Вывод аналитического выражения для разности хода лучей, прошедших интерферометр Жамена Текст научной статьи по специальности «Нанотехнологии»

ISSN 0868-5886

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2013, том 23, № 3, с. 76-81 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ =

УДК 681.787.7

© Е. Е. Майоров, В. Т. Прокопенко

ВЫВОД АНАЛИТИЧЕСКОГО ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ РАЗНОСТИ ХОДА ЛУЧЕЙ, ПРОШЕДШИХ ИНТЕРФЕРОМЕТР ЖАМЕНА

Выбран интерферометр Жамена для функционирования системы обработки голографических интерферо-грамм с применением двухчастотного излучения. Приведены оптическая схема прохождения световых лучей через пластины интерферометра Жамена и схема к расчету разности хода лучей в интерферометре. Получены результаты анализа интерферометра в строгом изложении. Выведено аналитическое выражение для разности фаз лучей, прошедших интерферометр Жамена.

Кл. сл.: голографическая интерферограмма, интерферометр, показатель преломления, фазовый сдвиг, проекция угла

ВВЕДЕНИЕ

Для экспериментальных исследований наиболее универсальными методами являются методы когерентной оптики, а именно методы голографи-ческой интерферометрии. Эти методы позволяют решать такую задачу, как исследование напряженно-деформированного состояния объектов с диффузной поверхностью. Голографическая интерферометрия является высокоинформативным и высокоточным инструментом получения данных. Уникальность методов голографической интерферометрии обусловлена ее возможностями. Эти методы позволяют [1-7]:

- проводить исследования статических и динамических процессов;

- не предъявлять требований к качеству поверхности контролируемых объектов;

- производить сравнение волновых полей, существовавших в различные моменты времени;

- получать информацию об исследуемом процессе как в количественном, так и качественном аспектах;

- воспроизводить трехмерную видеокопию изучаемого объекта.

Со времени первых шагов голографической интерферометрии по внедрению в научную и лабораторную практику большие успехи достигнуты в методике регистрации интерферо-грамм [1]. Современный уровень развития вычислительной техники и компьютеризация научных исследований позволяют успешно решать задачи третьего этапа — проводить качественный анализ и количественную интерпретацию

полученных экспериментальных данных. Однако нет достаточных оснований утверждать, что решены все проблемы в разработке средств и методов оптической обработки голографических интерферограмм.

Изучение существующих подходов к считыванию информации с голографической интерферо-граммы показал, что наиболее точными и информативными являются фазоизмерительные гетеродинные системы, в которых фазовые характеристики интерференционного поля трансформируются в фазу электрического сигнала. Измерение последней осуществляется с применением электронной аппаратуры. Использование указанного технического решения позволяет в значительной степени снизить погрешность измерений и расширить диапазон определяемых величин [1-7].

АНАЛИЗ ИНТЕРФЕРОМЕТРА СДВИГА

Для анализа функционирования системы обработки голографических интерферограмм с применением двухчастотного излучения необходимо конкретизировать вид используемого интерферометра сдвига и получить аналитическое выражение для разности фаз лучей, прошедших интерферометр. Из соображений виброустойчивости, а также простоты конструкции в работе предлагается использовать интерферометр Жамена, образованный двумя идентичными плоскопараллельными пластинами [8]. В [2-7, 9] приведены результаты анализа этого интерферометра в приближенном варианте. Точность, на которую претендует система, требует анализа интерферометра в строгом изложении.

Рис. 1. Прохождение света через первую (а) и вторую (б) пластины интерферометра Жамена

Рис. 2. К расчету разности хода лучей в интерферометре Жамена

Разность хода лучей при прохождении интерферометра (рис. 1) определяется следующим выражением:

А = А: (а1, а2) + Ап («1, а2, , (1)

где А: (а1, а2) — разность хода лучей после первой пластины интерферометра; Ап (а1, а2, £) —

разность хода лучей после прохождения второй пластины интерферометра; а — угол падения луча на первую пластину; а1 и а2 — проекции угла а (рис. 2); % — угол наклона второй пластины относительно первой.

Воспользовавшись рис. 1, запишем выражение для А: и Ап. Из рис. 1 следует

А: = 2hn/cos r - 2h tg r sin а = 2hn cos r , (2)

где h — толщина пластины интерферометра; n — показатель преломления материала пластины интерферометра; r — угол преломления луча на первой пластине.

Из рис. 1, б, следует

Ап = KN + NL-2n OM, (3)

где

KN + NL = ON sin ( + O'N sin ( = = O'O sin ( = 2h tg r' sin (, OM = h¡cos r'.

Отсюда

„7 , ■ r, ^ hn

Ап = 2h tg r sin ( - 2-=

cos r'

= 2h (sin r 'sin ( - n) . cos r'

Так как sin ( = n sin r', то

Ап = -2hn cos r'.

В этих выражениях ( — угол падения луча на вторую пластину; r' — угол преломления луча во второй пластине.

78

Е. Е. МАЙОРОВ, В. Т. ПРОКОПЕНКО

Запишем выражение для суммарной разности хода:

А = Aj + Ап = 2hn (cos r - cos r').

(4)

Для нахождения неизвестной величины cos r' произведем дополнительные геометрические построения (рис. 2).

Построим проекции угла падения а на две взаимноперпендикулярные плоскости, а также проекции угла падения на вторую пластину интерферометра на те же плоскости и найдем связь между этими проекциями, возникающую при повороте второй пластины интерферометра относительно первой на угол £ , как показано на рис. 2.

Из рис. 2, а, найдем

(b tg ах )2 +(b tg a2 )2 =(b tg а)2. (5)

Поделив все члены выражения (5) на b , получим tg2 a = tg2 a + tg2 a2. (6)

1

Учитывая также, что

2

• 2 tg a 2

sin a = —2-, cos a = —--.

tg2 a +1 tg2 a +1

запишем выражения для cos a и sin a :

1

cos a =

sin a =

Vtg2 a + tg2 a2 +1

V2 2

tg a + tg a2

Vtg2 a1 + tg2 a2 +1

Используя выражения (7) и (8) запишем

cos r =-у/1 - sin2 r = J1 -

sin2 a

= 1 --

22 tg a + tg a

!(tg2 a + tg2 a +1)

cos r' = yj 1 - sin2 r' =, 1 -

sin2 p

= 1 --

tg2 P

;(tg2 P +1)'

Воспользуемся рис. 2 и найдем tg P

(9)

Составляющие угла / можно определить воспользовавшись рис. 2, б:

где / = « + 4 . Следовательно,

tg / = tg («1 + 4).

Для того чтобы определить tg /2 воспользуемся тригонометрическими формулами:

Ь'

ctg P2 = -,

где a = -

b

ctg a2

d = -

b

cos a

. Отсюда

b' =

b cos (a + 4)

cos a

Поэтому

cos (a1 + 4 ) ctg P2 =---- ctg a2

cos a

cos a,

tg P2 =-1

(10)

cos (a1 + 4 )

tg a2 .

(7)

(8)

Следовательно

tg P =

V

tg2 (a + 4)+tg2

cos2 a

a

2 cos2 (a1 + 4 )

Зная tg p , можно записать выражение cos r':

cos r =

tg2 (a + 4)+tg2

a

cos2 a

1 --

2 cos2 (a1 + 4)

tg2 (a + 4)+tg2a cos a' +1

2 cos2 (a1 + 4 )

Аналогично можно записать выражение для cos r':

Таким образом, подставляя полученные выражения в (4), определим разность хода лучей, выраженную через проекции на две взаимно-перпендикулярные плоскости:

А = 2nh I

1 - tg2 a1 + tg2 a2 n2 (tg2 a + tg2 a2 +1)

a

2

n

2

n

n

2

n

tg2 (а + 4) + tg2

а

1 --

cos2 а1 2 cos2 (а1 + 4)

tg2 (ai + 4) + tg2

cos2 a

а

2 cos2 (a1 + 4)

+1

(2a4+42 +1)11

. (11)

A '2 = -

" ii

2Л

2n2

a

Из (9) и (10) следует, что при s = 0, Д = а1 и Д2 = а2. Поэтому

AI (а1, а2) = An (а1, а2, s = 0) .

Пусть AII = 2hn A 'II, где

= 1 --

2а4 + 4 +1 + ^

2n2

Следовательно,

11 - 2?

A '„ =

a

2a4 + 4 +1 +

1--2-^ x-

2n

1-

2n

2

tg2 (a1 + 4)+ tg2

cos2 a

a

1 —

22 cos

(а + 4)

(12)

Учитывая малость ах и 4, разложим полученное выражение в ряд по степеням этих величин:

tg2 (a +4)+tg ^ 2

2 cos2 а

2 а —^—^ +1

cos

(а +4)

A 'п = ./1 -

,2

а

При разложении в ряд Маклорена для малых значений аргумента

cos2 а « 1 -а12,

2n 2 1 8n.i1--L-

М 2n а4 4

tg2 («1 - 4Ма - 4)2.

2n\\1--К 4n\ 1 — 1

2n

(13)

2n

При а2 « 45° tg а2 «1. Следовательно, можно записать

Так как A 'I (а1, а2 ) = A 'п (а1, а2,4),

то

A 'п =

1 --

, 1 -а12 (а1 + 4) + W-^

1 -(а + 4)

A 'i =

1 --

а

2n

8nM1 -—2

2n

(14)

(а + 4)2 +

1 - а

1 -(а1 + 4)

1 2 +1

На основе предыдущих выражений запишем

Проведем преобразования полученного выражения:

A' = A 'i-A 'п =

а14

42

2n\\1

2n

4n\\1

2n

(15)

A '2 =

1 тт

= 1 --

Окончательно для разности фаз лучей, прошедших интерферометр сдвига, получим

(а +4)2 -(а1 +4)4 +1 -а12

= 1 -

(а +4)2 -(а1 +4)4+1 -а12 +1 -(а + 4)2 2а14+42 +1

n (2-а2) .

2^

р = — 2hnA'= Л и Л

2hna14

Г +

Так как

1 1 1

2 - а12 2 а12 2 1--

1 + а

v 2 у

+

2^

Л

2hn42

то пос-

2n\\1 -—2 2n

2ж ,

= — + Ри0,

4nM -

1Л

(16)

2n

леднее выражение запишется в следующем виде: где dи и (ри0 — соответственно смещение

2

n

1

1

2

n

1

2

1

2

2

n

1

80

Е. Е. МАЙОРОВ, В. Т. ПРОКОПЕНКО

и постоянный фазовый сдвиг, вносимые интерферометром:

d,, =-

Ри0 =

П 1 -

nhE,

1

2n2

2

Лпл 1 -

J_ 2n2

(17)

(18)

Полученные выражения позволят провести анализ сигнала на выходе интерферометра.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Получены основные математические соотношения для параметров выходного сигнала

Выведено аналитическое выражение для разности фаз световых лучей, прошедших интерферометр. Это позволит вычислять основные параметры интерферометра Жамена, которые влияют на точностные характеристики и диапазон измерений системы, и соответственно смещение и постоянный фазовый сдвиг, вносимые интерферометром.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СПбГПУ, 2011. Т. 3, ч. 1. С. 251-254.

4. Майоров Е.Е., Вязанкина М.К., Чистякова Н.Я. Исследование голографической интерферометрии для измерения поверхности диффузно отражающих объектов // Сборник статей 12-й Международной научно-практической конференции "Фундаментальные и прикладные исследования, разработка и применение высоких технологий в промышленности". СПб.: СПбГПУ, 2011. Т. 3, ч. 1. С. 248-251.

5. Майоров Е.Е., Машек А.Ч., Прокопенко В.Т., Хай-даров Г.Г. Применение поперечно-сдвиговой интерферометрии в голографической интерферометрии для контроля диффузно отражающих объектов // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 4: Физика, химия. 2012. Вып. 4. C. 31-35.

6. Майоров Е.Е., Прокопенко В.Т. Применение двух-частотного излучения для реализации принципов гетеродинной голографической интерферометрии с одним опорным пучком // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2012. Т. 55, № 12. С. 43-45.

7. Майоров Е.Е., Прокопенко В.Т., Шерстобитова А.С. Исследование оптико-электронной системы расшифровки голографических интерферограмм // Оптический журнал. 2013. Т. 80, № 3. С. 47-51.

8. Захарьевский А.Н. Интерферометры. М.: Оборон-гиз, 1952. 296 с.

9. Котов И.Р. Разработка и исследование когерентных методов и систем обработки спеклограмм. Канд. дис., 1990. 204 с.

1. Логинов А.В., Солодкин Ю.Н., Чудновский А.И. Возможности и перспективы использования когерентно-оптических методов при анализе длительной прочности // Голографические измерительные системы: Сборник научных трудов / Ред. А.Г. Ко-зачек. Новосибирск, 1978. 160 с.

2. Большаков О.П., Котов И.Р., Хопов В.В., Майоров Е.Е. Обработка голографических интерферо-грамм и спеклограмм с использованием двухчас-тотного лазера // Научно-технический вестник: Актуальные проблемы анализа и синтеза сложных технических систем. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2003. Вып. 11. С. 21-24.

3. Майоров Е.Е., Вязанкина М.К., Чистякова Н.Я. Способ оптической обработки двухэкспозицион-ных голограмм деформированных объектов // Сборник статей 12-й Международной научно-практической конференции "Фундаментальные и прикладные исследования, разработка и применение высоких технологий в промышленности". СПб.:

Северо-Западный государственный медицинский университет им. И.И. Мечникова, г. Санкт-Петербург

(Майоров Е.Е.)

Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, г. Санкт-Петербург

(Прокопенко В. Т.)

Контакты: Майоров Евгений Евгеньевич, majorov_ee@mail.ru

Материал поступил в редакцию 31.01.2013

DERIVATION OF AN ANALYTICAL EXPRESSION FOR THE PATH DIFFERENCE OF THE RAYS PASSED THROUGH JAMIN INTERFEROMETER

E. E. Maiorov1, V. T. Prokopenko2

1 Northwest State Medical University named after I.I. Mechnikov, Saint-Petersburg 2Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics

Jamin interferometer is chosen for functioning of processing system of holographic interferograms using dual-frequency radiation. The optical scheme of the light rays passing through the plates of Jamin interferometer and the scheme to the calculation of path difference of the rays in the interferometer are given. The results of the interferometer analysis in the strict narrative are obtained. The analytical expression for the phase difference of the rays passed through Jamin interferometer is derived.

Keywords: holographic interferograms, interferometer, refractive index, phase shift, projection angle