Выявление дуалистических свойств науки в процессе преподавания элементарной математики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ - ПРАКТИКАМ

А.В. ЯСТРЕБОВ, Н.А. МЕНЬШИКОВА, Н.М. ЕПИФАНОВА

Выявление дуалистических свойств науки в процессе преподавания элементарной математики

Резюме. В статье показано, что целый спектр дуалистических свойств науки может быть выявлен в процессе изучения элементарной математики. Тем самым продолжается идейная линия на педагогическое использование дуалистических свойств науки, начатая в работах [1-3] применительно к математике, психологии и физике.

§ 1. Проявления дуалистических

свойств математики в процессе изучения стереометрии

Начнем с рассмотрения трех простых, но необычных задач.

Задача 1. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 4, а угол между смежными боковыми гранями равен 90°. Найти объем пирамиды.

План решения вытекает из соответствующего условию задачи рис. 1, на котором

ZBMD = 900 представляет собой линейный угол двугранного угла между плоскостями BSC и DSC. Действительно, из ABMD

D

Рис.1.

можно было бы найти его высоту ОМ. Поскольку ОМ 1БС в силу признака перпен-

дикулярности прямой и плоскости, из АОМС можно было бы найти отрезок МС, а затем из прямоугольного АБОС можно было бы найти отрезок БМ и высоту пирамиды БО. Однако реализация этого плана сталкивается с непреодолимыми затруднениями. Действительно, из АВМВ получаем, что

ОМ = 0,5ВВ = 2а/2 = ОС . Следовательно, из точки О к прямой ВС проведены перпендикуляр и наклонная равной длины. Данное противоречие показывает, что задача не имеет решения. Другими словами, не существует правильной четырехугольной пирамиды с прямым углом между боковыми гранями.

Будучи математически несложной, возникшая ситуация психологически некомфортна для многих учащихся, поскольку оказывается, что обычная, естественная задача содержит внутреннее противоречие, которое может быть обнаружено только в результате специальных усилий. Приведем еще две задачи такого же типа.

Задача 2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6, а угол между смежными боковыми гранями равен 60°. Найти объем пирамиды.

D

В

Рис. 2.

Идея решения та же, что и в задаче 1. Если на рис. 2 АЛМВ является линейным углом двугранного угла с ребром ВС, то можно доказать, что из точки В к прямой ВС про-

ведены перпендикуляр ВМ и наклонная ВС равной длины. Таким образом, задача не имеет решения. Другими словами, не существует правильной треугольной пирамиды с углом 60° между боковыми гранями.

Задача 3. В правильной шестиугольной пирамиде 8ЛБСББР линейный угол двугранного угла между смежными боковыми гранями равен 120°. Ребро основания равно а. Найти объем пирамиды.

задачи заставляет возобновить работу микрогрупп и провести дополнительное исследование первоначальных задач.

Исследование задачи 1. Пусть на рис. 1АВМЭ = а. План решения может быть реализован, если ОМ<ОС, откуда вытекает цепь эквиваленций:

ОМ < ОС о ОВ ^(а /2) = ОС о ^(а / 2)

< 1 о 45° < (а/2) < 90° о о 90° < а < 180°.

Исследование задачи 2. Пусть на рис. 4

АВ = а, АЛМВ = а,

Рис. 3.

Вновь используем ту же идею (рис. 3): сравнивая треугольники АВС и АМС, нетрудно доказать, что перпендикуляр АМ к ребру БВ и наклонная АВ к нему же равны между собой. Вновь получаем, что задача не имеет решения.

Опишем одну из возможных организационных форм работы с приведенными задачами, подчеркивая при этом некоторые идейные следствия по выявлению природы математики.

Пусть в классе с углубленным изучением математики проводится урок решения задач по теме «Объем пирамиды» продолжительностью 90 минут. Сначала учащиеся делятся на три микрогруппы, каждая из которых решает одну из вышеприведенных задач, а затем представители микрогрупп сообщают остальным учащимся о полученном решении.

На этом, первом, этапе урока достигаются два принципиальных результата. Во-первых, класс в целом делает качественный вывод: параметры реальных физических объектов не могут быть произвольными, а подчиняются определенным закономерностям. Во-вторых, учащиеся самостоятельно формулируют следующую задачу: при каких ограничениях на величину двугранного угла между боковыми гранями существуют пирамиды, описанные в задачах 1-3? Постановка новой

Рис. 4.

АР = РВ, АЛМР = а/2. Для устранения ранее полученного противоречия необходимо и достаточно, чтобы РМ<РС, откуда вытекает цепь эквиваленций:

™ ^ а а а>/3 а

РМ < РС о — йе— <---------------о йе —

2 2 2 2

< 43 о 30° < — < 90° о 60° < а < 180°.

2

Исследование задачи 3. ААВС на рис.3 является равнобедренным с углом 120° при вершине и боковой стороной а. В силу

лп 1 лп ал/3"

этого АР = ^ АС = —2—. Пусть двугранный угол с ребром ВБ равен а . Из ААМР получаем, что

АМ

АР

а

-Л

БІп(а /2) 2 БІп(а / 2)

Поскольку перпендикуляр ЛМ к прямой ВБ должен быть короче наклонной АВ, мы получаем цепь эквиваленций

а43

АМ < АВ о

. а

< а о бій— > 2БІп(а/2) 2

43 а

— о 60 < — < 90 о 2 2

о 120° < а < 180°.

Естественно, что представители микрогрупп снова сообщают классу о проведенном исследовании задачи. На этом, втором, этапе урока достигаются два результата. Во-первых, снимаются препятствия для вычисления объема пирамиды, поскольку достаточно взять любое значение угла в нужном диапазоне. Во-вторых, учащиеся могут самостоятельно сформулировать несколько задач: 1) как связано ограничение снизу на двугранный угол и величина угла при основании пирамиды? 2) как меняется высота пирамиды при стремлении допустимого значения двугранного угла к своим крайним пределам? 3) в чем геометрический смысл ограничения сверху на величину двугранного угла? 4) как движется точка М по боковому ребру при стремлении допустимого значения двугранного угла к своим крайним пределам? Почти очевидно, что эти задачи можно решить как по вычислительным формулам, так и на основе геометрической интуиции; последнее представляется нам особенно ценным.

Отметим, что в зависимости от педагогической ситуации учитель может варьировать многие организационные моменты. Например, исследование исходной задачи можно поручить той же микрогруппе, которая обнаружила противоречие в ней, а можно предложить сделать это другой микрогруппе. Учитель может сам поставить вопрос о допустимых значениях двугранных углов и другие дополнительные вопросы; может оказать дозированную помощь учащимся, пытающимся сформулировать их самостоятельно; может добиваться полностью самостоятельной формулировки их учащимися. Задачи, сформулированные в предыдущем абзаце, могут быть предложены в качестве домашнего задания или заменены на другие.

Обсудим все вышесказанное в терминах дуалистических свойств математики. Очевидно, что качественный вывод, сделанный на первом этапе урока, был получен в процессе сопоставления трех конкретных задач, т.е. в результате индуктивного умозаключения. В то же время решение каждой конкретной задачи является цепью дедуктивных умозаключений. Таким образом, в получении качественного вывода индуктивное и дедуктивное умозаключения играют каждое свою необходимую роль, причем оба типа умозаключений являются неизбежными. Тем самым показано, что в процессе преподавания школьного курса геометрии может быть выявлен индуктивнодедуктивный дуализм математики в целом.

Общие выводы по первой части урока и по уроку в целом, которые в конце концов стали интеллектуальным достоянием всего класса, были получены в результате работы отдельных его частей (микрогрупп или отдельных учеников) и последующего информационного обмена. Тем самым иллюстрируется личностно-социальный дуализм математики, понимаемый в том смысле, что для математики необходимы как личностное, так и социальное начало, причем только их взаимодействия достаточно для существования математики как науки.

В процессе работы с задачным материалом класс дважды столкнулся с тем, что результаты решения задачи приводят к естественной постановке следующей задачи, которая с необходимостью вытекает из предыдущей. Самостоятельная постановка задач - необходимая часть работы математика-исследователя, быть может, самая трудная и полезная часть. В силу этого описанная методика проведения урока иллюстрирует деятельностно-продуктивный дуализм математики, поскольку для школьников становится очевидным, что математика является одновременно как суммой знаний, так и деятельностью по получению новых знаний.

Итак, мы видим, что весьма простой материал, полностью укладывающийся в стандарты школьного образования, позволяет выявить дуалистические свойства науки, описанные в статьях [1-3]. Для авторов важно, что целенаправленное выявление этих свойств является инструментом для отбора содержания урока и поиска организационных форм урока.

§ 2. Повседневные наблюдения и деятельностно-продуктивный дуализм математики

В предыдущем параграфе была описана работа учителя, проходившая в специальных условиях: старшее звено школы, профильный класс, сдвоенный урок. Было бы интересно понять, в какой мере дуалистические свойства математики могут быть выявлены в процессе изучения более простых тем, например, в среднем звене школы. Не решая этого вопроса в полной мере, покажем, что математический материал дает достаточно богатые возможности для этого. Для иллюстрации рассмотрим тему «Решение квадратных уравнений» из программы 8 класса.

Одна из домашних работ состоит в том, чтобы решить четыре квадратных уравнения, которые мы выпишем вместе с их решениями:

1) 2 X + 5 X + 2 = 0,

(^ Х2 ) = (—2,— ^

2) 3х —10 х + 3 = 0,

(^ Х2) = (3ф.

3) 4 х +17 х + 4 = 0,

(^ Х2) = (—4,— ^ 4)5х2 — 26х + 5 = 0, (х1,х2) = (5,5-).

Если в процессе проверки домашнего задания данная или подобная запись появляется на доске, то учащиеся, как правило, обращают внимание на три обстоятельства: а) на особенности корней данных уравнений; б) на связь корней с коэффициентами уравнений; в) на взаимосвязь между коэффициентами уравнения. В этих условиях учитель ставит естественную задачу по обобщению сделанных наблюдений и выражению этого обобщения в словесной форме. Одна из возможных словесных формулировок такова: «Если квадратное уравнение имеет вид

ах2 ± (а2 + 1)х + а = 0, то его корни на-

_ 1

ходятся по формулам х1 = + а, х2 = Н------».

а

Затем учащимся предлагается два задания: а) по общему правилу составить новые уравнения данного вида и проверить правильность

сделанного предположения, решив их; б) провести строгое доказательство сформулированного утверждения.

Покажем, что проверка высказанной гипотезы может оказаться не очень легкой для учащегося, поскольку простая техника решения квадратного уравнения имеет, в данном случае, некоторые особенности. Рассмотрим уравнение

ах2 ± (а2 +1) х + а = 0. (1)

Пользуясь формулой для нахождения корней квадратного уравнения и правилом извлечения квадратного корня из квадрата некоторого выражения, мы получим, что

- а2 -1+1 а2 -1|

(1)

о

х1 =

Х2 =

2а

- а2 -1-1 а2 -1| 2а

(2)

Если а — 1 > 0, то по правилу раскрытия модуля получаем, что

1

Х1 =

а.

х2 = -а

Если же а2 -1 < 0, то

(3)

х1 = -а

1

Х2 = —

а

(4)

Каждое решение совокупности (3) является решением совокупности (4) и обратно, что и доказывает наше утверждение.

Мы видим, что нам пришлось сделать три математические и одну логическую операцию, так что доказательство требуемого утверждения действительно нетривиально и заслуживает внимания даже в том случае, если формулировка гипотезы не вызвала затруднения у школьников.

Итак, при изучении рядовой, «рутинной» темы из программы 8 класса учащиеся выполняют умственные действия, типичные для работы профессионального математика: наблюдение, формулировка гипотезы, проверка гипотезы. Тем самым они усваивают не только продукт, т.е. утверждение, выделенное курсивом, но и элементы деятельности по его получению. Заметим, что утверждение само по себе не так уж интересно, зато процесс его получения отражает самую суть математики.

В заключение параграфа заметим, что даже устный счет дает пищу для серьезных математических обобщений. В качестве примера приведем картину Н.П. Богданова-Бельского «Устный счет в сельской школе», на которой изображены ученики дореволюционной русской школы, которые устно (!) вычисляют выражение

102 +112 +122 +132 +142 365

В процессе вычислений ученики с неизбежностью приходят к промежуточному результату:

102+112+122=365=132+142.

Получается, что сумма квадратов трех последовательных натуральных чисел (10, 11 и 12) равна сумме квадратов двух последующих натуральных чисел (13 и 14). В сложившейся ситуации естественным образом возникают по крайней мере две задачи:

1) Существуют ли другие значения n, такие, что сумма квадратов n последовательных натуральных чисел равна сумме квадратов n — 1 последующих натуральных чисел?

2) Имеет ли решение задача, аналогичная предшествующей, для первых, третьих, четвертых и других степеней?

Устный пример и последующие задачи заимствованы из книги [4], написанной С.А.Рачинским (1832-1902), народным учителем сельской школы, членом-корреспондентом Российской Академии наук. Как видим, существует достаточно старая традиция, состоящая в обобщении задач, решаемых повседневно.

§ 3. Однородность уравнений и графики функций

Продолжим нашу основную линию -поиск учащимися неявных, а то и глубоко скрытых закономерностей. Решим предварительное

Задание. В чем сходство и различие следующих равенств?

2 X2 — 3xy + y2 = 0, (1)

4 x2 — 4 xy + y2 = 0, (2)

x2 + xy + y2 = 0, (3)

2sin2 x — 3sin xcosx + cos2 x = 0, (4) 4sin2 x — 4sinxcosx + cos2 x = 0 , (5) sin2 x + sin xcosx + cos2 x = 0, (6)

2x2 — 3xsin x + sin2 x = 0, (7)

4x2 — 4xsin x + sin2 x = 0, (8)

x2 + xsin x + sin2 x = 0, (9)

sin2 x — (a +1) x sin x + ax2 = 0, (10)

sin2 x—(a+1)(n—x)sinx+a(n—x)2 = 0, (11)

tg2 x — (a +1) x tg x + ax2 = 0, (12)

tg2 x—(a+1)(x—n)tgx+a(x—n)2 = 0, (13)

sin2 x — 3ax sin x + 2a2 x2 = 0. (14)

Нетрудно заметить, что равенства (1)-

(3) характерны тем, что в их левых частях стоят однородные многочлены второй степени с переменными x и y. Левые части равенств

(4)-(6) также представляют собой однородные многочлены второй степени относительно sin x и cos x, поскольку получаются из равенств (1)-(3) заменой переменной x на sin x и y на cos x. Если рассматривать их как уравнения относительно x, то это однородные тригонометрические уравнения, изучаемые в школе. Левые части равенств (7)-(9) также представляют собой однородные многочлены относительно x и sin x, поскольку получаются из равенств (1)-(3) заменой переменной y на sin x . Несмотря на их внешнее сходство с уравнениями (4)-(6), они не изучаются в школе и представляют собой нечто новое и необычное для учащихся. Левые части равенств (10)-(14) также представляют собой однородные многочлены относительно линейной функции и тригонометрической функции, коэффициенты которых зависят от параметра a.

Итак, мы видим, что понятие однородности многочлена от двух переменных предстает перед учащимися в различных формах. Это разнообразие форм позволяет сформулировать разнотипные задания. Приведем несколько таких заданий, адресуя их различным микрогруппам учащихся и предполагая при этом, что результаты решений будут в той или иной форме доложены на уроке и, следовательно, станут достоянием всего класса.

МКГ-1. Постройте графики уравнений

(1)-(3) от переменных x и y. Какой вид они имеют? От чего зависит различие в видах графиков? Какой вид может иметь график

уравнения ax2 + bxy + cy2 = 0 ?

Очевидно, что начало координат принадлежит графику. Отыскивая другие точки графика, нужно поделить обе части на x2, свести исходное уравнение к квадратному путем

замены переменных t = у / х, решить его и

выразить у через х. В зависимости от количества корней квадратного уравнения мы получим либо две прямые, проходящие через начало координат (уравнение (1)), либо одну такую прямую (уравнение (2)), либо только одну точку - начало координат (уравнение (3)). Переход к уравнению общего вида не добавляет новых видов графика.

МКГ-2. Решите тригонометрические уравнения (4)-(6). От чего зависит количество простейших тригонометрических уравнений, к которым сводится данное уравнение?

Данное задание является рутинным упражнением на решение однородных тригонометрических уравнений. Количество простейших тригонометрических уравнений совпадает с количеством корней квадратного уравнения, к которому сводится исходное уравнение.

МКГ-3. Решите уравнения (7)-(9). Можно ли сказать, что количество решений каждого из уравнений порождено одной и той же причиной?

Данное задание существенно сложнее, чем два предыдущих. Во-первых, мы не можем даже указать тип уравнения, если откажемся от малопонятного словосочетания «уравнение смешанного типа». Во-вторых, дополнительный вопрос задания достаточно расплывчат и предполагает, что в каждом случае будут не просто найдены все решения, но и выявлена причина, обуславливающая их количество.

Очевидно, что каждое уравнение имеет тривиальное решение х = 0 . Для поиска других решений можно начать действовать так же, как при построении графиков уравнений: поделить обе части на х2, ввести новую пере-

БШ х

менную t =--------- и решить полученное

х

квадратное уравнение. Дальнейшее зависит от решаемого уравнения.

Для уравнения (7) мы получим, что

(7) о^ — 3t+2 — G о

-1 2

о

sinx - X sinx - 2x

Решение каждого уравнения из полученной совокупности может быть найдено графически, причем в данном случае ответ прост: х = 0 , т.е. найденное решение совпадает с тривиальным.

Для уравнения (8) рассуждения сходны, но все же отличаются от предыдущих:

(8) ^ t2 — 4t + 4 = 0 ^ t = 2 ^ sin x = 2x

. Мы вновь видим отсутствие нетривиальных решений, однако причина этого несколько иная: единственность решения уравнения (7) обусловлена тем, что в начале координат пересекаются графики трех функций -y = sin x, y = x и y = 2x, а единственность решения уравнения (8) обусловлена тем, что в начале координат пересекаются графики только двух функций -

y = sin x и y = 2 x.

Уравнение (9) сводится к квадратному

уравнению t2 + t + 1 = 0, которое не имеет решений, так что в данном случае найдена еще одна причина отсутствия нетривиальных решений.

МКГ-4. Выясните, при каких положительных значениях параметра a уравнения (10) и (11) имеют более одного решения.

Уравнение (10) решается тем же методом, что и уравнение (7). Вводя новую пере-

sin x

менную t =---------, мы получаем цепочку эк-

x

виваленций:

(1G) t — (a + 1)t + a — G

t -1 t-a

о

sin x = x sin x = ax

Графическое решение первого уравнения дает нам единственное решение x = 0 . Решая графически второе уравнение, мы видим, что все зависит от углового коэффициента a графика линейной функции. При a = 0 уравнение имеет бесконечное множество решений x = 7Ш, где n - целое число. При 0 < a < 1 количество решений конечно и не меньше трех, причем решения представляют собой абсциссы точек пересечения прямой и синусоиды. При остальных положительных значениях a мы вновь получаем единственное решение x = 0 .

Отметим, что анализ отрицательных значений параметра приводит к некоторым трудностям, разрешение которых лежит вне целей нашей статьи.

Изучение уравнения (11) происходит по той же схеме, что и изучение уравнения (10),

с той разницей, что график синуса пересекается с графиками линейных функций не в начале координат, а в точке х = П .

МКГ-5. Выясните, при каких значениях параметра а уравнение (12) имеет более одного решения на интервале (—П / 2, П / 2) ?

Сколько их на этом интервале при других значениях параметра?

Это уравнение решается по той же схеме, что и уравнения (10) и (11), с той разницей, что приходится строить график тангенса вместо графика синуса.

МКГ-6. Выясните, при каких значениях параметра а уравнение (14) имеет более одного решения? При каких значениях параметра а оно имеет 5 решений на интервале (—П, П) ?

Микрогруппы 1-6 подробно изучали уравнения одного типа. Можно организовать комплексное изучение различных проявлений однородности уравнений, если предложить задания следующих типов.

МКГ-7. 1. Постройте график уравнения

(1). 2. Решите тригонометрическое уравнение

(5). 3. Решите уравнение (9). 4. При каких значениях параметра а уравнение (10) имеет более одно решения? 5. При каких значениях параметра а уравнение (12) имеет более одного решения на интервале (—П / 2, П / 2) ?

Сколько их на этом интервале?

МКГ-8. 1. Постройте график уравнения

(2). 2. Решите тригонометрическое уравнение

(6). 3. Решите уравнение (7). 4. При каких значениях параметра а уравнение (11) имеет более одного решения? 5. При каких значениях параметра а уравнение (13) имеет точно одно решение на интервале (П / 2, 3П / 2) ?

Сколько их на этом интервале при других значениях параметра?

МКГ-9. 1. Постройте график уравнения

(3). 2. Решите тригонометрическое уравнение

(4). 3. Решите уравнение (8). 4. При каких значениях параметра а уравнение (14) имеет более одного решения? 5. При каких значениях параметра а уравнение (14) имеет более одного решения на интервале (—П, П) ? Сколько их на этом интервале?

Библиографический список

1. Ястребов А.В. Дуалистические свойства математики и их отражение в процессе преподава-

ния // Ярославский педагогический вестник. 2001. № 1. С. 48-53.

2. Корнеева Е.Н., Ястребов А.В. Инвариантные свойства психологии и их отражение в процессе ее преподавания // Ярославский психологический вестник. 2004. Вып. 12. С. 124-134.

3. Турунтаев С.В., Ястребов А.В. Проявления дуалистических свойств физики в преподавании конкретных тем // Ярославский педагогический вестник. 2005. № 2. С. 114-120.

4. Рачинский С. А. 1001 задача для умственного счета. СПб., 1899.

Н.С. РОССИИНА

Пути преодоления кризисной ситуации в кредитной системе России в современных условиях

Вступление России в период адаптации к рыночным отношениям обосновывает целесообразность изменения самой кредитной системы и определения ее роли в развитии экономики. Это связано с необходимостью обеспечения мобильной трансформации денежного капитала в ссудный, который должен быть перераспределен между секторами экономики с учетом ориентиров, обоснованных кредитной политикой всех уровней экономики страны. Поскольку кредит способен оказывать активное влияние на основные макроэкономические показатели, то возрастает и роль системы кредитных институтов в стране.

В настоящее время главными являются две проблемы:

- формирование полноценной кредитной системы, наполненной не только коммерческими универсальными банками, но и специализированными кредитными учреждениями небанковского и банковского уровня;

- обеспечение организации процессов кредитования в режиме, обеспечивающем спрос экономики в заемных ресурсах как в краткосрочном, так и в долгосрочном режиме.

Формирование эффективной кредитной системы в современной России должно основываться на опыте мировой и российской практики. Возможные изменения необходимо проводить согласованно вместе с преобразованием и институтов-организаций, учреждений инфраструктуры, а также нормативноправовой базы.

Система институтов-организаций, на наш взгляд, должна включать в себя ряд