CC BY
11
УДК 519.62, 519.63
doi: 10.18101/2304-5728-2016-1-79-87
© В. В. Гармаева
Алгоритмическое обеспечение исследования свободных колебаний балки Эйлера-Бернулли с прикрепленными телами 1
В статье обсуждается алгоритмическое обеспечение исследования класса механических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами описываемого обобщенной математической моделью. Под обобщенной математической моделью понимается система гибридных дифференциальных уравнений заданной структуры, описывающая динамику балки Эйлера-Бернулли с прикрепленной системой взаимосвязанных твердых тел. Алгоритмическое обеспечение реализовано в виде комплекса программ на языке Фортран.
Ключевые слова: балка Эйлера-Бернулли, система твердых тел, математическая модель, алгоритмическое обеспечение.
© V. V. Garmaeva
Algorithmic solution for research of natural oscillations of an Euler-Bernoulli beam with attached solids
The article deals with the algorithmic solution for research of mechanical systems with lumped and distributed parameters. This class of systems is described by the generalized mathematical model. Generalized mathematical model is understood as a system of hybrid differential equations with the given structure, it describes the dynamics of an Euler-Bernoulli beam with the attached system of interconnected solids. Algorithmic solution is implemented as a set of programs in the Fortran language.
Keywords: Euler-Bernoulli beam, the system of solids, mathematical model, algorithmic solution.
Введение
В работах [1, 2] была предложена обобщенная математическая модель, представляющая собой гибридную систему дифференциальных уравнений (ГСДУ), заданной структуры, описывающая динамику класса механических систем, представляющих собой системы твердых тел, прикрепленных к балке Эйлера-Бернулли. Под ГСДУ понимаются системы дифференциальных уравнений, состоящие из обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Отметим, для исследования свободных колебаний систем из данного класса механических
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 15-08-00973-а
79
систем при тех или иных конкретных типовых расчетных схемах в зарубежных изданиях [3-11] каждый раз разрабатывались специальные ориентированные на них аналитические, численно-аналитические методы или использовался метод конечных элементов. Между тем собственные колебания, рассмотренных зарубежными исследователями механических систем [3-11], можно исследовать единым аналитико-численным методом, разработанным в [1,2] на основе обобщенной математической модели.
В данной статье предлагается алгоритмическое обеспечение исследования свободных колебаний балки Эйлера-Бернулли с прикрепленными с помощью пружин твердыми телами. В основу разработки алгоритмического обеспечения положен аналитико-численный метод исследования обобщенной математической модели систем взаимосвязанных твердых тел, прикрепленных упругими связями к балке Эйлера-Бернулли [1,2].
1. Теоретические положения
Обобщенная математическая модель любой произвольной системы твердых тел, прикрепленных к балке Эйлера-Бернулли, описывается ГСДУ вида [1]
' АН + ВН + С (Dz - и) = 0,
д2и д4и т (1)
k — (х, Т) + Ь —-(х,Т) = X V, ) - и(х, Т))<5(х - а г),
дТ дХ ,=1
где 2 (Т) «-мерная вектор-функция; и (х, Т) - скалярная функция; и (Т) -т -мерная вектор-функция с компонентами и(а1,Т),•••,и(ат,Т); А, В - заданные, постоянные п х п - матрицы; С - заданная, постоянная п х т -матрица; D - заданная, постоянная т х п - матрица; d, - п- мерный вектор, составленный из строк матрицы D; k, Ь, а,, ц, (г = 1,т) - заданные постоянные, причем 0 < ai < I; ()Т — здесь и ниже операция транспонирования.
Функция и(х,Т) описывает поперечные перемещения точек балки. В связи с этим на функцию и( х, Т) следует наложить граничные условия, соответствующие тем или иным способам закрепления концов.
В частности, в случае жесткой заделки на концах имеем
ди ди
и(0, Т) = и(1, Т) = 0, — (0, Т) =— (¡, Т) = 0, (2)
дх дх
в случае жесткой заделки на левом и шарнирно-опертого закрепления на правом конце
ди ,„ ч „ ,, ч „ д2и — (0, Т) = 0, и (I, Т) = 0, —2 дх дх
в случае жесткой заделки на левом и свободного правого конца
и(0,Т) = 0, ^(0,Т) = 0, ^Т) = 0, ^(¡,Т) = 0. (4)
дх дх дх
и(0, Т) = 0, — (0, Т) = 0, и (I, Т) = 0, — (¡, Т) = 0, (3)
Заменой
z(t) = Z smаt, и(х, t) = V (-)sinаt, система (1) сведется к алгебраическо-дифференциальной системе '(-а2А + В + СП)Z - СУ = 0,
и 4У( х) т (5)
-а2кУ(х) + Ъ \ ' = XЧг(И"Z - V(-)Щх - аг).
-х г=1
Здесь а - собственная частота, Z - «-мерный вектор амплитуд колебаний масс, V(х) - амплитуда колебаний точек балки (собственная форма колебаний), V - т-мерный вектор с компонентами V(а1),—,У (ат).
В силу граничных условий, накладываемых на функцию и( х, t), функция V (х) должна удовлетворять условиям: - при граничных условиях (2)
V (0) = V(I) = 0, ^ (0) = ^ (I) = 0, (6)
ах ах
- при граничных условиях (3)
V(0) = 0, ^ (0;
ах
- при граничных условиях (4)
V(0) = 0, а.(0) = 0, V(I) = 0, ) = 0, (7)
(Лл- СЛл
V(0) = 0, ^(0) = 0, ^(1) = 0, ^(1) = 0. (8)
ах ах ах
Теорема 1. При любых значениях а и Z для обобщенного решения V(х) дифференциального уравнения
а х) т
-а2к¥(х) + ъ—4-) = £д, - V(x))S(x - а,), (9)
их ^
удовлетворяющего одному из граничных условий (6), (7), (8), справедливо представление
т
V(-) = £ G¡ (- - а, )д (а1^ - V(a¡)), (10)
,=1
где функции Gi(-), (1 = 1,...,т) обобщенные решения уравнения
-а2kGl(-) + Ъ а <((-) = S(-), (г = 1,...,т), (11)
удовлетворяющие условиям: при граничном условии (6)
(-а,) = (I - а,) = 0, ^ (-а,) = ^ (I - а,) = 0, (12),
а- а-
при граничном условии (7)
ТуТ 7 2
<г (-а,) = 0, <г (I - а,) = 0, (-а,) = 0, —<-(/ - а,) = 0, (13)
С1л- (Лл-
при граничном условии (8):
dGl ёх
d 2<
ё 3G,
Gl (-а,) = 0, -рЧ-а,.) = 0, —^-(1 - аг) = 0,-^(1 - аг) = 0 . (14)
ёх ёх
Если найдены обобщенные решения G1(х),G2(х),...,От(х) уравнения (11), удовлетворяющие заданным согласно поставленной задаче краевым условиям, то принимая в (10) последовательно значения х = а1, х = а2,..., х = ат, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно V (а1),У(а2)...,У(ат)
МУ = N2, (15)
где М - матрица системы размерности т х т :
( 1 + <1 (0)Ц1 ^(а1 - а2)Ц2..........<(а1 - ат)Цт
М =
< (а2 - а1)Ц1 1 + <2(0)<?2..............<т (а2 - ат )Цт
(16)
V ^(ат - а1)Ц1 ^(ат - а2)Ц2.............1 + <т (0)Цт у
N - матрица размерности т х п
( т т т \
X < (а1- а> X < (а1- а, )ц,ё2......X< (а1- а>
N =
III III III
X (а2 - а, X < (а2 - а, )Ц,ё2......X < (а2 - а,
,=1
. (17)
X < (ат - а, )Ч,4 X <г (ат - а, )Чгё2......X < (ат - а, )<1,К
V ,=1 ,=1 ,=1
Объединив (15) с алгебраической частью алгебраическо-дифференциальной системы (5), получим систему линейных, однородных алгебраических уравнений относительно вектора амплитуд 2 и V
\(-®2 А + В + СП) 2 - СУ = 0,
\т - му = 0.
(18)
Система (18) имеет ненулевые решения, если ее определитель равен нулю. Приравняв определитель системы (18) к нулю, получим уравнение для нахождения собственных частот
det
Г-а2А + В + СП - С
N
- М
= 0.
(19)
=1
=1
=1
=1
=1
2. Алгоритмическое обеспечение поиска собственных частот
Для нахождения собственных частот системы, описываемой обобщенной моделью (1) следует:
1. Найти функции О1(-),О2(-),...,От(-)при некотором значении т .
2. Составить матрицу системы алгебраических уравнений (18)
'-а2А + В + СП - С' ч N - М,,
где матрицы М и N находятся в соответствии с (16) и (17).
3. Разработать процедуру вычисления определителя матрицы (20)
(20)
Л(т) = det
Г-а2А + В + СП - С^ N - М ;
(21)
4. Разработать процедуру поиска частот т , при котором определитель (21) обращается в нуль с заданной точностью.
Для нахождения функций О1(-),О2(-),...,От(-) при некотором значении т имеем т краевых задач для уравнения
-а2кО(-) + Ъ -<(-) = S(-), (21)
--
с теми или иными, в зависимости от поставленной задачи, краевыми условиями (12), (13) или (14).
Общее решение О(-,с1,с2,с3,с4) уравнения (21) можно найти в виде суммы общего обобщенного решения О0(-, с1, с2, с3, с4) однородного уравнения
- 4О(-)
И-4
и некоторого обобщенного решения О (-) неоднородного уравнения (21), то есть
О(-) = О0(-,с1,с2,с3,с4) + О(-). (23)
Общее решение О0(-,с1,с2,с3,с4) однородного уравнения (22) можно записать в виде
О0(-,с1,с2,с3,с4) = ^ (р-) + с2S2 (р-) + с3S3 (р-) + с4S4 (р-) ,
-а2 кО(-) + Ъ—^ = 0, (22)
441Ъ
где с1, с2, с3, с4 - постоянные интегрирования, р = -
S1 (р-), S2 (р-), S3 (р-), S4 (р-) - функции Крылова, Функции Крылова определяются следующим образом
^ (рх)= ^ (р-) + С05 (р-) ^ рх)= ^ (р-) + 51П (р-)
sз р-) = ^(р-ЬС05 (р-), s( р-) = ^(р-))- 51П (р-) .
Для нахождения частного обобщенного решения О (-) неоднородного уравнения (21), воспользуемся следующим утверждением, которое явля-
83
g(0) = 0,^(0) = 0,-^(0) = 0,-^(0) = -, (24)
ется следствием теоремы о фундаментальном решении для линейного дифференциального оператора [12].
Утверждение 1. Если функция g(х) частное решение однородного дифференциального уравнения (22),удовлетворяющее начальным условиям
„ , ^ (0) = 0, ^ (0) = 1 ёх ёх ёх Ь
то фундаментальное решение уравнения (21) запишется в виде
g (х) = g (х)0( х), (25)
где в( х) — классическая функция Хэвисайда.
Отметим, если выберем функцию g(х) = ^^^ , то в силу свойств
функций Крылова, она удовлетворяет всем условиям данного утверждения: является решением однородного уравнения (22), удовлетворяющим начальным условиям (24).
Таким образом, фундаментальное решение может быть представлено следующим образом
g (х) = в( х) Ц^.
В качестве частного решения < (х) неоднородного уравнения (21) выберем фундаментальное решение
< (х) = Я (х) = в{х) Ц^ . (26)
Определив произвольные константы с1, с2, с3, с4, входящие в общее
решение (23) из условий выполнения граничных условий, соответствующих заданным, согласно поставленной задаче краевым условиям, найдем обобщенные решения <1( х), 02( х),..., <т (х)
(х) = <0(х,сп,с,2,ев,с,4) + <(х), (, = 1,...,т). (27)
Отметим, нахождение констант с1, с2, с3, с4 сводится к линейной системе алгебраических уравнений четвертого порядка, для представления решения которой при программной реализации используются аналитические соотношения, полученные методом Гаусса.
Найденные функции <1(х),<2(х),...,От(х) позволяют построить матрицу (20) и организовать вычисление ее определителя при некотором фиксированном значении ш . Вычисление определителя сводится к приведению определителя к треугольному виду методом Гаусса.
Для нахождения собственных частот ш производится вычисление определителя (21) в точках, начиная со значения ш равного нулю, с некоторым шагом, зависящим от точности, до определения первых 5-7 интервалов смены знака частотной функции Д(ш). На каждом частичном интер-
вале производится поиск корней уравнения (21) одним из методов поиска корней монотонной функции на отрезке. При этом, при каждом новом выбранном значении ш производится вычисление функций G1( x), G2( x),..., Gm (x) и построение матрицы (20) согласно изложенному выше.
Изложенный подход по подсчету собственных частот реализован на языке Фортран [13]. Тестирование разработанного программного комплекса проводилось на основе численных расчетов для конкретных расчетных схем и их сравнения с результатами ручного счета с использование Маткад, а также с имеющимися расчетами известными из литературных источников [4].
Собственные формы колебаний балки V(x), соответствующие собственной частоте ш могут быть найдены по формуле (10). Для этого должны быть найдены нетривиальные решения (вектора амплитуд Z и V ) линейного однородного алгебраического уравнения при собственной частоте ш .
Заключение
Алгоритмическое обеспечение исследования свободных колебаний балки Эйлера-Бернулли с прикрепленными с помощью пружин твердыми телами, предложенное в данной статье, является универсальным в том смысле, что позволяет исследовать любые системы из данного класса механических систем [3-11]. При этом отпадает необходимость проведения исследований, связанных с разработкой специальных ориентированных на конкретные расчетные схемы аналитических, численно-аналитических методов, которые приведены в [3-11]. Сравнение расчетов проведенных разработанным комплексом программ [13] с имеющимися расчетами известными из литературных источников, в частности из [4], показало хорошее совпадение результатов.
Литература
1. Мижидон А.Д., Дабаева М.Ж. (Цыцыренова М.Ж.). Обобщенная математическая модель системы твердых тел, установленных на упругом стержне // Вестник ВСГУТУ. — 2013. — № 6. — С. 5-12.
2. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г. Краевая задача для одной гибридной системы дифференциальных уравнений // Вестник Бурятского государственного университета. — 2013. — № 9. — С. 130-137.
3. Kukla S., Posiadala B. Free vibrations of beams with elastically mounted masses // Journal of Sound and Vibration. — 1994. — № 175(4). - P. 557-564.
4. Philip D.Cha. Free vibrations of a uniform beam with multiple elastically mounted two-degree-of-freedom systems // Journal of Sound and Vibration. — 2007. — № 307. — P. 386-392.
5. Wu J.-J., Whittaker A.R. The natural frequencies and mode shapes of a uniform cantilever beam with multiple two-DOF spring-mass systems // Journal of Sound and Vibration. — 1999. — № 227. — P. 361-381.
6. Wu J.S., Chou H.M. A new approach for determining the natural fre-
quancies and mode shape of a uniform beam carrying any number of spring masses // Journal of Sound and Vibration. — 1999. — № 220. — P. 451-468.
7. Wu J.S. Alternative approach for free vibration of beams carrying anumber of two-degree of freedom spring-mass systems. // Journal of Structural Engineering. — 2002. — № 128. — P. 1604-1616.
8. Naguleswaran S. Transverse vibration of an Euler-Bernoulli uniform beam carrying several particles // International Journal of Mechanical Sciences.— 2002. — № 44. — P. 2463-2478.
9. Naguleswaran S. Transverse vibration of an Euler-Bernoulli uniform beam on up a five resilient supports including end // Journal of Sound and Vibration. — 2003. — № 261. — P. 372-384.
10. Su H., Banerjee J.R. Exact natural frequencies of structures consisting of two part beam-mass systems // Structural Engineering and Mechanics.— 2005.— № 19(5).— P. 551-566.
11. Lin H.Y.,Tsai Y.C. Free vibration analysis of a uniform multi-span beam carrying multiple spring-mass systems // Journal of Sound and Vibration.— 2007. — № 302. - P. 442-456.
12. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике.— М.: Наука, 1976. — 280 с.
13. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г., Дабаева М.Ж., Гармаева В.В. Расчет собственных частот балки Эйлера-Бернулли с прикрепленными твердыми телами // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2015612387 - 18 фев. 2015.
References
1. Mizhidon A. D., Dabaeva M. Zh. (Tsytsyrenova M. Zh.). Obobshchen-naya matematicheskaya model' sistemy tverdykh tel, ustanovlennykh na upru-gom sterzhne [Generalized Mathematical Model of the System of Solids Mounted on Elastic Rod]. Vestnik VSGUTU - Bulletin of ESSUTM. 2013. -No. 6. Pp. 5-12.
2. Mizhidon A. D., Barguev S. G. Kraevaya zadacha dlya odnoi gibridnoi sistemy differentsial'nykh uravnenii [A Boundary Value Problem for the Hybrid System of Differential Equations]. Vestnik Buryatskogo gosudarstvennogo universiteta - Bulletin of Buryat State University. 2013. No. 9. Pp. 130-137.
3. Kukla S., Posiadala B. Free Vibrations of Beams with Elastically Mounted Masses. Journal of Sound and Vibration. 1994. No. 175(4). Pp. 557564.
4. Philip D. Cha. Free Vibrations of a Uniform Beam with Multiple Elastically Mounted Two-Degree-of-Freedom Systems. Journal of Sound and Vibration. 2007. No. 307. Pp. 386-392.
5. Wu J.-J., Whittaker A. R. The Natural Frequencies and Mode Shapes of a Uniform Cantilever Beam with Multiple Two-DOF Spring-Mass Systems. Journal of Sound and Vibration. 1999. No. 227. Pp. 361-381.
6. Wu J. S., Chou H. M. A New Approach for Determining the Natural Fre-quancies and Mode Shape of a Uniform Beam Carrying Any Number of Spring
Masses. Journal of Sound and Vibration. 1999. No. 220. Pp. 451-468.
7. Wu J. S. Alternative Approach for Free Vibration of Beams Carrying a Number of Two-Degree-of-Freedom Spring-Mass Systems. Journal of Structural Engineering. 2002. No. 128. Pp. 1604-1616.
8. Naguleswaran S. Transverse Vibration of an Euler-Bernoulli Uniform Beam Carrying Several Particles. International Journal of Mechanical Sciences. 2002. No. 44. Pp. 2463-2478.
9. Naguleswaran S. Transverse Vibration of an Euler-Bernoulli Uniform Beam on Up a Five Resilient Supports Including End. Journal of Sound and Vibration. 2003. No. 261. Pp. 372-384.
10. Su H., Banerjee J. R. Exact Natural Frequencies of Structures Consisting of Two Part Beam-Mass Systems. Structural Engineering and Mechanics. 2005. No. 19 (5). Pp. 551-566.
11. Lin H. Y., Tsai Y. C. Free Vibration Analysis of a Uniform Multi-Span Beam Carrying Multiple Spring-Mass Systems. Journal of Sound and Vibration. 2007. No. 302. Pp. 442-456.
12. Vladimirov V. S. Obobshchennye funktsii v matematicheskoi fizike [Generalized Functions in Mathematical Physics]. Moscow: Nauka Publ., 1976. 280 p.
13. Mizhidon A. D., Barguev S. G., Dabaeva M. Zh., Garmaeva V. V. Ras-chet sobstvennykh chastot balk Eilera-Bernulli s prikreplennymi tverdymi te-lami [Calculation of the Natural Frequencies of the Euler-Bernoulli Beam with Attached Solids]. State Registration Certificate of Computer Program No. 2015612387. February 18, 2015.
Гармаева Валентина Валерьевна, аспирант Восточно-Сибирского государственного университета технологий и управления, e-mail: [email protected].
Valentina V. Garmaeva, Postgraduate, East Siberian State University of Technology and Management.
