CC BY
41
УДК 519.5
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ ФОРМИРОВАНИЯ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ТАБЛИЦ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВАЖНОСТИ КРИТЕРИЕВ
С.А. Пиявский
Самарский государственный технический университет, Самара, Россия [email protected]
Аннотация
Автором ранее был предложен подход, позволяющий повысить обоснованность и снизить трудоёмкость принятия решений в условиях многокритериального сравнения альтернатив. Метод основан на использовании заранее рассчитанных универсальных таблиц весовых коэффициентов линейной свёртки критериев. Универсальная таблица содержит 2й-1 строк, где п - число критериев. Каждая строка таблицы отвечает уникальному возможному распределению критериев между группами важности. При большом числе критериев вычислительная сложность такого подхода настолько велика, что требуется значительное время для получения результата. В настоящей статье предложены способы, позволяющие уменьшить трудоёмкость расчёта одной таблицы в 2п-1 раз. Это достигается использованием обнаруженного «краевого эффекта», который проявляется в повторяемости ряда коэффициентов в различных строках таблицы. Благодаря этому может быть сформирована система линейных алгебраических уравнений, переменными которой являются искомые значения коэффициентов. Система легко решается численными методами. Предложенный подход существенно облегчает построение универсальных таблиц для достаточно большого (несколько десятков) числа критериев и уменьшает потребный объём памяти систем поддержки принятия решений. Он также позволяет глубже осмыслить рациональную основу понятия «важнее», используемого во всех областях человеческой деятельности.
Ключевые слова: принятие решений, многокритериальный выбор, универсальные коэффициенты важности, краевой эффект.
Цитирование: Пиявский, С.А. Вычислительные аспекты формирования универсальных таблиц коэффициентов важности критериев / С.А. Пиявский // Онтология проектирования. - 2017. - Т. 7, №3(25). - С. 284-295. - DOI: 10.18287/2223-9537-2017-7-3-284-295.
Введение
Ключевым элементом принятия решений на рациональной основе является многокритериальное сравнение альтернатив, для которого предложены многообразные методы (например, [1-10]). При этом чаще всего, ввиду простоты её понимания лицом, принимающим решение (ЛИР), чаще всего используется линейная свёртка нормированных значений частных критериев. Она позволяет использовать при сравнении альтернатив вместо вектора т частных критериев/=(/1,/2,...,/т) скалярный комплексный критерий
т т
(1) Р(/) = £х^1, 7 = 1,..., т х1 > 0, £х1 = 1.
1=1 1=1
В (1) хХ,х2,..,,хт - вектор количественных весовых коэффициентов, отражающих сравнительную важность для ЛИР различных аспектов сравнения альтернатив. При этом открытым остаётся вопрос - как оценить эту важность количественно? Мы полагаем, что ни ЛПР, ни привлекаемые эксперты не в состоянии это сделать напрямую, потому что «..жених не в состоянии достаточно уверенно определить, что красота невесты в 2,354 раза важнее для
него, чем её ум» [1]. Он может достаточно уверенно решить про себя, что красота «важнее» или «намного важнее», но не более того, то есть отнести различные частные критерии к соответствующим группам важности.
В [1] предложен подход, позволяющий создать достаточно понятную универсальную шкалу, которая определяет численные значения весовых коэффициентов, отвечающие различным степеням понятия «важнее». Эта шкала зависит не от конкретной задачи, в которой используется, а лишь от количества частных критериев и того, как они распределены по различным группам важности. Для построения таблиц таких универсальных коэффициентов важности необходимо для конкретного количества критериев перечислить все уникальные варианты их распределения по возможным группам важности и для каждого варианта рассчитать значения коэффициентов. Для примера в таблице 1 показана универсальная таблица, рассчитанная в [1, фрагмент таблицы 8] для числа частных критериев, равного пяти.
Таблица 1 - Универсальные коэффициенты важности критериев для задач принятия решений с пятью критериями (рассчитаны приближенно)
Цепочка (количество критериев в каждой Универсальные значения коэффициентов
Номер группе важности) важности критериев
цепочки Группа важности критериев Группа важности критериев
В1 В2 В3 В4 В5 В1 В2 В3 В4 В5
1. 1 1 1 1 1 0,038 0,087 0,154 0,256 0,464
2. 1 1 1 2 0,038 0,087 0,153 0,361
3. 1 1 2 1 0,038 0,087 0,205 0,464
4. 1 1 3 0,038 0,085 0,292
5. 1 2 1 1 0,038 0,121 0,255 0,466
6. 1 2 2 0,038 0,121 0,361
7. 1 3 1 0,038 0,165 0,466
8. 1 4 0,037 0,238
9. 2 1 1 1 0,064 0,155 0,254 0,464
10. 2 1 2 0,063 0,153 0,361
11. 2 2 1 0,063 0,204 0,467
12. 2 3 0,062 0,292
13. 3 1 1 0,093 0,254 0,465
14. 3 2 0,094 0,359
15. 4 1 0,135 0,46
16. 5 0,2
Для каждой строки таблицы 1 назовём цепочкой количество критериев, приходящихся в данной строке на каждую группу важности. Взгляд на таблицу 1 позволяет заметить её интересную особенность: в разных цепочках одинаковым крайним (в начале и конце) фрагментам цепочки отвечают одинаковые значения универсальных коэффициентов важности. Так, при фрагменте «1,2», расположенном в начале цепочек 5 и 6, отвечающие ему коэффициенты важности всегда равны 0,038 и 0,121, а при расположении этого фрагмента в конце цепочек 2 и 10 отвечающие ему коэффициенты важности всегда равны 0,153 и 0,361. Заметим, что, как показано в [1], в то же время отвечающие такому же фрагменту коэффициенты важности при другом общем числе критериев, конечно, иные: так, при шести критериях они в начале соответствующих цепочек равны 0,026 и 0,079 а в конце цепочек -0,155 и 0,330. Назовём эту особенность краевым эффектом цепочек и используем её для вычисления таблицы универсальных коэффициентов важности критериев.
1 Маска универсальной таблицы
Для наглядности будем вести дальнейшие рассмотрения на примере универсальной таблицы для пяти критериев, показанной в таблице 1.
Введём понятие маски универсальной таблицы. Каждому количеству частных критериев отвечает своя универсальная таблица и соответственно своя маска. Она строится по формату таблицы 1 на основе перечня уникальных цепочек критериев, где вместо подлежащего расчёту значения коэффициента важности проставлено наименование соответствующей переменной. При этом с учётом краевого эффекта цепочек, одинаковым или близким значениям коэффициентов важности отвечает одна и та же переменная. Маска для пяти критериев показана в таблице 2. В ней не повторяются только четыре переменные, выделенные фоном. Этот факт является, по-видимому, закономерным при любом числе критериев большем двух, о чём свидетельствуют маски для других чисел критериев, приведённые в таблицах 3-6.
Таблица 2 - Маска универсальной таблицы для пяти критериев
Номер цепочки Цепочка Наименования переменных
Группа важности критериев Группа важности критериев
В1 В2 В3 В4 В5 В1 В2 В3 В4 В5
1. 1 1 1 1 1 х1 х4 х7 х9 х8
2. 1 1 1 2 х1 х4 х7 х11
3. 1 1 2 1 х1 х4 х10 х8
4. 1 1 3 х1 х4 х12
5. 1 2 1 1 х1 х5 х9 х8
6. 1 2 2 х1 х5 х11
7. 1 3 1 х1 х15 х8
8. 1 4 х1 х16
9. 2 1 1 1 х2 х6 х9 х8
10. 2 1 2 х2 х6 х11
11. 2 2 1 х2 х10 х8
12. 2 3 х2 х12
13. 3 1 1 х3 х9 х8
14. 3 2 х3 х11
15. 4 1 х13 х8
16. 5 х14
Таблица 3 - Маска универсальной таблицы для двух критериев
Номер Цепочка Наименования переменных
цепочки Группа важности критериев Группа важности критериев
В1 В2 В1 В2
1. 1 1 х1 х2
2. 2 х3
Таблица 4 - Маска универсальной таблицы для трех критериев
Номер Цепочка Наименования переменных
цепочки Группа важности критериев Группа важности критериев
В1 В2 В3 В1 В2 В3
1. 1 1 1 х1 х3 х2
2. 1 2 х1 х4
3. 2 1 х5 х2
4. 3 х6
Таблица 5 - Маска универсальной таблицы для четырех критериев
Номер цепочки Цепочка Наименования переменных
Группа важности критериев Группа важности критериев
В1 В2 В3 В4 В1 В2 В3 В4
1. 1 1 1 1 х1 х3 х6 х4
2. 1 1 2 х1 х3 х5
3. 1 2 1 х1 х9 х4
4. 1 3 х1 х10
5. 2 1 1 х2 х6 х4
6. 2 2 х2 х5
7. 3 1 х7 х4
8. 4 х8
Таблица 6 - Маска универсальной таблицы для шести критериев
Номер цепочки Цепочка Наименования переменных
Группа важности критериев Группа важности критериев
В1 В2 В3 В4 В5 В6 В1 В2 В3 В4 В5 В6
1 1 1 1 1 1 1 х1 х5 х11 х15 х18 х16
2 1 1 1 1 2 х1 х5 х11 х15 х17
3 1 1 1 2 1 х1 х5 х11 х19 х16
4 1 1 1 3 х1 х5 х11 х20
5 1 1 2 1 1 х1 х5 х12 х18 х16
6 1 1 2 2 х1 х5 х12 х17
7 1 1 3 1 х1 х5 х22 х16
8 1 1 4 х1 х5 х21
9 1 2 1 1 1 х1 х6 х13 х18 х16
10 1 2 1 2 х1 х6 х13 х17
11 1 2 2 1 х1 х6 х19 х16
12 1 2 3 х1 х6 х20
13 1 3 1 1 х1 х7 х18 х16
14 1 3 2 х1 х7 х17
15 1 4 1 х1 х25 х16
16 1 5 х1 х26
17 2 1 1 1 1 х2 х8 х14 х18 х16
18 2 1 1 2 х2 х8 х14 х17
19 2 1 2 1 х2 х8 х19 х16
20 2 1 3 х2 х8 х20
21 2 2 1 1 х2 х9 х18 х16
22 2 2 2 х2 х9 х17
23 2 3 1 х2 х22 х16
24 2 4 х2 х21
25 3 1 1 1 х3 х10 х18 х16
26 3 1 2 х3 х10 х17
27 3 2 1 х3 х19 х16
28 3 3 х3 х20
29 4 1 1 х4 х18 х16
30 4 2 х4 х17
31 5 1 х23 х16
32 6 х24
2 Система линейных уравнений для построения универсальной таблицы
Маска определяет систему линейных уравнений, которой должны удовлетворять универсальные коэффициенты важности критериев. Каждой цепочке отвечает своё уравнение. Его левая часть формируется путём умножения элементов цепочки на соответствующие им переменные из правой части таблицы. Правая часть каждого уравнения равна единице. Так, уравнение, отвечающее цепочке с номером 5, имеет вид
(2) х1 + 2х5 + х9 + х8 = 1.
Система уравнений позволяет определить коэффициенты важности универсальной таблицы в несколько шагов.
Шаг 1. Любым численным методом, предложенным в [1], определяются коэффициенты важности критериев для одной единственной цепочки с номером 1. Выбор именно этой цепочки обусловлен тем, что она содержит наибольшее число переменных. Назовём их задающими коэффициентами.
Шаг 2. Отвечающие задающим коэффициентам значения переменных подставляются в остальные уравнения.
Шаг 3. Из уравнений, в которые после предыдущего шага входит только по одной переменной, определяются их значения. Если ещё не все переменные вычислены, повторяется шаг 2.
Структура системы уравнений такова, что этот простой алгоритм, по-видимому, позволяет полностью решить задачу. Строгое обоснование его достаточности нет смысла искать: если в каком-либо случае он не сработает, просто придётся задуматься о другом алгоритме.
Приведём результаты его использования при расчёте универсальных таблиц для пяти и шести критериев. Их приближено рассчитанные варианты приведены в [1], поэтому появится возможность оценить величину допущенной там погрешности.
Для пяти критериев на первом шаге методом полного перебора (9479319 итераций) были рассчитаны значения первых пяти переменных, приведённые в таблице 7. На втором шаге к ним добавились значения ещё девяти переменных, затем ещё одной и ещё одной, после чего таблица оказалась полностью сформированной (таблица 8).
Для шести критериев на первом шаге методом полного перебора (1229120 итераций) были рассчитаны значения шести переменных, приведённые в таблице 9, затем по шагам последовательно ещё двенадцати затем трёх, затем четырёх и затем ещё одной, после чего таблица оказалась сформированной полностью (таблица 10).
Таблица 7 - Результаты первого шага алгоритма (задающие коэффициенты) при расчёте универсальной таблицы для пяти критериев
Переменные Коэффициенты
Х1 0,039406
Х4 0,088971
Х7 0,155469
Х9 0,255837
Х8 0,460317
Таблица 8 - Универсальная таблица для пяти критериев (уточнённый вариант)
Номер цепочки Цепочка Универсальные значения коэффициентов важности критериев
Группа важности критериев Группа важности критериев
В1 В2 В3 В4 В5 В1 В2 В3 В4 В5
1. 1 1 1 1 1 0,039 0,089 0,155 0,256 0,460
2. 1 1 1 2 0,039 0,089 0,155 0,358
3. 1 1 2 1 0,039 0,089 0,206 0,460
4. 1 1 3 0,039 0,089 0,291
5. 1 2 1 1 0,039 0,122 0,256 0,460
6. 1 2 2 0,039 0,122 0,358
7. 1 3 1 0,039 0,167 0,460
8. 1 4 0,039 0,240
9. 2 1 1 1 0,064 0,155 0,256 0,460
10. 2 1 2 0,064 0,155 0,358
11. 2 2 1 0,064 0,206 0,460
12. 2 3 0,064 0,291
13. 3 1 1 0,095 0,256 0,460
14. 3 2 0,095 0,358
15. 4 1 0,135 0,460
16. 5 0,200
Таблица 9 - Результаты первого шага алгоритма (задающие коэффициенты) при расчёте универсальной таблицы для шести критериев
Переменные Коэффициенты
Х1 0,026450
Х5 0,058816
Х11 0,100071
Х15 0,156145
Х18 0,241884
Х16 0,416633
Таблица 10 - Универсальная таблица для шести критериев (уточнённый вариант)
Номер цепочки Цепочка Универсальные значения коэффициентов важности критериев
Группа важности критериев Группа важности крите риев
В1 В2 В3 В4 В5 В6 В1 В2 В3 В4 В5 В6
1 1 1 1 1 1 1 0,026 0,059 0,100 0,156 0,242 0,417
2 1 1 1 1 2 0,026 0,059 0,100 0,156 0,329
3 1 1 1 2 1 0,026 0,059 0,100 0,199 0,417
4 1 1 1 3 0,026 0,059 0,100 0,272
5 1 1 2 1 1 0,026 0,059 0,128 0,242 0,417
6 1 1 2 2 0,026 0,059 0,128 0,329
7 1 1 3 1 0,026 0,059 0,166 0,417
8 1 1 4 0,026 0,059 0,229
9 1 2 1 1 1 0,026 0,079 0,156 0,242 0,417
10 1 2 1 2 0,026 0,079 0,156 0,329
11 1 2 2 1 0,026 0,079 0,199 0,417
12 1 2 3 0,026 0,079 0,272
13 1 3 1 1 0,026 0,105 0,242 0,417
14 1 3 2 0,026 0,105 0,329
15 1 4 1 0,026 0,139 0,417
16 1 5 0,026 0,195
17 2 1 1 1 1 0,043 0,100 0,156 0,242 0,417
18 2 1 1 2 0,043 0,100 0,156 0,329
Продолжение таблицы 10
Номер цепочки Цепочка Универсальные значения коэффициентов важности критериев
Группа важности критериев Группа важности крите риев
B1 B2 B3 B4 В5 В6 B1 B2 B3 B4 В5 В6
19 2 1 2 1 0,043 0,100 0,199 0,417
20 2 1 3 0,043 0,100 0,272
21 2 2 1 1 0,043 0,128 0,242 0,417
22 2 2 0,043 0,128 0,329
23 2 3 1 0,043 0,166 0,417
24 2 4 0,043 0,229
25 3 1 1 1 0,062 0,156 0,242 0,417
26 3 1 0,062 0,156 0,329
27 3 2 1 0,062 0,199 0,417
28 3 3 0,062 0,272
29 4 1 1 0,085 0,242 0,417
30 4 2 0,085 0,329
31 5 1 0,117 0,417
32 6 0,167
3 «Нумерологический» подход
Таким образом, для построения универсальной таблицы алгоритмическим путём необходимо знать значения задающих коэффициентов для первой строки этой таблицы. Предложим подход, который мы назвали «нумерологическим», позволяющий и для этой строки предложить теоретически вычисляемые значения задающих коэффициентов. Рассмотрим таблицу 11 значений этих коэффициентов, составленную из соответствующих строк таблицы 6 из [1], содержащей их строго математически обоснованные точные значения для двух, трёх и четырёх критериев. В таблице 11 значения коэффициентов важности в каждой строке приведены к общему знаменателю. Представим их как простейшие формулы для вычисления значений задающих коэффициентов, состоящие из числителя и знаменателя.
Таблица 11 - Точные формулы для расчёта универсальных коэффициентов важности последовательно возрастающих по важности критериев
Количество критериев в каждой Универсальные значения
Количество группе важности коэффициентов важности критериев
критериев Группа важности критериев Группа важности критериев
В1 В2 В3 В4 В1 В2 В3 В4
2 1 1 1/4 3/4
3 1 1 1 2/18 5/18 11/18
4 1 1 1 1 3/48 7/48 13/48 25/48
Можно заметить, что в таблице 11 значения коэффициентов важности критериев подчиняются определённой закономерности. Обобщим её следующим образом (т.н. нумерологическая гипотеза). Для строки, отвечающей количеству критериев п:
■ общий знаменатель вычисляется по формуле п2(п - 1);
■ числитель в первом столбце равен (п - 1);
■ числители остальных чисел в строке, кроме последнего ненулевого числа, равны числителям чисел, стоящих в таблице 11 непосредственно над ними, к которым добавлено число 2;
■ числитель последнего ненулевого числа в строке равен разности п1(п - 1) и суммы числителей всех остальных чисел в строке.
Используя нумерологическую гипотезу, можно последовательно строить любое количество универсальных таблиц. Эта гипотеза превратилась бы в теорему, если бы удалось теоретически вывести её соотношения из геометрических построений в п-мерном пространстве критериев, как это показано для двух, трёх и четырёх критериев в [1]. Пока же можно проверить допустимость гипотезы, сравнивая универсальные таблицы, построенные на её основе, с таблицами, для которых задающие коэффициенты вычислены статистическим путём.
В таблице 12 показаны значения числителя и знаменателя простейших формул для вычисления задающих коэффициентов, рассчитанные с помощью нумерологического подхода для числа критериев от двух до десяти. Вычисленные значения самих задающих коэффициентов приведены в таблице 13.
Таблица 12 - Значения числителя и знаменателя задающих коэффициентов
Количество критериев Знаменатель формулы Числитель формулы
Группа важности к жтерия
В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 В8 В9 В10
2 4 1 3
3 18 2 5 11
4 48 3 7 13 25
5 100 4 9 15 27 45
6 180 5 11 17 29 47 71
7 294 6 13 19 31 49 73 103
8 448 7 15 21 33 51 75 105 141
9 648 8 17 23 35 53 77 107 143 185
10 900 9 19 25 37 55 79 109 145 187 235
Таблица 13 - Значения задающих коэффициентов
Кол-во критериев Числитель формулы
Группа важности критерия
В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 В8 В9 В10
2 0,2500 0,7500
3 0,1111 0,2778 0,6111
4 0,0625 0,1458 0,2708 0,5208
5 0,0400 0,0900 0,1500 0,2700 0,4500
6 0,0278 0,0611 0,0944 0,1611 0,2611 0,3944
7 0,0204 0,0442 0,0646 0,1054 0,1667 0,2483 0,3503
8 0,0156 0,0335 0,0469 0,0737 0,1138 0,1674 0,2344 0,3147
9 0,0123 0,0262 0,0355 0,0540 0,0818 0,1188 0,1651 0,2207 0,2855
10 0,0100 0,0211 0,0278 0,0411 0,0611 0,0878 0,1211 0,1611 0,2078 0,2611
В таблицах 14, 15 приведены соответствующие результаты. Относительное отклонение значений не превышает нескольких процентов и, по нашему мнению, связано с ограниченным числом испытаний и несовершенством датчика случайных чисел. В дальнейшем мы намерены уменьшать влияние этих факторов с тем, чтобы повысить уверенность в приемлемости нумерологической гипотезы. Однако, в таких «расплывчатых» задачах как многокритериальное сравнение альтернатив, отклонение в значениях коэффициентов важности критериев в несколько процентов не является значимым.
Таблица 14 - Точная универсальная таблица для пяти критериев (рассчитана по нумерологической гипотезе)
Номер цепочки Цепочка (количество критериев в каждой группе важности) Универсальные значения коэффициентов важности критериев
Группа важности критериев Группа важности критериев
В1 В2 В3 В4 В5 В1 В2 В3 В4 В5
1. 1 1 1 1 1 0,040 0,090 0,150 0,270 0,450
2. 1 1 1 2 0,040 0,090 0,150 0,360
3. 1 1 2 1 0,040 0,090 0,210 0,450
4. 1 1 3 0,040 0,090 0,290
5. 1 2 1 1 0,040 0,120 0,270 0,450
6. 1 2 2 0,040 0,120 0,360
7. 1 3 1 0,040 0,170 0,450
8. 1 4 0,040 0,240
9. 2 1 1 1 0,065 0,150 0,270 0,450
10. 2 1 2 0,065 0,150 0,360
11. 2 2 1 0,065 0,210 0,450
12. 2 3 0,065 0,290
13. 3 1 1 0,093 0,270 0,450
14. 3 2 0,093 0,360
15. 4 1 0,138 0,450
16. 5 0,200
Таблица 15 - Точная универсальная таблица для шести критериев (рассчитана по нумерологической гипотезе)
Номер цепочки Цепочка Универсальные значения коэффициентов важности критериев
Группа важности критериев Группа важности критериев
B1 B2 B3 B4 В5 В6 B1 B2 B3 B4 В5 В6
1 1 1 1 1 1 1 0,028 0,061 0,094 0,161 0,261 0,394
2 1 1 1 1 2 0,028 0,061 0,094 0,161 0,328
3 1 1 1 2 1 0,028 0,061 0,094 0,211 0,394
4 1 1 1 3 0,028 0,061 0,094 0,272
5 1 1 2 1 1 0,028 0,061 0,128 0,261 0,394
6 1 1 2 2 0,028 0,061 0,128 0,328
7 1 1 3 1 0,028 0,061 0,172 0,394
8 1 1 4 0,028 0,061 0,228
9 1 2 1 1 1 0,028 0,078 0,161 0,261 0,394
10 1 2 1 2 0,028 0,078 0,161 0,328
11 1 2 2 1 0,028 0,078 0,211 0,394
12 1 2 3 0,028 0,078 0,272
13 1 3 1 1 0,028 0,106 0,261 0,394
14 1 3 2 0,028 0,106 0,328
15 1 4 1 0,028 0,144 0,394
16 1 5 0,028 0,194
17 2 1 1 1 1 0,044 0,094 0,161 0,261 0,394
18 2 1 1 2 0,044 0,094 0,161 0,328
19 2 1 2 1 0,044 0,094 0,211 0,394
20 2 1 3 0,044 0,094 0,272
21 2 2 1 1 0,044 0,128 0,261 0,394
22 2 2 2 0,044 0,128 0,328
23 2 3 1 0,044 0,172 0,394
24 2 4 0,044 0,228
25 3 1 1 1 0,061 0,161 0,261 0,394
26 3 1 2 0,061 0,161 0,328
27 3 2 1 0,061 0,211 0,394
28 3 3 0,061 0,272
29 4 1 1 0,086 0,261 0,394
30 4 2 0,086 0,328
31 5 1 0,121 0,394
32 6 0,167
4 Нумерологический подход и метод анализа иерархий Т.Саати
Интересно попытаться применить для определения задающих коэффициентов метод анализа иерархий Т.Саати [11-13]. Построенная в соответствии с ним расчётная схема для пяти критериев (для большего их количества недостаточно коэффициентов сравнительной важности, предложенных в методе анализа иерархий) приведена в таблице 16. При сравнении двух последних столбцов видно, что ввиду значительного различия в результатах метод анализа иерархий не может заменить нумерологический подход даже при небольшом числе критериев.
Таблица 16 - Сравнение задающих коэффициентов, рассчитанных методом анализа иерархий и на основе нумерологического подхода
Критерии Критерии Коэф. по Саати Коэф. по нумер. гипотезе
В1 В2 В3 В4 В5
В1 1 0,333 0,200 0,143 0,111 0,03292 0,039406
В2 3 1 0,333 0,200 0,143 0,06364 0,088971
В3 5 3 1 0,333 0,200 0,12957 0,155469
В4 7 5 3 1 0,333 0,26383 0,255837
В5 9 7 5 3 1 0,51004 0,460317
1 1
Заключение
Результаты, приведённые в настоящей статье, в определённом смысле исчерпывают задачу формирования универсальных таблиц. Показано, что для их построения нет необходимости прибегать к статистическому моделированию или геометрическим построениям в многомерном пространстве. Предложен точный и несложный алгоритм их последовательного формирования. Представляется несложным вывести и рекуррентные аналитические выражения для коэффициентов универсальных таблиц. Реализация программной системы поддержки принятия многокритериальных решений, использующей универсальные таблицы, также не вызывает затруднений.
При решении практических задач ЛИР редко использует более трёх-четырёх групп важности критериев (при этом число самих критериев может быть достаточно большим). Поэтому универсальная таблица для любого числа критериев будет содержать не более четырёх столбцов числовых коэффициентов с тремя-четырьмя знаками после запятой. Количество строк в таблице для п критериев также будет равно не 2п-1, а значительно меньше, поскольку в таблицу войдут лишь цепочки, содержащие не более трёх-четырёх чисел. Такой компактный «справочник» может способствовать повышению культуры использования объективных методов обоснования многокритериальных решений в повседневной практике.
Список источников
[1] Пиявский, С.А. Как «нумеризовать» понятие «важнее» / С.А. Пиявский // Онтология проектирования. -2016. - Т. 6, №4(22). - С. 414-435. - Б01: 10.18287/2223-9537-2016-6-4-414-435.
[2] Кини, Р.Л. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения: Пер. с англ. под ред. И.Ф. Шахнова / Р.Л. Кини, Х. Райфа. - М.: Радио и связь, 1981. - 560 с.
[3] Ларичев, О.И. Теория и методы принятия решений / О.И. Ларичев. - М.: Логос, 2000. - 295 с.
[4] Ларичев, О.И. Вербальный анализ решений / О.И. Ларичев. - М.: Наука, 2006. - 181 с.
[5] Johannes J. Vector Optimization: Theory, Applications, and Extensions. Berlin, Heidelberg, New York: SpringerVerlag, 2010. - 460 p.
[6] Ansari H.Q., Jen-Chih Yao. Recent Developments in Vector Optimization. Heidelberg, Dordrecht, London, New York: Springer-Verlag, 2010. - 550 p.
[7] Hirotaka N., Yeboon Y., Min Y. Sequential Approximate Multiobjective Optimization Using Computational Intelligence. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2009. - 197 p.
[8] Malyshev V.V., Piyavsky B.S., Piyavsky S.A. A Decision Making Method Under Conditions Of Diversity Of Means Of Reducing Uncertainty, Journal of Computer and Systems Sciences International. 2010. V.49. N1. -p.44-58.
[9] Malyshev V.V., Piyavsky S.A. The Confident Judgment Method In The Selection Of Multiple Criteria Solutions, Journal of Computer and Systems Sciences International. 2015. V.54. N5. - p.754-764.
[10] Брусов, В.С. Многокритериальный анализ концепций высотных беспилотных летательных аппаратов / В.С. Брусов, С.А Пиявский // Известия вузов «Авиационная техника», №4, 2016. - с.9-16.
[11] Saaty T.L. The Analytic Hierarchy Process. McGraw Hill. 1980. [Reprinted by RWS Publications, available electronically free, 2000].
[12] Саати, Т. Аналитическое планирование. Организация систем: Пер. с англ. / Т. Саати, К. Кернс. - М.: Радио и связь, 1991. - 224 с.
[13] Саати, Т. Об измерении неосязаемого. Подход к относительным измерениям на основе главного собственного вектора матрицы парных сравнений / Пер. с англ. О. Н. Андрейчиковой // Электронный журнал Cloud of Science. 2015. T.2. № 1, - c. 5-39. -https://cloudofscience.ru/sites/default/files/pdf/CoS_2_5.pdf.
COMPUTATIONAL ASPECTS OF ESTABLISHING UNIVERSAL TABLES OF CRITERION'S IMPORTANCE
S.A. Piyavsky
Samara State Technical University, Samara, Russia [email protected]
Abstract
In work "How do we digitize the concept of «more important»" the author had proposed an approach towards decisionmaking in multi-criterial comparison of alternatives that would allow to increase the validity and decrease laboriousness of the process. The method is based on preemptive calculation of universal tables of weight coefficients for linear convolution of criterions. This deems unnecessary calculation of those weights every time a decision is made within the considered system. For every set of criterions, a separate table is made. It contains 2n-1 rows, where n is the number of criterions. Every row corresponds to a unique possible criterions distribution amongst the importance groups. With more criteria, the computational complexity is so great that the computer's power is not enough to get the result in an acceptable time. This paper presents an approach that makes it possible to decrease the calculation complexity of a single table by 2n-1 times. It is made possible due to the observation of so-called "boundary effect". It shows as repetition of coefficients in different rows of the table. Due to this, a system of linear algebraic equations can be formed, the variables of which are the sought values of the coefficients. The system is easily solved by numerical methods if the coefficients corresponding to one of the rows of the table become known. The proposed approach greatly facilitates the construction of universal tables for a considerably large (several dozen) number of criteria and reduces the amount of memory required from the decision support systems that use this approach. It also allows a deeper understanding of the rational basis of the concept of "more important", used in all areas of human activity.
Key words: decision making, multiobjective choice, universal importance criterions, boundary effect.
Citation: Piyavsky SA. Computational aspects of establishing universal tables of criterion's importance. Ontology of Designing. 2017; 7(3): 284-295. DOI: 10.18287/2223-9537-2017-7-3-284-295.
References
[1] Piyavsky SA. How do we digitize the concept of «more important» [In Russian]. Ontology of Designing. 2016; 6(4): 414-435. DOI: 10.18287/2223-9537-2016-6-4-414-435.
[2] Keeney RL., Raiffa H. Decisions with Multiple Objectives: Preferences and Value Tradeoffs. With a contribution by RICHARD R MEYER Harvard University. John Wiley & Sons New York Santa Barbara London Sydney Toronto H John Wiley & Sons, Inc., 1976.
[3] Larichev OI. Theory and methods of decision making [In Russian]. - M.: Logos, 2000. - 295 p.
[4] Larichev OI. Verbal Decision Analysis [In Russian]. - M.: Nauka, 2006 - 181 p.
[5] Johannes J. Vector Optimization: Theory, Applications, and Extensions. Berlin, Heidelberg, New York: SpringerVerlag, 2010. - 460 p.
[6] Ansari HQ., Jen-Chih Yao. Recent Developments in Vector Optimization. Heidelberg, Dordrecht, London, New York: Springer-Verlag, 2010. - 550 p.
[7] Hirotaka N., Yeboon Y., Min Y. Sequential Approximate Multiobjective Optimization Using Computational Intelligence. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2009. - 197 p.
[8] Malyshev VV., Piyavsky BS., Piyavsky SA. A Decision Making Method Under Conditions Of Diversity Of Means Of Reducing Uncertainty, Journal of Computer and Systems Sciences International. 2010. V.49. N1. - p.44-58.
[9] Malyshev VV., Piyavsky SA. The Confident Judgment Method In The Selection Of Multiple Criteria Solutions, Journal of Computer and Systems Sciences International. 2015; 54(5): 754-764.
[10] Brusov VS., Piyavsky SA. Multi-criteria analysis of concepts of high-altitude unmanned aerial vehicles [In Russian], News of Higher Schools., Aviation technology, 2016; 4: 9-16.
[11] Saaty TL. The Analytic Hierarchy Process. McGraw Hill. 1980. [Reprinted by RWS Publications, available electronically free, 2000].
[12] Saaty TL., Kearns KP. Analytical Planning. The Organization of Systems. - Pergamon Press. Oxford New York Toronto Sydney Frankfurt. Elsevier Ltd. 1985. - 208 p. - ISBN: 978-0-08-032599-6.
[13] Saaty TL. On the Measurement of Intangibles. A Principal Eigenvector Approach to Relative Measurement Derived from Paired Comparisons. Notices of the American Mathematical Society. 201360. . 10.1090/noti944.
Сведения об авторе
Пиявский Семен Авраамович (1941 г. рождения). Окончил факультет летательных аппаратов Куйбышевского авиационного института в 1964 г., аспирантуру при кафедре динамики полета Московского авиационного института им. С. Орджоникидзе в 1967 г. Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики и вычислительной техники Самарского государственного технического университета. Почетный работник высшей школы РФ, академик Академии наук о Земле и Академии нелинейных наук. Опубликовал более 350 научных работ в области системного анализа, методов оптимизации и принятия решений, математического моделирования, образовательных систем и технологий.
Semen Avraamovich Piyavsky (b. 1941). Graduated from Kuibyshev Aviation Institute in 1964 and received a postgraduate degree (1967) at the Flight Dynamics Department at the Moscow Aviation Institute named after Ordzhonikidze. Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department of Applied Mathematics and Computer Science of Samara State Technical University. Honored Worker of Higher School of Russia, Academician of the Academy of Earth Sciences and Academy of Nonlinear Sciences. He has published over 350 scientific papers in the field of system analysis, optimization techniques and decision-making, mathematical modeling, education systems and technologies.
