Вычислительные аспекты метода площадей для параметрической идентификации объектов управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Федеральный закон «О техническом регулировании» от 27 декабря 2002 г. № 184-ФЗ (ред. от 30 декабря 2009 г.) [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.consultant.ru/popular/techreg.

4. Энергетическая стратегия Чувашской Республики на период до 2020 г. Утверждена постановлением Правительства Кабинета министров Чувашской Республики от 30 декабря 2005 г. N° 349 [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.pravoteka.ru/docs/chuvashskaya_respublika/344.html.

5. www.gov.cap.ru/main.asp?govid=15 - сайт министерства промышленности и энергетики Чувашской Республики.

ЗАХАРОВ НИКОЛАЙ ЛЕОНИДОВИЧ - ассистент кафедры электроснабжения промышленных предприятий, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).

ZAHAROV NIKOLAY LEONIDOVICH - assistant, department of electric power industry enterprises, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.

УДК 62-50 (075.8)

АН. ИЛЬГАЧЁВ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ МЕТОДА ПЛОЩАДЕЙ ДЛЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ

Ключевые слова: объект управления, параметрическая идентификация, кривая разгона, передаточная функция, метод трапеций, диаграмма Вышнеградского.

Рассмотрены недостатки известной вычислительной схемы метода площадей М.П. Симою , применяемого для параметрической идентификации объектов управления с самовы-равниванием. Предложена вычислительная схема метода, обеспечивающая существенное повышение точности определения параметров передаточной функции объекта.

A.N. ILGACHEV

SQUARE METHOD CALCULATING ASPECTS FOR PARAMETRIC IDENTIFICATION OF CONTROL OBJECTS

Key words: control object, parametric identification, runaway curve, transfer function, trapezium method, Vyshnegradskij diagram.

The article discusses disadvantages of the known calculating scheme of Simoju M.P. method used for parametric identification of control objects with self-regulation. The calculating scheme method is suggested that provides essential improving accuracy of determining the object transfer function parameters.

Параметрическая идентификация является обязательным и важным этапом

идентификации динамических свойств объектов управления, для осуществления

которой разработано и применяется множество методов. К их числу относится, в

частности, метод площадей, предложенный М.П. Симою [4], который позволяет

по нормированной кривой разгона y (t) объекта управления с самовыравнивани-

ем определять коэффициенты передаточной функции его модели вида

— , ч 1 + b.s + b2s2 +... + bmsm , ч

Wм (s) = ---------------------------------------------------1-^, n > m. (1)

1 + a1s + a2s +... + ans

Кривая разгона - это реакция объекта управления на скачкообразное входное воздействие произвольной величины, которая может быть получена как экспериментально, так и расчетным путем.

Сущность метода площадей М.П. Симою состоит в следующем. Рассмотрим функцию, обратную передаточной функции (1):

W-J(s) = 1 = 1 + a1 s + a 2 s 2 + ... + ansn

W м (s) 1 + bj s + b2 s2 +... + bmsm

и разложим ее в ряд Тейлора в окрестности точки *0 = 0:

—-, = 1 + а,* + а 2 + ... + а,*’ = , + * + + ... + „ +(2(

1 + Ь, * + Ь2 л- +... + Ьт*т к

в котором — М (0) =£0 = 1.

Приводя (2) к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях *, находим

ак = Ьк + ИЬАм; + Sk , к = 1, 2, 3, ... . (3)

г=1

Числитель и знаменатель искомой передаточной функции (1) содержат (, + т) неизвестных коэффициентов а, Ь, / =1, 2, ..., ,, , = 1, 2, ..., т и для их нахождения необходимо, чтобы система (3) содержала такое же количество уравнений.

Для определения входящих в систему (3) коэффициентов разложения Бк, к =1, 2, ... рассмотрим изображение по Лапласу отклонения нормированной разгонной характеристики от установившегося значения ф(' ) = 1М ~ ()

Ф(л) = Ц{ф()} = Ц{1 м у()} = Ц{1} м Ц{у ()} = 1 - —м ()! = 1 ~ —^) (4)

* 5 5

и разложим его в степенной ряд по 5 в окрестности точки 50 = 0

ад

Ф(л) = Ц + Ц^ + Ц252 + • • • + Цклк + • • • = Е Цклк , (5)

к=0

1 ^(к

где

Ц к = к! Ф(к )(0).

В этом разложении коэффициенты цк называются моментами вспомогательной функции ф(0. Установим связь моментов цк с функцией ф(0. Для этого запи-

шем формулу определения прямого преобразования Лапласа для функции ф(0

ад

Ф(л) = | ф(. (6)

0

Раскладывая функцию еМ5 в ряд по степеням лР.

ем« = 1 МИ + М^ МИ^ + +(М 1)к М! +

1! 2! 3! У ' к!

можно представить интеграл (6) в виде суммы интегралов:

ад ад ад ад 2 ад / л\к к

| ф( )е “ *& = | ф() м * | 1 ф() + *21 — ф() + • + *к ф() + • (7)

0 0 0 ' 0 ’ 0

Сравнивая (7) и (5), находим

ад

Цк = к^ф(^&{, к = 0,1,2, ... . (8)

к! 0

Преобразуем формулу (4)

1 <9)

Подставляя разложения (2) и (5) в (9), умножая и приводя подобные члены, получим

1 + (^! -Ц о )5 +(£ 2 -Ц 0 ^1 -Ц1 )я 2 + ••• +

( *-2 Л . (10)

+ [^ -Ц к-1 - ЕЦ 1$к-1'-/ Л Я + ••• = 1

Из (10)следует

к-2

$к-Цк-1 -ЕцА-ы = 0, к = 1,2,3, .... (11)

/=0

В свою очередь, из (11) следуют рекуррентные соотношения для нахождения коэффициентов разложения обратной передаточной функции Жм (я)

к-2

Sk = Ц к-1 + ЕЦ 1Sk-l-1 , й = 1, к = 1, 2, 3, .... (12)

/=0

С геометрической точки зрения момент цк представляет собой взвешенную с (-1 )к

весовой функцией -—— площадь области, ограниченной кривой ф(/) и осью абс-к!

цисс, что и определяет название метода параметрической идентификации.

Интегралы (8) являются несобственными, при их нахождении по известной вычислительной схеме [5], реализующей метод, бесконечный предел заменяется конечным

1 Тп

Ц к * к А- /)к Ф(/ ,

к! 0

а интегрирование осуществляется приближенным методом трапеций или парабол [1]. Применение метода трапеций или парабол численного интегрирования в этой случае оправдано удобством совместного его использования с данными, полученными экспериментальным путем. Для этих методов характерно деление интервала интегрирования [0; Тп] точками /0, /1, ., /п на п равных отрезков, при-

т

чем /0 = 0, /п = Тп, длина каждого из отрезков составляет д = _п. и / = /А^,

п

/ = 0, 1, 2, ., п. На практике значение Тп выбирается таким, что |ф(/)| < 0,05 для всех / > Тп. Число отрезков п принимается из условия вычисления значений интегралов (8) с приемлемой точностью.

Согласно [5] формулы для вычисления моментов цк вспомогательной функции ф(/) с применением метода трапеций и парабол имеют соответственно вид

Цк = Д Е (- )к ф('Д/), к = 0, 1, 2, ... ., (13)

к! /=1

Цк = ДЕ[з + (-1)-1 (/Д/)кф(Д/), к = 0, 1, 2, .... (13’)

к! /=1

Проанализируем точность вычисления интегралов (8) для монотонной или апериодической нормированной кривой разгона объекта при использовании формул (13) и (13’). На рис. 1 приведены графики функций фк(/) = /кф(/) для значений к = 0, 1, 2.

Момент цк по абсолютной величине пропорционален площади области, ограниченной кривой фк(/) и осью абсцисс. При практических расчетах момента цк вносятся погрешности, обусловленные конечностью интервала интегрирования и выбранным численным методом интегрирования. Величина погрешности, связанная с использованием конечного интервала интегрирования, численно пропорциональна площади области, ограниченной кривой фк(/), осью абсцисс и расположенной правее линии / = Тп (на рис. 1 она окрашена серым цветом).

Значение цк, вычисленное по (13) или (13’), пропорционально сумме площадей ^ и (рис. 2). Следовательно, приближенное значение момента цк, вычисленного по формуле (13) или (13’), отличается от точного, по крайней мере, на величину, пропорциональную площади ^3, которая растет с ростом индекса момента цк. В силу рекуррентной связи с моментами цк вычисление коэффициентов разложения 5/ обратной передаточной функции модели происходит с еще большей погрешностью.

В данной работе для повышения точности определения параметров модели объекта управления предлагается использовать аналитическое представление приближения функции фк(/) на интервале [Тп; да), построение которого основано на следующих рассуждениях.

Функции ф(/), полученной на основе монотонной или апериодической нормированной кривой разгона объекта, соответствует приближение ~(/), являющееся общим решением однородного дифференциального уравнения

dn ф аф ~

ап~Т7 + ••• + °1^Т + Ф = ^ (14)

а/п а/

которое для случая простых корней характеристического уравнения дифференциального уравнения (14) представляется в виде

ф(/ )= Е1С/е‘‘‘ , (15)

/=1

где я, / = 1, 2, ..., п - корни характеристического уравнения; С/ - постоянные интегрирования.

При достаточно больших значениях / (/ > Тп) в выражении (15) преобладает слагаемое, содержащее вещественный корень характеристического уравнения,

1 - ф0(/); 2 - ф1(/); 3 - ф2(Г)

вычисления момента цк

имеющий среди всех корней наибольшее значение вещественной части. Именно оно в основном и определяет характер изменения ф(/) на интервале [Тп; да). В связи с этим приближенное представление функции ф(/) на этом интервале будем искать в виде ф(/ Ь Се , параметры С и п которой находятся из условия

ф(/п-1 )=Се ~л'п-1; ,ф(/п )=Се~л'п.

(16)

Из системы (16) находим

С = Ф(/п-1 )

ф('п-1 ) ф(/п ) .

п-1

п = ±1п

А/ ф('п) ’

Таким образам интегралы (8) в соответствии с предлагаемым подходом вычисляются по формуле

(-1)" “

к!

|фк(/ )а' + |фк(/ )а'

. к = 0, 1, ...,

(17)

где фк (') = 'кСе п'.

Значение первого интеграла в (17) вычисляется с применением приближенного метода, например методом трапеций или парабол, а второй - аналитически. Результат нахождения второго интеграла имеет вид

| /кСе -п'а/ = Се

-ПТп

Ек(к - 1)--.(к - г +1) Тк-г + Т_

,/+1

_ г=1 П П

Для иллюстрации эффективности предлагаемого подхода рассмотрим объект управления с нормированной разгонной характеристикой, представленной таблицей значений, полученной табуляцией его переходной характе-

ристики к(') = 1---------+

36 4

5 — 20 -—

и ~ 1 г\

10

на интервале ' е [0;50] с шагом А' = 2,

1

которой соответствует передаточная функция Ж ( я) =----— 2 .

50я + 64 я +16 я +1

В нижеприведенной таблице даны точные значения и результаты расчета моментов ц0, ц1, ц2, параметров а1, а2, а3 передаточной функции по известной и предлагаемой схемам с использованием методов трапеций и парабол приближенного интегрирования. Анализ данных показывает, что с ростом индекса момента цк вычисление его значения по (13) и (13’) сопровождается ощутимым возрастанием по абсолютной величине погрешности. В силу рекуррентной связи между коэффициентами и моментами цк, определяемой (12), погрешности вычисления коэффициентов разложения 51, 52, 53, а значит, и коэффициентов передаточной функции, возрастают еще в большей степени. Причем, чем меньше точность численного интегрирования, тем значительнее проявляется погрешность. В ряде случаев это приводит не только количественно, но качественно к неправильному результату. Например, согласно результатам расчета по известной схеме с использованием метода трапеций передаточная функция модели в рассматриваемом примере может иметь порядок не выше второго (так как рассчитанное значение коэффициен-

п

е

9

та а3 отрицательно), что противоречит исходному представлению о динамических свойствах объекта управления. Как видно из таблицы, предлагаемая схема вычисления параметров передаточной функции модели объекта управления по методу площадей М.П. Симою позволяет более чем на порядок повысить точность расчета по сравнению с известной и обеспечивает качественно правильное решение.

После нахождения значений коэффициентов передаточной функции модели в предположении, что все корни характеристического уравнения дифференциального уравнения (15) являются простыми, следует проанализировать имеет ли корень с наибольшим вещественным значением кратность больше одного. При наличии такой ситуации необходимо произвести уточняющий расчет значений параметров передаточной функции модели.

Параметр Точ- ное значе- ние Методика расчета моментов дк

по [5] в сочетании с методом предлагаемая в сочетании с методом парабол

трапеций парабол

значение ошибка, % значение ошибка, % значение ошибка, %

N 16 14,8646 -7,10 15,8704 -0,81 16,0202 0,13

Ді -192 -і82,424 4,99 -182,99 4,69 -191,984 0,01

Д2 2098 1807,70 -13,84 1813,55 -13,56 2091,11 -0,33

аі = 5і = До 16 14,8646 -7,10 15,8704 -0,81 16,0202 0,13

а.2 = 5,2 =Ді + 5іД0 64 38,5316 -39,79 68,8804 7,63 64,6634 1,04

аз = 5з = Д2 + 52Ді +&Д0 50 -331,198 -762,4 2,58081 -94,84 51,4094 2,81

Как показывает практика, удовлетворительная точность аппроксимации динамических свойств электротехнологических и теплоэнергетических объектов управления достигается при использовании моделей, для которых п = 1, 2, 3. При отсутствии в кривой разгона точки перегиба величина т выбирается из условия п—т = 1, а при ее наличии — из условия п—т > 2 [3].

Для характеристического уравнения второго порядка оценка кратности вещественного корня может быть осуществлена с помощью неравенст-

ва

< 5 , где 5 - относительная точность оценки.

2Л/аГ

Характеристическое уравнение третьего порядка имеет три корня и три возможных варианта их распределения. К первому варианту распределения отнесем пару комплексных сопряженных корней и вещественный корень, расположенный на комплексной плоскости ближе к мнимой оси. Во втором варианте к мнимой оси ближе расположена пара комплексных корней и в третьем - все корни вещественные. Границы указанных распределений корней в области устойчивости определяются диаграммой Вышнеградского [2] (рис. 3), для использования которой характеристическое уравнение модели

а^3 + а2 s2 + а^ +1 = 0 необходимо привести к нормированному виду

д3 + Ад2 + Бд +1 = 0, (18)

I— ,а2 а,

где д = s3Jа3 , А = —^, Б = —= .

к уа~

Рис. 3. Диаграмма Вышнеградского

Линия ВС диаграммы разделяет область устойчивости на две части. Подобласть над кривой ВС соответствует первому варианту распределения корней характеристического уравнения. Подобласти между линией ВС и гиперболой АВ = 1 соответствует второй вариант распределения корней, когда ближайшими к мнимой оси являются два комплексных корня.

На линии ВС все три корня имеют одинаковые вещественные части и при движении

вдоль неё к точке С изменяются их вещественные и мнимые части. В точке С (А = 3, В = 3) все три корня вещественны и равны. Поэтому оценка кратности корня, равной трём, может быть представлена в виде

у1(А - 3)2 +(В - 3)2 <5 .

Кривые СЕ и С¥ разделяют область устойчивости так, что между ними располагается подобласть, которой соответствуют вариант распределения с вещественными корнями. На линиях СЕ и С¥ один из корней имеет кратность два, причем на линии С¥ кратным является наибольший по значению вещественный корень. Используя уравнение границы области апериодического процесса [2], можно записать оценку кратности корня для этого случая

В >3,

А > В,

|4(А3 + В3)-А2В2 -18АВ + 27| <5 .

Когда среди корней характеристического уравнения вещественный корень с наибольшим значением имеет кратность два, приближенное представление функции ф(0 на интервале [Тп; да) ищется в виде ф(/)»(С + В1 )е~п, причем параметры С, В и п предлагается выбирать из условия

ф(^п-2 )=(С+В(п - 2)е ^”-2;

ф(п-1 )= (С + В1п_, К^-1; (19)

,ф(^п )=(С + ВК )е .

В случае, когда среди корней характеристического уравнения корень с наибольшим вещественным значением имеет кратность три, приближенное представление функции ф(0 на интервале [Тп; да) ищется в виде ф() (с + В1 + Et2 е, причем параметры С, В, Е и п выбираются из условия

(20)

ф(п-3 ) - (с + Б(п-3 + Е^-3 )е ^ ;

, Ф(п- 2 ) - (с + (п-2 + ®„2- 2 )е ^”-2 ;

ф(-)- (с + (- + )е)

[фС, )- (с+Шп + Ш2п )е).

Второй интеграл в (16) для случая двукратного корня с наибольшим значением вещественной части

ад

| (к (с + Ы)е ~п*ск -

^ук(к - 1). ^ (к - 7 + 1) -г + Тп

г-1

п

в

+

+ Б

у (к + 1)к . (к - г + 2) ^к-г +- п

Т

к+1

.г-1 П ' П

а для случая корня с наибольшим значением вещественной части, имеющим кратность три:

У к(к - 1).(к - 7 + 1) тк-г + Т_п_

г+1 п п

п

+

+ Бе

-пТп

к+! (к + 1)к .(к - г + 2) Тк-г + Тп

у г+1 п "|_

к+1

п

п

+

+ Ее

-пТ„

ку+2 (к + 2)(к + 1)...(к - г + 3) т_ -

г +1

+ -

Т

к+2

г-1 П ‘ П

Для систем уравнений (19) и (20) получены аналитические решения.

Выполненные для всех вышерассмотренных случаев расчеты показали, что предлагаемая вычислительная схема метода площадей по сравнению с известной обеспечивает значительно более высокую точность определения параметров передаточной функции модели объекта управления.

Выводы. 1. Показано, что использование известной вычислительной схемы метода площадей М.П. Симою для определения коэффициентов линеаризованной модели объекта с самовыравниванием вносит значительные погрешности, приводящие в ряде случаев не только количественно, но качественно к неправильному результату.

2. Предложена вычислительная схема метода, обеспечивающая значительно более высокую точность определения параметров передаточной функции модели объекта управления с апериодическими свойствами.

Литература

1. Вержбицкий В.М. Основы численных методов / В.М. Вержбицкий. М.: Высш. шк., 2002. 840 с.

2. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: учеб. пособие для втузов / Е.П. Попов. М.: Наука, 1989. 304 с.

3. Ротач В.Я. Теория автоматического управления теплоэнергетическими процессами: учебник для вузов / В.Я. Ротач. М.: Энергоатомиздат. 1985.

п

п

г -1

4. Симою М.П. Определение коэффициентов передаточных функций линеаризованных звеньев систем регулирования /М.П. Симою // Автоматика и телемеханика. 1957. № 6. С. 514-527.

5. Яковлев Ю.С. Системы локальной автоматики: конспект лекций / Ю.С. Яковлев. Чебоксары. Изд-во Чуваш. ун-та, 1993.

ИЛЬГАЧЁВ АНАТОЛИЙ НИКОЛАЕВИЧ - кандидат технических наук, доцент кафедры автоматизированных электротехнологических установок и систем, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).

ILGACHEV ANATOLY NlKoLAYEVICH - candidate of technical sciences, associate professor of Automated Electrotechnic Sets and Systems Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.

УДК 621.315.211:621.315.616.9]:330.13

Г.М. МИХЕЕВ, Л.Г. ЕФРЕМОВ, С.Н. БАТАЛЫГИН, АН. ПУЛИН

ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ КАБЕЛЯ С ИЗОЛЯЦИЕЙ ИЗ СШИТОГО ПОЛИЭТИЛЕНА ВЗАМЕН ТОКОПРОВОДА ИЗ АЛЮМИНИЕВЫХ ШИН

Ключевые слова: токопровод, ток короткого замыкания, кабель с изоляцией из сшитого полиэтилена, экономическая эффективность.

Рассмотрены вопросы применения кабеля с изоляцией из сшитого полиэтилена взамен то-копровода из алюминиевых шин на электростанции. Показаны достоинства и недостатки данного решения. Изучены проблемы экономической эффективности.

G.M. MIKHEEV, L.G. EFREMOV, C.N. BATALYGIN, A.N. PULIN EFFECT OF XLPE-CABLE APPLICATION INSTEAD OF FROM ALUMINIUM CURRENT DISTRIBUTOR Key words: current distributor, short-circuit current, XLPE-cable, economic effect.

Issues of XLPE-cable application instead of dust bus on power station are considered. Advantages and shortcomings of the given decision are shown. Economic efficiency aspects are considered.

В последние годы в стране стали широко применять кабели с изоляцией из сшитого полиэтилена (СПЭ), который имеет существенные преимущества перед термопластичными: высокие электрические и механические параметры в более широком диапазоне рабочих температур, малую гигроскопичность (водонепроницаемость) и другие.

Положительные качества достигаются благодаря технологии сшивки, в процессе которой изменяется структура полиэтилена.

При производстве кабелей с СПЭ-изоляцией используются две технологии сшивания изоляции:

- технология пероксидной сшивки на линиях газовой вулканизации для кабелей среднего (10-35 кВ) и высокого напряжения (110 кВ и выше);

- технология сшивки силаном для кабелей низкого и среднего напряжения от 0,66 до 20 кВ.

По первой технологии процесс вулканизации (сшивки) полиэтиленовой изоляции производится химическим способом в среде нейтрального газа при давлении 800-900 кПа и температуре 285-400°С. В результате химической реакции изменяется молекулярная структура полиэтилена и образуются новые молекулярные связи, что приводит к изменению электрических и механических свойств веществ. Необходимо подчеркнуть, что изоляция и электропроводящие экраны накладываются в процессе тройной экструзии, после чего происходит одновременная сшивка всех трёх слоёв. При высокой тем-