CC BY
7УДК 539.3
ВЫЯВЛЕНИЕ СТРУКТУРНЫХ И ЖИДКОСТНЫХ ВОЛН В УПРУГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ С ЖИДКОСТЬЮ НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА ФАЗОВЫХ СКОРОСТЕЙ
Тер-Акопянц Г.Л. \ Тер-Акопянц Л. Г. 2 !Санкт-Петербургский Государственный морской технический университет (СПбГМТУ), Россия, Санкт-Петербург, [email protected].
2Санкт-Петербургский Государственный морской технический университет (СПбГМТУ), Россия, Санкт-Петербург, [email protected].
THE DETECTION OF THE STRUCTURE-ORIGINATED WAVES AND THE FLUID-ORIGINATED WAVES IN AN ELASTIC CYLINDRICAL FLUID-FILLED SHELL THROUGH THE ANALYSIS OF THE PHASE
VELOCITIES
Ter-Akopyants G.L. \ Ter-Akopyants L. G. 2 !Sankt-Petersburg State Marine Technical University (SPbGMTU), Russia, Sankt-
Petersburg, [email protected]. Sankt-Petersburg State Marine Technical University (SPbGMTU), Russia, Sankt-
Petersburg, [email protected].
Аннотация. В работе рассмотрено распространение упругих волн в цилиндрической оболочке, заполненной сжимаемой жидкостью, для неосесимметричных, осесимметричных и изгибных режимов колебаний. Сопоставлены фазовые скорости для оболочки со сжимаемой жидкостью, для оболочки с несжимаемой жидкостью и для абсолютно жесткого цилиндрического волновода со сжимаемой жидкостью. Это позволило выявить волны преимущественно структурного и преимущественно жидкостного характера. Метод основан на том, что в оболочке, заполненной несжимаемой жидкостью, возможно распространение только структурных волн, а в жестком волноводе, заполненном сжимаемой жидкостью, возможно распространение только жидкостных волн.
Ключевые слова: упругая цилиндрическая оболочка с жидкостью; распространение волн; фазовая скорость.
Abstract. This paper considers the propagation of elastic waves in a cylindrical compressible fluid-filled shell for non-axisymmetric mode, for breathing mode and for beam mode. The phase velocities were compared for the compressible fluid-filled shell, for the incompressible fluid-filled shell and for the absolutely rigid cylindrical compressible fluid-filled duct. It allows us to identify the mainly structure-originated waves and the mainly fluid-originated waves. The method is based on the fact, that in the incompressible fluid-filled shell only structure-originated waves can propagate and in the rigid compressible fluid-filled duct only fluid-originated waves can propagate.
Keywords: elastic cylindrical fluid-filled shell; wave propagation; phase velocity.
Целью работы является выявление из всего спектра упругих волн, распространяющихся в цилиндрической оболочке, заполненной сжимаемой жидкостью, волн преимущественно структурного и преимущественно жидкостного характера.
Решения системы динамических уравнений равновесия в перемещениях, учитывающей наличие жидкости внутри оболочки, (см. [1] и [2]) будем искать в виде:
'U cos m<
и(z,<,t) = ek iQt • Vsinm< , (1)
KW cos m<J
где z - продольная безразмерная координата, Q - частота, k - приведённое осевое волновое число, m - фиксированное число окружных волн.
Выбор перемещений в виде (1) означает, что чисто мнимые значения k соответствуют распространяющимся волнам. Из пары волн, распространяющихся в противоположных направлениях, будем рассматривать только одну, распространяющуюся (Im(k) > 0) в направлении оси 0z.
Система уравнений для амплитуд перемещений в матричной форме имеет
вид:
L •
где
í U 1 í 01
V = 0
, 0.
т 7 2 1 — V 2 2 Ln = k--:— m + a
2
L
12
L
21
1 + V 2
km
1 —V
L22 = -—- (1 + 4a)k2 — (1 + a)m 2 + a2, L23 = — L32 = — m + a(2 — v)k2 m — am3,
(2)
L13 = L31 =vk,
23
2
L33 = 1 + a(k2 — m 2)2 — a
1 + fRfm (k)
p h
1 — V
R 2 Q 2; a = h
a - приведённая частота; a = p-
____, „ / 2; р и рп - плотности
E /l2R2 ' ^ ^
оболочки и жидкости; h - толщина; R- срединный радиус оболочки; Е, V -
модуль Юнга и коэффициент Пуассона.
"Жидкостная" составляющая /т ^) имеет вид при т > 1:
^т (k) т (к)
fm (k) =
dJm (rk)
dr r=1
mJm (k) — kJm +1(k)
для несжимаемой и
fm (k ,a) =
для
сжимаемой
mJ„
i
2
Л
i 2 С 2
k 2 + 2 a2
cfi j
1
c2
2 c 2
k +-2 a • Jm+1
Cfl
i
c2
2 c 2
k 2 + 2 a cfl
жидкости,
где с, с л - скорости звука в оболочке и в жидкости соответственно. В частном случае осесимметричных колебаний т=0:
2
/о(кс) = /о(к) = = - Л
• о(гк)
дг г=1
для несжимаемом жидкости,
• о
/о(к,с) = --
к2 + 4 -2
Н С/ ) для сжимаемой жидкости.
\к2 с2 • •
С/1
к 2 + 4с С/1
Дисперсионное уравнение det L = 0 позволило найти зависимости фазовых скоростей Vф (с) = к — ) от с.
Режимы осесимметричных т=0 и изгибных колебаний т=1 обсуждались в работах [3], [4], [5] . Графики фазовых скоростей для этих случаев были впервые получены, по-видимому, в [6].
Волны в оболочке со сжимаемой жидкостью всегда взаимосвязаны, так как такая оболочка представляет собой единую систему из двух взаимодействующих составляющих, в которой нельзя рассматривать по отдельности волны в оболочке и волны в жидкости. Однако возможно выяснить за счет чего в большей мере распространяется волна (т.е. передается энергия), за счёт оболочки или за счёт жидкости, то есть подразделить распространяющиеся волны на волны преимущественно жидкостного и преимущественно структурного характера распространения.
Для получения этого нового результата сопоставляются графики фазовых скоростей для оболочки со сжимаемой жидкостью и с несжимаемой жидкостью. Распространяющиеся волны в оболочке с несжимаемой жидкостью могут быть только структурного характера, так как в несжимаемой жидкости волны не распространяются. Поэтому на тех частотных интервалах, где графики фазовых скоростей для оболочки со сжимаемой жидкостью и с несжимаемой жидкостью совпадают, волна преимущественно структурная. Для выявления преимущественно жидкостных волн сопоставляются графики фазовых скоростей для оболочки со сжимаемой жидкостью и для абсолютно жёсткого цилиндрического волновода со сжимаемой жидкостью, являющегося математической моделью оболочки очень большой жёсткости. В абсолютно жестком волноводе волны распространяются только за счёт сжимаемой жидкости. Поэтому совпадение на некоторых частотных интервалах графиков фазовых скоростей в этом случае означает, что волна преимущественно жидкостная.
На рис.1 представлены фазовые скорости для осесимметричных (т=0) и изгибных колебаний (т=1).
Рис. 1.
На рис.2 представлены фазовые скорости для неосесимметричных
колебаний (т=2 и т=Ъ).
Рис. 2.
Результаты анализа графиков фазовых скоростей для осесимметричных колебаний (т=0) в частотном интервале с е (0,2) представлены в табл. 1.
Таблица 1.
Жидкостные и структурные волны в случае осесимметричных колебаний
Цвет линии Частотные диапазоны, в Частотные диапазоны, в
№ которых волна которых волна
преимущественно преимущественно
структурная жидкостная
1 красный (0.7, 2)
2 синий (0, 2)
3 зелёный (0, 0.85)
4 розовый (0, 0.6); (0.85, 1.3) (1.3,2)
5 голубой (1, 1.2); (1.3, 1.7) (1.2, 1.3)
6 коричневый (1.2, 1.3); (1.7, 2) (1.15, 1.2)
7 оранжевый (1.75, 2)
Аналогичные результаты для случая изгибных колебаний (т=1) в частотном интервале с е (0,3) представлены в табл. 2.
Таблица 2.
_Жидкостные и структурные волны в случае изгибных колебаний_
№ Цвет линии Частотные диапазоны, в Частотные диапазоны, в
которых волна которых волна
преимущественно преимущественно
структурная жидкостная
1 красный (0, 3)
2 синий (0.55, 3)
4 розовый (1.45, 1.8) (1.8, 3)
5 голубой (1.45, 1.65) (1.65, 1.8)
6 зелёный (2.2, 3) (1.6, 1.65)
7 оранжевый (2.2, 2.7) (2.7, 3)
8 серый (2.6, 2.7)
Графики фазовых скоростей при т=2 и т=3 показывают, что для этих двух режимов волна, описываемая красной дисперсионной кривой 1, всегда преимущественно структурная, а волна, описываемая синей дисперсионной кривой 2, всегда преимущественно жидкостная. Волна, описываемая розовой дисперсионной кривой 4, переходит на частоте ю=2.15 при т=2 и ю=2.55 при т=3 из преимущественно структурной в преимущественно жидкостную. Волна, описываемая голубой дисперсионной кривой 5, зарождается, как преимущественно жидкостная, но остаётся таковой только до частоты ю=2.15 при т=2 и а=2.55 при т=3.
Возможность различать волны преимущественно жидкостного и преимущественно структурного характера актуальна для практики, так как вибрацию и шум, связанные с распространением волн структурного
происхождения, можно ослабить за счёт применения внешних устройств, в отличие от вибрации и шума, связанных с распространением волн жидкостного происхождения.
В заключение отметим, что предложенный метод сопоставления графиков фазовых скоростей для оболочки со сжимаемой жидкостью, с несжимаемой жидкостью и для абсолютно жесткого волновода со сжимаемой жидкостью позволяет успешно определять, какие волны имеют преимущественно структурный, а какие преимущественно жидкостный механизм распространения.
Литература
1. Fuller C.R., Fahy F.J. Characteristics of wave propagation and energy distributions in cylindrical elastic shells filled with fluid // Journal of Sound and Vibration (1982) 81(4), pp. 501-518.
2. Тер-Акопянц Г.Л. Об уточнении результатов влияния жидкости на распространение волн упругой цилиндрической оболочке // Фундаментальные исследования. - 2013. - № 10 (часть 3). - С. 516-520.
3. Тер-Акопянц Г.Л. Осесимметричные волновые процессы в цилиндрических оболочках, заполненных жидкостью // Естественные и технические науки. -2015. - № 7 (85) . - С. 10-14.
4. Тер-Акопянц Г.Л. Дисперсионные кривые и модальные коэффициенты при распространении волн в оболочке с жидкостью // Естественные и технические науки. - 2015. - № 6(84). C.77-81.
5. Филиппенко Г.В. Энергия волн изгибного типа в бесконечной цилиндрической оболочке, заполненной сжимаемой жидкостью // Современное машиностроение: Наука и образование: материалы 5-й Международной научно-практической конференции / под ред. А.Н.Евграфова и А.А. Поповича. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2016. - с. 276-286.
6. Lin T. C., Morgan G. W. Wave propagation through fluid contained in a cylindrical, elastic shell // Journal of the Acoustical Society of America (1956) 28, pp.1165-1176.
