CC BY
8
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 2
Научная статья УДК 536.246
doi: 10.18522/1026-2237-2023-2-55-63
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НАНОКАПЛИ. РАНЖИРОВАНИЕ ЭНЕРГИИ КАПЛИ
Михаил Евгеньевич ЩербаковЕвгений Николаевич Калайдин2
2 Кубанский государственный университет, Краснодар, Россия 'Штег@таИ.гив 2kalaidin@econ. kubsu.ru
Аннотация. Выведено условие равновесия висящей осесимметрической капли для модели Дерягина, учитывающее толщину расклинивающего/молекулярного слоя поверхности капли. Для осесимметрической капли, образующая линия которой зависит от натурального параметра, найдено дифференциальное уравнение, решением которого является подынтегральная функция функционала расклинивающей энергии. Получено решение этого дифференциального уравнения. Построен функционал расклинивающей энергии капли. Уточнен функционал полной энергии осесимметричной висящей капли, учитывающий составляющую энергии межмолекулярного взаимодействия второго порядка малости. Из равенства нулю функционала полной энергии капли в точке примыкания капли к твердой горизонтальной поверхности в модели получена более точная форма зависимости контактного угла жидкость - твердое тело от радиуса пятна прилипания капли к горизонтальной твердой поверхности и высоты капли. Построено разложение потенциальной энергии межмолекулярного взаимодействия по степеням отношения межмолекулярного диапазона к типичному размеру для модели Дерягина, учитывающей толщину расклинивающего/молекулярного слоя поверхности капли, в силу чего в разложении по степеням потенциальной ямы появился элемент второго порядка малости. Проведено сравнение с другими моделями, определяющими угол смачивания в зависимости от высоты капли.
Ключевые слова: функционал полной энергии капли, расклинивающая энергия, модель Дерягина, функционал Уиллмора, условие равновесия капли, угол смачивания капли, нанокапля, ранжирование полной энергии капли
Для цитирования: Щербаков М.Е., Калайдин Е.Н. Геометрические характеристики нанокапли. Ранжирование энергии капли // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2023. № 2. С. 55-63.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY4.0).
Original article
GEOMETRIC CHARACTERISTICS OF A NANODROP. RANKING OF DROP ENERGY
Mikhail E. ShcherbakovlBI, Evgeny N. Kalaydin
2 Kuban State University, Krasnodar, Russia ' latiner@mail.ru'a 2kalaidin@econ. kubsu.ru
Abstract. The equilibrium condition of a hanging axially symmetric droplet is derived for the Deryagin model, which takes into account the thickness of the wedging/molecular layer of the droplet surface. For an axisymmetric drop, the forming line of which depends on a natural parameter, a differential equation is found, the solution of
© Щербаков M.E., Калайдин E.H., 2023
which is the integrand function of the functional of the wedging energy. The solution of this differential equation is found. The functional of the wedging energy of the drop is constructed. The functional of the total energy of an axisymmetric hanging drop is refined, taking into account the second-order component of the smallness of the energy of intermolecular interaction.
As a result of solving the variational problem, the equilibrium condition of a liquid droplet is obtained for the Deryagin model, which takes into account the thickness of the surface layer of the droplet. Due to the fact that the first variation of the functional of the total energy of a drop for an equilibrium drop is zero, a more accurate form of the dependence of the liquid-solid contact angle on the radius and height of the drop is obtained. The decomposition of the potential energy of the intermolecular interaction by degrees of the potential well is obtained for the Deryagin model, which takes into account the thickness of the wedging/molecular layer of the droplet surface, which is why a second-order element of smallness appeared in the decomposition by degrees of the potential well. A comparison with other models specifying the relationship of the wetting angle depending on the height of the drop is carried out.
Keywords: drop total energy functional, wedging energy, Deryagin model, Willmore functional, drop equilibrium condition, drop wetting angle, nanodrop, drop total energy ranking
For citation: Shcherbakov M.E., Kalaydin E.N. Geometric Characteristics of a Nanodrop. Ranking of Drop Energy. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2023;(2):55-63. (In Russ.).
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY4.0).
Введение
Макроскопическая теория, описывающая действие поверхностных сил, основана на том, что эти силы действуют одинаково во всех направлениях на поверхности, которая ведет себя как эластичная мембрана с одинаковым напряжением во всех направлениях.
Это напряжение проявляется как сила, действующая перпендикулярно к любой кривой на поверхности в направлении центра окружности, локально описывающей её поведение. Потенциальная энергия эластичной мембраны необходима для изменения элемента площади под действием этих сил.
Из работ [1, 2] известно, что макроскопическую теорию можно получить из молекулярной, дающей выражение для коэффициента поверхностного натяжения (к.п.н.) через межмолекулярные потенциалы.
На макро- и микрокапли наибольшее влияние оказывают гравитация и сила поверхностного натяжения. Чем меньше размер капли, тем большее воздействие оказывают другие силы, влияние которых на каплю исследовалось в условиях невесомости [3,4].
В работе [5] на основании молекулярной теории показано, что поверхность жидкости ведет себя механически как упругая пластина с постоянной изгибной жесткостью.
Эластичность проявляется в противодействии изгибанию промежуточного слоя. При этом
7 К
энергия на единицу площади поверхности пропорциональна Н — — (Н, К - средняя и гауссова кривизна), что приводит к дополнительным членам в уравнении равновесия поверхности.
В работе [5] общая потенциальная энергия ранжирована по степеням £пот.я. (объемная энергия капли при £Пот.я. в нулевой степени, энергия поверхностного натяжения при £пот.я. в первой степени, эластичная энергия поверхностного слоя при £ппт я в третьей степени), что дает понимание вклада каждой энергии в общую потенциальную энергию капли.
Через £ПОт.я. авторы [5] обозначили отношение ширины потенциальной ямы к I, где I - типичный размер.
В [5] для модели висящей жидкой капли в воздухе/газе, где между жидкостью и газом отсутствует промежуточный слой, составлен функционал Е энергии капли путем интегрирования всех потенциалов пар молекул жидкости, пар молекул газа, потенциалов между молекулами жидкости и молекулами газа Е = Y,f=i ^ + ^ij > глс потенциальная энергия взаимодействия молекул жидкости и газа - Уц = Vjf, пар молекул жидкости - Уц; пар молекул газа, находящихся
на расстоянии меньше ширины потенциальной ямы от поверхности капли, - У,-,-; пар молекул жидкости и пар молекул газа, находящихся от поверхности Гиббса на расстоянии больше ширины потенциальной ямы, - Уг, V2.
Vi = fDi Pi°Ui Wx, = fDz P2°U2 О)dx,
Vlj = £пот.я. JDl Jd2 Pi°Pj°9ij<\x - Укпот.я.Ж;(1Х ~ У\£пот.я.)^хйу,
где Ut(x) - потенциальная энергия молекул вещества i; рг;- (х,у) = Pi°Pj° gtj(|х — у к^от.я.) -количество пар между веществами г и у, находящихся от поверхности капли на расстоянии меньше ширины потенциальной ямы; дц(\х — у кпт-.я.) _ радиальная функция распределения; Pi° - молекулярная плотность вещества в области Dh i = 1,2; £nm.ii.(Pij(\x ~ У 1епот.я.) ~~ межмолекулярный потенциал.
Функции <7i,(|x — у\£йот.я.)> £nm.'A.(Pij(\x ~ у1£п"от.я.) определены на отрезке [ОД], вычисляются для точек х, у, находящихся на расстоянии не больше ширины потенциальной ямы.
Е = fDiPi° U^dx + SD2P2° U2(y)dy + 2п(угф^ + р2ф°22) -
-£пот.я.ЛУ12 42 dA + 4,т.я.^У12 fSl2 (н2 ~f)dA + Ö(s4) ,
где Yi2 = 0ii+022 - 20^2; 012 = pi°p2° S™r2+k<p12(r) g12(r)dr - к-й момент Pi°P2(Vi2(r)^i2(r)' Di - область, занимаемая веществом i; S12 - поверхность Гиббса, ограничивающая каплю.
Предполагается, что <Pi2(r), £7i2(r) стремятся к нулю при г сю, практически равны нулю вне [ОД], в силу чего к-е моменты существуют.
alg = ai2 = 11 ¡2 £пот.я.К12 ~~ коэффициент поверхностного натяжения на поверхности капли, висящей в воздухе/газе; D12 = 71/32 £пот.я.К12 ~~ жесткость при изгибе поверхностного слоя.
Поверхность раздела не только ведет себя как мембрана по отношению к растяжению, но и как тонкая упругая пластина по отношению к изгибу.
Приравнивая первую вариацию функционала полной энергии к нулю, в [5] получили для модели, учитывающей упругие свойства поверхности капли, условие равновесия капли, уточняющее работу Р. Финна [6], а также формулу разности давлений Р1 — Р2 для точек на поверхности вращения (x(s),y(s)) висящей капли на основании следующих соотношений:
£пот.я.^12Я + 4>т.я. ^гЪШЮ + 2Н3 - 2НК] + Öe4 = gpx{s) + Ä, (1)
Pi-P2 = gpx(s) + А,
где ДS(H) = Н + (у/у) Н - лапласиан; Й, у - производные по натуральному параметру; Ä - множитель Лагранжа; д - ускорение свободного падения; р - плотность капли; s - натуральный параметр; x(s), y(s) - координаты точки на поверхности по вертикали и по горизонтали.
В своей модели авторы [5] не учитывают наличие переходного слоя от жидкости к газу и, следовательно, энергию по его формированию. В функционале полной энергии капли отсутствует составляющая, ей соответствующая.
В [7-9] предложена модель (рис. 1), в которой поверхностный слой состоит из трех частей: капиллярной, молекулярной/расклинивающей, переходной.
Для того чтобы переход от фазы жидкого состояния к газообразному был непрерывным, необходимо учесть влияние расклинивающего слоя ненулевой толщины между двумя разными фазами. Предполагается, что в поверхностном слое происходит перемешивание молекул различных субстанций (рис. 2). В этом случае необходимо учитывать потенциальную энергию взаимодействий молекул промежуточного слоя, молекул тела капли с молекулами промежуточного слоя и молекул газа, окружающих каплю, с молекулами промежуточного слоя. В результате в разложении полной энергии капли должен появиться новый элемент, соответствующий энергии, необходимой для формирования промежуточного слоя.
Используя понятие энергии эластичной мембраны и энергии для формирования этой эластичной мембраны/промежуточного слоя, можно вывести условие равновесия капли.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 2
Рис. 1. Структура поверхностного слоя, предложенная Б.В. Дерягиным / Fig. 1. The structure of the surface layer proposed by B.V. Deryagin
Рнс. 2. Модель перемешивания различных субстанций в поверхностном слое / Fig. 2. Model of mixing of various substances in the surface layer
Постановка задачи
Задача состоит в том, чтобы для капель размером меньше 10-7м вывести новое условие равновесия, учитывающее влияние поверхностного слоя капли, его толщину и упругие свойства; вычислить угол смачивания капли.
Для висящей капли в модели Дерягина, учитывающей толщину поверхностного слоя, выразить разность давлений внутри и снаружи капли, вычислить энергию формирования поверхностного слоя, ранжировать общую энергию капли, угол смачивания, разность давлений внутри и снаружи капли.
Для висящей осесимметрической капли, поверхность вращения которой задается кривой (х(^), у0>)), где 5 — длина дуги кривой, построить функционал полной энергии капли.
Выписать функционал полной энергии капли, определенный на допустимых поверхностях, включающий в себя функционал энергии формирования поверхностного слоя капли.
На допустимых поверхностях решить вариационную задачу нахождения экстремальной поверхности, соответствующую определению экстремума функционала полной энергии капли.
Записать условие равновесия осесимметрической капли с помощью средней, гауссовой кривизны и лапласиана средней кривизны.
С помощью решения вариационной задачи, используя краевые условия в точке примыкания образующей линии, вычислить угол смачивания капли.
Результаты
Чтобы учесть влияние промежуточного слоя, был вычислен функционал потенциальной энергии, формирующей промежуточный слой между жидкостью и газом. Для этого было выведено новое уравнение равновесия капли для однородного промежуточного слоя, учитывающее замечания авторов работы [10]:
gpx(s) + А = Рг-Р2 = aLG[2H + Khm], (2)
где Рг - давление жидкости; Р2 - давление газа; 2H - средняя кривизна поверхности; К - гауссова кривизна.
В данной работе осуществлен переход от модели с поверхностным слоем нулевой толщины к модели Дерягина расклинивания поверхностного слоя, в нулевой момент задаваемого поверхностью Гиббса г (и, v). Внешняя и внутренняя границы этого слоя в момент т будут задаваться функциями дг(и, v, т) и g2(и, v, т) соответственно. Процесс расклинивания представлен на рис. 3.
Рис. 3. Расклинивание поверхности Гиббса и формирование промежуточного слоя / Fig. 3. Wedging of the Gibbs surface and formation of an intermediate layer
В момент т положение границ относительно поверхности Гиббса r(u,v) определяется формулами:
дг{и, v,t) = r(u,v) + п(и, v) v)dt, (3)
д2(и, v, т) = г (и, v) - п (и, v) /J а)2(и, v)dt, (4)
где п (и, v) - вектор нормали поверхности г (и, v); о>1 (и, v), а)2(и, v) - скорость смещения точки г (и, v) по нормали наружу и вовнутрь.
В капиллярной теории равенство, определяющее разность давлений, имеет вид
(5)
1 z д v Применяя обозначения (3), (4), приводим (5) к виду
Р1 - Р2 = ^qgiu^-ruxr^l+feux^-ruxr,!) + (6)
Используя деривационные формулы Вайнгартена, из (6) получаем
2(Tlg\ruxrv I [k(r( t))2 +2HR(t)] 1 2 ~ \ruxrv\R(r) ' (7)
где R(j) - расстояние между расходящимися поверхностями в момент т; /?(т): = + o)2)dt.
Расклинивающий слой за конечное время приобретает толщину lim R(r) = hm. Переходя к
Т—>оо
пределу в (7), получим формулу (2).
Для капли, поверхность вращения которой параметрически задается образующей линией ((x(s)),y(s)) (s е [О, L] - натуральный параметр; x(s) = x1(y(s))), первая вариация функционала полной энергии без учета расклинивающей и упругой энергий
^(ВДЛ)) = 2тг£ f0L[aLG(2H(s)) - (gpx(s) + A) ]t(s)y(s)yWs, где t(s) - финитная функция, носитель которой находится в произвольно малой окрестности s е [О, L]. Приравнивание её к нулю даёт классическое уравнение равновесия капли Pi - Р2 = olg{2H{S)) .
В нашей модели уравнение равновесия задается формулой (2). Чтобы получить её аналогичным образом, необходимо дополнить функционал полной энергии элементом, первая вариация которого под интегралом есть {oLGK ]t(s)y(s)y(s).
Из предположения, что этот элемент - интеграл по поверхности капли от некоторой неизвестной функции /, зависящей от изменения метрики на поверхности, т.е.
£раскл(5) = 27iaLGhm Jq f(x(s)~)ds , было определено в [11-13], что /(т) есть решение диффе-
п-7£¡2/ т df , f т
ренциального уравнения VI — г^г ~ + = ' Решив которое нашли, что
EpaCKJi(S) = ~nhmaLG J0L у aresin х ds.
Уравнение равновесия с учетом действия расклинивающего слоя имеет вид
+ К/2 M + £3пот.я. ^гЪШЮ + 2Н3 - 2НК] + Ö(£4) = gpx(s) + А. (8)
Предполагая, что ширина потенциальной ямы соизмерима с толщиной расклинивающего слоя (£пот.я. ~ получили, используя (8), в модели, учитывающей как энергию формирования промежуточного слоя, так и его упругую энергию, уравнение, определяющее равновесную каплю:
£пот.я.ТТy¡2H + £2no™.^KÍ2 ■ К + £3пот.я.^К12[А5(Я) + 2Я3 - 2НК] +
+0(£4пот.я.) = дрф) + я. (9)
В равенстве (9) по сравнению с (1) появился элемент £2ПОт.я. f
Вклад каждой энергии в уравнение равновесия (9) оценен по степени диапазона межмолекулярного потенциала, деленного на типичный размер жидкости £пот.я.- Главный член в уравнении - элемент, соответствующий вкладу гравитационной энергии (gpx(s)). Следующий по значимости - соответствующий вкладу энергии поверхностного натяжения (£пот.я.Щ'ЬЮ- Расклинивающая энергия, соответствующая элементу £2ПОт.я.является следующей по значимости и вносит значительную поправку лишь для капель, диаметр которых меньше 10 нм. Упругая энергия капли, соответствующая элементу £3ПОт.я.^Ki2lAs(^0 + 2Я3 — 2НК], вносит наименьший вклад в общую энергию капли.
В силу того, что первая вариация функционала полной энергии равна нулю в точке контакта капли с твердой поверхностью, получили формулу зависимости контактного угла в от радиуса пятна прилипания YA, уточняющую результат для капель с характерным размером <10 нм:
cos в = (Zsz^û + [20q + TT + sin2 0O], (10)
где aLG, aSG, aSL - коэффициенты поверхностного натяжения капли на границе с жидкостью, газом и твердой поверхностью; в0 - угол смачивания, определяемый классической формулой Юнга - Лапласа; УА - радиус пятна прилипания.
ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATI0N4L INSTITUTIONS. NORTHCAUC4SUSREGION NATUR4L SCIENCE. 2023. No. 2
Для сравнения рассмотрены различные классические модели, определяющие по высоте висящей капли её угол смачивания (на примере капли гептана) (таблица):
- YL [1, 2] - поверхность равновесной капли, определяемая как решение вариационной задачи, удовлетворяет классическому уравнению Лапласа (рис. 4, кривая 1), угол смачивания за-
({Хс/""- СГсг )
дается формулой Юнга cos в =-;
°LG
- AYL [14] - поверхность равновесной капли определяется с учетом толщины расклинивающего слоя hm (рис. 4, кривая 2); угол смачивания определяется по формуле
cosd = cose0-ln[ 1-^];
- RSM [11-13], учитывающая расклинивающую энергию промежуточного слоя, угол смачивания определяется формулой (10) (рис. 4, кривая 3).
Гептан
2* кг
4М0-5
Г,Ч(Р
8*10®
Рис. 4. Угол смачивания капли гептана в зависимости от высоты капли h для физических моделей: 1 - YL; 2 - AYL; 3 - RSM / Fig. 4. The wetting angle of the heptane droplet depending on the height of the drop h for physical models: 1 - YL; 2 - AYL; 3 - RSM
Значения угла смачивания капли гептана для различных моделей в зависимости от высоты капли / Values of the wetting angle of the heptane droplet for different models
depending on the height of the droplet
Модель Угол смачивания, град.
h
« 10~9 m « 10~8 m « 10~7 m
YL 21 21 21
AYL 20,3 20,95 21
RSM 17 20,72 20,97
Заключение
На примере капли гептана показано, что для капель высотой меньше чем Ю-8 м RSM-метод, учитывающий в поверхностном слое расклинивающее давление, отличается от классического результата YL в зависимости от величины капли на величину от 1 до 20 %. Сравнение угла смачивания для капли к Ю-8м, вычисленного RSM-методом, с углом, вычисленным методом AYL, построенном на основе численных методов и экспериментов, позволяет предположить, что RSM-метод уточняет классический результат благодаря учету действия поверхностного слоя ненулевой толщины между фазами жидкости и газа. Для дальнейшего уточнения классического результата необходимо рассматривать модели с неоднородным поверхностным слоем [15] и неосесим-метрические капли.
Список источников
1. Young Т. An Essay on the Cohesion of Fluids // Philosophical Transactions of the Royal Society. 1805. Vol. 95. P. 65.
2. Laplace P.S. Théorie de l'action capillaire. Supplément au dixième livre du traité de mécanique céleste. Paris: Courrier, 1806. P. 143.
3. Мышки с A.Д., Бабский В.Г., Копачевский Н.Д., Слобожанин Л А., Тюпцов АД. Гидромеханика невесомости / под ред. А.Д. Мышкиса. М.: Наука, 1976. 504 с.
4. Бабский В.Г., Жуков М.Ю., Копачевский H Д., Слобожанин Л.А., Тюпцов АД. Методы решения задач гидромеханики для условий невесомости. Киев: Наукова думка, 1992. 590 с.
5. Keller J.В., Merchant G.J. Flexural Rigidity of a Liquid Surface // J. of Statistical Physics. 1991. Vol. 63, №5/6. P. 1039-1051.
6. Финн P. Равновесные капиллярные поверхности. Математическая теория. M.: Мир, 1989. 310 с.
7. Дерягин Б.Я., Обухов Е.В. Аномальные свойства тонких слоев жидкостей // Коллоид, журн. 1935. Т. 1, № 5. С. 385-398.
8. Дерягин Б.В., Кусаков М.М. Свойства тонких слоев жидкостей // Изв. АН СССР. Сер. хим., 1936. №5, С. 741-753.
9. Дерягин Б.В. Теория капиллярной конденсации и других капиллярных явлений с учетом расклинивающего действия полимолекулярных жидких пленок // Журн. физ. химии. 1940. Т. 14, вып. 2. С. 137-280.
10. Коровкин В.П., Секриеру Г.В., Сажин Ф.М. Анализ связи капиллярного и расклинивающего давления // Математические исследования. Кишинев, 1989. Т. 108. С. 27-32.
11. Щербаков Е.А., Щербаков М.Е. О равновесии подвесной капли с учетом изгибной жесткости промежуточного слоя // Докл. РАН. Физика, техн. науки. 2012. Т. 53, № 6. С. 243-244.
12. Щербаков М.Е., Калайдин Е.Н. Энергия формирования промежуточного слоя. Ранжирование энергий капли // Осенние математические чтения в Адыгее : материалы четвертой Междунар. науч. конф. Майкоп, 2021. С. 299.
13. Щербаков М.Е. О союзном функционале гауссовой кривизны и равновесных формах жидких капель // Экол. вестн. науч. центров Черноморского эконом, сотрудничества. 2019. № 1. С. 6-12.
14. Diaz М.Е., Fuentes J., Cerro R.L., Savage M.D. An analytical solution for a partially wetting puddle and the location of the static contact angle // J. of Colloid and Interface Science. 2010. Vol. 1, № 348. P. 232-239.
15. Gruber A. Curvature Functionals and p-Willmore Energy. Florida State University, 2019. 112 p.
References
1. Young T. An Essay on the Cohesion of Fluids. Philosophical Transactions of the Royal Society. 1805;95:65.
2. Laplace P.S. Theoiy of capillaiy action. Supplement to the tenth book of the treatise on celestial mechanics. Paris: Courcier Publ.; 1806. (In French).
3. Myshkis A.D., Babsky V.G., Kopachevsky N.D., Slobozhanin L.A., Tyuptsov A.D. Weightlessness hydromechanics. Ed. by A. D. Myshkis. Moscow: Nauka Publ.; 1976. 504 p. (In Russ.).
4. Babsky V.G., Zhukov M.Yu., Kopachevsky N.D., Slobozhanin L.A., Tyuptsov A.D. Methods of solving problems of hydromechanics for weightlessness conditions. Kyiv: Naukova dumka Publ.; 1992. 590 p. (In Russ.).
5. Keller J.B., Merchant G.J. Flexural Rigidity of a Liquid Surface. Journal of Statistical Physics. 1991;63(5/6): 1039-1051.
6. Finn R. Equilibrium capillaiy surfaces. Mathematical theoiy. Moscow: Mir Publ.; 1989. 310 p. (In Russ.).
7. Deryagin B.Ya., Obukhov E.V. Anomalous properties of thin layers of liquids. Kolloid. zhurn. = Colloidal Journal. 1935;l(5):385-398. (InRuss.).
8. Deryagin В. V., Kusakov M. M. Properties of thin layers of liquids. Izv. AN SSSR. Ser. khim. = Russian Chemical Bulletin. 1936;(5):741-753. (InRuss.).
9. Deryagin B.V. Theory of condensation capillaries and other capillary phenomena taking into account the wedging action of polymolecular liquid films. Zhurn. fiz. khimii = Russian Journal of Physical Chemistry A. 1940; 14(2): 137-280. (InRuss.).
10. Korovkin V.P., Sekrieru G.V., Sazhin F.M. Analysis of the relationship between capillary and wedging pressure. Matematicheskie issledovaniya = Mathematical research (Chisinau). 1989;108:27-32. (InRuss.).
11. Shcherbakov E.A., Shcherbakov M.E. On the equilibrium of a suspended drop taking into account the bending stiffness of the intermediate layer. Dokl. RAN. Fizika, tekhn. nauki = Doklady Physics. 2012;53(6):243-244. (In Russ.).
12. Shcherbakov M.E., Kalaidin E.N. The energy of the formation of the intermediate layer. Ranking of drop energies. Autumn mathematical readings in Adygea. Materials of the Fourth International Scientific Conference. Maykop, 2021:299. (InRuss.).
13. Shcherbakov M.E. On the union functional of Gaussian curvature and equilibrium forms of liquid droplets. Ekol. vestn. nauch. tsentrov Chernomorskogo ekonom. sotrudnichestva = Ecological Bulletin of the Scientific Centers of the Black Sea Economic Cooperation. 2019;(1):6-12. (In Russ.).
14. Diaz M.E., Fuentes J., Cerro R.L., Savage M.D. An analytical solution for a partially wetting puddle and the location of the static contact angle. J. of Colloid and Interface Science. 2010;l(348):232-239.
15. Gruber A. Curvature Functionals andp-Willmore Energy. Florida State University, 2019:112.
Информация об авторах
M.E. Щербаков - преподаватель.
Е.Н. Калайдин - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра прикладной математики.
Information about the authors
M.E. Shcherbakov - Lecturer.
E.N. Kalaydin - Doctor of Science (Physics and Matematics), Professor, Department of Applied Mathematics.
Статья поступила в редакцию 16.01.2023; одобрена после рецензирования 20.03.2023; принята к публикации 19.05.2023. The article was submitted 16.01.2023; approved after reviewing 20.03.2023; accepted for publication 19.05.2023.
