Применение разрывных функций при расчете пространственнных покрытий Текст научной статьи по специальности «Физика»

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» №4 2012

Главный редактор - д.э.н., профессор К.А. Кирсанов тел. для справок: +7 (925) 853-04-57 (с 1100 - до 1800) Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Щуцкий Сергей Викторович

Shchutskiy Sergey Viktorovich Ростовский государственный строительный университет Rostov State University of Civil Engineering Доцент/Associate Professor 05.23.01 Строительные конструкции, здания и сооружения

E-Mail: SvpiKe 1 @rambler.ru

Применение разрывных функций при расчете пространственнных покрытий

Application of discontinuous functions in space coatings calculating

Аннотация: Представлена методика расчета многогранных пространственных покрытий образованных из плоских панелей. Приведены дифференциальные уравнения равновесия и деформаций оболочек с разрывными параметрами. Выполнено сравнение результатов расчета оболочки, определенных по предложенной методике и при помощи МКЭ.

The Abstract: A method of calculation of multidimensional space of coatings formed from flat panels is described. Differential equations of equilibrium and deformations of shells with discontinuous parameters are given. The comparison of the calculation results envelope defined by the proposed method and by FEM is done. 1ll. 2, bibl. 2.

Ключевые слова: Покрытие, расчет, напряжение, деформация, панель.

Keywords: Coverage, Calculation. Stress, Strain, Panel.

Одним из типов пространственных покрытий являются покрытия, имеющие форму выпуклых многогранников, образованных из плоских клеефанерных панелей на реберном каркасе. Отдельные панели подобных покрытия соединяются друг с другом посредством стыковых элементов, зачастую обладающих значительно меньшей жесткостью, чем сами панели, поэтому расчетная схема покрытия представляет собой набор жестких пластин, соединенных податливыми связями [1]. Именно за счет этой податливости будет, в основном, происходить деформирование многогранного покрытия, и при этом в стыковых соединениях возникает достаточно сложное напряженно-деформированное состояние.

При численном расчете упомянутых выше сооружения с помощью МКЭ ребристые панели могут быть представлены в виде пластин с приведенными толщинами, а их стыковое соединение возможно моделировать путем введения в конечноэлементную модель конструкции упруго-податливых связей между отдельными панелями. В реальных задачах такой связью могут служить вставки в виде тонких упругих пластинчатых элементов типа листовых шарниров. Однако, в таком случае, только изгибные деформации вводимых в расчет пластинок будут достоверными, в то время как в действительности стыковое соединение испытывает сложное напряженное состояние. Отмеченный факт может сказываться на точности полученных результатов. В связи с этим, выполнен аналитический расчет одного из возможных типов многогранных покрытий для сравнения полученных результатов с данными конечноэлементного расчета и произведена качественная оценка достоверности последних.

В настоящей работе используется модификация методики расчета многогранных пространственных покрытий, разработанной Б.К. Михайловым [3] для расчета пластин и оболо-

$ $ $

чек с разрывными параметрами, которая дает возможность учесть разрывы функций усилий и моментов в весьма малой области нарушения регулярности внутренней геометрии или области приложения сосредоточенной или полосовой нагрузки (в нашем случае это изломы поверхности оболочки).

В случае поверхности с изломами кривизны представляются в виде:

т

1/ Л* = к,* = к, + £ О,-$(«-«,,),

"! (,)

1 К‘* = к 2 = к2 + £ е1-3(а1 -«,)

1=1

где к}, к2 - кривизны поверхности в промежутках между изломами, е,, О/ - углы поворотов касательной плоскости при переходе через линии переломов,

«1, «2, «1 , «2/ - координатные линии и линии изломов показанные на рис. 1, т, ! - количество изломов в направлении координатных линий,

$«-«2) - дельта-функция Дирака,

|5(х) = Н(х) - единичная функция Хевисайда, принимающая следующие значения: Н(х) = 1, при х > 0,

Н(х) = 0, при х < 0.

Рис. 1. Координатные линии и линии изломов оболочки

Дифференциальные уравнения равновесия и деформаций оболочек с разрывными параметрами позволяют по характеру входящих в них коэффициентов дать по крайней мере качественную оценку распределения усилий и перемещений в зоне разрывов физических и геометрических параметров.

Уравнения равновесия, записанные в усилиях и моментах, представим в виде:

_ * * * * .

• Т + Ф1 • М = Р , (2)

причем

п; =

дЛ2 (•••) дЛ1 (•••) , дЛ1

да1

дЛ1

да

я;

(...)

+ -

да2 да2

дЛ2 (.. 0 , дЛ2

+ -

да да

дЛ

-(•••) (•••)

(•)

да1 дЛ, (...) да

я;

1

1

0

^ ; ф1 =

дЛ2 (•) _2_

да1

1 дЛ1

Я; да2

ф31

я;

(•) "2*'

я;

дЛ (...), _2 да2 Я2

дЛ2 (.) + _2 да1 Я;

ф2

да

дЛ

да

1 дЛ.

я

(...)

^•^ (.)

г>* л V* * V т-»;

1; да1

1 ддС..)

я2; да

фу

2

ф31

А1А2

д 1 дЛ2 (...) д 1 дЛ1

Ф3

А1А2

да1 А1 да1

д 1 (дЛ1 (...) дЛ1

да2 А2 да2

да1 А1

■ + -да да

(...)

+ ■

да2 А2

1 дЛ2 (*) , дЛ2 ( ) да1 да1 .

Ф3

А1А2

д 1 дЛ1 (...) д 1 дЛ2 ( )

да2 А2 да2 да1 А1 да1

где А1, А2 - параметры Ламе; символ (...) означает, что при воздействии оператора на

некоторую функцию эта функция должна занять место указанного символа;

; ; _

Т , М и Р - векторы усилий, моментов и нагрузки в оболочке соответственно

Т м * Л1Л2 Р/

Т* =■ £ >, м * = - н , р = Л Л2 р2

Т * 2 М 2*, Р3

Соотношения совместности деформаций также представим в матричной форме:

* * * * . Й2 • Т + Ф2 • М = 0, (3)

* *

где Q2 , Ф2 , матричные операторы вида

1

д

1

1

к2

12Д к2

дЛ,,

(•••) + У

дЛ2 (...)'

12я;

да1

эд(...)

да

+ У-

да1 дЛ

да

к2 (1 Ч

— (1 + у) 6

к2 (л )

— (1 + у) 6

1

дЛ

я да

Я2 да2

1

дЛ2 С")+. 1

дЛ

я* да

32

я; да1

(...)

к2

ия:

дЛ2 (•) дЛ

да

+ У-

да

(•)

к2

12я;

дЛ1 (*)

да

да

Ф;

2

дЛ2. ( ) у _дЛ2 (" . •)

да

да

(1 + у{ aA(íl•l + ^A^ (...)'] ^A2Í•1 + удЛ2 (...)

V да2

да

З^Ы + уа:! (...) _(1 + у{элЫ + эл. (...)

"Ч *"\ \ / \ / ~\ "Л \ /

да да да да

да

да

да J_______у

я* я;

дЛ1 ( ) удЛ1 С . • )

да

да

J_______у_

я; я

к2

^31

12 А1 А 2

да2 А2

1 дЛ1 ( .. • ) + д У дЛ1 ( ) д 1 дЛ2 ( ) д

У

ЭЛ, (...)'

да2 да2 А2 да2

да1 А1 да1

да1 А1 да1

к2 (1 + у)

12 А1 А2 к2

д1

да1 А1

дЛ1(. • • ) , дЛ1 ( )

• +

да да

1

у

да2 А2

дЛ2 ( ) дЛ

+ •

да1 да1

( )

12 А1 А2

д 1 (дЛ2 (. . . ) дЛ

да А1V да

+ У -

да1

( )

+ -

д1

да2 А2

дЛ1

да

(• • .)+у

Э4(. ..)'

да

2

Подставив в уравнения (2) и (3) значения кривизн по формулам (1), получаем систему разрешающих уравнений для оболочки с изломами срединной поверхности

^1Т + Ф1М = Р - К/Т + М1'М, ^2Т + Ф2М = - К2'Т+М2'М,

(4)

здесь 01, Ф1, ^2, Ф2 - матричные операторы классической теории тонких гладких оболочек; К/, М/, К2', К2' - матричные операторы с разрывными коэффициентами, определяемые по формулам

0

д

к:

0 0 0

0 0 0

т п

Е 0, в(«1 -«1, ) 0 Е 0 і 5(а2 ~а2 і )

,=1

і=1

N;

дЛ2 (. . .) ы ч _ дЛ (. . . ) ” ч

-Е0і б(аі-«) 2 д Е0і б(аі-«)+

,=1 д«2 і=1

-« (• ■. 0 і - ^(«2 - «2 і ) 2 ^ Е>0 і . ¿(«2 - «2 і ) +

х2 ' д«1 дЛ

2 і=1

д«1

і=1

0

+ 2 (.. .)£ 0 ■ ^(«2 - «2і) - (... )Е 0, г(«1-«1,)

дЛ

д«

2 і =1

+ 2«(. ..)Е0, ■£(«,-«„) д«

д«1 дД(. .. )

,=1

*1 ,=1

д«

Е 0 і в(«2 «2 і )

2 і=1

к:

к2 т

12 Е 0 в

к2 п -—20, в 12 ¿1 ; ;

дЛ2 ( ) + удЛ2 (. . ')

д«

дЛ

д«

А. )

д« д«

0

( )

к!

6

к!

6

(1+п)

(1+п)

Е 0, ■4дЛ^+2 0в«(.. )

,=1 д «2 і=1 д«2

Е0, Е0і в-«(.. )

1=1 д« ; ; д«

к2 т ■—Е0 в

к2 п

—20 / -в

12 £ ; ;

дЛ2 ( . •) + пдЛ2 ( ) д« д«

дЛ1 ( ) дЛ1 ( )

1 (.. .) + П и '

д«

0

д«2

0

0

0

N2 =

0

0

Е0і в -пЕ0, в

0

Л (

\1=

0 0

Е0, -ь-уЕ 0, в

і=1

Л

Поскольку уравнения равновесия и совместности деформаций (4) имеют схожую структуру, то можно уменьшить количество уравнений теории оболочек, вводя некоторую комплексную функцию [3]. В этом случае система уравнений теории оболочек, записанная через комплексную функцию

0

0

,=1

п

(5)

где ю - прогиб; р - функция напряжений; п - д/і2(і-у2)Д ;

преобразуется к следующему виду, представленному для краткости записи в тензорной форме [30]

1

Э А 1 Э Э 1

Э Э 1 Э Э А1 1 Э ■+-------------------------------------------------------+- 1

А1А2 і Эа А R22 Эа Эа R12 Эа Эа я12 Эа Эа А2 R11 Эа

?=

'2 У

тк2ДД?

«(1-у2) ■

(6)

Уравнение содержит единственное комплексное неизвестное а под А подразумевает-

ся обобщенный оператор Лапласа

Д = -

1

Э

А2 Э

А1А2 I Эа1 і А1 Эа

+ ■

Э

1 У

Эа

В (6) присутствуют главные кривизны 1 , которые можно представить в виде суммы

Ri *

(1), причем для многогранных оболочек, образованных плоскими элементами, первое слагаемое (1) следует положить равным нулю [2]. Изломы срединной поверхности оболочки характеризуются углами ва , которые складываются из углов ва, обусловленных геометрией покрытия и величины %, представляющих собой угловые деформации стыковых соединений панелей под нагрузкой.

Как отмечалось ранее, развитость панелей в поперечном направлении позволяют предположить, что покрытие будет испытывать только изгибные деформации. Несложно заметить, что (6) является известным уравнением теории пологих оболочек в комплексной записи, однако, с учетом отмеченной особенности конструкции, присутствующие в нем радиусы кривизны должны приниматься в своем обычном виде, без учета пологости покрытия.

Подставив (1) в (6) имеем

А1 Э

V А2 Эа2 У

Д2? + іп

Э 2?

D

£у2 ^=1 < ' ^ £х2 ^=1

Разложив выражение, описывающее действующую нагрузку, в двойной ряд

к т

«=ЕЕ ? ^ 8т(ах)зт(Д.у),

(7)

(8)

¿=1 1=1

можно утверждать на основании принципа независимости действия сил, что напряженное состояние от всей нагрузки будет складываться из напряженных состояний, вызванных нагрузками, представленными соответствующими членами ряда (8). Поэтому, не теряя общности рассуждений, будем считать, что нагрузка приложена по закону

д = дп БІи(а1 х) біп(Ь1 У).

Функцию ? представим также в виде ряда

?=ЕЕ ?! 8Іп(аіх)8Іп(Ь1У).

г=1 у=1

Считая, что искомая функция р, как и внешняя нагрузка, представлена одним первым членом ряда, решение уравнения (3.25) запишем в виде

р = Ро + Е=1 (х )Ухг ^П(ДУ)+ Е=1 Ь"гРу (уУ Ууу М0*)

где рх - первый член в разложении функции рпо координате у;

ру - первый член в разложении функции р по координате х; Ро - решение уравнения:

А2р0 =-^8^(0^ х)вт(Д у), или р0 =р11 8т(а х)8Ш(Д у),

р = . Р11 . •

11 +Д12) ’

(9)

Г

йх2

уу - решение уравнения:

Л

- Ь2 уХІ =&(х - хг), имеющее вид

у = С1сИ(Дх) + С2 sh(bx) + С3 хск(Дх) + С4 xsh(bx) +

+ Д [^Ь(х - хг )) - Д(х - хг )с^(Д(х - хг ))]Я(х - хг ) ,

причем Н(х - хг) - единичная функция Хевисайда, а С], С2, С3, С4 - произвольные постоянные интегрирования.

Выражение у записывается аналогичным образом.

Операторы Ьг и Ьг определяются выражениями

Формула (9) содержит неизвестные коэффициенты Ьі ?х(хг) и Ц ?у(УД представляющие собой результаты воздействия операторов Ц на функцию ? при х=хІ и операторов Ц на функцию ?у приу=у. Для определения этих коэффициентов воздействуем на левую и правую

части равенства (9) последовательно операторами | (...)Ц'т 8Іп(/У)йу. В результате получим

систему из следующих уравнений:

Хт = Ьт - Е-=1 Хіаті + Е;=1 7^ ,

где введены обозначения

ХІ Ьі ?:(xi),

аті = ^ Цт Ухг (хі ) §Іп2 (РУ)йУ ,

Ьт = ^ Ьт ?0 *ІП(ФУ)^Іп(ахт )йУ .

т = 1,2,3,. . . , к,

(10)

Ь1 ?У(у1),

а

= ¡Ь01'т¥я (хг ^т2 (Зу й,

Применяя к левой и правой части равенства (9) последовательно операторы (...)£"„ 8т(са^х, получаем следующую систему уравнений

У = ъп - У х:ат + У Ум-, п = 1,2,3, . . . , 1, (11)

п п ^\=1 г пг ^^,=1 55555 \/

где апу = £ 1''п ¥уг (Уп ) ^ (ах¥х , ат = £ П"п Ухг (Уп ) 81п2 (ах)Лх ,

Ъп = |>"п ро 8;п(ДУп )51п(°х)^х .

Уравнения (10) и (11) в совокупности образуют полную систему уравнений для определения неизвестных Хг и У,, входящих в состав выражения (9).

Рассмотрим оболочку, составленную из девяти элементов (рис. 2), соединенных податливыми связями, размером в плане 1,207х 1,207 м. Оболочка имеет шарнирно-подвижное опи-рание по контуру. Нагрузка равномерно распределена по всей поверхности покрытия и действует в вертикальном направлении. Составляющие оболочку элементы представляют собой изотропные пластинки с длиной стороны, равной 0,5 м.

Уравнение (7) в этом случае принимает вид

А2р + тв

■Л2 ( (

р 8

+

Эу2 Э 2р

а

х--

V V

+ 8

а

х-а-

+

у/

2 ( (

Эх2

8

V V

У-

а42

1 ( +8

У - а -

а

4211

УУ

(12)

Рис. 2. Оболочка из плоских панелей с податливыми стыковыми соединениями Если нагрузка представлена рядом

«=У У ?_ 81п(атх)81п(ЬпУ), (13)

2

2

2

2

то решение уравнения (12) при удержании в (13) одного первого члена запишется так:

9 = jo -l \jx

a

l\jy

Vx1 )- l'2 jx

a

a

42'

Vx2 sin(ßy)-

v 2 y

a

(14)

Vy2sin(ax) •

При шарнирно-подвижном опирании по контуру постоянные интегрирования, входящие в выражения для функций y и у, определяются следующими зависимостями:

sh(b(a - xi ))

Q = С4 = 0,

2 Dß3sh(ßa )

1

C =-2 Dß2 sh(ßa )

ß(a - xt )ch(ß(a - xi )) - sh(ß(a - xi )) - ! ßa cth(ßa)sh(ß(a - xt ))

Формулы для постоянных, входящих в функции у, получим из приведенных выражений заменой х——у, а—Ъ, х—уг, а—Ь

Отделяя в (14) вещественные и мнимые части и используя известные зависимости теории пластин, получаем следующие формулы для определения усилий и моментов:

M 2 = D

col "+mwy0 "-^^2 (y"x+m v" y)

œln+mœ°"-

1 + A

A

1 + A

2 (y" y +mv"x)

= gc, = g2C,

(15)

rp , E 1 , E 1

T = h----- v"y, T2 = h--—-2y"

n 1 + A

E1 £ = -h—---- y

n 1 + A

2 r xy

где A = 2n0ßÄ

V

1y

sin 2 (aa(1 + V2/2)) + 4a4

v 2 y

Величины углов поворота панелей друг относительно друга уп, вызванные податливостью стыковых соединений под нагрузкой, определяются из (15), где с - жесткость стыкового соединения.

Максимальный прогиб оболочки, найденный по предложенной методике, составил 2,004 мм. Прогиб аналогичной конструкции, рассчитанной при помощи МКЭ, получился равным 2,4 мм.

ЛИТЕРАТУРА

1. Журавлев А. А., Вержбовский Г.Б., Еременко Н.Н. Пространственные деревянные конструкции. - Ростов-на-Дону: ОАО ИПФ «Малыш», 2003. - 518 с., илл.

2. Михайленко В.Е., Кащенко А.В. Природа. Геометрия. Архитектура. - Киев:

Будівельник, 1981. - 76 с.

3. Михайлов Б.К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами./Под ред. В. А. Лебедева. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. - 196 с.

2