Стабилизация солитонов в средах с пространственным вынужденным рассеянием Рамана и пропорциональными неоднородностями дисперсии и нелинейности Текст научной статьи по специальности «Физика»

References

1. Benilov E.S., Vynnycky M. Contact lines with a 180° contact angle // J. Fluid Mech. 2013. To appear.

2. Benney D.J., Timson W.J. The rolling motion of a viscous fluidon and off a rigid surface // Stud. Appl. Math. 1980. V. 63. P. 93 - 98.

3. Miller P. Applied Asymptotic Analysis, Graduate Studies in Mathematics. AMS Publications. Providence. 2006.467 p.

4. Ngan C.G., Dussan V.E.B. The moving contact line with a 180° advancing contact angle // Phys. Fluids. 1984. V. 24. P. 2785 - 2787.

5. Polyanin A.D. Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists. Chapman and Hall. 2001. 800 p.

Дата поступления в редакцию 16.10.2012

УДК 517.9

12 1 1 Д.Е. Пелиновский ' , А.Р. Гиниятуллин , Ю.А. Панфилова

О РЕШЕНИЯХ УПРОЩЕННОЙ МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЭВОЛЮЦИИ

КОНТАКТНЫХ ЛИНИЙ

Нижегородский государственный технический университет им Р.Е. Алексеева,

Нижний Новгород, Россия1, Университет МакМастера, Хамильтон, Онтарио, Канада

Цель: Цель работы заключается в решении линейного уравнения адвекции-диффузии с переменной скоростью на полубесконечной оси. Переменная скорость определяется дополнительным условием на границе, которое моделирует динамику контактной линии гидродинамического потока с контактным углом 180°. Научный подход: Исследование проведено с применение преобразования Лапласа по пространственной координате. Свойства функции Грина для уравнения диффузии 4-го порядка использованы при анализе неявных решений линейного уравнения адвекции-диффузии.

Результат: Доказано локальное существование решения начальной задачи ассоциированной с набором переопределенных граничных условий в форме дробно-степенного ряда по временной переменной. Проанализированы явные решения в случае постоянной скорости, что показывает, что неоднородные граничные условия приводят к изменению выпуклости потока в контактной линии за конечное время.

Ключевые слова: линейное уравнение адвекции-диффузии, переменная скорость, контактная линия, преобразование Лапласа, функция Грина.

УДК 537.86

Н.В. Асеева, Е.М. Громов, В.В. Тютин

СТАБИЛИЗАЦИЯ СОЛИТОНОВ В СРЕДАХ С ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ВЫНУЖДЕННЫМ РАССЕЯНИЕМ РАМАНА И ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ ДИСПЕРСИИ И НЕЛИНЕЙНОСТИ

Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики Цель работы: Исследована динамика солитонов огибающей в рамках расширенного уравнения Шредингера

2;ГдП + уь ди 1 + а(х)^ П + 2а(х)и\ и\2 + иП д( П ) = о, при учете нелокальной нелинейности (вынужденное

[дг 8 дх) ' дх2 11 и дх

пространственное рассеяние Рамана) и, и при учете пропорциональности неоднородностей дисперсии второго порядка д(х) и кубичной нелинейности (фазовой само - модуляции) а(х). Так же учтено движение линейных волн с групповой скоростью У^ .

Научный подход: Исследование проведено как численно, так и аналитически. В аналитической теории замкнутую систему шести интегралов исходного модельного уравнения удалось свести к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой анализировалась структура фазового пространства. Результат: Показано, что смещение волнового числа в длинноволновую область, обусловленное индуцированным рассеянием Рамана может компенсироваться пропорционально возрастающими линейной дисперсией и кубичной нелинейностью, приводящим к смещению волнового числа вверх по спектру. В режиме баланса индуцированного рассеяния и возрастающих дисперсии и нелинейности аналитически найден новый класс стационарных нелинейных локализованных волновых пакетов (солитонов), распространяющихся в неоднородных средах с постоянной скоростью и сохраняющих свою форму. Аналитически найден режим динамического равновесия индуцированного рассеяния и неоднородности среды при котором параметры солитона (волновое число, амплитуда и протяженность) меняются периодическим образом. В численном счете показано совпадение аналитических и численных результатов: подтверждено существование всех указанных режимов равновесия и подтверждена устойчивость соответствующих солитонов.

Новизна: Результаты исследования новы и могут иметь практическое приложение для оптических волоконных линий связи с пространственным индуцированным рассеянием Рамана, переменной дисперсией второго порядка и переменной фазовой самомодуляции.

Ключевые слова: расширенное нелинейное уравнение Шредингера, солитон, пространственное вынужденное рассеяние Рамана, неоднородность, линейная дисперсия второго порядка, кубичная нелинейность, аналитическое исследование, численный эксперимент.

Введение

Интерес к солитонам обусловлен возможностью их распространения на значительные расстояния с сохранением своей формы и переноса энергии и информации без значительных потерь. Солитонные решения возникают во многих нелинейных моделях различных областей физики при исследовании распространения интенсивных волновых полей в нелинейных диспергирующих средах: оптических импульсов в волоконных линиях связи, электромагнитных волн в плазме, поверхностных волн на воде [1-4].

Распространение высокочастотных волновых пакетов достаточно большой протяженности корректно описывается во втором приближении теории дисперсии нелинейных волн. Базовым модельным уравнением в этом приближении является хорошо известное нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) [5, 6], включающее как линейную дисперсию второго порядка, так и фазовую самомодуляцию (кубичную нелинейность). Солитонное решение в этом случае существует в результате баланса дисперсионного расплывания и нелинейного сжатия волнового пакета.

Динамика высокочастотных волновых пакетов малой протяженности корректно опи-

© Асеева Н.В., Громов Е.М., Тютин В.В., 2012.

сывается уже не во втором, а в третьем приближении теории дисперсии нелинейных волн, которое учитывает члены третьего порядка [4]: нелинейную дисперсию (самоукручение) [7], вынужденное рассеяние Рамана [8, 9] и линейную дисперсию третьего порядка. Базовым уравнением в этом приближении является нелинейное уравнение Шредингера третьего порядка (НУШ-3) [10-17]. В частности, в средах с неактивным рассеянием Рамана базовым уравнением является НУШ-3 без вынужденного рассеяния Рамана. В [14-20] найдено соли-тонное решение НУШ-3 без вынужденного рассеяния Рамана. Этот солитон является устойчивым и существует в результате баланса эффектов линейной дисперсии третьего порядка и нелинейной дисперсии. В [21, 22] в НУШ-3 без дисперсию третьего порядка найдены стационарные волны перепада. Эти решения существуют в результате баланса эффектов нелинейной дисперсии и вынужденного рассеяния Рамана. Для локализованных нелинейных волновых пакетов (солитонов) учет вынужденного рассеяния Рамана приводит к смещению вниз спектра солитона [8, 9] и исчезновению устойчивости движущегося солитона.

Вынужденное рассеяние Рамана во временном представлении, описывающее запаздывание во времени нелинейного отклика среды, возникает за счет возбуждения моды колебания на частоте 0 = щ—а2 волновыми полями с частотами (( и ©2 в атомарно-молекулярных системах. Вынужденное рассеяние Рамана приводит к сдвигу вниз частотного спектра солитона [8, 9]. Компенсация эффектов вынужденного рассеяния Рамана за счет излучения линейного волнового поля из ядра солитона рассматривалась в [23]. Компенсация вынужденного рассеяния Рамана в неоднородных средах была рассмотрена в следующих случаях: в средах с периодическим изменением дисперсии второго порядка [24]:

• в средах со смещенной точкой нулевой дисперсии второго порядка [25];

• оптических волокнах с уменьшающейся дисперсией [26].

Вынужденное рассеяние Рамана в пространственном представлении (пространственное вынужденное рассеяние Рамана), описывающее нелокальность нелинейного отклика среды, возникает за счет возбуждения моды пространственного колебания с волновым числом х = к — к2 волновыми полями с волновыми числами к^ и £2 . Это имеет место, например, в кристаллических средах с внутренней пространственной неоднородностью. Пространственное вынужденное рассеяние Рамана приводит к сдвигу вниз спектра волнового числа солитона.

С другой стороны, неоднородность дисперсии второго порядка тоже приводит к изменению волнового числа волнового пакета [27]. В частности, в приближении геометрической оптики скорость изменения волнового числа в плавно неоднородной среде описывается

• да / \ хорошо известным уравнением к =--, где а = а(£, д) - закон изменения линейной дисперсии. Для неоднородной дисперсии второго порядка д(^) =--° скорость изменения

8к 2

волнового числа пропорциональна градиенту дисперсии

2

8q

(к - к0 )2, и при — > 0

8£

волновое число возрастает.

Баланс пространственного вынужденного рассеяния Рамана и возрастающей дисперсии второго порядка приводит к стабилизации спектра волнового числа солитона [28]. При

■|2\ лч /*Л1Тг|2 „ („\ да

- па-

нелинейном дисперсионном соотношении а(к,д, |и|2 )= а(к)—а(д)\ и\2 (а(д)-

д и"

раметр фазовой самомодуляции) скорость изменения волнового числа пропорциональна гра-

диенту фазовой самомодуляции к

г 8аЛ

тт\2 8а U , и волновое число возрастает при -> 0.

Равновесие пространственного вынужденного рассеяния Рамана и увеличивающейся фазовой само - модуляции тоже приводит к стабилизации спектра волнового числа солитона.

В данной работе рассмотрена динамика солитонов в нелинейных средах с дисперсией при учете пространственного вынужденного рассеяния Рамана и пропорционально возрастающих дисперсии второго порядка и фазовой самомодуляции. Получено аналитическое со-литонное решение как результат баланса пространственного вынужденного рассеяния Рама-на и одновременно возрастающих дисперсии второго порядка и фазовой самомодуляции. Аналитические результаты подтверждены в численном эксперименте.

Базовое уравнение и его интегралы

Рассмотрим динамику высокочастотного волнового поля и(й. t)ехр (¡Юо t — /кой) в рамках расширенного уравнения Шредингера с пространственным вынужденным рассеянием Рамана и неоднородностью как дисперсии второго порядка, так и фазовой самомодуляции:

2/

V

ди дt

+ У

я

ди

дх

д 2и

+ д(х)^и + 2а(х)и\и\ ) дх

д

где вследствии нелинейного дисперсионного закона ю = ю

А я

дх

(к .1 и2)

=0, (1)

использованы следующие

обозначения: У. = дю/ дк - групповая скорость линейных волн; q = —д2ю/дк2 - параметр

дисперсии второго порядка; а = —дю / д( и|2 ) - параметр фазовой самомодуляции; л - параметр пространственного вынужденного рассеяния Рамана.

В системе отсчета, движущейся с групповой скоростью линейных волн Ь = х — yl.Lt, уравнение (1) принимает вид

ди

дt

2/ — + + У^ )ди + 2а(; + У. )и|и|2 + ¡и

д

д;

д;

1 о

(2)

Уравнение (2) при нулевых граничных условиях на бесконечности и|^+00 ^ 0 имеет сле-

дующие интегралы:

- величина изменения «количества квантов» волнового поля

4 7и2 и2 ;

Ш —да —да д;

- величина изменения импульса волнового поля

г! +да да

4 да ки\ «=-л да

ди!

дЬ

\2

да

+1 I

дq ди

дЬ дЬ

V )

величина изменения квадрата модуля градиента волнового поля

ь1Т^а | и\4 ;

Ь 2 —|дадй1 1 Ь:

(3)

(4)

4 +да

ди

дЬ

2 с

2 да

с1Ь = —л\ к

и

дЬ

2

+ 2+|°— К|и|4+ УаК ^ ,

—да дЬ —да дЬ

(5)

V )

величина изменения квадрата градиента интенсивности волнового поля

4 да

—да

ди:

\2

+да э2|и|2 д(к\и?)

э;2 д;

2

—да

величина изменения квадрата интенсивности волнового поля

|2 \

d ,4^ Л00 I. и2 д

(М

Л и -\ = —2 | д\и\'

од

величина изменения «центра масс» волнового поля

- 0 +о

- \д\и\ 1-\ = | дЩ2-д.

дф

(7)

(8)

где и = р\ ехр (ф), К = - добавочное локальное волновое число волнового пакета.

Аналитические результаты

При аналитическом исследовании динамики волнового пакета предположим, что пространственный масштаб неоднородностей дисперсии второго порядка, фазовой самомодуляции и локального волнового числа К намного больше масштаба неоднородности огибающей волнового пакета Ау,а,К ^^и| и будем приближенно считать пространственное изменение волнового числа волнового пакета в окрестности «центра масс» волнового пакета

о о

1 г т\2 тг г\тт |2

\ = N 1 |\и| (N = |\и| линейной функцией К(\,г) = к(г) + к1(г)\ —

Тогда мы можем из мнимой части уравнения (2) при условии

д и ' )|'

д\

= 0

по-

лучить

к^ ) =

дК (\ Г)'

2 д и ; )|

дг

(9)

Пространственное изменение волнового числа солитона возникает из-за изменения амплитуды солитона во времени. Для солитоноподобных волновых пакетов ) ~ |иt)|

при учете (3) и (8) мы имеем К t ) = к ^ И

д\) а\

+ V

д

а(\

\)1\—

а\1

(10)

где д

'^ЦЦ , а\)=

да

к^/У

а

Ка У У \

лучаем систему

=д\)кп,

dt к А

± +1 Ч'\)1 +1 а\) ^ т — д\)к 2

п 2

N п

. Подставляя (10) в (3-8) мы по-

(11) (12)

= —^А. к1 + 2ка'\)М0. т + 1щ\)Щ ^ т — V

а\ к ^/У

Ш

к а(\у

Мо

N

т,

(13)

—о

—о

—о

—о

I=м 2+т

где

dt

n

q'(4)a(4)

dm — k4 2+if

ki - 3 V а(£

rzW

q(4)

m _ V

q(4)

rn i

m,

N

N

J_ In

Z

N'

m

M Ma

; N — J| U| 2d4, Z =J

dU

34

(14)

(15)

(16)

i

d4,

I =i

м

34

2 Л

d4, M — J |U| d4 - интегралы волнового пакета; Nq = N(o) , Z0 = Z(o),

Mо = M (о), 1о = I (о) - исходные значения интегралов волнового пакета. При непропорциональном пространственном изменении дисперсии второго порядка и фазовой самомодуляции

¥

^ 0 система (11-16) не имеет состояний равновесия.

Таким образом, компенсация пространственного вынужденного рассеяния Рамана в средах с непропорциональным пространственным изменении дисперсии второго порядка и фазовой самомодуляции невозможна.

Пропорциональное изменение дисперсии второго порядка и фазовой самомодуляции

Рассмотрим среды с пропорциональным пространственным изменением дисперсии второго порядка и фазовой самомодуляции

'f

— 0. В этом случае —f=r —— 1 и си-

q'(4) д(4)

стема (11)-(15) преобразуется к виду:

£ — Ы® n ,

dt w

Л Iq i

0 ' +1Щ+V(i)

Mn m

dk

dt 2 N0 n 2^" 'n 2 ' N0 n

dZL = _„Jo dt

di

0 m Ф

2

— ki + 2ka'fe)Mo m + kq'(AMo

Л Nq VW Nq k NQ

m,

i—5kq®i,

— 3kq'4) m

dm dt d_4 dt

— kq{§\

(17)

(18)

(19)

(20) (21)

(22)

Для дальнейшего анализа системы (17-22) будем считать градиенты дисперсии второго порядка и фазовой самомодуляции постоянными величинами q'(p)— q' — const, а'(¿)— а' — const. После замены переменной Т — tq' система (17-21) преобразуется к виду

z

_<х

_<Х)

2

—<х>

_(Х>

У

кп

—п —т

-к р г 1 2 Зп т

— = ——— +----к .

—т 2 п 2 п 2 п

—'— = — ркг + ЗкЗо т, —т

= 5кг,

—т —т

-= 3кт,

—т

где р

где —о

м 1 о 3 = °0 =

а0 М0 а' М0

д 'Щ' 0 до N0 д' N0

к = о, р = —о + Зо

. Система (23) - (27) имеет состояние равновесия

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

. В равновесном режиме при распространении волнового пакета не изменяются

N0

интегралы 2о , Мо , Nо, волновое число остается нулевым. При анализе динамики волнового пакета с неравновесными параметрами мы получили первые интегралы уравнений (25-27) при учете (23):

3 5

т = п , г = п

, — = —Р (п5 — 1)+Зо (п3 — 1)+ —о.

Принимая во внимание (29), система (23)-(27) сводится к системе двух уравнений:

2

Г ли \ 1Л ( ^

—к 7 2 — + к

к —т

4 о 2 Р = — рп + Зоп — у

п4 —-п

+ 3

п2 —-п

+ —о,

п

—п 7 — = кп. —т

(29)

(30)

(31)

Для волнового пакета с начальными параметрами, соответствующими ко = о и —о +Зо = р, состояние равновесия системы (30)-(31) совпадает с начальными параметрами волнового пакета (ко = о, по = 1). Линеаризация системы в окрестности состояния равновесия

—2к

(ко = о, по = 1) приводит к уравнению —к + кЗо = о, которое описывает колебания около со-

—т

стояния равновесия с частотой а = -\[3о . При р ^ —о + Зо параметры исходного волнового пакета становятся переменными. Имеет место первый интеграл системы (30-31):

кV + р (п6 — 1)— 3 (п4 —1)+| З — р — —0 |(п — 1) = к02

2

5

(32)

где ко = к (о) - начальная величина волнового числа.

Траектории солитонов

Рассмотрим траектории (32) для исходного пакета с нулевым начальным волновым числом ко = о и огибающей, соответствующей солитонному решению

и (д, t = о)=

А

соъйдАо^/цо)'

(33)

где ^о = #(0). Принимая во внимание обозначения р = — д4 и 2z0 =50 = — аА, со-

15 3

отношение (32) приводится к более простой форме:

5пк2 + рп5 - 520П + (5г0 - р) = 0 . (34)

На рис. 1 показаны траектории солитона (34) при заданных начальных условиях = 0, щ = 1) и различных значениях параметра р .

Рис. 1. Траектории солитона (34) при заданных начальных условиях (к0 = 0, п0 = 1) и различных значениях параметра р

Траектории солитона локализованы при 0 < р < 5г0, и параметры солитона, соответственно, периодически изменяются. Это соответствует динамическому равновесию пространственного вынужденного рассеяния Рамана и пропорционально возрастающих дисперсии второго порядка и фазовой самомодуляции. При р = 5г0 имеет место сепаратрисный режим динамики солитона: волновое число бесконечно медленно стремится к нулю. В этом

ПТ

случае наименьшая возможная величина волнового числа к^п =. При р > 5г0 пространственное вынужденное рассеяние Рамана доминирует, и волновое число солитона неограниченно возрастает. При р < 0 волновое число солитона убывает.

Солитонное решение

Рассмотрим решение уравнения (2) при линейных профилях дисперсии второго порядка № = #0 + #'и фазовой самомодуляции а(%) = ^ + а' Предположим, что масштабы пространственных неоднородностей как дисперсии второго порядка, так и фазовой самомодуляции много больше характерного масштаба неоднородности огибающей волнового пакета Lqа >> , а также представим решение в форме стационарной волны

U (4, * ) =

(4)

л

1+S-yfr

V —0 J J

exp

f f 1 a'

* +1 S-yh2

2 S0 g

iQ

VV

(35)

JJ

где щ ~ щ0 << Що, s ~ 4 q' ~ 4a' ~ Lv /L ~ ß«a0,q0. Удерживая члены первого порядка

относительно s , мы имеем

—0

Г , \ ,2 { г Л

1+-ygLt

V q0 J

d4

1

V a0 J

y3 - 2Q

r , \

1+—yL*

V — 0 J

¥0 = 0,

(36)

d 2щ —0—ZV + 6a0

/ f Л

a ttl 1 + —

d4

V a0 J

^+-y

V —0 g

- 2Qy =-2aV034-—^ 4-2

d42 3' d4

(37)

При условии пропорциональности пространственного изменения дисперсии второго

q' _ а'

порядка и фазовой само - модуляции — =-уравнение (36) имеет решение в виде класси-

% ао

ческого солитона ¥0 — мен r — 4/ А и ^

A

cosh(4/ А) ¥1 —0

А 1

где А ——

A0\

—, Q = — a0 A • Уравнение (37) после за-a 2

, Т принимает вид

A0 —r

d 2х¥

dj

■ +

6

cosh2 r

-1

¥ — -

r

15 ¡л sinhj coshj 4 л cosh4 j '

■ +

(38)

15 —r

где — 7

«0 —0

равновесное значение параметра пространственного вынужденного

рассеяния Рамана. При выполнении условия ¥(о) = о уравнение (38) имеет точное решение:

г \

Wjr) —

1

4 coshr

4¥ '(0)r + r2 tanhr - 2(r - tanhr)+ 3Л tanhr ln(coshr)

1

+ —

4

/

(39)

¡-1

2

tanh r sinh r.

При л = л* решение (39) ограничено и стремится к нулю на бесконечности ¥(( ^ —да) ^ о. Такое решение существует в результате равновесия пространственного вынужденного рассеяния Рамана и неоднородностей как дисперсии второго порядка, так и фазовой самомодуляции. На рис. 2 показано распределение ¥(л) при л = л* для различных начальных величин ¥ ' (о).

При л ф Л* решение (39) не локализовано и на бесконечности является ненулевым ¥(л ^ —да) ^ да. На рис .3 показано распределение ¥(л) при начальных значениях ¥(о) = ¥ ' (о) = о и для различных значений л .

Рис. 2. Распределение при ¡л = для различных начальных величин ¥' (0)

Рис. 3. Распределение при т(0) = Т' (0) = 0 для различных значений л

Результаты численного эксперимента

Рассмотрим численно начальную задачу динамики солитоноподобного волнового пакета

и (-, г = 0) = -\-. (40)

В рамках уравнения (2) при VЬ = 1, #(-) = а(-) = 1+-— для различных значений ¡л и ь.

Ь

Параметры интегрирования начального импульса (40) 220 = ^0 = — / 3 совпадают с параметрами равновесного состояния пространственного вынужденного рассеяния Рамана и пропорционально увеличивающихся дисперсии второго порядка и фазовой самомодуляции при

условии л = ——. При Ь = 20 мы имеем = 3/32. На рис. 4 показано полученное в резуль-8 Ь

тате численного счета распределение модуля огибающей |и| по - при ¡ = 3/32, Ь = 20 в

моменты времени г = 5 (непрерывная кривая) и г = 200 (прерывистая кривая). В течение всего эксперимента волновое число волнового пакета остается равным нулю. Полученное чис-

ленно распределение | и\ на временах г > 2 совпадает с полученным аналитически солитон-ным решением системы (36) - (37) при а0 = #0 = V ь = А = 1, Ь = 20 и ц = ¡*:

U

1

cosh£

tanh^ln (cosh^))

80

(41)

1 +

v 20 у

На больших временах t » 20 распределение (41) стремится к классическому солито-ну U = 1/ cosh^ (прерывистая кривая на рис. 4).

>1

Рис. 4. Результат численного счета. Распределение модуля огибающей

на £ при ¡1=3/32, ¿=20 в моменты времени 1=5 (непрерывная кривая) и 1=200 (прерывистая кривая)

Рис. 5. Результат численного счета. Пространственные распределения и К при ц=4/32, Ь=20. (а) соответствует 1=35, (б) - 1=125

Изменение параметра ц приводит к изменению параметров солитона (волнового чис-

ла, амплитуды). На рис. 5 показаны пространственные распределения модуля огибающей

и локального волнового числа К в различные моменты времени при /и = 4/32, Ь = 20. Волновое число в области ядра солитона изменяется слабо.

На рис. 6 показаны результаты численного счета (непрерывная кривая) и аналитического описания (прерывистая кривая) для зависимости локального волнового числа в точке максимума модуля огибающей волнового пакета к= тах) как функции ^ при Ь = 20 и различных значениях ^.

Рис .6. Локальное волновое число в максимуме модуля огибающей волнового пакета к(jU| = max) в зависимости от t при L = 20 и различных ц.

Численный и аналитический результаты

При ¡л = 3/32 локальное волновое число волнового пакета не изменяется. Это соответствует равновесию пространственного вынужденного рассеяния Рамана и пропорционально возрастающих дисперсии второго порядка и фазовой самомодуляции. При /и< 5/32 изменяется периодически. Это соответствует динамическому равновесию пространственного вынужденного рассеяния Рамана и пропорционально возрастающих дисперсии второго порядка и фазовой самомодуляции. При /л = 5/32 имеет место сепаратрисный режим: в течение некоторого времени волновое число уменьшается, а затем бесконечно долго стремится к нулевому значению. Наименьшая величина волнового числа при этом составляет к = -0.29,

что соответствует полученной аналитически величине ктп = — при го = 1/3 (рис. 1).

При ¡л> 5/32 волновое число неограниченно убывает (доминирование пространственного вынужденного рассеяния Рамана). Динамика волнового числа соответствует полученному аналитически фазовому портрету на рис. 1.

Выводы

В данной работе рассмотрена динамика солитонов огибающей в рамках расширенного уравнения Шредингера, учитывающего пространственное вынужденное рассеяние Рамана, групповую скорость линейных волн, неоднородность как дисперсии второго порядка, так и фазовой самомодуляции. Исследование проведено как аналитически в рамках системы (30-31), так

и численно в рамках уравнения (2). Показана возможность компенсации сдвига вниз волнового числа солитона за счет рамановского рассеяния сдвигом вверх волнового числа пропорциональным увеличением дисперсии второго порядка и фазовой самомодуляции.

Найдено аналитическое солитонное решение, существующее в результате равновесия пространственного вынужденного рассеяния Рамана и пропорционального увеличивающихся дисперсии второго порядка и фазовой самомодуляции. Определен режим динамического равновесия пространственного вынужденного рассеяния Рамана и неоднородности среды, при котором происходит периодическое изменение параметров солитона. Результаты аналитического и численного исследований в этих режимах полностью совпадают.

В данной работе динамика солитонов рассматривалась в пренебрежении эффектами нелинейной дисперсии и линейной дисперсии третьего порядка. Возможность и условия компенсации пространственного вынужденного рассеяния Рамана в неоднородной среде при учете этих эффектов будет рассмотрена в следующих работах.

В данной научной работе использованы результаты, полученные в ходе выполнения проекта № 11-01-0066, реализованного в рамках программы «Научный фонд НИУ ВШЭ» в 2012-2013 гг.

Библиографический список

1. Yang, Y. Solitons in Field Theory and Nonlinear Analysis (Springer, New York, 2001).

2. Dickey, L.A. Soliton Equation and Hamiltonian Systems (World Scientific, New York, 2005).

3. Kivshar, Y.S. and Agraval G.P. Optical Solitons: From Fibers to Photonic Crystals (Academic, San Diego, 2003).

4. Agraval, G.P. Nonlinear Fiber Optic (Academic Press, San Diego, 2001).

5. Zakharov, V.E., Shabat, A.B., Exact theory of two-dimensional self-focusing and one-dimensional self-modulation of waves in nonlinear media // Sov. Phys. JETP. 34 (1972) 62-69.

6. Hasegava, A., Tappert, F., Transmission of Stationary Nonlinear Optical Physics in Dispersive Dielectric Fibers I: Anomalous Dispersion // Appl. Phys. Lett. 23 (1973) 142-144.

7. Oliviera, J.R., Moura, M.A., Analytical Solution for the Modified Nonlinear Schrodinger Equation Describing Optical Shock Formation // Phys. Rev. E 57 (1998) 4751-4755.

8. Mitschke, F.M., Mollenauer, L.F., Discovery of the soliton self-frequency shift // Opt. Lett. 11 (1986) 659-661.

9. Gordon, J.P., Theory of the Soliton Self-frequency Shift // Opt. Lett. 11 (1986) 662-664.

10. Kodama, Y. J., Optical solitons in a monomode fiber // Stat. Phys. 39 (1985) 597-614.

11. Zaspel, C.E., Optical Solitary Wave and Shock Solutions of the Higher Order Nonlinear Schroding-er Equation // Phys. Rev. Lett. 82 (1999) 723-726.

12. Hong, B., Lu, D., New Jacobi functions solitons for the higher-order nonlinear Schrodiger equation // Inter. Journal of Nonlinear Science 7 (2009) 360-367.

13. Karpman, V.I., The extended third-order nonlinear Schrodinger equation and Galilean transformation // The European Physical Journal B 39 (2004) 341-350.

14. Gromov, E.M., Talanov, V.I., Nonlinear Dynamics of Short Wave Trains in Dispersive Media // Zh. Eksp. Teor. Fiz. 110 (1996) 137; Sov. Phys. JETP. 83 (1996) 73-79.

15. Gromov, E.M., Talanov, V.I., Short Optical Solitons in Fibers // Chaos. 10 (2000) 551-558.

16. Gromov, E.M., Piskunova, L.V., Tyutin, V.V., Dynamics of wave packets in the frame of third-order nonlinear Schrodinger equation // Physics Letters A. 256 (1999) 153-158.

17. Scalora, M., at al., Generalized Nonlinear Schrodinger Equation for Dispersive Susceptibility and Permeability: Application to Negative Index Materials // Phys. Rev. Lett. 95 (2005) 013902.

18. Wen, S.C. at al., Modulation instability in nonlinear negative-index material // Phys Rev E, 73 (2006)036617.

19. Marklund, M., Shukla, P.K.,Stenflo, L., Ultrashort solitons and kinetic effects in nonlinear metamaterials // Phys. Rev. E. 73 (2006) 037601.

20. Tsitsas, N.L., Rompotis, N., Kourakis, I., Kevrekidis, P.G. and Frantzeskakis, D.J., Higherorder effects and ultra-short solitons in left-handed metamaterials // Phys. Rev. Lett. E 79 (2009) 037601.