Вынужденные колебания нелинейной системы с близкими значениями собственных частот Текст научной статьи по специальности «Физика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 241-242

241

УДК 534.1

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С БЛИЗКИМИ ЗНАЧЕНИЯМИ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ

© 2011 г. А.И. Муницын

Ивановский государственный энергетический университет [email protected]

Поступила в редакцию 16.05.2011

Исследуются вынужденные колебания нелинейной системы с двумя степенями свободы в окрестности главного резонанса. Разница между двумя собственными частотами колебаний полагается малой. Решение получено методом возмущений в сочетании с методом усреднения. Нелинейные силы являются причиной взаимодействия форм колебаний, что приводит к многозначности получаемых решений.

Ключевые слова: вынужденные колебания, нелинейная система, собственные частоты, метод возмущений, взаимодействие форм колебаний.

Рассмотрим колебания механической системы с двумя степенями свободы:

Ф: +8Г|Ф 1 +Ч>1 +еу(ф2 +Ф2)Ф: =8/ соэ(ц/+^), ф2 +епф2 + (1+в5)ф2 + ву (ф2 +ф2)ф2 = (1)

= 8/2003(10/ + ^).

Данная система описывает, например, пространственные колебания стержня с близкими значениями изгибной жесткости в двух ортогональных направлениях в одномодовом приближении. Здесь точками обозначено дифференцирование по безразмерному времени, полученному путем умножения размерного времени на первую собственную частоту малых колебаний Т = ю 1 /;/1, /2 , п, У — безразмерные значения амплитуд внешней нагрузки, коэффициентов диссипации и нелинейности. Разница между двумя собственными частотами колебаний еб полагается малой. Малый параметр е может быть введен выбором масштаба двух неизвестных функций перемещений ф1 и ф2 , что позволяет применить эффективные методы нелинейной механики.

Представим систему (1) в стандартной форме при помощи перехода к медленным переменным

фк = ак С0!з(/ + а к X фк = -ак ^п( / + а к X (2) к = 1, 2,

где а* и а* — амплитуды и фазы парциальных ко -лебаний, колебания рассматриваются в малой окрестности единичной частоты |1 = 1 + ¿к, ¿к << 1. Применяя метод усреднения, получаем систему уравнений в медленных переменных

1 (— 1)к

а* = —8^ак +-------------8у а*а2—к зт2Да—

а,

- ^s f sin(ak-Yk ),

1 3 2

= -sA, +—s5(k -1) +—sy ak + (3)

2

8

1 s f

+ — sy a32-k (2 + cos 2Aa)-- cos(ak - у k),

8 2ak

Aa=a2 -a1, k=1,2.

Далее будем рассматривать установившиеся колебания, что соответствует нулевым левым частям уравнений. Численное решение системы нелинейных алгебраических уравнений (3) может быть получено методом продолжения решения по параметру. Пусть для системы уравнений U(r, X) = 0 при некотором значении X известно

k /1 k i k k k \ T

приближенное решение r = (o1 ,b2,a1,a2) , тогда для значения A,k +1 = A,k + АЯ приближенное решение представляется в виде rk+1 = rk + Ar. Подставляя в систему (3) и линеаризуя полученные уравнения, определяем приращения неизвестных из системы GAr = pk + R k, где pk = = (0, 0, Xk, X k)T, R k - вектор невязки на предыдущем шаге решения, элементы матрицы G имеют вид gij = dUi /drj.

Для исследования устойчивости полученных решений на основе второго метода Ляпунова рассмотрим некоторое возмущенное решение системы уравнений (3): r (t) = r(t) + Ar(t). После подстановки в систему и линеаризации получаем уравнения возмущенного движения первого приближения Ar = GAr. Знак действительной части всех собственных значений матрицы G позволяет сделать вывод об устойчивости решения.

Решение системы нелинейных уравнений (3)

242

А.И. Муницын

сводится к решению последовательности систем линейных уравнений. На каждом шаге вычислений контролируется величина невязки, и если относительная погрешность превышает заданную точность, то шаг варьируемой переменной уменьшается. При численном решении проводится исследование сходимости при разных значениях заданной точности вычислений. В точках ветвления решений за независимый параметр принимается переменная с наибольшим по модулю приращением на предыдущем шаге, что позволяет найти все существующие решения и построить многозначные амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики.

Зависимости а2(Х) (кривые 1,2) и о1(Х) (кривая 3) представлены на рис. 1 для значений параметров задачи у = 1, п = 0.2, 5 = 0.5,/1 = 0, /2 = 1, что соответствует возбуждению колебаний в плоскости большей жесткости для системы с жесткой нелинейностью. Жирной линией показаны устойчивые решения, штриховой линией — скелетные кривые. Кривой 1 соответствуют колебания системы в направлении возбуждения (а1 = 0). На этой кривой существует несколько точек ветвления: А1В1 , А2В2 , А4В4 . Точка В4 , соответствующая максимуму амплитуды плоских колебаний, на рисунке не показана. В случае, когда одна из двух точек, например, А1 В1 , принята в качестве начального приближения, построено решение а2(Х) (кривая 2) и а1(Х) (кривая 3), соответствующее пространственной форме движения системы. При увеличении частоты возбуждения плоские колебания плавно переходят в пространственные. Дальнейшее увеличение частоты приводит к срыву в точке А3В3 на плоскую форму движения. Решение, соответствующее плоской форме (кривая 1), может быть получено из решения плоской задачи, при этом участок между точкой А1 и максимумом амплитудно-частотной характеристики в

точке А4 будет соответствовать устойчивому решению.

аъ

2

1

0 1 2 3 X

Рис. 1

В случае возбуждения колебаний в плоскости меньшей жесткости (б = —0.5 или / = 1, /2 = 0) получаем практически те же зависимости а2(Х) и а1(Х), но плоское решение между точками ветвления А2В2 и А4В4 является неустойчивым.

При отсутствии диссипативных сил можно получить аналитическое решение системы (3) для возбуждения колебаний под действием нагрузки /2 . Для этого вводится дополнительное предположение о наличии малой составляющей / << /2 , на практике такая составляющая всегда присутствует, поскольку ни один источник гармонической нагрузки не является идеальным. Полученные решения подтверждают существование устойчивого участка на кривой 1, соответствующего плоским колебаниям системы с большими амплитудами в резонансной области. Для системы с мягкой нелинейностью аналогичный устойчивый участок амплитудно-частотной характеристики существует только при возбуждении колебаний в плоскости меньшей жесткости.

FORCED OSCILLATIONS OF A NON-LINEAR SYSTEM WITH CLOSE VALUE OF NATURAL FREQUENCIES

A.I. Munitsyn

Forced oscillations of a non-linear system with two degrees of freedom in the neighborhood of the principal resonance are investigated using the asymptotic method. The difference between two natural frequencies is assumed to be small. The nonlinear forces are the reason of a relation between the oscillations in different directions.

Keywords: forced oscillations, non-linear system, natural frequencies, asymptotic method, relation between the modes.