Вынужденные осесимметричные колебания тонкой круглой биморфной пластины ступенчато переменной толщины и жесткости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вынужденные осесимметричные колебания тонкой круглой биморфной пластины ступенчато переменной толщины и жесткости

1.Введение. В различных акустических устройствах в качестве преобразователя энергии используются тонкостенные круглые биморфные пластины. Наиболее эффективной конструкцией, обладающей высокой механической прочностью и чувствительностью, является круглая металлическая подложка с наклеенными с двух сторон пьезокерамическими пластинами меньшего диаметра. Расчет рассматриваемых тел вращения, как правило, выполняется путем аппроксимации их набором кольцевой и сплошной пластин постоянной толщины. При этом для определения напряженно-деформированного состояния каждого элемента используется техническая теория тонких пластин [1-3].

В настоящей работе исследование тонкой биморфной пьезокерамической пластины проводится на основании гиперболической системы уравнений Тимошенко [ 4 ], в которой ступенчато переменная толщина и жесткость системы, а также нестационарная механическая нагрузка описывается с помощью сингулярных обобщенных функций [ 5 ]. Кроме того, по-видимому, впервые в настоящей работе при решении динамических задач учитывается особенность изменения, в виде скачка, градиента касательных и нормальных напряжений в области изменений высоты и жесткости пластины. При исследовании задачи на собственные значения для тонких пластин ступенчато-переменной толщины данная особенность учитывалась в работе [ 6 ].

2.Постановка задачи. Пусть биморфная круглая пластина состоит из металлической заземленной подложки, занимающей в цилиндрической системе координат (г ,6,2)

область О: {0 < г < Ь, 0 <6 < 2п, — К*/ 2 < 2 < К* / 2}, и двух наклеенных на нее пьезокерамических элементов меньшего диаметра {0 < г < а, а < Ь} толщиной К (рис.1 ). Из-гибные осесимметричные колебания возбуждаются за счет действия механической дина-

Д. А. Шляхин

мической нагрузки ( нормальных напряжений )

являющейся произвольной

Ь

Ь

/

/

Рис.1. - Биморфная пластина

функцией радиальной координаты г* и времени . В результате деформирования на лицевых электродах пьезокерамических пластин генерируется электрический потенциал ± ф (, ). Подключение их к измерительному прибору позволяет зафиксировать величину и форму электрического напряжения V *(4).

Условия закрепления цилиндрической поверхности пластины могут быть произвольными. Для определенности считаем ее жестко закрепленной.

Система Тимошенко для рассматриваемой тонкой круглой пьезокерамической би-морфной пластины в безразмерной форме записывается в виде следующих дифференциальных уравнений осесимметричного движения и начально-краевых условий:

,д 2Ж

у1Ж -ул- а (г)—— = -5{р - г )д () - А2 (г , і),

ді

У 2^ + а2 (г -¥^- аз (г ^ = -5(Р - г )А3 (і )>

г = 1: Ж (і, і ) = 0, л(1, і ) = 0,

г = 0: Ж (0, і) < да, л(0, і) < да,

і = 0: Ж (г ,0)= Ж0, л(г,0) = л0, Ж (г,0) = Ж, ц/(г ,0) = Л0,

(1)

(2)

(3)

где Ж(г, і)= Ж (г, і) , Ж*(г, і),л(г, і)- прогиб и угол поворота сечения пластины в

Ь

плоскости

к(г )С:

(1) а4

(г )-

1 + 2^^ н(р - г)

а.

(г) = 12кО)^5 а5 (гГ1 а4 (г), а3 (г) = а5 (гГ1

1 +

( и3 ^

Л3 "у

и с(2) (с(2)

а4 (г) = 1 + 2 ^ГТ Н (Р - г). а5 () = 1 + ТЭТ

А с!

с (1) 11

+

31

С^є ^2 у

М1 с33 у

н (Р - г),

А1(і )=

55 2

С«5)А1

а

.(р )

-1 (дЖ і дг

Л

А2 (г, і) =

1г= Р

q(г, і)

к (г )а4(г V

а(гі ) = д*(г,і)

q(г, і)= с55)и ,

А3 (і )= а5 (Р)-

( С(2) £2

сЯт N + ЩТ ^

11 11

Л дЛ (с12\г

-+ —гтг N + 31 N

33 у

дг

с (1) ^ с (1)є 11 11

Л

33 у

и3

3 и

N =-т -1, ы2 =—

1 и13 2 2 и1

д2 1 д

д 1

, У2 = — +-—, у 2 =У2 -— у =—+-

дг г дг

дг г

а

К

и:

К

і = і:Ь.

Р

с (1) ’ ^11

г = ^Ч Р = ^ h1=Jt, и2 =-r, и =~Т, и= и1 + 2Л2,

Ь Ь Ь Ь Ь ^

Р1, Р2, сЦ, с^ - объемная плотность и модули упругости соответственно металлической подложки и пьезокерамических пластин; Є31 ,є33 пьезомодуль и диэлектрическая проницаемость электроупругого материала; к (г)-коэффициент поперечного сдвига;

2

г

г=р

г

Ж0, у0, Ж0, у0 — известные в начальный момент времени перемещение, угол поворота и их

скорости; 4-.), н (...) — единичные функции Дирака и Хэвисайда.

В равенстве ( 3 ) и ниже точка означает дифференцирование по времени.

При составлении ( 1 ) рассматривался случай подключения биморфной пластины к измерительному прибору с большим входным сопротивлением ( электрический холостой ход ), а также учитывалось противоположное направление вектора аксиальной поляризации в двух используемых пьезокерамических элементах.

В этом случае нормальная компонента вектора напряженности Е2 (, 2,t,) определя-

ется из условия отсутствия тока смещения на лицевых электродах = 0,

т.е.

Кг = ^1

^33

с ду И

V

2

н

И

\

(

—н

И

Н (а — г,),

(4)

а изгибающие моменты и поперечная сила с учетом кинематических гипотез для тонких пластин:

м,(г., '.)=-(^И2)

2 V

СЙ} + Н (а — г) С1(2)#1 + Ы2

+

'33 у

с

ду

аГ„

+

2

С|2) + Н(а — г) 4%1 + -3- N.

С<!> + Н(а — г) С<24 +-^-N

2

V “33 у

2 Л

у

Г*

2

>33 у

ду

д*

+

+

2

С1(1)+ Н (а — г) N2

33 у

Ог (, 0 = к(Г )С55)И1*

1+н (а—г )2И ^ 1+Н ( г) И с£

дг,

У

(5)

Система дифференциальных уравнений ( 1 ) включает в себя ступенчато-переменные коэффициенты а1(г ) а5 (г ), поэтому Ж (г, t ),у(г , t) являются непрерывными кусочногладкими функциями. При этом точка р является особой, в которой наблюдается резкое изменение, в виде скачка, градиента изгибающих моментов и поперечной силы (нормальных и касательных напряжений). Данная особенность учитывается с помощью функций

А1 ()’ А3 (t )-

Потенциал электрического поля ф*(г,, t,), генерируемый в пьезокерамических пластинах, определяется в результате интегрирования равенства ( 4 ), принимая во внимание заземление металлической подложки, а электрическое напряжение холостого хода V (^) вычисляется по формуле

И

2

2

2

где 5 — площадь пьезокерамической пластины.

В результате имеем следующее выражение для функции V *(^):

V ‘О-! И’(И'~ И’У-(а, О (б)

—3 а

3. Построение общего решения. Начально-краевую задачу ( 1 ) - ( 3 ) относительно

функций Ж (г, t), У (г, t) решаем, используя структурный алгоритм метода конечных интегральных преобразований КИП [ 7 ] . Введем на сегменте [ 0,1 ] КИП с неизвестными компонентами К (Л,, г ) К2 (Я„ г) вектор-функции ядра преобразования и весовыми функциями а, в:

0(Лг, t) = |! [(г, [)К1 (Лг , г) + вУ (г, t)К2 (Лг , г)] (7)

ад ад /о\

Ж(г,0 = £0(Я,,t)K1 (Я,,гЩ2, у(г,0 = £С(Л,Ок(Л, г)К,|Г\ ' >

г=1 г=1

||К,||! = Л [оК12 [ )+вК 2 (Л, г ],

где Я — положительные параметры образующие счетное множество (г = 1, ад)

Равенство ( 7 ) представляет трансформанту, а ( 8 ) формулы обращения метода КИП.

При этом круговые частоты осесимметричных колебаний биморфной пластины Щ связаны с Я зависимостью

С11

Мі

(і)

л

м р

Принимая во внимание кусочно-гладкий характер функций Ж (г, г ),у(г, г)

, и представляя их в виде

Ж(г, г) = Ж(а)(г, г)н(г - р)+Ж()(г, г)н(р - г), (9)

у(г, г)=у^а^(г, г)н(г - р)+у^(г, г)н(р - г),

подвергаем систему уравнений ( і ) и начальные условия ( 3 ) преобразованиям КИП в соответствии со структурным алгоритмом [ 7 ].

В результате получаем счетное множество задач Коши для трансформанты в(Л, г)

вл,0+лвл,0=-^(л,0; (=ї^) (і0)

г = 0: в(Л,,0) = во (л), в (л, г)=о = 00 (л), (іі)

и, с учетом ( 2 ), однородную краевую задачу для компонент ядра КИП

V 2 К1 ) + а'11

О')

ёг

+ а31 )Л2 К 21 ) = 0,

г = 1: К( >(Л, ,1) = 0, К !а)(Д,1) = 0,

г = 0: К1(Ь)(Лг,0)<ад, к2ь)(Л,0)<®,

г = р: К1а|(Л,,р) = К<Ь)(Л,,р), К2а>(Л,,р) = К'Ь|(Лг,р),

К >(Л,, г) = К >(Л,, г) ёК<а '(Л,, г) = <Ж'Ь '(Я,, г)

ёг

1г=р

ёг

1г=р

(а)( ёг

1г=р

ёг

(13)

(14)

1Г= р

В соотношениях ( 10 ) - ( 14 ) приняты следующие обозначения

К (Л,, г) = к((, г)Н(г — р) + КЬ »(Л,, г)Н (р — г) , К 2 (Л,, г) = К (- >(Л, г )Н (г — р) + К 2Ь > (Л, г )Н (р — г) ,

■,(а )

С

(1)

11

а1 = к (а )С5(5) , а2

(а )

12 Га,С.

(а ^(1)

55

С«*,2

а

(а)

а

(ь )

С

к(Ь)

Р1

И1р1 + 2И2р2 ]

[Щх] ’

а

12 (Ь) С55)*1 + 2С55 И

а

(ь )

р(Л >t) = — р[а(Ь)А1 (t)К1 (л, , р)+ А()К2(л,, р)]—10 а1 (г)_1 ]К1 • гф ,

С0 (Л) =/‘[„К +ву,К2 ], 60 (Л) = ДОК + Ру0К2 ]• гёг.

Равенства ( 14 ) являются условиями неразрывности деформаций и усилий в точке р , которые удовлетворяются при выполнении условия

к (а) = С^И [с55)*1 + 2С52)*2 ] к(Ь)

к = С55) [+С<2)(/г3—и3)]^ ,

к (Ь) — коэффициент поперечного сдвига биморфной пластины на участке 0 < Г < р .

Кроме того, при определении ( 10 ) - ( 14 ) использовалось условие инвариантности ( 1 ) и ( 12 ), позволившие определить весовые функции

1

2

3

Решение уравнения ( 10 ) при условиях ( 11 ) записывается в виде:

в (Л, г )= в0 соб (Лг )+в 08іп (Л,г)/ Л,-Л-' (Л, г) БІП Л (г -гУ т.

('5)

Система ( 12 ) приводится к однородному дифференциальному уравнению четвертого

порядка относительно функции К.'' '(л, , г), которое допускает факторизацию на коммутативные сомножители второго порядка и может представлено в виде :

с2 і с

+

Сг г аг

+ А2

(С2 1 С

+

аг г Сг

В2

КВ )(Л, г ) = 0.

(16)

Общий интеграл равенства ( 16 ) имеет вид

к(; '(л , г)= а1;^0 (а('г)+ £>2; '% (а,; V)+ А3;'і0(в,|; V)+ а<; К(в,в ')

Здесь

В

О')

Л2((' + а('))+л/л4О - ' + 4о(;Ц;)Л?

2

12

Л, = [Л (аС + аз';'»)+ (в/1 >) ] , В 1(/»... В4-,) — постоянные интегрирования, (•..), (...), 1^ (...), Кп (...) — обыкновенные и модифицированные функции Бесселя

первого и второго родов порядка п.

Используя зависимости между К[^ )(л , г) и К 2 )(л, , г), полученные в процессе

приведения ( 12 ) к ( 16 ), получаем выражения для второй компоненты ядра преобразований:

кр '(Л, г ) = п( [ (а(}г )+ а2; % (а( J 'г)]+«2; І ] (в( J 'г)-а( К' (в° 'г)

«а;' = Ар'' - ар)Л2 - а<;)|

(18'

«2;)=в,(;)«3;)

ВО')2 + а1(;)Л2 + ' «3;' = ('о1;)Л2 )-1.

Подстановка ( 17 ), ( 18 ) в ( 13 ), ( 14 ) позволяет сформулировать трансцендентное

Л п 01 п 01

уравнение для определения л, и выражения для постоянных интегрирования • • • ^4, .

Применяя к трансформанте ( 15 ) формулы обращения ( 8 ) получаем, с учетом

(17), (18) выражения для Ж (г, 2 )у ^ 2 )-

4. Численные результаты. В качестве примера рассматривается биморфная пласти-

( Ь = 31 мм, а = 21 мм , *1 = 1 мм, *2 = 0.35 мм ), имеющая следующие физиче-

на

ские характеристики материала стальной подложки и аксиально поляризованной пьезоке-

РХЕ-5 : (с"',С1',С5(5'}= {22.35, 6.26, 8.05}х1010 н/м2,

рамической пластины состава

3

= 7800кг/м3, Сі(2',сВ2),с52)}={10.33, 5.8, 2.5}х1010 н/м2,р2 = 7600

кг/м .

Расчеты приводятся для случая действия равномерно распределенной гармонической нагрузки:

q(r, t) = q0 sin Ot,

где O, qo - частота и амплитудное значение.

На рис.2,3 показаны графики изменения вертикальных перемещений центра пластины W (0, t) во времени t при различных частотных характеристиках O внешнего воздействия. Сплошной линией обозначены результаты, полученные на основании построенного в настоящей работе алгоритма, а пунктирной - осциллограммы, построенные без

учета функций Ах (t A3 (t).

Отмечаем, что увеличение частоты внешнего воздействия в рассматриваемом диапазоне приводит к росту перемещений, т.е. более полному проявлению инерционных свойств рассматриваемой системы.

Кроме того, учет особенностей в точке Р с помощью функций Ax (t), A3 (t) приводит к

«ужесточению» рассматриваемой системы и уменьшению перемещений.

Эффективность электромеханического преобразования энергии биморфных пластин

оценивается с помощью динамического коэффициента электромеханической связи ,

который, как правило, представляет отношение резонансных частот вычисляемых для различных электрических краевых условий на электродном покрытии [ 8 ]. Расчетные соотношения, построенные в настоящей работе, позволяют определить меру преобразования энергии с помощью более очевидной характеристики, а именно вертикальных перемещений пьэзоэлемента, которые определяются трансформантой нагрузки F(Л., t). В этом

случае зависимость коэффициента от радиуса пьезокерамических пластин вычисляется по формуле:

W (0, t) qo

Рис.2. - Изменение вертикальных перемещений Ж (0, t) во времени t при в = 0.3Л ( Л - собственные значения первой резонансной частоты )

Ж (0, t) д0

Рис.3. - Изменение вертикальных перемещений Ж (0, t) во времени t при в = 0.7Л

г

[рК 2 Л, р)]2

1к,1

На рис.4 представлены графики изменения кё для первых двух мод собственных колебаний жестко закрепленного биморфа. Сплошная и пунктирная кривые соответствуют первому и второму номеру частот. Результаты расчета показывают, что если основной вклад в напряженно-деформированное состояние пластины вносит первая частота собственных колебаний, то оптимальное отношение радиусов подложки и пьезопластины равно 0.68. В случае, когда определяющей характеристикой является вторая частота, то данное отношение равно 0.43 или 0.86.

Г

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

2

ё

Рис.4. - Зависимость динамического коэффициента электромеханической связи от радиуса пьезокерамических пластин

В заключении отмечаем, что построенный алгоритм решения можно использовать также и при решении задач обратного пьэзоэффекта. Для этого необходимо провести соответствующую замену правых частей дифференциальных уравнений ( 1 ).

Литература:

1.Евсейчик, Ю.Б. Чувствительность биморфного преобразователя типа металл-пьезокерамика [Текст] // Прикл. мех., 1990.- 26.- №12.- С. 67-75.

2.Евсейчик, Ю.Б., Медведев К.В. Чувствительность гидроакустического датчика давления [Текст] // Гидравлика и гидротехника. Науч.- техн. сб. -Киев: НТУ, 2008. -Вып.62. -С.10-16.

3.Рудницкий, С.Н. Шарапов В.М., Шульга Н.А. Колебания дискового биморфного преобразователя типа металл-пьезокерамика [Текст]// Прикл. мех.1990.-26. - №10. -С. 6472.

4.Тимошенко С.П. Пластины и оболочки [Текст]/ С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. - М.: Наука, 1966. - 625 с.

5.Гельфанд, И.М. Обобщенные функции и действия над ними [Текст] / И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов. - М.: Физматгиз., 1959. - 470 с.

6.Хмелев, В.Н., Галахов А.Н., Лебедев А.Н., Шалунов А.В., Шалунова К.В. Исследование зависимости геометрических размеров на характеристики излучателя в виде пластины [Текст] // Мат-лы Всероссийск. конф. ИАМП-2010. г.Бийск, 2010. -С.200-206.

7.Сеницкий, Ю.Э. Многокомпонентное обобщенное конечное интегральное преобразование и его приложение к нестационарным задачам механики [Текст] // Изв. вузов. Математика, 1991. - №4. - С. 57-63.

8. Ватульян, А.О., Рынкова А.А. Об одной модели изгибных колебаний пьезоэлектрических биморфов с разрезными электродами и ее приложение [Текст] // Изв. РАН. МТТ. 2007. -№4. - С.114-122.