CC BY
56
Таким образом, на каждой итерации соответствует решению одной прямой задачи (1)-(15), одной сопряженной для параметров W = (h*,Q,c*,q*,q2*,C*) и j1 = 1,..., Ji сопряженную задачу для уравнений (3) и (6).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Шугрин СЛ4. Соединение одномерной и двумерной (плановой) моделей течения воды // Водные ресурсы. - 1987. - № 5. - С. 5-15.
2. . ., . . -
// . -
2009. - Т. 12, № 1. - С. 25-30.
3. . . -
использовании их для орошения (на примере Веселовского водохранилища на р. Западный Маныч): Дисс. ... канд. техн. наук. - Новочеркасск. - 2001. - 120 с.
4. Рахуба А.В. Экспериментальные исследования пространственно-временной неоднородно-
//
. - 2009. - . 11, 1. - . 146-154.
5. . ., . . .
- Новосибирск: ВО «Наука». Сибирская издательская фирма, 1993ю - 368 с.
6. . . . - .: . . . физ.-мат. лит. 1992. - 336 с.
7. . ., . . -
//
Препринты ИМП им. М.В. Келдыша. - 2011. - № 50. 24 c. URL: http://library.keldysh.ru/ preprint.asp?id=2011-50.
Статью рекомендовал к опубликованию к.т.н. В.В. Нефедов.
Бузало Наталья Сергеевна - Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт); e-mail: buzalo.n.s@mail.ru; 346428, г. Новочеркасск, ул. Просвещения, 132, тел.: 89185324924; физико-математический факультет; кафедра прикладной математики; к.т.н.; доцент.
Никифоров Александр Николаевич - e-mail: a.n.nikiforov@mail.ru; тел.: 88635255692; физико-математический факультет; кафедра прикладной математики; к.т.н.; доцент.
Buzalo Natalya Sergeevna - South-Russian state technical university (Novocherkassk polytechnic institute); e-mail: buzalo.n.s@mail.ru; 132, Prosvesheniya street, Novocherkassk, 346428, Russia; phone: +79185324924; faculty of mathematics and physics; the department of applied mathematics; cand. of eng. sc.; associate professor.
Nikiforov Alexandr Nikolaevich - e-mail: a.n.nikiforov@mail.ru; phone: +78635255695; faculty of mathematics and physics; department of applied mathematics; cand. of eng. sc.; associate professor.
УДК 519.6
Н.Б. Иткина
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАССОПЕРЕНОСА С ТОЧЕЧНЫМ ИСТОЧНИКОМ НА БАЗЕ РАЗРЫВНОГО МЕТОДА
ГАЛЕРКИНА
Рассматриваются вариационные формулировки для уравнений конвекции-диффузии на базе разрывного метода Галеркина. Применение разрывного метода Галеркина (Discontinuous Galerkin method) для решения конвективно-диффузионных задач обосновано свойст-
DG- , -
h- p-h- .
нефизичных осцилляций вблизи пограничных и внутренних слоев. В статье исследуется возможность использования базисов различных порядков, что позволяет разработать
стратегию построения адаптивной сетки с учетом особенностей конкретной задачи. На классе модельных задач показано, что применение лифтинг-оператора значительно повышает устойчивость вычислительной схемы.
Разрывный метод Галеркина; уравнение конвекции-диффузии-реакции; стабилизи-.
Variational formulations for convection-diffusion equations based on discontinuous Galerkin (DG-method) approximation method is offered. Application of the discontinuous Galerkin method for the convection-diffusion problems solution substantiated properties of local conservatives of DG-method, as well as its potential for use h and ph-strategies. These character-
paper investigates the use of different orders bases, which allows to develop a strategy for constructing adaptive grid. Was shown on the class of model problems that the use of lifting operator significantly increased the stability of the computational scheme.
Discontinuous Galerkin method; convection-diffusion-reaction problems; operator of stabilization.
Многообразие прикладных задач, в которых присутствует конвективный пе-, -сти численных методов. Разрывный метод Галеркина (DG-метод) позволяет получать аппроксимации разрывных решений, используя идею численных потоков и
, - -, -ние конечно-объемных методов [1-2]. В данном случае численные потоки - это специальные операторы следа на границе конечного элемента, а ограничители - , . эти дополнения призваны обеспечивать сходимость численного решения к физически релевантному решению без осцилляций вблизи разрывов. Благодаря своей - DG- : 1)
метод Галеркина хорошо приспособлен для локальных сгущений сетки и для ло; 2) DG-
со сложными и геометрически разнородными областями [3].
Рассмотрим нестационарную задачу тепломассообмена:
Определим триангуляцию области Q: Sh = {К}, гДе К - конечные эле-
N.B. Itkina
DISCONTINIUOS GALERKIN NUMERICAL SCHEME FOR MASS TRANSFER PROCESS WITH POINT SOURCE
istics of the method can avoid unphysical oscillations near the boundary and internal layers. The
u = gD на дО,
(1)
Перейдем к системе уравнений первого порядка: a-Vu =0,
Ъи на ^ .
-V-(Aa) + a-Vu + Y~u = f
(2)
менты. Обозначим границу конечного элемента К : ЪК. Тогда
Кеа
объединение всех границ конечных элементов, Г0 = Г \ дО - объединение внутренних границ конечных элементов.
Введем пространство ^ (Н,) как простран ство функций, заданных на О, которые на каждом элементе К принадлежат пространству Соболева ^ (К) с нор-
Ґ Л>2
ІЦ (к)
г II2
V
■■12 (К )
где Ь2 (й) - пространство Лебега со скаляр-
ным произведением: (у,М?) ( = \vwdО и нормой:!|у|| ( ^(у,V)12( ) .
' ' Ь, (О) ^ 1111 Ь, (О) ' ' Ь, (О)
О
Введем пространства тестовых функций:
V = {уе Ь,(О):у|ке Р(К),УКеН,},
2, = {г [Ь, (О)]2 :^к е !(К),УКе Н,},
гдеР(К)=Рр(К) - пространство полиномов степени р > 1, определенных на элементе К; 2(К) = (р(К))Уь и 2, - подпространства пространств П'1 (Н, ) .. ( (Н, ))2.
След функции V Е У на границе конечного элемента К : дК определим следующим образом: = ИтV (х + £ПК ) , где ПК - единичная внешняя
нормаль к границе дК . Оператор среднего вычисляется [1]: = (. + V )2
на границе дК еГ0, на границе дО, {т) = {т: + г- )/2 на границе
дК еГ0, (г) = Г на границе дО , оператор скачка: [у ] = V; П; + V ■ П3 на границе дК ЕГ0, [ V 1= V; П; на границе дО, [г] = Г • П■ + Г ■ • П■ на границе
\. л ; ; V л ; ; 3 3
дК еГ0, [г] = Г(. • Н на границе дО, где индексы ■ и ] определяют конечные элементы К ■ и К ■, имеющие общую границу дК .
■ 3
Найти функции и, Е V, и С, Е 2, та кие, что УК Е Н, удовлетворяют [1]:
С 'Г^ = и,У-гс!х + |йКпК Уге2(К); (3)
К К дК
Л
•Vvdx + |а • сЛ + ^yдйvdx = |jVdx + |<СК • пKvds Уу е Р(К), (4)
К К К К дК
где величины С, и й, аппроксимируют С = Vu и й соответственно. Тогда вариационная формулировка (3)-(4) примет вид
В,(и,,у)= ^jVdx Ууе V,, (5)
.
Bh (uh,v)= pVhuh Vhvdx + Ja -Vhuhvdx + \y^rrvdx +
Q Q Q Ъ
(6)
+ J^([- uh HV hv)- (a) -[v ]) +
Г
+ J ( uh) [VhvHa Kv> )ds.
Г0
(5) -
нах uh .Выбрав численные потоки в виде u = (u^j + nK -[uh] на Г0,
u = nK -[uh — g ] на 9Q; a = (Vhu^j на Г. Получаем вариационную поста-
новку Baumann - Oden [3]:
Ъu
PVhuh •Vhvdx + Ja Vhuhvdx + JV-bfvdx— J^([uh]-(Vhv) — (Vhuh)-M)d-
Q Q Q Г
— J gn-Vhvds — — J[uh ] - [v] ds = J fvdx,
Г № Г Q
Vv е Vh. (7)
Любой элемент конечномерного подпространства u е Vh можно предста-
N
вить в видеu, = > u, гДе Ц. - коэффициенты разложения функции uh по h i i i h
i=1
базису ,i = 1,...,N. В качестве базисных функций выберем взаимно-
ортогональные функции т1 (x, у) = 1, Y2 (x, у) = x, Y3 (x, у) = у, Y4 (x, у) = xy
, ^5 (x, у) = x2— 3, тб (x у ) = у2 — ~, ^7 ( у ) = ^у2— |j,
^8 ( у) = у^2 — -3j, ^9 (x у) = ^x3 —5xj, ^10 (x, у) = ^у3 —5 ^ .
N
Подставляя представление функции uh = ^u ^ в вариационное уравнение
i=1
(7) ,
і дuKj
I uKj j ЛVТK■VТкnjdx +1 uKj j a V^ldx +1 -t- j fPd dx +
дt K,
, (8)
+1иК |я([тК((-(ут*)[тк^)
і к
- І УТ >--і X 1 «(«5 тК“-и,К“ тк )пТ > = І /Т^х,
гпэк; № і тэк; к
где Т,ТКТ - базисные функции самого элемента К ■ и соседнего элемента с і і ]
, . (1) - -
(8). (8) используются квадратурные формулы метода Г аусса четвертого порядка.
Основные свойства численной схемы (8) исследуются на классе модельных задач. Для задач конвекции-диффузии особенно важно определить примерный интервал изменения значений параметра стабилизации Л и влияния порядка конечно-элементного базиса на точность решения системы (8).
Модельная задача: в области й = [0,1]х[0Д] решить задачу
(Аgradu) + а • %тайи = / (9)
с коэффициентами а = (1,1) аналитическое решение и(х,у) = ът2пх$,т2я:у .
Вычислительные эксперименты проводились на вложенных сетках 5X5, 10 х10, 20X 20 на элементах первого, второго, третьего порядка для коэффициентов А = 1,10-1,10-2 с различными значениями параметра стабилизации Л = 1,0,1,0,01,0,001.
Таблица 1
Погрешность решения задачи (9) при А = 0,1
N Порядок базисных функций ы-ы*
^ч о о о" II ^Ч о о" II ^Ч сэ II II
25 1 8,07-01 3,24-01 5,26-01 7,55-01
2 1,20-01 7,91-02 5,38-02 8,17-02
3 1,75-02 1,34-02 1,22-02 2,58-02
100 1 1,45-01 7,99-02 1,36-01 4,49-01
2 4,65-02 2,98-02 1,25-02 1,17-03
3 1,70-03 1,17-03 5,67-04 1,14-03
400 1 2,97-02 2,15-02 1,78-02 1,48-01
2 1,33-02 9,71-02 3,25-03 1,67-03
3 1,26-04 8,41-05 3,51-05 3,34-05
Уменьшение порядка коэффициента А приводит к появлению незначительных погрешностей в окрестности границы области, увеличение порядка элементов позволяет увеличить точность решения. Применение параметра стабилизации позволяет повысить точность решения задачи на два порядка.
Таблица 2
Погрешность решения задачи(9) при А = 0,01
N Порядок базисных функций ы-ы*
О О сэ N ^ч о о" II ^Ч о" N II
25 1 5,64-00 2,32-00 1,44-00 2,02-00
2 1,206-00 4,46-01 1,87-01 4,45-01
3 1,06-01 3,38-02 1,57-02 3,57-02
100 1 1,84-00 3,60-01 3,64-01 6,10-01
2 1,67-01 2,02-02 2,02-02 1,35-02
3 2,63-03 6,46-04 6,46-04 1,11-03
400 1 1,79-00 2,84-01 6,17-02 1,65-01
2 2,30-02 1,47-02 3,42-03 1,56-03
3 1,28-04 1,00-04 4,05-05 3,01-05
Для решения задачи массопереноса в трубчатом реакторе (математическая модель(1)) использовалась вычислительная схема с оптимальным значением параметра стабилизации /и е [0,1;0,001] на вложенных сетках 5х 5, 10 х10, 20 X 20
с базисными функциями второго порядка. Для задачи, приближенной к реальной, доминирование конвекции было значительно меньше (на 2-4 порядка), чем для модельных задач, что обусловило значительное уменьшение погрешности (на 2-3 ).
Проведенные вычислительные эксперименты показали возможности применения разрывного метода Галеркина для решения конвективно-диффузионных задач с преобладанием конвекции. Оптимальный выбор параметра стабилизации позволяет повысить точность решения задачи как минимум на один порядок.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Arnold D.N., Brezzi F., Cocburn B., Marini D. Unified analysis of discontinuous Galerkin methods for elliptic problems // SIAM J. Numer. Anal. - 2002. - Vol. .39, № 5. - P. 1749-1779.
2. Cocburn B. Discontinuous Galerkin methods for convection-dominated problems // In High -Order Methods for Computational Physics. - 1999. Vol. 9. - P. 69-224.
3. Baumann C.E.and Oden J.T. A discontinuous hp finite element method for convection-diffusion problems // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. - 1999. - № 175. - P. 311-341.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н. О.П. Солоненко.
Иткина Наталья Борисовна - Новосибирский государственный технический университет; e-mail: itkina.nat@yandex.ru; г. Новосибирск-99, ул. М. Горького, 92, кв. 3; тел.: 80059383464;
; . . .; .
Itkina Natali Borisovna - Novosibirsk State Technical University; e-mail: itkina.nat@yandex.ru; 92, M. Gorky street, ap. 3, Novosibirsk-99, Russia; phone: 80059383464; the department of computational technologies; cand. of eng. sc., associate professor.
УДК 629.7.016
О.Д. Крееренко, Е.С. Крееренко МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА , ,
НА ОСНОВЕ СИНЕРГЕТИЧЕСКОГО ПОДХОДА
Статистические данные по авиационным происшествиям в классах пассажирских и транспортных самолетов мира показывают, что значительная доля авиационных происшествий, в том числе катастроф, на этапе посадки происходит в результате столкновения самолета с наземными объектами вследствие его выкатывания за пределы взлетнопосадочной полосы (ВПП). Как правило, причинами авиационных происшествий являются отказы в системах самолета, а также человеческий фактор. В связи с этим проблема совершенствования законов автоматического управления для обеспечения заданного уровня безопасности при движении летательного аппарата (ЛА) по ВПП остается весьма актуальной. В докладе рассмотрен новый синергетический подход к синтезу законов автоматического управления движением самолета по ВПП. Такой подход позволяет всесторонне и в полном объеме учесть естественные динамические свойства ЛА как нелинейного, многомерного и многосвязного объекта управления (ОУ) [1].
Математическая модель; летательный аппарат; синергетический синтез; законы .
