23) и (24) при ненулевой амплитуде солитона сливаются в одно

а.

= V (2р ),

I/ (25)

к = V

образуя устойчивый седло-узел. На рис. 4 приведена фазовая плоскость (а, к) системы (13)-(14) при значениях параметров р = 1 и V = >/3 /6, отвечающих критическим потерям V = V.

Это соответствует пограничному режиму, при котором еще сохраняется возможность компенсации эффекта индуцированного рамановского рассеяния в неоднородно диспергирующих средах с потерями. Для такой компенсации начальные параметры солитона (амплитуда

ао и волновое число к0 ) должны лежать в области между сепаратрисами, идущими в седло-узел (рис. 4).

Рис. 4. Фазовая плоскость (а, к) системы (13)-(14) при значениях параметров р = 1 и V = л/3/ 6, отвечающих критическим потерям V = V»:

два состояния равновесия сливаются, образуя устойчивый седло-узел

1.4. Большие потери. При потерях, превышающих критическое значение V > V*, состояния равновесия (23) и (24) исчезают и система (13)-(14) имеет лишь два состояния равновесия (21) и (22) при нулевой амплитуде солитона. На рис. 5 приведена фазовая плоскость (а, к) системы (13)-(14) при значениях параметров р = 1 и v = 0,4, отвечающих большим

потерям V > V*. В этом случае компенсация эффекта индуцированного рамановского рассеяния при распространении коротких солитонов огибающей в неоднородно диспергирующих средах с потерями не возможна. Волновое число солитона при больших временах стремится

либо к — оо либо к нулю при а —» 0.

Рис. 5. Фазовая плоскость (а, к) системы (13)-(14) при значениях параметров р = 1 и V = 0,4, отвечающих большим потерям V > V

Рис. 6. Фазовая плоскость (а, к ) системы (13)-(14) при р = 1 и V = -0,2 (активная среда).

Состояния равновесия при ненулевой амплитуде солитона неустойчивы

2. Активные среды

При отрицательных значениях параметра V (активные среды) фазовые плоскости (а, к) системы (13)-(14) могут быть получены из фазовых плоскостей системы при положительных значениях V заменой к ^ — к и изменением направления движения по фазовым траекториям на противоположное. Это следует из инвариантности системы (13)-(14) относительно одновременных преобразований V ^ —V, к ^ —к, т ^ —т В частности, при отрицательных значениях параметра V состояние равновесия (23) системы (13)-(14) - неустойчи-

вый фокус либо неустойчивый узел. На рис. 6 в качестве примера приведена фазовая плоскость (а, к) системы (13)—(14) при р = 1 и у = —0,2 . При выбранных параметрах состояние равновесия (21) - неустойчивый фокус. Отсюда следует, что при распространении солитонов в активной среде с возрастающей линейной дисперсией второго порядка (q' > 0 ) компенсация эффекта индуцированного рамановского рассеяния не возможна: волновое число пакета на больших временах стремится либо к — ^, либо к нулю при а ^ 0.

Убывающая дисперсия

При убывающей линейной дисперсии второго порядка q' < 0 (в этом случае р < 0) система (13)-(14) имеет два состояния равновесия (21) и (22) при нулевой амплитуде соли-тона и одно состояние равновесия при ненулевой амплитуде

а0 =

1 — ^ 1 —12 ру2

2р

(26)

к0 = У

которое является седлом. На рис. 7 приведена фазовая плоскость системы (13)-(14) при р = — 1 (убывающая дисперсия) и у = —0,5 .

Рис. 7. Фазовая плоскость (а, к) системы (13)-(14) при р = —1 (убывающая дисперсия) и У = —0,5 .

Состояние равновесия при ненулевой амплитуде солитона - седло

При положительных значениях у фазовые плоскости (а, к) системы (13)-(14) могут быть получены из фазовых плоскостей системы при отрицательных значениях У заменой к ^ — к и изменением направления движения по фазовым траекториям на противоположное. Это следует из инвариантности системы (13)-(14) относительно одновременных преобразований у ^ —у, к ^ —к, т ^ — т. В том числе, при у > 0 и р < 0 состояние равновесия (26) остается седлом. Отсюда следует невозможность компенсации индуцированного рамановкого рассеяния при распространении коротких солитонов огибающей в неконсервативных (как диссипативных, так и активных) средах с возрастающей линейной дисперсией второго порядка.

Заключение

В данной работе рассмотрена динамика коротких солитонов огибающей в рамках уравнений Шредингера третьего порядка с учетом индуцированного рамановского рассеяния и неоднородной линейной дисперсией второго порядка. Рассмотрение проведено аналитиче-

<

ски с использованием адиабатического приближения, при котором волновой пакет распространяется с сохранением солитоноподобной формы. При потерях, меньших критического

*

значения v < v , показана возможность компенсации рамановского смещения пространственного спектра солитонов в длинноволновую область возрастающей дисперсией второго порядка (q' > 0 ), смещающей пространственный спектр пакета в коротковолновую область. В этом случае найден устойчивый режим распространения солитонов с постоянным волновым числом. При превышении критического значения потерь v*, компенсация эффекта индуцированного рамановского рассеяния невозможна. При распространении коротких соли-тонов огибающей в неконсервативных средах с убывающей дисперсией второго порядка стабилизация эффекта индуцированного рамановского рассеяния тоже невозможна.

Работа поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований (проект 12-02-00436-а).

В данной научной работе использованы результаты, полученные в ходе выполнения проекта № 11-01-0066, реализованного в рамках Программы «Научный фонд НИУ ВШЭ» в 2012-2013 гг.

Библиографический список

1. Yang, Y. Solitons in Field Theory and Nonlinear Analysis / Y.Yang . - New York: Springer, 2001.

2. Dickey, L.A. Soliton Equation and Hamiltonian Systems / L.A. Dickey. - New York: World Scientific, 2005.

3. Kivshar, Y.S. Optical Solitons: From Fibers to Photonic Crystals / Y.S Kivshar, G.P. Agraval. - San Diego: Academic, 2003.

4. Agraval G.P. Fiber Optic Communication Systems / G.P. Agraval. - New York: Wiley, 2002.

5. Zakharov, V.E. Exact theory of two-dimensional self-focusing and one-dimensional self-modulation of waves in nonlinear media / V.E. Zakharov, A.B. Shabat // Sov. Phys. JETP. 34 (1972). 62-69.

6. Hasegava, A. Transmission of Stationary Nonlinear Optical Physics in Dispersive Dielectric Fibers I: Anomalous Dispersion / A. Hasegava, F. Tappert // Appl. Phys. Lett. 23 (1973). 142-144.

7. Oliviera, J.R. Analytical Solution for the Modified Nonlinear Schrodinger Equation Describing Optical Shock Formation / J.R. Oliviera, M.A. Moura // Phys. Rev. E 57 (1998). 4751-4755.

8. Gordon, J.P. Theory of the Soliton Self-frequency Shift // Opt. Lett. 11 (1986). 662-664.

9. Kodama, Y. J. Optical solitons in a monomode fiber // Stat. Phys. 39 (1985). 597-614.

10. Zaspel, C.E. Optical Solitary Wave and Shock Solutions of the Higher Order Nonlinear Schrodinger Equation// Phys. Rev. Lett. 82 (1999). 723-726.

11. Hong, B. New Jacobi functions solitons for the higher-order nonlinear Schrodiger equation / B. Hong, D. Lu // Inter. Journal of Nonlinear Science 7 (2009). 360-367.

12. Karpman, V.I. The extended third-order nonlinear Schrodinger equation and Galilean transformation// The European Physical Journal B 39 (2004). 341-350.

13. Gromov, E.M. Nonlinear Dynamics of Short Wave Trains in Dispersive Media / E.M. Gromov, V.I.Talanov // Zh. Eksp. Teor. Fiz. 110 (1996). 137; Sov. Phys. JETP. 83 (1996). 73-79.

14. Gromov, E.M. Short Optical Solitons in Fibers / E.M. Gromov, V.I. Talanov // Chaos. 10 (2000). 551-558.

15. Gromov, E.M. Dynamics of wave packets in the frame of third-order nonlinear Schrodinger equation / E.M. Gromov, L.V. Piskunova, V.V. Tyutin, // Physics Letters A. 256 (1999). 153-158.

16. Biancalama, F. Theory of the soliton self-frequency shift compensation by the resonant radiation in photonic crystal fibers / F. Biancalama, D.V. Skrybin, A.V. Yulin // Phys. Rev. E 70 (2004). 011615.

17. Essiambre, R.-J. Timing jitter of ultrashort solitons in high-speed communication systems. I. General formulation and application to dispersion-decreasing fibers / R.-J. Essiambre, G.P. Agraval // Journal of the Optical Society of America B. 14 (1997). 314-322.

18. Chernikov, S. Soliton pulse compression in dispersion-decreasing fiber / S.Chernikov [et al.] // Optics letters. 18 (1993). 476-478.

19. Andrianov, A. DDF-based all-fiber optical source of femtosecond pulses smoothly tuned in the telecommunication range / A.Andrianov [et al.] // Laser Physics 17 (2007). 1296-1302.

20. Essiambre, R.-J. Timing jitter of ultrashort solitons in highspeed communication systems. II. Control of jitter by periodic optical phase conjugation / R.-J. Essiambre, G.P.Agrawal // Journal of the Optical Society of America B 14 (1997). 323-330.

Дата поступления в редакцию 25.01.2012

N.V. Aseeva, E.M. Gromov, V.V. Tyutin

STABILIZATION OF SHORT SOLITON WAVE NUMBER SPECTRUM IN NON-CONSERVATIVE INHOMOGENEOUS DISPERSIVE MEDIA

National Investigate University - Higher School of Economics

Purpose: The new mechanism of short envelope solitons stabilization in the frame of the third-order nonlinear Schrodinger equations

-U , x52U , |2 -(u|2U) -(U|2) -3U 2i — + + 2aU\U\ + 2iP-U—> + u U + iy-^ + iuU = 0

at ' as2 as as as3

taking into account stimulated Raman-scattering u, self-phase modulation a, inhomogeneous second-order linear dispersion q(s), third-order linear dispersion y, nonlinear dispersion p , and losses u is proposed. Approach: Soliton's dynamic investigated in adiabatic approximation.

Findings: Compensation of soliton's Raman self-wave number down shift k « -uA4 < 0 (A - soliton's amplitude) by

the increasing second-order linear dispersion giving soliton wave number up shift k = (-q/-s)(k-k0)2 > 0 and low

losses u < u* (u* - critical losses value) is shown. The stable regime of soliton's propagation with invariable wave number spectrum, constant amplitude and length is found. The soliton is considered as a balance of stimulated Raman-scattering and increasing second-order linear dispersion. In medium with high losses (u > u) or decreasing second-order linear dispersion (-q/-S < 0) compensation of stimulated Raman-scattering by the inhomogeneous second-order linear dispersion is impossible. Critical losses value is found. Originality: The obtained results is original and can be important for optical fibers application.

Key words: third-order nonlinear Schrodinger equation, stimulated Raman-scattering; inhomogeneous, second-order linear dispersion, third-order linear dispersion, nonlinear dispersion, losses, short solitons, adiabatic approximation.