Особенности обобщающесистематизирующего повторения в выпускных классах Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ

Е. Н. КИРЮХИНА, преподаватель кафедры математических и естественнонаучных дисциплин Технологического института Орловского государственного технического университета

ОСОБЕННОСТИ ОБОБЩАЮЩЕ-СИСТЕМАТИЗИРУЮЩЕГО ПОВТОРЕНИЯ В ВЫПУСКНЫХ КЛАССАХ

В статье рассматриваются некоторые ошибки учащихся в экзаменационных заданиях, возникающие по причине неправильной организации итогового повторения курса математики в выпускных классах.

Ключевые слова: единый государственный экзамен, обобщающе-систематизирующее повторение, элементы математических знаний, выпускные классы, рациональный способ решения.

Распоряжением Правительства РФ от июня 2001 года № 910 -р в рамках реформирования образования начался эксперимент по проведению единого государственного экзамена. С 2009 года новая форма итоговой аттестации введена в штатный режим. Как подчеркивается в документах, целью ЕГЭ является обеспечение объективной итоговой аттестации в системе общего образования и вступительных испытаний системы профессионального образования

В связи с этим, на наш взгляд, должен измениться подход к организации заключительного этапа обучения математике.

Раньше варианты выпускных экзаменов были заранее известны, и итоговое повторение во многих случаях сводилось к решению этих задач из нормативных сборников. Это в большинстве случаев приводило к успешной сдаче экзамена, но не давало объективной картины качества математической подготовки выпускников общеобразовательных школ. С переходом к ЕГЭ резко понизился уровень математической подготовки. Об этом, например, говорят результаты сдачи ЕГЭ, представленные в таблице:

Процент участников экзамена, показавших различные уровни математической подготовки в 2005-2008 гг.

Годы Неудовлетв. «2» Удовлетв. «3» Хороший «4» Отличный «5»

2005 21,6 % 40,2 % 31,3% 6,9%

2006 19,4% 39,5% 34,0% 7,1%

2007 20,9% 41,9% 29,6% 7,6%

2008 23,1% 44,9% 24,7% 7,2

Одна из главных причин создавшегося положения, на наш взгляд, - неправильная организация итогового повторения курса математики в выпускных классах.

Большинство учителей, работающих в выпускных классах, отмечают, что на заключительном этапе обучения необходимо особое внимание уделить обобщению и систематизации знаний. Это подтверждают и результаты опроса, проведенного на базе областного института усовершенствования учителей г. Орла, и рекоменда-

© Е. Н. Кирюхина

ции по подготовке учащихся к ЕГЭ в методических письмах [2].

Основная задача обобщающе-систематизиру-ющего повторения состоит в том, чтобы обогатить изученное новыми связями, рассмотреть его под новым углом зрения, это приводит не только к упрочнению усвоенного в памяти школьника, но и выстраивает имеющиеся знания учащихся в целостную систему. Обобщающе-систематизирую-щее повторение в выпускных классах имеет ряд особенностей, так как на заключительном этапе обучения все основные математические понятия уже изучены. Основная задача учителя состоит в том, чтобы за небольшое количество часов, отводимых на итоговое повторение, систематизировать знания школьного курса математики.

Поэтому на данном этапе обучения целесообразно использовать специально подобранную систему задач, которые должны содержать знания из различных разделов курса математики.

Как показывает анализ ошибок и трудностей учащихся при выполнении заданий на итоговом этапе (экзамен в форме ЕГЭ), школьники не способны применить несколько элементарных знаний к решению одной задачи, изменить стандартный алгоритм решения, согласуясь с данными задачи. Прокомментируем сказанное примерами.

1. В задании ЕГЭ 2006 года «найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции у = 1од01(10-х2) на отрезке [-3; 1]»[2] условие задачи провоцирует выпускника на применение стандартного алгоритма: 1) найти производную / (х); 2) найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка [а; Ь]; 3) вычислить значения функции f(x) в точках, отобранных в пункте 2 и в точках а и Ь; выбрать среди этих значений наименьшее и наибольшее; 4) найти разности между наибольшим и наименьшим значениями функции. Однако анализ условия показывает, что данную задачу можно решить элементарными методами, используя знания из основной школы, и провести рассуждения так: функция у = 1од0 (10-х2) монотонно убывает, так как основание логарифма а = 0,1, 0 < а < 1. Поэтому в силу того, что меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции и монотонная функция на каком-либо промежутке может принимать единственное значение аргумента, достаточно найти разность

у(-3) - у(0) = 1свод(10 - (-3)2) - 1своД(10 - 0) = 1. Ответ: 1.

Как видим, обобщенные знания учащихся помогли найти более рациональный способ реше-

ния и сэкономить время для получения ответа на вопрос, что немаловажно на экзамене в форме ЕГЭ. Как показывают опросы школьников, многим из них не хватило именно времени на получение более высокой оценки.

2. В задании «решитенеравенство» [1] по стандартному алгоритму решения рациональных уравнений сводится учащимися к совокупности

3х +1 > 0,

1в(х2 -1) < 0; 3х +1 < 0,

[1В( х2 -1) > 0

найти решение которой довольно непросто.

Однако при более детальном рассмотрении выражения можно увидеть, что числитель принимает только положительные значения. Поэтому для решения данного неравенства достаточно рассмотреть неравенство

2 _ х2 -1 > 0;

1§(х -1) < 0

х

2

1 < 1

Дальнейшее решение неравенств системы поможет обобщить графический способ решения квадратичного неравенства. Ведь «эскизное» решение позволяет значительно сократить время. Графически неравенство х2-1>0 представлено на рисунке 1, а неравенство х2-1<1 на рисунке 2.

\\\\\\\Чч\ч

Рис. 1

//////////////

I

'////////////І

Л/2

Рис. 2

Таким образом, решением системы неравенств

является пересечение промежутков (-го;-1) ,

(1; ) и (^л/2^л/2), которое также целесообраз-

но выполнить на числовой прямой (рис. 3).

Рис .3

Ответ: х е (-л/2; -1) и (1; л/2) .

При решении неравенств такого типа в классе учитель имеет возможность повторить: 1) свойства показательной и логарифмической функций;

2) решение логарифмических неравенств; 3) решение систем неравенств; 4) решение квадратичных неравенств.

Такие задачи помогут сократить время на эта-

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ

пе обобщающе-систематизирующего повторения в выпускных классах и установить новые связи между уже известными понятиями.

9x - Зx

< б »

3. В задании «решить неравенство [1] исходное неравенство во многих случаях заменялось совокупностью систем неравенств

19х - 3х > 0, 19х - 3х < 6; 19х - 3х < 0, . -9х + 3х < 6

Между тем учащиеся должны знать, что /(х)| < а (а > 0) <^-а < /(х) < а. Поэтому указанное неравенство сводится к несложному двойному неравенству -6<9х — 3х<6, которое равно-

сильно совокупности

Делая

[9х - 3х + 6 > 0, [9х - 3х - 6 < 0

замену / = 3х, / > 0, первое неравенство равносильно £2-£+6>0. Так как функция у = Р^+6 не имеет точек пересечения с осью Ох и ветви параболы направлены вверх, то решением данного неравенства является вся числовая прямая. Рассуждая аналогично, второе неравенство приводится к виду £2-£+6>0. Как и в примере 2, далее удобно воспользоваться эскизным решением неравенства, которое представлено на рисунке 4.

Рис. 4

Поэтому система сводится к неравенству -2<3х<3, откуда х<1. Ответ: х е (-^;1).

В ходе рассмотрения данного примера учителю можно повторить и обобщить следующие понятия: 1) решение простейших неравенств с модулем; 2) решение неравенств вида |/(х)| < а ;

3) решение двойных неравенств; 4) решение квадратичных неравенств; 5) решение простейших показательных неравенств.

4. В задании «решить уравнение

40- 14х + х2 = 2(х-4)л/х» [2] применение стандартного приема «возведение в квадрат» обеих частей уравнения приводит учащихся к громоздкому уравнению 4-й степени. Однако

при анализе левой части исходного уравнения легко заметить, что многочлен 40-14х+х2 можно разложить на множители (х-4).( х-10). Это несложное преобразование сводит исходное уравнение к совокупности уравнений

х - 4 = 0,

, которая легко решается.

х -10 = 2у1 х

При рассмотрении аналогичного задания на уроке обобщающе-систематизирующего повторения в выпускных классах учителю необходимо обратить внимание на особенности решения иррационального уравнения. Часто учащиеся, возводя обе части уравнения в квадрат, не оговаривают тот факт, что обе части уравнения должны быть неотрицательны. Это приводит к появлению посторонних корней. Поэтому иррациональное уравнение х - 10 = 2л/х

| x > 1О,

|x2 - 2Оx + 1ОО = 4x;

О і

x > 1О,

x = 12 + 2>/л, О x = 12 + 2л/л. x = 12 - 2л/л .

Таким образом, решением исходного уравнения являются х = 4, х = 12 + 2л/П. Ответ: 4,12 + 2ТП.

При рассмотрении аналогичных заданий на уроке учитель имеет возможность повторить:

1) разложение квадратного трехчлена на множители; 2) решение уравнений, когда правая часть равна 0; 3) решение иррациональных уравнений;

4) решение квадратных уравнений.

Необычная и редко встречающаяся в школе запись условия часто делает задачу нерешаемой для выпускника, хотя после несложных преобразований задание сводится к стандартному и решается по известным алгоритмам.

• 4 4

5. «Построитьграфикфункции y = sin х — cos х » [1]. Для выполнения задания необходимо выполнить преобразования, используя формулу разности квадратов, основное тригонометрическое тождество и формулу косинуса двойного угла, и

тогда cos х — sin х = (cos2 х — sin2 х)(cos2 х + sin2 х) = = (cos2 х )2 — (sin2 х )2 = (cos2 х — sin2 х) = cos 2 х.

Таким образом, исходная функция примет вид y = cos 2x. Используя элементарные преобразо-

вания графиков функций, график функции у = cos 2x можно получить из синусоиды у = cos x сжатием к оси координат в 2 раза (рисунок б).

При решении аналогичных заданий на этапе обобщающе-систематизирующего повторения

учителю можно повторить следующие элементы знаний: 1) основные тригонометрические тождества; 2) формулы сокращенного умножения; 3) графики тригонометрических функций; 4) элементарные преобразования графиков функций.

N

Геометрические задания, предлагаемые на итоговом экзамене, также требуют применения фактов из различных разделов геометрии, и только более детальный анализ условия помогает найти более рациональный способ решения.

6. «В прямоугольном треугольнике MNK (А N = 900) из вершины прямого угла проведена высота N4, А К = 30°, КН = 3л/3 см. Найдите МН» [3]. Решение учащиеся начинают, как правило, с рассмотрения подобныхтреугольников А^Н и AKNM, тем самым доказывая известное им из 7 класса соотношение: «катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу». С учетом этого факта, задача имеет более короткий способ решения: МН=КМ - КН. Необходимо найти КМ. Так как АКШ -прямоугольный и КН - проекция катета ^ на гипотенузу КМ, то ^ = л/КМ • КН , откуда

M

KM =

KN2

Катет, лежащий против угла

КН

А К = 300, равен половине гипотенузы, то есть

NH = 1 ^ . Пусть NH = х(см), х > 0, тогда ^ = 2х. По теореме Пифагора К№ = NH2 + КН2, значит,

4х2 = х2 + (3л/3)2 О х = 3 . Откуда NH = 3 см,

KN = 6 см и KM = -12; MH = >/Зсм. Ответ: >/э см.

л/З

Для решения данной задачи были использованы следующие элементы знаний: 1) соотношение о том, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу; 2) соотношение о том, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в ЗО градусов, равен половине гипотенузы; З) теорема Пифагора; 4) решение квадратных уравнений.

К сожалению, несмотря на многочисленные рекомендации учителям к организации заключительного этапа повторения, ошибок в работах учеников на этапе итогового экзамена не становится меньше. Одна из причин этого, на наш взгляд, отсутствие в действующих учебниках разделов для обобщающе-систематизирующе-го повторения. Организация такого повторения полностью возложена на плечи учителя.

Для организации обобщающе-систематизирующего повторения в выпускных классах в первую очередь следует:

1) выделить основные содержательные линии школьного курса математики;

2) определить в содержательных линиях основные теоретические знания и опорные задачи, которые следует повторить в первую очередь;

3) использовать специально подобранную систему задач для обобщающе-систематизирующего повторения.

УЧЕНЫЕ

ЗАПИСКИ

Библиографический список

1. Байдак В.Ю. Содержание и методика адаптационной подготовки студентов-первокурсников математических специальностей вузов. [Текст]: дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02. Орел, 2000. 204 с.

2. Официальный сайт Федерального института педагогических измерений. [Электронный ресурс]. М.: http://www.fipi.ru

3. Тесты. Геометрия. 9 класс. Варианты и ответы централизованного (итогового) тестирования. [Текст]. М.: ФГУ «Федеральный центр тестирования», 2007. 56 с.

Kiryuhina E. N.

PECULIARITIES OF GENERALIZATION AND SYSTEMATIZATION OF REVISION IN GRADUATION CLASS

Some mistakes of students in examination tasks appearing because of incorrect revision of Mathematic course in graduation classes are described in the article.