CC BY
2
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 4
Научная статья УДК 536.246
doi: 10.18522/1026-2237-2023-4-55-60
ВЫСОТА МИКРО- И НАНОКАПЛИ В МОДЕЛИ, УЧИТЫВАЮЩЕЙ ТОЛЩИНУ ПОВЕРХНОСТНОГО СЛОЯ КАПЛИ
Михаил Евгеньевич Щербаковш, Евгений Николаевич Калайдин2
1 2 Кубанский государственный университет, Краснодар, Россия
1latiner@mail.ruB
2kalaidin@econ.kubsu.ru
Аннотация. Рассматривается висящая капля фиксированного объема, обладающая осевой симметрией. Образующая линия поверхности капли зависит от натурального параметра. Применяется модель Б.В. Дерягина, учитывающая межфазный переход от жидкости к газу. Используется функционал полной энергии, учитывающий расклинивающую энергию поверхностного слоя - составляющую второго порядка малости в разложении потенциальной энергии капли по обезразмеренной ширине потенциальной ямы. Найдено уравнение зависимости высоты капли от радиуса пятна прилипания. Определено значение множителя Лагранжа, при котором среди висящих капель с фиксированным объемом, фиксированной площадью прилипания к горизонтальной поверхности и углом смачивания, определяемым формулой Юнга, найдется равновесная капля. Проведено сравнение с другими моделями, определяющими связь высоты капли, радиуса пятна прилипания капли и угла смачивания.
Ключевые слова: функционал полной энергии капли, расклинивающая энергия, модель Дерягина, функционал Уиллмора, условие равновесия капли, угол смачивания капли, нанокапля, ранжирование полной энергии капли, поверхность Гиббса, высота нанокапли
Для цитирования: Щербаков М.Е., Калайдин Е.Н. Высота микро- и нанокапли в модели, учитывающей толщину поверхностного слоя капли // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2023. № 4. С. 55-60.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Original article
THE HEIGHT OF THE MICRO AND NANO DROPLETS IN THE MODEL TAKING INTO ACCOUNT THE THICKNESS OF THE SURFACE LAYER OF THE DROPLET
Mikhail E. ShcherbakovEvgeny N. Kalaydin2
2 Kuban State University, Krasnodar, Russia 'latiner@mail.ruB 2kalaidin@econ.kubsu.ru
Abstract. A hanging drop of a fixed volume with axial symmetry is considered. The forming line of drop surface depends on a natural parameter. The B. V. Deryagin's model is used taking into account the interphase transition from liquid to gas. The total energy functional is used which takes into account the wedging energy of the surface layer component of the second order of smallness in the decomposition of the potential energy of the drop over the dimensionless width of the potential well. It is found the equation of the dependence of the drop height on the radius of the sticking spot. The value of the Lagrange multiplier is determined, at which an equilibrium drop is found among hanging drops of a fixed volume, a fixed area of adhesion to a horizontal surface and the wetting angle determined by Young's formula. A comparison with other models determining the relationship between the height of the drop, the radius of the spot of adhesion of the drop and the wetting angle is carried out.
© Щербаков М.Е., Калайдин Е.Н., 2023
Keywords: drop total energy functional, wedging energy, Deryagin model, Willmore functional, drop equilibrium condition, drop wetting angle, nano droplet, drop total energy ranking, Gibbs surface, nano droplet height
For citation: Shcherbakov M.E., Kalaydin E.N. The Height of the Micro and Nano Droplets in the Model Taking into Account the Thickness of the Surface Layer of the Droplet. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2023;(4):55-60. (In Russ.).
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY4.0).
Введение
Закон капиллярного давления Лапласа [1, 2] для капель, обладающих осевой симметрией относительно вертикальной оси OX(рисунок), можно записать в виде 2Н = 2Ь + сх, где функция х = х(у) связывает горизонтальные и вертикальные координаты точки на образующей линии поверхности капли; с = aLG/др - капиллярная постоянная; b - кривизна поверхности в вершине; Н - средняя кривизна поверхности капли.
Этот закон, используя выражение для 2Н, можно переписать в виде [3]
х х »-»т f dx ,, dx
-+--= 2b + сх, где х = —, х =—.
(1+(х')2) 12 y(1+(x')2y/2 dy dy
Численное решение этого уравнения для сидячей капли было найдено и табулировано [4, 5] для различных чисел Бонда ft = cRq, которые определяют степень отклонения поверхности, обладающей осевой симметрией, от сферы. R0 - радиус кривизны в вершине поверхности.
В работе [6] для определения равновесной формы поверхности капли в модели, где переход от газообразной фазы к жидкой происходит скачком, используется решение вариационной задачи о минимуме функционала Е полной энергии капли
^ ^ f(t)dt -Ct2 , (сХл , 1-COS в0\ t , _
у(х) = \п; , f(t) =--+ ( — +-0) t + cos в0,
УК J J0 Jl+f2(t)' 1 y J 2 \ 2 XA ) 0'
где в0 - угол смачивания, определяемый формулой Юнга cos 90 = ais acs; aLS, aLG, aGS - коэффициенты поверхностного натяжения между жидкостью и твердым телом, жидкостью и газом, газом и твердым телом.
В [3] получено равенство, связывающее высоту капли ХА и радиус пятна YA прилипания:
У = rXA f(t)dt
А \ Ji+f2(t).
Связь между высотой капли и радиусом пятна прилипания представлена в интегральном виде, в силу чего на практике используются приближенные методы описания поверхности капель.
Значение YA в работах [3, 6] было представлено в виде ХА = -1-—sin 9" YA.
Ао (1+cos ^о)
Чтобы переход от фазы жидкого состояния к газообразному был непрерывным, необходимо учесть влияние расклинивающего слоя ненулевой толщины между двумя разными фазами [7-9].
Предполагается, что в поверхностном слое происходит перемешивание молекул различных субстанций. Для установления степени влияния поверхностного слоя изучались свойства капли в условиях невесомости [10, 11]. Чтобы учесть влияние поверхностного слоя, был разработан RSM-метод [12-15], дополняющий функционал полной энергии капли функционалом расклинивающей энергии, формирующей поверхностный слой капли
Ераскл(Б) = -uhmoLG у arcsin х ds, где S - поверхность вращения, определяемая образующей линией (x(s),y(s)); s 6 [0, L] - натуральный параметр; x(s) = x(y(s)); х(0) = 0; у(0) = YA; x(L) = ХА; y(L) = 0.
С учетом влияния поверхностного слоя в работах [12-16] было представлено условие равно-
1
весия жидкой висящей капли 2Н + hmK = — (дрх + Л), на основании которого в этой работе
aLG
будет выведена связь между высотой капли, радиусом пятна прилипания капли и углом смачивания, исходя из краевых условий. В уравнении К - гауссова кривизна; А - множитель Лагранжа; hm - толщина расклинивающего слоя.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 4
Структура поверхностного слоя капли, предложенная Б.В. Дерягиным / The structure of the surface layer proposed by B.V. Deryagin
Постановка задачи и её решение
Для равновесной капли, лежащей на твердой поверхности, в модели, учитывающей влияние толщины поверхностного слоя, необходимо найти зависимость между высотой капли АД, радиусом пятна прилипания капли УД и углом смачивания 0О, а также получить множитель Лагранжа, при котором существует решение вариационной задачи поиска экстремальной поверхности.
Для висящей капли с фиксированным объемом У, поверхность вращения S которой в окрестности точки (0, УД) задается гладкой образующей линией (x(s), y(s)), условие равновесия имеет вид [12-16]
2Я +Vtf = -^(ДОХ + А), (1)
°LG
где
Л = [2 sin 00 Ъ + V cos2 00 - . (2)
После перехода к натуральному параметру s условие равновесия капли принимает вид
Vy у/ V у J с v у CTLG
. dy
где х = d! , У =
Учитывая, что x(s) = sin^ (s), где ^(s(y)} - угол между касательной образующей линии поверхности капли и осью ОУ, зависящий от переменной у, условие равновесия (3) можно записать в виде уравнения ^(ysin^(y) — (sin^ (у)}2) = (^х(у) +~")у, интегрируя которое получим J0yd (rsin^ (т) — ^(sin^ (т))2) = /0У(1х(т) + ^-)rdT.
Разделив на у2 решение последнего равенства и перейдя к пределу при у ^ 0, в силу того, что sin^ (0) = 0, х(0) = АД, приходим к соотношению
(sin>(0))2 — 72~sin'^(0) + -1- + -f-) = 0.
Используя вид коэффициента Лагранжа (2), запишем корни этого уравнения в виде sin>(0) = 1 + ^ [2 sin 00Ъ + V cos2 00 — ¿ (4)
„ d (С , л : À \ sinœ(y)
Заметив, что — [-x(y) +--) = —, ==, получим
' dy\c KJ,J aLG) c^c-^in^y))2' y
1(х(у) — x(0)) = jysm,P(T) (i + (t)) + d((sm<p(T))2) dr, откуда следует, что
x(y) — XA « srn'v(0)?Ç.
В силу (4) x(y) — XA = l(-cXA + ^ [2 sin в0 YA + hm cos2 в0 — lv])£
Перейдя к пределу при у ^YA и учитывая, что x(YA) = 0, определим высоту капли _ l2srne0YA+hmcos2 в0-1у1 ХА = ГГ~2 i .
4^+11 I 2C I
у
Высота макрокапли определяется из формулы ХА «-j.
2nYA
ут sin 0nYA
Для микрокапель высота капли пропорциональна радиусу пятна прилипания ХА ~ —2—, что
соответствует результату, полученному в работе [6], и опытам [17, 18] для капель на гидрофильной поверхности.
Для капли наноразмера получили формулу, в которой высота зависит как от радиуса пятна прилипания, так и от толщины промежуточного слоя
XA^2;sineoYA + hmcos^ . (5)
Интегрируя левую и правую части уравнения (1), записанного с помощью натурального параметра s по пятну [0,2п] X [0, L], получим 2п j^ aLG [(2Н + hmK)]yy(s) ds = nÁYA2 + gp V.
Используя представление гауссовой и средней кривизны, с помощью натурального параметра
V XX X X
K(s) = -- = — , 2H(s) = - + -, придем к соотношению
2noLG j¡¡ d(xy) — hmnoLG j¡¡ d(y)2 = nÁYA2 + gp V.
В силу равенств y(0) = cos в0, х(0) = — sin в0, у(0) = YA, y(L) = 0, y(L) = 0, x(L) = 1, x2 + у2 = 1 получаем уравнение, из которого следует (2):
2naLG sin 90Ya + nhmaLG cos2 в0 = nAYA2 + gp V.
Заключение
Для супергидрофильных поверхностей, где угол смачивания находится в промежутке 5^10°, высота капель размером 10-8^2*10-9 м, вычисленная с помощью RSM-метода, отличается на 10^20 % от значений, вычисленных в предположении отсутствия поверхностного слоя [3, 18, 19].
Необходимо отметить, что для поверхностей с нулевым углом смачивания и супергидрофильных учет поверхностного слоя капли радиуса меньше 2*10-9 м приводит (5) к количественным результатам, требующим уточнения, так как высота капли становится меньше толщины поверхностного слоя. В этом случае для корректного определения высоты равновесной капли необходимо учесть упругую энергию промежуточного слоя [12, 20, 21], которая представляется членом третьего порядка малости в разложении [15] полной энергии капли по обезразмеренной ширине потенциальной ямы.
Список источников
1. Young T. Philosophical Transactions of the Royal Society. 1805. Vol. 95. 65 p.
2. Laplace P.S. Théorie de l'action capillaire. Supplément au dixième livre du traité de mécanique céleste. Paris: Courcier, 1806. 143 р.
3. Матюхин С.И., Фроленков К.Ю. Форма капель жидкости, помещенных на твердую горизонтальную поверхность // Конденсированные среды и межфазные границы. 2013. Т. 15, № 3. С. 292-304.
4. Bashforth F., Adams J. C. An Attempt to Test the Theories of Capillary Action. Cambridge University Press, 1883. 144 р.
5. АдамсонА. Физическая химия поверхностей. М.: Мир, 1979. 698 р.
6. Марков И. И., БатуринМ. В., ИвановМ. Н., Напольская Г.Ю. Определение оптимальных параметров капли вариационным методом // Вестн. Сев.-Кавк. гос. техн. ун-та. 2009. № 2 (19). С. 51.
7. Дерягин Б.Я., Обухов Е. В. Аномальные свойства тонких слоев жидкостей // Коллоид. журн. 1935. Т. 1, № 5. С. 385-398.
8. Дерягин Б.В. Свойства тонких жидких слоев и их роль в дисперсных системах. М. : ВСНИТО, 1937. 22 с.
9. Дерягин Б.В, Чураев Н.В. Смачивающие пленки. М.: Наука, 1984. 159 с.
10. Мышкис А.Д., Бабский В.Г., Копачевский Н.Д., Слобожанин Л.А., Тюпцов А.Д. Гидромеханика невесомости. М.: Наука, 1976. 504 с.
11. Бабский В.Г., Жуков М.Ю., Копачевский Н.Д., Слобожанин Л.А., Тюпцов А.Д. Методы решения задач гидромеханики для условий невесомости. Киев: Наукова думка, 1992. 590 c.
12. Щербаков Е.А., Щербаков М.Е. О равновесии подвесной капли с учетом изгибной жесткости промежуточного слоя // Докл. РАН. Физика, техн. науки. 2012. Т. 53, № 6. С. 243-244.
13. ЩербаковМ.Е., Калайдин Е.Н. Энергия формирования промежуточного слоя. Ранжирование энергий капли // Осенние математические чтения в Адыгее : материалы IV Междунар. науч. конф. Майкоп, 2021. С. 299.
14. Щербаков М.Е. О союзном функционале гауссовой кривизны и равновесных формах жидких капель // Экол. вестн. науч. центров ЧЭС. 2019. № 1. С. 6-12.
15. ЩербаковМ.Е., Калайдин Е.Н. Геометрические характеристики нанокапли. Ранжирование энергии капли // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2023. № 2. С. 55-63.
16. Коровкин В.П., Секриеру Г.В., Сажин Ф.М. Анализ связи капиллярного и расклинивающего давления // Матем. исследования. Кишинев, 1989. Т. 108. С. 27-32.
17. Padday J. F. Corrected Methods for Surface Tension and Spreading Coefficients // Proc. of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. 1972. Vol. 330, № 1583. Р. 561.
18. Марков И. И., БатуринМ. В. Циклы природы и общества // Материалы V Междунар. конф. Ставрополь, 1997. Ч. 2. С. 94-97.
19. Diaz M.E., Fuentes J., Cerro R.L., Savage M.D. An analytical solution for a partially wetting puddle and the location of the static contact angle // J. of Colloid and Interface Science. 2010. Vol. 1, № 348 (1). Р. 232-239.
20. Keller J.B., Merchant G.J. Flexural Rigidity of a Liquid Surface // J. of Statistical. 1991. Vol. 63, № 5/6. Р. 1039-1051.
21. Финн Р. Равновесные капиллярные поверхности. Математическая теория. М.: Мир, 1989. 310 с.
References
1. Young T. Philosophical Transactions of the Royal Society. 1805;95:65.
2. Laplace P.S. Théorie de l'action capillaire. Supplément au dixième livre du traité de mécanique céleste. Paris: Courcier, 1806. 143 р.
3. Matyukhin S. I., Frolenkov K. Yu. The shape of liquid droplets placed on a solid horizontal surface. Kon-densirovannye sredy i mezhfaznye granitsy = Condensed Matter and Interphases. 2013;15(3):292-304. (In Russ.).
4. Bashforth F., Adams J. K. An attempt to test the theories of capillary action. Cambridge: Cambridge University Press; 1883. 144 р.
5. Adamson A. Physical chemistry of surfaces. Moscow: Mir Publ.; 1979. 698 р. (In Russ.).
6. Markov I. I., Baturin M. V., Ivanov M. N., Napolskaya G.Yu. Determination of optimal drop parameters by variational method. Vestn. Sev.-Kavk. gos. tekhn. un-ta = Bulletin of the North Caucasus State Technical University. 2009;(2):51. (In Russ.).
7. Deryagin B. Ya., Obukhov E. V. Abnormal properties of thin layers of liquids. Kolloid. zhurn. = Colloid Journal. 1935;1(5):385-398. (In Russ.).
8. Deryagin B.V. Properties of thin liquid layers and their role in dispersed systems. Moscow: All-Union Council of Scientific Engineering Societies Press; 1937. 22 p. (In Russ.).
9. Deryagin B.V., Churaev N.V. Wetting films. Moscow: Nauka Publ.; 1984. 159 p. (In Russ.).
10. Myshkis A.D., Babsky V.G., Kopachevsky N.D., Slobozhanin L.A., Tyuptsov A.D. Hydro mechanics of weightlessness. Moscow: Nauka Publ.; 1976. 504 p. (In Russ.).
11. Babsky V.G., Zhukov M.Yu., Kopachevsky N.D., Slobozhanin L.A., Tyuptsov A.D. Methods of solving problems of hydro mechanics for conditions of weightlessness. Kyiv: Naukova dumka Publ.; 1992. 590 p. (In Russ.).
12. Shcherbakov E.A., Shcherbakov M.E. On the equilibrium of a suspended drop taking into account the bending stiffness of the intermediate layer. Dokl. RAN. Fizika, tekhn. nauki = Doklady Physics. 2012;53(6):243-244. (In Russ.).
13. Shcherbakov M.E., Kalaidin E.N. The energy of the formation of the intermediate layer. Ranking of drop energies. Autumn mathematical readings in Adygea. Materials of the Fourth International Scientific Conference. Maykop, 2021:299. (In Russ.).
14. Shcherbakov M.E. On the union functional of Gaussian curvature and equilibrium forms of liquid droplets.
Ekol. vestn. nauch. tsentrov ChES = Ecological Bulletin of the Scientific Centers of the Black Sea Economic Cooperation. 2019;(1):6-12. (In Russ.).
15. Shcherbakov M.E., Kalaidin E.N. Geometric characteristics of nano droplets. Ranking of drop energy. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki = Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. 2023;(2):55-63. (In Russ.).
16. Korovkin V.P., Sekrieru G.V., Sazhin F.M. Analysis of the relationship between capillary and wedging pressure. Matem. issledovaniya = Mathematical Research. Chisinau, 1989;108:27-32. (In Russ.).
17. Padday J. F. Corrected Methods for Surface Tension and Spreading Coefficients. Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. 1972;330(1583):561.
18. Markov I. I., Baturin M. V. Cycles of nature and society. Materials of the V International Conference. Stavropol, 1997;2:94-97. (In Russ.).
19. Diaz M.E., Fuentes J., Cerro R.L., Savage M.D. An analytical solution for a partially wetting puddle and the location of the static contact angle. J. of Colloid and Interface Science. 2010;1(348):232-239.
20. Keller J.B., Merchant G.J. Flexural Rigidity of a Liquid Surface. J. of Statistical. 1991;63(5/6):1039-1051.
21. Finn R. Equilibrium capillary surfaces. Mathematical theory. Moscow: Mir Publ.; 1989. 310 p. (In Russ.).
Информация об авторах
М.Е. Щербаков - преподаватель.
Е.Н. Калайдин - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра прикладной математики.
Information about the authors
M.E. Shcherbakov - Lecturer.
E.N. Kalaydin - Doctor of Science (Physics andMatematics), Professor, Department of Applied Mathematics.
Статья поступила в редакцию 12.05.2023; одобрена после рецензирования 21.06.2023; принята к публикации 30.10.2023. The article was submitted 12.05.2023; approved after reviewing 21.06.2023; accepted for publication 30.10.2023.
