CC BY
35
УДК 517.98
doi: 10.18097/1994-0866-2015-0-9-31-39
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ, УСТАНОВЛЕННЫХ НА КОНСОЛЬНОЙ БАЛКЕ С ДЕМПФИРОВАНИЕМ
© Баргуев Сергей Ганжурович (Гавриилович)
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики и общепрофессиональных дисциплин Бурятского филиала Сибирского университета телекоммуникаций и информатики
Россия, 670031, г. Улан-Удэ, ул. Трубачеева, 152, e-mail: [email protected]
Исследуются вынужденные колебания системы из трех твердых тел, установленных вдоль консольной балки Эйлера - Бернулли с помощью упругодемпфирующих связей. Приводится гибридная система дифференциальных уравнений, описывающая движение системы и получаемая из вариационного принципа Гамильтона. Внешняя сила, вызывающая вынужденные колебания системы, является гармонической и приложена на свободном конце балки. Полученная гибридная система дифференциальных уравнений содержит дельту-функцию Дирака и предполагает для исследования использование аппарата обобщенных функций. Описываются методика решения системы дифференциальных уравнений, основанная на введении подстановки типа функции Грина, решение вспомогательная краевой задачи, способ получения амплитуд твердых тел и амплитудной функции балки. Для проверки предлагаемого подхода был произведен сравнительный анализ с зарубежной статьей, где рассматривалась аналогичная механическая система с имеющимся расчетом амплитуды конца балки в зависимости от частоты приложенной внешней гармонической силы. Произведенный сравнительный анализ показал удовлетворительное согласование результатов расчета.
Ключевые слова: вынужденные колебания, система твердых тел, консольная балка, демпфирование, гибридная система, вспомогательная краевая задача, сравнительный анализ.
FORCED OSCILLATIONS OF SOLIDS INSTALLED ON CANTILEVER BEAM WITH
DAMPING
Sergei G. Barguev
PhD, A/Professor, Department of Mathematics and General professional disciplines, Buryat branch of Siberian University of Telecommunications and Informatics
152 Trubacheeva st., Ulan-Ude 670031, Russia
We studied the forced oscillations of the three solids installed along the cantilever beam of Euler-Bernoulli using elastic-damping connections. The hybrid system of differential equations describing motion of the system and obtained from the variational principle of Hamilton was given. The external force that causes forced oscillations was harmonic and attached to the free end of a beam. The obtained hybrid system of differential equations contained the Dirac delta function and involved the apparatus of generalized functions for studying. We described the method for solving the system of differential equations based on introduction of substitution of Green's function type, the solution of auxiliary boundary-value problem, the method of producing solid amplitude and amplitude function of a beam. To test the proposed approach we made a comparative analysis of foreign article which had been considered the similar mechanical system with calculation of amplitude of beam end in dependence on the frequency of applied external harmonic force. The comparative analysis showed a satisfactory agreement of the calculation results.
Keywords: forced oscillations, the system of solids, cantilever beam, damping, hybrid system, the auxiliary boundary-value problem, comparative analysis.
Введение
В имеющейся зарубежной и отечественной литературе в последнее время при изучении колебаний механических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами недостаточно внимания уделяется анализу получаемых при этом системам дифференциальных уравне-
ний с участием дельта-функции Дирака. Ранее автором такой анализ проводился для систем без учета демпфирования в упругих связях и для системы с балкой Эйлера - Бернулли на опоре с демпфированием.
В предлагаемой работе автором описывается методика исследования вынужденных колебаний балки Эйлера - Бернулли с системой твердых тел, связанных с балкой и между собой упру-годемпфирующими связями.
1. Описание математической модели
Рассмотрим механическую систему (рис.1), состоящую из трех твердых тел с массами щ, m2, m3 присоединенных к консольной балке Эйлера - Бернулли с помощью упруго-демпфирующих связей с жесткостями c1, c2, c3 и коэффициентами демпфирования b1, b2, b3 соответственно. Левый конец балки жестко закреплен, а правый свободен. Тела с массами m1, m2, m3 могут перемещаться только поступательно в направлении осей O1 z1 и O2z2, O3z3 . Здесь точки Oj , O2 , O3 совпадают с положениями равновесия тел. Координаты тел есть функции zj (t), z2 (t), z3 (t) времени t. Поперечные смещения точек балки с абсциссой х в момент времени t описываются функцией u (х, t) . Упругодемпфирующие связи присоединены к балке расстояниях a1 , a2 , a3 от левого конца балки соответственно. На балку в точке х = a действуетвнешняя гармоническаясила f cos at с заданнойчастотой а и амплитудой f .
i mj L zi
f Oj
m2 ' ^ z2
O2
m3 ' k z3
O3
a„
a.
Рис. 1. Механическая система «Консольная балка с тремя твердыми телами с демпфированием»
Можно показать, что гибридная система дифференциальных уравнений, описывающая движение рассматриваемой системы имеет вид:
m
iz + Cj (zj -u(aj,t)) + bj(zj(aj,t)) = 0,
z2 + C2 (z2 " U (a2 , t)) + b2 (z2 ^a2 , t)) = 0, z3 + c3 (z3 -u(a3,t)) + b3(z3 ~~~(a3,t)) = 0,
(j)
pF 1U + EJ liU = ( Cj( zj " u (х, t)) + bj( zj-f (х, t)) - aj) +
u
c2(z2 -u(x,t)) + b2(z2 ~~~(x,t))(x-a2) +
c3(z3 - u (x, t)) + b3(z3 - b3 (x, t)) (x - a3) + f cosat5(x - a). Ha u (x, t) наложены краевые условия:
u (0,t) = 0, ^(0,t) = 0,
ox
52u/? ч „ 83u/7 ч „
a?(/, t) = 0, a?(/, t)= (2)
2. Амплитудные уравнения и их разрешение
Решение системы (1) будем искать в виде zi (t) = Ai cos®t + Bi sincot,
u(x,t) = V1 (x)cos®t + V2 (x)sin®t, i = 1,3
После подстановки в (1), и приравнивания коэффициентов при cosat и sin®t получим уравнения для амплитуд Ai, Bi твердых тел
(3)
p2(Ai -Vi(ai)) + Yi(Bi -VM)) = ®2Ai, -Yi (Ai - Vi (ai)) + p2 (Bi - V2 (ai)) = ©2Bi, P (A2 " Vi a)) + X2 (B2 - V2 (a2)) = a2 A2, У2(A2 -Vi(a2)) + p2(B2 - V^)) = ®2B2, (4)
P (A3 - Vi (a)) + X3 (B3 - V2 (a3)) = a2 A3, (A3 - Vi(a3)) + p2(B3 - V2(a3)) = ю2B3
и амплитудных функций Vi(x),V2(x)
-ffl2V (x) + b= («i (Ai - VI (x)) + Д (Bi - V2(x)))S(x - ai) +
dx
+(a2 (A2 - V (x)) + p2 (B2 - V2 (x)))S(x - a2) +
+(a3( A3 - Vi( x)) + p3(B3 - V2( x)))<5( x - a3) + HS( x - a) (5)
-ffl2V2 (x) + bdI:M_ = («i (Bi - V2 (x)) - Pi (Ai - Vi (x)))S(x - ai) + dx
+(a2 (B2 - V2 (x)) - p2 (A2 - Vi (x)))S(x - a2) + +(«3 (B3 - V, (x)) - p3 (A3 - Vi (x)))S(x - a3)
b = EJ, h = f
pF pF
С Ьр ЬР
аг = , У г =—, А = , ' = 1,2,3 pF mi pF
С1 С2 Р1 =* _, Р2 =< -, Р3 =,
! т3
Систему (4) разбиваем иа три системы уравнений относительно пар величин
А, -РЩ),В, -^Ц);А2 -V;(а2),В2 -У2(а2);А3 -Р^),В3 -У2(а3). В результате получим
А, - УМ) А В„ В, - У,М) В, + ^ А,
А; А, А, А,
А2 -= ^А2 В2, В2 -Р2(а2) = ^-РрВ2 + ^А2
А2 А2 А2 А2
Аз -Ц(аз) = ^Аз В3, В3 -У2(а3) = ^В3 А3
А3 А3 А3 А3 (6)
где А, = р,4 + х,2, А2 = Р24 + ^, Л3 = Р34 + ^ В силу краевых условий (2) справедливо
р(0) = 0, р'(I) = а
V"(/) = 0, V"'(/) = 0. ()
Можно доказать, что обобщенное решение дифференциальных уравнений (5) имеет вид
Р,(х) = 0,(х - а, )(а, (А, - Р,(а,)) + Д(В, - Р2(а,))) +
+02 (х - а2 )(«2 (А2 - V (а2)) + Р2 В - (а2))) + (8)
+03 (х - а3 )(а3 (А3 - V, (а3)) + р3 (В3 - V2 (а3))) + О(х - а)Н
Р2 (х) = 0,(х - а, )(а, (В, - (а,)) - Д (А, - V, (а,))) + +О2 (х - а2 )(«2 (В2 - V2 а)) - р2 (А2 - V, (а2))) + +О3 (х - а3 )(«3 (В3 - V (а3)) - Д (А3 - V, (а3)))
где функции О, (х) , 02 (х) и 0(х) являются решениями краевых задач
-®20, (х) + ^ =5(х),
О, (-а, ) = 0,0,'(-а, ) = 0, (9)
0,"(/ - а, ) = 0, 0,"'(/ - а, ) = 0
-®202 (х) + / Ох^^ =5(х),
02 ("а2 ) = 0, 02 (_а2 ) = 0, 02'(/ -а2) = 0, 02"(/-а2) = 0
(11)
-ю2Оъ (х) + = 3(х),
ах
Оз (-О3 ) = 0, в'ъ(-аъ ) = 0, О"(/ - а3 ) = 0, О3"(/ - а3 ) = 0
-о2О (х ) + Ъ^О^ = 5(х ),
О (-а) = 0, О'(-а) = 0,
О"(I - а) = 0, О"'(I - а) = 0
V ' V ' (12)
Решениями краевых задач (9)-(12) являются решения в обобщенном смысле дифференциального уравнения
_ю2О(х) + ъаОх1 = 8{х), (13)
ах
которое представляется в виде суммы обобщенного решения О0 (х) однородного уравнения
~ , ч d4G(x)
-a2G (x) + b-= 0
dx
ифундаментального решения G„(x) неоднородного уравнения (13), то есть
G ( x ) = Go ( x ) + G,( x ),
где
G0 (x) = c1S1 (px) + c2S2 (px) + c3S3 (px) + c4S4 (px) . via \- COsh ) + C0S ) с in sinh ) + sin )
Si \Px) - 2 , S 2 \Px) - 2 ,
^ ^ ^ = cosh (Px)- C0S (Px) ^ ^ ^ = sinh (px)- sin (px) _
функции Крылова, c1, c2, c3, c4 - неизвестные постоянные. Фундаментальное решение G„ (x) можно представить в следующем виде
6.(x) = e(x)^ ,
где в (x) - функция Хэвисайда, Р = .
b 4
Применяя к найденному решению G (x) = ^(x, c1, c2, c3, c4) краевые условия в задачах (9)-(12) и определив неизвестные постоянные c1, c2, c3, c4 ,тем самым находим G1 ( x), G2 ( x), G3 ( x) и G ( x) .
Подставляяв (8) вместо x последовательно значения a1, a2, a3 и, имеяввиду (6), получим
^(а,) = аи А, +а,2 В, +а,3 А2 +а,4 В2 + а,5 А3 +а,6 В3 + = О (а, - а)Н,
^(а2) = а2, А, +а22 В, +а23 А2 + а24 В2 + а25 А3 +а26 В3 + +О(а2 - а)Н,
^(а3) =а3, А, +а32 В, +а33 А2 + а34В2 + а35 А3 +а36 В3 + (!4)
+О (а3 - а )Н,
V2 (а,) _ «4,А, +^42В, +^43 А2 +^44 В2 + «45 А3 + «46 B3, V2(a2) = а5, А, +а52 В, + а53 А2 + а54 В2 + а55 А3 + а56 В3,
=«6,А, +«62В, +«63 А2 +«64 В2 +«65 А3 +«66 В3
О,(0)®2, 2 О ч О,(0)ю2 я 2 \
где«,, =---(а,р +Дк), а,2 =---(-а,/, + Др ),
А, А,
О2(а, -а2)ю2 2 д ч О2(а, -а2)ю2 2Ч
а,3 = 24 ' 2/ («2Р2 +А2Г2), «,4 = л ( «2X2 + АР22),
А2 А2
О3(а, -а3)а2 2 д ч О3(а, -а3)ю2 2Ч
. («3Р32 + А^), «,6 = А (-«3^3 + АР32),
А, А,
О,(а2 -а,)ю2 2 д ч О,(а2 -а,)ю2 2Ч
«2, = д («, Р,2 + АГ,),«22 = д (-«,Г, + А Р,2), А, А,
«23 = («2Р22 +А2Г2), «24 = ^^ ( «2X2 + ^2Р22),
А2 А2
О3(а2 -а3)а2 2 д ч О3(а2 -а3)ю2 2Ч
. («3 Р32 +^3^3),«26 = А (-«3Г3 + А Р32), А3 А3
О,(а3 -а,)ю2 2 д ч О,(а3 -а,)ю2 2Ч
«3, = д («, Р,2 + АГ,),«32 = д (-«,Г, + А Р,2),
А, А,
О2(а3 -а2)а2 2 д ч О2(а3 -а2)ю2 2Ч
. («,Р22 +А2Г2), «34 = д ( «2X2 +^2Р22),
А2 А2
О3(0)а2 2 „ ч О3(0)а2 я 2 \
«35 =-:-(«3Р3 +А2Г3),а36 =-:-("«3^3 + А3Р3),
А3 А3
о,(0)ю-А Р,2),«42=Р,2+аю,
А, А
О2(а, -а2)ю2 ^ О2(а, -а2)а2 2 д ч «43 = 2 \ 2-(«2^2 ~Р2Р2), «44 = 2 \ 2-(«2Р2 + Р2У2),
А2 А2
03(а1 - а3)а2 2 G3(a1 - а3)а2 2
«45 = 3 («3^3 ~Ръ Рз),«46 = д («3 Р3 + РзГз),
А3 А3
^(а2 -аЛа2 ^ G1(a2 -аЛа2 2 д ч
«51 = д («1^1 "А РГ),«52 = д («1Р1 + Р1Г1),
А: Л
С2(°)®2/ о 2Ч ^2(0)Ю2/ 2 а ч
«53 =-:-(«2^2 "АРД «54 =-7-(«2Р2 + А^Х
А2 А2
С3(а2 -а3)а2 ^ ^3(а2 -а3)ю2 2 д ч
«55 = 3 2. («3^3 "А Рз ), «56 = \ («3 Р3 +Р3Г3),
А1 А3
G1(а3 -а1)ю2 2 ^(а3 -а1)ю2 2 д ч
«61 = 13 («1^1 ~Р1 Р\ , «62 = д («1РГ +Р1Г1),
G2(a3 -а2)а2 ^ ^2(а3 -а2)ю2 2 д ч
«63 = 2 3 («2X2 ~РгР22), «64 = д («2Р22 + А^),
А2 А2
С3(°)®2, о 2Ч ^3(0)ю2/ 2 о ч
«65 =-:-(«3Г3 -Р3Р3),а66 =-:-(«3Р3 + Р3У3)
А3 А3
Подставив (14) в (4) получим систему линейных алгебраических уравнений относительно амплитуд А1, В1, А2, В2, А3, В3
(-Ю2 -^1«41 + Р12 - Р2а„)А1 + "Х1«42 - Р2«12)В1 + ("Г1«43 - Р2«13)А2
+("Г1«44 " Р12«14)В2 + ("Г1«45 " Р12«15)А3 + ("Г1«46 " Р2«16)В3 =
= Р^(а1 - а)Н,
("Р2«41 -^1 +Г1«11)А1 + ("®2 + Р12 " Р2«42 +Г1«12)В1 + ("Р2«43 +Г1«13)А2 + +(" Р12«44 +Г1«14) В2 + (" Р12«45 + К«15) А3 + (" Р2«46 + К«16) В3 =
= -УlG(а1 - а)Н,
("Р22«21 "Г2«51) А1 + ("Р22«22 "Г2«52)В1 + ("®2 + Р22 " Р22«23 "Г2«53) А2 + +("Р22«24 +^2 "Г2«54)В2 + ("Р22«25 " ^2«55)А3 + ("Р1а26 "Г2«56)В3 =
= р^(а2 - а)Н,
(Г1«21 " Р22«51)А1 + (Г1«22 " Р22«52)В1 + (~У2 + Г2«23 " Р22«53)А2 + +(-Ю2 +^2«24 + Р22 " Р22«54)В2 + (^2«25 " Р22«55)А3 + (^2«26 " Р22«56)В3 =
= (а2 - а)Н,
(-Р32«31 "Г3«61)А1 + (-Р32«32 "Г3«62)В1 + (-Р32«33 "Г3«63)А2 + +(-Р32«34 ^3«64)В2 + ("®2 + Р32 " Рз«35 ^3«65 )А3 + +(-Р2«36 + ^3 - ^3«66)В3 = Р32^а - а)Н,
(Х3а31 - р33а31)А1 + (х3а32 - р23а32)Вх + (у3а33 - р3а33)А2 +
+(^«34 - Р32«34)В2 + (-73 + У3а35 - Р32«35 ) А3 +
+(-ю2 + у3а36 + р3 - Р32а36 )В3 = (а3 - а)Н
Разрешив данную систему относительно амплитуд А1, В1, А2, В2, А3, В3 и подставив в (8) и (3), получим смещения тел ^) и смещения точек балки и (х, t) .
3. Сравнительный анализ
Для проведения сравнительного анализа предложенного подхода были использованы данные модели и расчеты, приведенные в работе [1]. I = 1 м - длина консольной балки, р¥ = 0.675 кг - масса единицы длины балки,
3 = 5.20833«10~10м4- момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси, проходящей через центр тяжести сечения и перпендикулярной плоскости колебаний балки,
а, = 0.1 м, а2 = 0.1 м, а3 = 0.1 м - точки, в которых через упругодемпфирующие связи крепятся твердые тела,
¿1=0.1 нс/м, Ь2=0.1 нс/м, Ь3=0.1 нс/м - коэффициенты демпфирования,
с,=0.1 н/м, с2=0.1 н/м, с3=0.1 н/м - коэффициенты жесткости пружин в упруго-демпфирующих связях,
Е = 7-1010 н/м2 - модуль Юнга, / = 10 н - амплитуда внешней гармонической силы.
Для сравнения был произведен расчет амплитуды V (а ) вынужденных колебаний конца консольной балки в зависимости от частоты приложенной в этом же конце гармонической вынуждающей силы и построен соответствующий график. При этом V(ю) = V12(a) + V22(a) , где величины V, (ю),У2 (ю) рассчитывались согласно (8) при х = I.
График зависимости V (а) от частоты, построенный в результате расчета в рамках предложенного нами подхода имеет вид (рис. 2):
0.4
0.3
V ю )0.2
0.1
0
0 50 100 150 200
ю
Рис. 2
Заключение
В работе предложена методика исследования вынужденных колебаний балки Эйлера-Бернулли с системой твердых тел, связанных с балкой и между собой упругодемпфирующими связями. При этом данная методика является развитием подходов, заявленных ранее в работах [2; 3; 4] и др. Проведенный сравнительный с расчетом, выполненным в зарубежной статье [1] другим способом, показал удовлетворительное согласование полученных результатов.
Литература
1.Wu J. S., Chen D. W. Dynamic analysis of uniform cantilever Beam carrying a number of elasti-cally mounted point masses with dampers // Journal of Sound and Vibration. - 2000. - Vol. 229(3). -P.549-578.
2. Баргуев С. Г., Мижидон А. Д. Способы расчета собственных колебаний одной механической системы и их сравнительный анализ // Вестник Бурятского государственного университета. Сер. 13: Математика и информатика. - Вып. 2. - С.192-200.
3. Баргуев С. Г., Мижидон А. Д. К исследованию вынужденных колебаний упругой механической системой каскадного типа // Вестник Бурятского государственного университета. Математика и информатика. - Вып. 9. — С.151-155.
4. Баргуев С. Г., Мижидон А. Д. Определение собственных частот простейшей механической системы на упругом основании // Вестник Бурятского государственного университета. Математика и информатика. - Вып. 9. - 2009. - С. 58-66.
References
1. Wu J. S., Chen D. W. Dynamic analysis of uniform cantilever Beam carrying a number of elasti-cally mounted point masses with dampers. Journal of Sound and Vibration. 2000. V. 229 (3). Pp. 549578.
2. Barguev S.G. Sposoby rascheta sobstvennykh kolebanii odnoi mekhanicheskoi sistemy i ikh sravnitel'nyi analiz [Methods for calculating natural oscillations of one mechanical system and their comparative analysis]. Vestnik Buryatskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i infor-matika - Bulletin of Buryat State University. Mathematics and Computer Science. 2005. V. 2 Pp.192200.
3. Barguev S. G., Mizhidon A. D. K issledovaniyu vynuzhdennykh kolebanii uprugoi mekhanicheskoi sistemy kaskadnogo tipa [To the study of forced oscillations of cascade type elastic mechanical system]. Vestnik Buryatskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i informatika - Bulletin of Buryat State University. Mathematics and Computer Science. 2008. V. 9. Pp. 151-155.
4. Barguev S. G., Mizhidon A. D. Opredelenie sobstvennykh chastot prosteishei mekhanicheskoi sistemy na uprugom osnovanii [Determination of natural frequencies of a simple mechanical system on elastic foundation]. Vestnik Buryatskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i informatika - Bulletin of Buryat State University. Mathematics and Computer Science. 2009. V. 9. Pp. 5866.
