Выделение уравнений элементарных напряженных состояний из уравнений оболочек нулевой кривизны Текст научной статьи по специальности «Математика»

Расчет тонких упругих оболочек

ВЫДЕЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЙ ИЗ УРАВНЕНИЙ оболочек НУЛЕВОЙ кривизны

Е.М. ЗВЕРЯЕВ, докт. техн. наук, профессор, Г.И. МАКАРОВ, канд. техн. наук, доцент,

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московская государственная академия коммунального хозяйства и строительства», 109029, Москва, Ср. Калитниковская ул., д. 30

Излагается методика построения приближенных уравнений теории оболочек для оболочек нулевой кривизны. Из исходных уравнений выделяются две подсистемы, описывающие элементарные НДС по отношению к исходному. Выделение главных членов в каждом уравнении производится с помощью метода простых итераций. Таким путем находятся выраженные через малый параметр весовые коэффициенты для каждой искомой компоненты НДС. Построены уравнения обобщенного полубезмоментного состояния и даны асимптотики краевого эффекта. Уравнения элементарных НДС строятся по найденным весовым коэффициентам методом асимптотического интегрирования.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: оболочка, нулевая кривизна, асимптотика, малый параметр, метод простых итераций, метод асимптотического интегрирования, изменяемость, весовой коэффициент.

1. Приведение уравнений к безразмерному виду. Поскольку будут рассматриваться уравнения, описывающие НДС оболочки нулевой кривизны, надо в уравнениях для произвольной оболочки, положить величину 1/R1 = 0 .

Уравнения принимают вид: уравнения равновесия сил:

Л ^+Л—^ Т - т*)+х;=о,

Л1 да1 Л2 да2 Л. Л. да^ 1 дТ*. 1 дS* 2 дЛ* . N2

- + + ^ S • + + X.* = 0,

Л* да2 Л1* да1 Л1*Л* да1 R2 2

.

.

Т* 1 дМ 1 дМ, 1 дЛ. л

—- + ——к + ——- + * *—- N + 2 = 0; R2 Л1 да1 Л*. да2 Л1Л2 да1

уравнения равновесия моментов:

1 дМ 1 дН *

^ + — + -

• дЛ* (м-дМ*)-N.=о

Л1 да1 Л2 да2 Л. Л. да1 1 дМ 1 дН * 2 дЛ* тт* л

1 ^ —н - N = о

Л. да2 Л1 да1 Л1Л. да1

формулы, связывающие компоненты тангенциальной деформации с перемещениями:

1 ды* 1 ду 1 дЛ*. w* Л* д V* 1 дм* " " " " --^г- ы +---, (0=^--- + -

Л да1 ' Л*. да2 Л*Л* да1 R2' Л. да1 Л* Л* да2 формулы, связывающие компоненты нетангенциальной деформации с перемещениями

1 д 1 дw А* да1 А* да1

1д

А2 да2

1 дw

У А2* да2

*

Я

2

т = — 2

1 д 1 дw 1

+ -

А* да2 А1* да1

А1 да1

1 дw

У А2* да2

Я

'2 У

нетангенциальные соотношения упругости:

ЕЬЪ / * а ЕЬЪ

М =-

-(к* +ук* ), Н *

1 12 (1 -V2 р -2/'" 12 (1 + у) тангенциальные соотношения упругости:

М* =

Eh3

12 (1 -V2)

(* * \ к +к);

£ = ЖТ),

. 1 + V ,

ю =-Л

Eh

Е(т2 -<) •

Здесь использованы стандартные обозначения теории оболочек. Звездочка означает, что отмеченная ей величина является размерной. Введем следующую замену величин:

й-Хт-адЬЕ^.*,,*).

(и*.V*.w*) = h(и,V,w), (а;,А*.Я2) = Я(А1,А,Я2),

(к*.т*.к*) = h(к, т, к2), (М1*,Н*,М2) = Е^ (М1,Н,М2),

понимая под Я некоторый характерный радиус кривизны. Находящиеся в правых частях этих равенств величины являются безразмерными.

После подстановки этих величин в исходные уравнения получим запись уравнений в безразмерном виде:

1 дА

1 дА (т - тг)+X = о,

1 дТ1 1 дЛ

- +--+ -

А1 да1 А2 да2 А1А2 да1

1 дТ + 1 дЛ

А2 да2

А1 да1

■ + -

2 дА

А1 А2 да1

N

Л + —^ + X = 0.

Т2 1 д*1 1 д*2

—^ +

+ -

- + -

1

Я2

дА2

(1)

Я2 А1 да1 А2 да2 А1А2 да1

N + 2 = 0.

1 дМ + 1 дН

А да1

А2 да2

+

1 дА2

А1 А2 да1

(М1 - М2)- *1 = о

1 дМ 1 дН

А2 да2

2 + — — + —^Н -*2 = о

(2)

А1 да1

£ = £

Ю = £

1 ди А да1 А2 д V А да1 А2

А1 А2 да1 1 ду

£ = £-

■ + -

1

+

А2 да2 А1 А2 да1 1 ди

дА, w —- и + —

Я

А2 да2

(3)

к = -£ -

1 д 1 дw А1 да1 А да1

д ( 1 дw V ^

к = -£ -

А2 да2

У А2 да2 Я2 у

1

Т =--£

2

1 д 1 дw 1 д ( 1 дw - + -

А2 да2 А1 да1 А1 да1

У А2 да 2

Я

-2 У

(4)

1

д

V

*

1

V

2

м =

м2 =

12 (1 -V2)

2

е

+ vк2), Н =

12 (1 + V)

"(*2 + )

12 (1 -V2)'

1 = T1-vT2, с=(1 + V) S, е2 = Т2-vT1.

(6)

Величина е = h¡R считается малым параметром.

2. Определение структуры решения. Решение системы будем строить с помощью метода простых итераций и метода асимптотического интегрирования. В методе асимптотического интегрирования решение разыскивается в виде разложения каждой компоненты НДС в ряды по малому параметру вида

т = еа (?1(0) + е%) +...), 5 = ес (Я(0) + е^ +...) , V = е (У(0) + е%) +...) ,

(е1(0) + е?е1(1) + ...) , (®(0) + еС(1) + ...), К2 = е (^2(0) + К2(1) + ...) , м = ет (М1(0) + ерМ1(1) +...), Н = е" (Н (0) + еРН т +...), N2 = е (N2(0) + ерШ2(1) +...).

и = е

е = е& (е1(0) + е?е1(1) +

со = е' + ер®(1) +

^ = ^ (w,

Т2 = е (Т2(0) + е РТ2(1) + ...) , (и(0) + еРи(1) + ...) , еРw(1) + ...) , (е2(0) + еРе2(1) + ...) , (^1(0) + е Р^1(1) +...) , ' (т(0) + еТ(1) +...) , м2 = еп (м2(0) + еРМ+...) ,

N1 = е (N1(0) + еРNl(l) +...) ,

е =е

т = е

(7)

Индексы в скобках указывают номер приближения.

В отличие от обычно используемого разложения, представление каждой искомой величины в ряд по параметру еР имеет множитель, играющий роль весового коэффициента, в виде некоторой степени этого же параметра. Вызвано это тем, что если строить процедуру определения неизвестных (подставляя ряды (7) в уравнения (1)-(6) при отсутствующих показателях а,Ь, с.....t, х), получающиеся при е ^ 0 системы уравнений в главных членах не позволяют построить систему уравнений для определения неизвестных рекуррентным образом. Число Р > 0 и зависит от вида рассматриваемого НДС.

3. Вычисление весовых коэффициентов. Для нахождения а, Ь, с.....t, х в

разложениях (7) будем строить решение методом простых итераций. Идея метода заключается в том, что если имеется уравнение вида

х = Ах,

неизвестное х можно искать в п +1 приближении с помощью процедуры последовательного вычисления через уравнение

хп+1 = Ахп (п = 0,1,2......) ,

причем, величина нулевого приближения х0 может быть взята произвольно. Решение сходится к точному, если оператор А является сходящимся.

Примем, что в системе (3) величины деформаций являются известными, скажем, в нулевом приближении

е1 = е10, е2 = е20 = 0, с = с0 = 0. (8)

2

Б

Символы дифференцирования в уравнениях (1)-(6) будем рассматривать как коэффициенты, обладающие асимптотическими свойствами

дд

~ £0, ~ (ч > 0), (9)

да1 да2

означающими, что при дифференцировании по а1 производная от функции сохраняет свой асимптотический порядок по £ относительно исходной функции, тогда как при дифференцировании по а2 производная от функции увеличивается в £~Ч раз и получает асимптотический порядок -4 относительно исходной функции. Подстановка приближения (8) в уравнения (3) дает

1 ди0 1 ду0 1 дА w0 А д v0 1 ди0

£10 = £---, £--- +--—и0 + — = 0, —--- +--- = 0 .

А1 да1 А2 да2 А1А2 да1 Я2 А1 да1 А2 А2 да2

Из этих уравнений получаем оценки

и0~ £~1£10. £"1"Ч£10. wо ~ £1~2"£10- (10)

Через формулы (4) вычисляем оценки компонент изгибной деформации:

к ~ £ 2ч£ К ~ £~4ч£ Т ~ £ Ъч£ (11) а через формулы (5) - оценки моментов:

Мю ~ £2-4ч£Ю, М20 ~ £2-4ч£Ю, Н0 ~ £2-3%0 . (12)

По уравнениям равновесия моментов (2) вычисляем

*10~£ Ч£10, *20 ~£ *£10 (13)

и по уравнениям равновесия усилий (1):

Т ~ £2~6ч£ Л ~ £2~7Ч£ Т ~ £2^ч£ (14)

Теперь можно вычислить асимптотические порядки тангенциальных деформаций в первом приближении с помощью соотношений упругости (6):

£11 ,£21 ~ £ Ч£10, Ю1 ~ £ Ч£10 (15)

В соотношениях (8), (10)-(15) величина £10 считается величиной нулевого порядка, т.е. £10 ~ £°. Между величинами вычисленными методом простых итераций (далее, отмеченными нижним индексом без скобок) и методом асимптотического интегрирования (отмеченными нижним индексом в скобках) имеется зависимость, как, например, для усилия Т1 имеем Тъ = £2~8ч+ РТ1{1), т.е. эти методы отличаются способами выделения параметров из рассматриваемой компоненты решения. В методе простых итераций параметры получаются как порожденные коэффициентами множители при искомых неизвестных, тогда как в методе асимптотического интегрирования вид разложения по параметрам задается заранее.

Предположим, что величина нулевого приближения £10 совпадает с величиной первого приближения £11. Такое означает, что нулевое приближение угадано точно. Мы не будем ориентироваться на последний случай, и потребуем, минимизируя таким образом невязку, равенства асимптотических порядков величины £1 в нулевом и первом приближениях. Тогда из сравнения соотношений (8) и (15) получаем уравнение для определения значения 4: 2 - 84 = 0.

В соответствии с этим при 4 = 1/4 оценки (8) и (10)-(15) с числовыми показателями принимают вид:

£1 ~ £ £10, £20 ~ £ £10, Ю0 ~ £ 1 £10 , и0 ~ £ £10, V0 ~ £ 5 £10, w0 ~ £ 6 £10 ,

к £-24£ к £-4!4£ т £-3/4£ М £4/4£ М £4/4£ Н £5^£ "■10 ~ Ь Ь10> Л-20 ~ Ь Ь10> Ь10?1У110~Ь 10' 20 ~ Ь10> п0~ь Ь10'

N е4/4е N е3/4_ т е2/4е 5 е1/4е т еие

^10 IV 20 ~ ь10> 20 ~ Ь10> °0 ~ь Ь10> -40 Ь10-

4. Построение последовательности уравнений для вычисления коэффициентов асимптотических рядов. Теперь, зная 17 показателей а,Ь,с...Х, х в разложениях искомых неизвестных (7), подставим эти разложения с учетом оценок (10)-(15) в уравнения (1)-(6). Асимптотический порядок изменения искомых величин при применении оператора дифференцирования по а2 учтем с

помощью замены переменных З = е_14а2. В соответствии с условием (9) это означает замену оператора по формуле

д е14 =_а_

дЗ '

г2/4£

да

Уравнения (16) принимают вид:

А а +еР^>»+.">+А З+еР5«<+■■.)+

+-

1 дА2

А1А2 да1

[(Тка) + еРТК1) +...) -е24(Т2(0) + еРТ2(Г) +...)] + X, = 0,

А дЗ

1/4

(Т2(0) + еРт2(1) +...)+ е14 (^ + е^, +...) +

А1 да1

+ААае"4 (5(°) + еР5(1) +...) + Яе34 (+ е^ +...) + X = ^

—е2/4 (т + еРТ + )+ ——е4/4 (N + еРN + ) +

--е

Я

+

2

1А, А ~дЗ'

А1 да1

2/4

(N2(0) + е^20) +...)+ -±-^ е44 (N1(0) + е^ +...) + 2 = ^

1 д

А1 да1

,4/4

(м1(0) + еРм 1(1) + ...) +

А1А1 да1 1 д

,4/4

(Н (0) + еРН (1) +...) +

+

1 дА

А1А2 да1

А дЗ

[е4/4 (мК0) + ерм 1(1) +...)- е44 (мад + еРм2(Г) +...)]

-е

4/4

(N1(0) + еР^(Г) + е2Р^(Т) + ...) = 0 ,

А дЗ'

,34

(м2(0) + еРм 2(1) + ...) +

1 д

А1 да1

,54

(Н (0) + еРН (1) +...) +

ААда:е54 (Н(0) + еРН(1) +...)- е34(N2(0) + е™*) + ...) = °,

(

+ е елп\ + ...) - е

1(0)

2(0)

1(1)

+ еет + ... = е

2(1)

... )

1 д

А1 да1

-ч

е (и,п, + е и,,, +

(0)

(1)

А дЗ

е ■ (v(0) + +...) +

"(1)

1 дА -и

+---—^ е 1 (и,п, + еРип, +...)+--е6'4 (+ еР+

А1А2 да1

(0)

(1)

-...)+ — е64 (

Я2

(0)

(1)

... )

е14 (

с + есп, + ...)= е

(0)

(1)

... )

А А е-34( А да1 А2

V,«, + +...) +

(0)

(1)

... )

(

+—1--— £ 54 (и(0) + £Ри(1) +

£ ( кигл + £Рк,п, + ... )= -£

1(0)

1(1)

£ 4 (к2(0) + £ Р к2(1) + ...)= £

А2 дЗ

А1 да1 А1 да1

...)

(16)

£(^ + £Р^, +

40)

41)

А А дЗ

А А дЗ

£-84 (W(о) + £ РW(1) + ...|-

£(т(0) + £Рт(1) + •••l=--£

2 £(

1 I 1 д 1 д

2 (А2 дЗ А дЗ

£~8/4 (^ + £Рwm + ...! +

"(0)

(1)

+

1д

А1 да1

.)-тг £5,4 (•

Ас, дЗ£"4 (^ + £Р+ Я С™ + £'"" +

...)

4/4

(М1(0) + £РМ1(1) +...):

=_£_Г£ -24 (

12(1 -V2 ^

£5/4 (Н(0) + £РН(1) + ...) £4/4 (М 2(0) + £РМ 2(1) + ...):

£ 24 (к„т + £Рки,„ + ...)+ V£ 4/

4(1)

12 (1 + V)

2(0)

£-34(Т + £РТ + ь ^'(0) '(1) ^

^2(1)

...) .

= 12(1-7) ^ (к2(0) + £Рк2(1) + ...) +V£^ (к1(0) + £Рк1(1) + ...)] .

(£1(0) + £Р£1(1) + ...)= (Т1(0) + £ Р Т1(1) + ...)- V£ 24 (Т2(0) + £ Р Т2(1) + ...) £14 (Ю(0) + £РЮ(1) + ...) = (1 +V)£14 (Л(0) + £ Р Л(1) + ...)

(£2(0) + £Р£2(1) + ...) = £ 2 (т2(0) + £ Р Т2(1) + ...) - V (т1(0) + £ Р Т1(1) + ...) .

5. Уравнения нулевого приближения. Каждое уравнение представляет собой ряд по степеням £ . Оставим в каждом уравнении члены с наименьшими степенями £ . Получим уравнения нулевого приближения

1 дТ1(0, 1 дЛ(0, 1 дА

- + -

- + -

А да1 А2 дЗ А А2 да1

1 дт2(0) 1 дЛ(0, 2 дА.

Т1(0) + X = 0.

+

+

А2 дЗ А1 да1 А1 А2 да1

Т 1 д*

с + X = 0, -Т2(0) ■ 1 2(0)

^(0) 1 2

- + -

Я2 А2 дЗ

+ 2 = 0.

1 дМ1(0) 1 дН(0) 1 дА / \

1-М. +1--<а + (М1(0) -М2(0)) - *1(0) = 0

л л яа 1(0) 2(0)/ 1(0)

А1 да1 А2 дЗ А1 А2 да1

1 дМ.

2(0)

А2 дЗ

= 0;

'2(0)

1 ди

£1(0) =

(0)

А1 да1

1

0 =--^ +

А2 дЗ

(0) , w(0) 0 = А ^

1 ди,

(0)

Я

А1 да1 А А дЗ

1 д 1 дwi

к1(0) =

(0)

1 д 1

А1 да1 А1 да1

к2(0) =

(0)

А2 дЗ А2 дЗ

2

£

1( 1 д 1 дw

Т(0) = 2

(0) + 1 д 1 дw(о) ^

М1(0) =

12 (1 -V2)

\ vк

А2 дЗ А1 да1 А1 да1 А2 дЗ

н __1

2(0) "

Н (0) =

12 (1 + V)

(0)'

М 2(0) =

12 (1 -V2)

2 \ к2(0) ^

£1(0) = Т1(0) :

Ю,,

£2(0) = ^КА) .

'(0) = (1 +v) Л(0).

Написанная выше в нулевом приближении система распадается на две подсистемы. Первая служит для определения 11 неизвестных 7^),Л(0),Т2(0),*2(0),

М2(0) , £1(0), и(0), ^0), W(0), к2(0), Н(0), Ю(0)

1 дТ

1(0)

+

2(0)

+

- ^ £71.0) + *.= 0.

■1^ + ^ — 5т + X 2 = 0.

А1 да1 А2 дЗ А1 А2 да1

1 дТ2

А2 дЗ А1 да1 А1 А2 да1

Т

2(0) Я

£1(0) =

к2(0) =

+

1 д*2

2(0)

А дЗ

+ 2 = 0.

1 дМ

дЗ

2(0)= 0 2(0)

(1")

1 ди

(0)

1 дv.

(0)

w,

А1 да1 А2 дЗ 1 д 1 ^

+

(0)

Я

= 0,

А2 д

"(0)

+

1 ди

(0)

А1 да1 А2 А2 дЗ

= 0.

А2 дЗ А2 дЗ

М2(0) =

1

12 (1 -V2)

2 \ к2(0)

£1(0) = 71(0),

Ю

(0)

= (1 +v) Л(0).

Вторая - для определения 6 неизвестных М1(0)),*1(0),Н(0))к\(р),т(0)),£2(р) путем прямых действий без интегрирования по определенным в первой задаче неизвестным

1 д 1 дw

к1(0) =

М1(0) =

(0)

А1 да1 А1 да1

1 дМ1

12 (1 -V2) 1 дН

2 \ ^2(0) ^

= -1 Т(0) =- 2

Н (0) =

1 д 1 д^0) 1 д 1 дwt

+

(0)

А2 дЗ А1 да1 А1 да1 А2 дЗ 1

12 (1 + V)

(0) *

£2(0) = V71(0) :

1(0)

+

(0)

+

1 дА2

(М1

М )

1(0) -'"2(0);

)- *1(0)

= 0.

А1 да1 А2 дЗ А1 А2 да1 Система уравнений (17) может быть сведена к одному уравнению относительно перемещения v0 . Для этого надо из уравнений

т = 1 ди(0) ■*■ 1 ГС\\ — "

сЛ,

(0)

М(0)

А1 да1

дЗ

А1 да1

А271(0) А2 Х1 .

дТ

2(0)

1

д

дЗ

А1 А2 да1

А2 Л(0) А2Х2

ди

(0)

А22 д

К(0)

дЗ

выразить Т2(0) и из уравнений

^0) =-

Я, ^

(0)

А2 дЗ

1 д 1 дw(

к2(0) =

(0)

А2 дЗ А2 дЗ

А1 да1 А2

М2(0) =

12(1 -V2)

2\ к2(0).

N =

2(0)

1 дМ

2(0)

А дЗ

*2(0) через V(0) и подставить их в третье уравнение равновесия

Я д*2(0) -т_ + + Я 2 = 0,

2(0)

А дЗ

1

1

2

1

1

предварительно продифференцировав его три раза по 3 . Эквивалентное системе (17) с указанной погрешностью разрешающее уравнение имеет вид:

1 д 4 д А2 д 4 д V«,) 1 R22 5%)

А А да1 А да1 А1 да1 А1 да1 А 12 (1 -V2) А24 д328

2 д3 д3 А А2 да1 2 д3

Подобное уравнение вывел В.З. Власов [1] для замкнутой круговой цилиндрической оболочки с помощью некоторых далеко не очевидных гипотез. Поэтому, полученную в настоящей работе систему (17) назовем обобщенной по-лубезмоментной теорией произвольной оболочки нулевой кривизны. Уравнения (17) и (18) применимы как для замкнутой, так и не замкнутой оболочки нулевой кривизны, имеющей некоторую изменяемость в направлении направляющей. Ее погрешность определяется величиной ер, т.к. порождена отбрасыванием величин в разложениях (7) с номерами 5 > 0 . Погрешность уравнения (18) еч.

6. Уравнения первого приближения. Для определения показателя р надо записать систему (16) при 5 = 1. Приведем только первое уравнение, т.к. остальные пишутся по такой же схеме

-—Т1а) + -^ +—^(^ - е2/"р^2(0) ) + X = 0.

А да1 1(1) А2 д3 АА2 да/ 1(1) 2(0); 1

Из этого уравнения видно, что для получения уравнений, описывающих НДС в следующем приближении, надо, чтобы входящие в уравнение члены имели одинаковый порядок по е . Отсюда вытекает условие 2/4 - р = 0, которое дает р = 1/2 или р = 2q .

7. Рекуррентные уравнения. Из системы (16) при известном показателе р = 1/2 вытекает следующая общая запись последовательности уравнений для определения неизвестных:

± ^+± «иас ( - )+х _ = 0,

А да1 А2 да2 А1А2 да/ '

1 дт2(5, 1 , 2 дА, ^ 5-2)

+ ---^+ ^S(5) + + X2 = 0,

А2 да2 А да1 А1А2 да1 R2

- ^ «V*+± ^А Яш!1 + 2 = 0,

R2 А1 да1 А2 да2 А1А2 да1

1 ^+_! «ъ,+Л_ дА. (, - Мя,,)-=0,

А да1 А2 да2 А1А2 да/ 1(5) 2(5); 1(5) 1 дМ2(5) + J_ + ^ дА н - N = 0

А2 да2 А да1 А1А2 да1 (5 2) 2(5)

е = ^^ е = 1 ^5) + + ^к

1(5) А да/ 2(5-2) А2 да2 А1А2 да1 (5-2) R2

А д 1 ди(5) 1 д 1 ^(5) 1 д

(

®(5-2) = Л Я„ Л + Л ,К1(5) = Л Л Я ' К2(5) = "

А да А2 А2 да2 А да А да А2 да2 ^ А да2 R2

1 дм.

(5) 45-2)

Т( 5) = 2

1 д 1 дм, ) 1 д

(5) +-

( 1 дМ(5) ^5-2) ^

А2 да2 А да1 А1 да1

А2 да2 R

2 /

1

= К*-*) +™ад), Щ) = м*(, = К, 2)),

£1(*) = Тад -уТ2(*-2), ®« = (1 + у)£2(*) = Т2(5-2) ~VT1(s).

Последовательность уравнений, в которых величины с отрицательными индексами в скобках равны нулю, позволяют определить все неизвестные для любого 5 рекуррентным образом в порядке возрастания 5 от нуля. В каждом отдельно взятом приближении неизвестные не зависят от £ и вычисляются через величины, вычисленные в предыдущем приближении.

8. Краевой эффект. Система уравнений (17) и эквивалентное ей разрешающее уравнение (18) принимают особенно простую форму в случае круговой цилиндрической оболочки, для которой можно принять А* = А* = Я* = Я . В безразмерной записи эти величины становятся равными 1. Уравнение записывается

5%) 1 А0) ë3z а2х*

так: ---т--т-г—= —- + - 1

да/ 12(l-v2) дЗ8 дЗ3 дЗ2 дахд3 '

Обратим внимание на то, что полученное уравнение так же как и более общее (18) имеют четвертый порядок дифференцирования по а1. Это позволит выполнить только четыре условия на двух криволинейных краях оболочки. Еще четыре условия должны быть выполнены с помощью дополнительных уравнений типа пограничного слоя. В теории оболочек их называют уравнениями краевого эффекта [2]. Их можно получить применив вышеописанную процедуру выделения уравнений для получения решений с заданными свойствами. Весовые коэффициенты для уравнения краевого эффекта можно получить, выбрав в качестве начального приближения компоненты 71= 710 = 0, T2 = T20, S = S0 = 0 при изменяемости q искомых компонент НДС по координате а1. После вычислений получим следующие весовые коэффициенты

s1~ s0,s2~ s\rn~ s2-3q, u1 ~ sq, w ~ s0, u2 ~ s2q ,Kl ~ £ ~2q ,к2~ s~q ,x ~ s"q,

M1 ~s2-2q,M2 ~ s2-2q,H~ s2-q,N1 ~ s2-3q, N2 ~s2-2q, (t ~s2-2q,T21 ~s2-4q,S ~s2-3q),

Ml 2 1 54 w(0) , w(0) „

q = 1/2 и уравнение типа пограничного слоя: s —--— H--= 0.

Д да14 R

Уравнения для определения остальных неизвестных краевого эффекта здесь не приводятся.

Л и т е р а т у р а

1. ВласовВ.З. Общая теория оболочек. - М-Л.: ГИТТЛ, 1949. - 784 с.

2. ГольденвейзерА.Л. Теория упругих тонких оболочек.- М.: Наука. 1976. - 512 с.

DETACHMENT OF ELEMENTARY STRESS-STRAIN STATES FROM ZERO CURVATURE SHELL EQUATIONS

Zveryaev Ye.M., Makarov G.I.

A methodic of the approximate theory shell equations construction for the null curvature shell is presented. The two subsystems describing elementary stress-strain states with respect to the initial one are detached. The detachment of the principal terms in the every equation is made with the help of the simple iteration method. The weight coefficients for the every sought component of stress-strain state are determined in this way. The generalized halfmembrane state equations are constructed and the end effect asymptotics are given. The elementary stress-strain states are constructed according to the found weight coefficients with the asymptotic integration method.

KEY WORDS: shell, null curvature, asymptotic, small parameter, simple iteration method, method of asymptotic integration, variability, weight coefficient.