Научная статья на тему 'Вычисления в реальном времени для геометрических преобразований изображений'

Вычисления в реальном времени для геометрических преобразований изображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
116
39
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Перьков Роман Валериевич, Елаков Сергей Геннадиевич

Предлагаются разработки в области цифровой обработки изображений. Приводится сравнительный анализ основных способов описания параметрических кривых и обосновывается выбор в пользу В-сплайнов. Представляется алгоритм быстрой обработки изображений, использующий операцию накапливающего суммирования, как альтернативу операциям умножения и деления.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Перьков Роман Валериевич, Елаков Сергей Геннадиевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Calculations in real time scale for geometric image transformations

Therefore by analytical way obtained the mathematical associations, which allow to replace these operations with accumulating summation. The given replacement allows more than twice to magnify a computation speed, thus having an insignificant error concerning source formulas.

Текст научной работы на тему «Вычисления в реальном времени для геометрических преобразований изображений»

Литература: 1. Спесивцев А.В., Вегнер В.А. и др. Защита информации в персональных ЭВМ. М.: Радио и связь, 1992. 191 с. 2. EckerA. Abctrakte kriptographische Mashinen // Angew. Informatik. 1975. Vol.17, Nr 5. S.201-205. 3. Алипов Н.В. Дискретные автоматы с псевдослучайными переходами и подстановочные методы защиты информации на их основе // Радиоэлектроника и информатика. 2001. № 4. С.95-98. 4. Алипов Н.В. Разработка теории и методов решения задач помехоустойчивого поиска и преобразования информации / / Автореферат дис. на соискание уч. степени докт. техн. наук. Харьков: ХИРЭ, 1986. 50 с. 5. АлиповН.В., АлиповИ.Н., Ребезюк Л.Н. Последовательные алгоритмы поиска точки с характерным признаком, помехоустойчивые к несимметричным нерегулярным виртуальным последовательностям // Радиоэлектроника и информатика. 2003. № 2. С. 108-112.

Поступила в редколегию 10.02.2003 Рецензент: д-р техн. наук, проф. Петров Э.Г.

Алипов Николай Васильевич, д-р техн. наук, профессор кафедры электронно-вычислительных машин ХНУРЭ. Научные интересы: алгоритмизация задач автоматизированного проектирования электронно-вычислительных средств, защита информации. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина,14, тел.40-93-54.

Алипов Илья Николаевич, канд. техн. наук ХНУРЭ. Научные интересы: методы защиты информации, алгоритмизация задач автоматизированного проектирования электронно-вычислительных средств. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.40-93-54.

Ребезюк Леонид Николаевич, канд. техн. наук, доцент кафедры системотехники ХНУРЭ. Научные интересы: алгоритмизация задач автоматизированного проектирования электронно-вычислительных средств, защита информации. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 702-10-06.

УДК 621.397.26

ВЫЧИСЛЕНИЯ В РЕАЛЬНОМ ВРЕМЕНИ ДЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ИЗОБРАЖЕНИЙ

ПЕРЬКОВ Р. В, ЕЁАКОВ С.Г.___________

Предлагаются разработки в области цифровой обработки изображений. Приводится сравнительный анализ основных способов описания параметрических кривых и обосновывается выбор в пользу В-сплайнов. Представляется алгоритм быстрой обработки изображений, использующий операцию накапливающего суммирования, как альтернативу операциям умножения и деления.

а с помощью специализированного аппаратного вычислителя обеспечивается быстрое вычисление координат каждой точки объекта, соответствующих заданному положению.

Научная новизна — исследуются проблемы управления вычислением кубических сплайн-функций двух переменных для систем нелинейных преобразований видеоизображений.

Цель исследования—разработка специализированного аппаратного вычислителя, обеспечивающего быстрое вычисление координат каждой точки объекта.

Задача — вывести математические зависимости, позволяющие осуществить быстрое вычисление координат каждой точки объекта.

Общий аналитический вид зависимостей:

Актуальность

В настоящее время к тренажерным системам транспортных средств предъявляется ряд важных требований, одно из которых — обеспечение реалистичности окружающей визуальной обстановки, формируемой тренажерной системой. Визуальная обстановка в свою очередь складывается из ряда важных составляющих, таких как разрешение, создаваемое на устройстве отображения графической информации, и высокая скорость, с которой обеспечивается изменение графической информации.

Разрешение, с которым происходит отображение графики на экране, в большинстве случаев зависит от характеристик устройства отображения. Быстрая эволюция графических данных зависит от двух параметров или характеристик: производительность вычислительной системы, с помощью которой производятся необходимые расчеты, и сложность аналитических формул геометрических преобразований изображений реальных обстановок.

Наиболее оптимальный вариант, удовлетворяющий указанным выше требованиям, получается на аппаратно-программной платформе, где программно формируется положение объекта в пространстве,

X зу = fx(X э ,УЭ );Узу =

зу

fy(X э ,Уэ ).

При развертке по строке экрана Y=const, поэтому

x зу = fx,c(x э );y

э зу

fy,c (X э ).

Сравнение с аналогами

В качестве аналитических зависимостей рассмотрим и сравним три основных способа описания параметрических кривых: метод Эрмита, в котором задаются положения конечных точек кривой и касательные векторы в них; метод Безье, в котором задается положение конечных точек кривой, а для неявного задания касательных в этих точках используются две другие точки, обычно лежащие не на кривой; метод В-сплайнов, при котором конечные точки не лежат на кривой, в результате чего как первая, так и вторая производные оказываются непрерывными на концах сегмента. Каждая из этих трех форм описания кривой имеет свои достоинства и недостатки.

Параметрической кубической кривой является кривая, у которой х, у и z — многочлены третьего порядка (т. е. кубические) относительно некоторого параметра t. Так как мы рассматриваем конечные

РИ, 2003, № 4

79

отрезки кривой, то без потери общности можем ограничить диапазон изменения параметра и считать 0 < t < 1. Следовательно,

Здесь через Mh обозначена эрмитова матрица, а через Gh—геометрический вектор Эрмита. Подставив этот результат в выражение (3), получим

x(t) = axt:3 + bxt2 + cxt + dx,

3 2 (1)

y(t) = ayt3 + byt2 + Cyt + dy.

Для выражения кубической кривой в форме Эрмита зададим точки Р1 и Р4, касательные векторы R1 и R (точкам присваиваются индексы 1 и 4, а не 1 и 2 для совместимости с выражениями, которые используются при построении кривых методами Безье и В-сплайнов). Требуется найти коэффициенты ax, bX, cXи dXиз выражения (1), удовлетворяющие условиям

x(0) = Pix;x(l) = P4x;x'(0) = Rix;x'(l) = R4x. (2)

Мы используем индекс х для ссылки на x-компоненты точек и касательных векторов.

Переписывая выражение для x(t), получаем

x(t) = [t3 t2 t 1]

; x(t) = TCx

(3)

L -ix

где Tпредставляет собой вектор-строку степени t, a Cx — вектор-столбец коэффициентов x(t).

Запишем условия (2), используя уравнение (3):

x(0) = P1x = [0 0 0 1 С x, x(1) = P4x = [1 1 1 1 С x.

x(t) = TMhGhx. (6)

Уравнение для x(t) и y(t) часто записывают в виде P(t) = TMhGh.

Если заданы Pi, P4 , R1 и R4, можно определить x(t) и y(t) для 0 < t < 1 и найти все точки на сегменте кубической кривой от P1 до P4 , у которого касательный вектор в начальной точке равен R1, а в конечной — R4:

x(t) = TMhGhx =

= [(2t3 - 3t2 + 1)(-2t3 + 3t2) x

x (t3 -2t2 + t)(t3 -12)] Ghx =

= P1x (2t3 - 3t2 +1) + P4x (-2t3 + 3t2) +

+ R1x (t3 - 2t2 +1) + R4x (t3 - t2) .

Форма описания кубической кривой, предложенная Безье, очень близка к эрмитовой форме, однако отличается от нее заданием касательных векторов в конечных точках. В форме Безье используются четыре точки. Касательные векторы в конечных точках задаются отрезками P1P2 и P3P4. В частности, касательные векторы R1 и R4 эрмитовой формы определялись таким образом, чтобы соответствовать четырем точкам Безье P1 , P2 , Р3 и Р4:.

R1 = 3(P2 - P1) = P'(0),

R4 = 3(P4 - P3) = P'(1).

Чтобы записать выражение для ограничений на касательные векторы, продифференцируем сначала выражение (3) по t и получим

Поэтому соотношение между геометрической матрицей Эрмита Gh и геометрической матрицей Безье Gb записывается следующим образом:

x'(t) = 3t2 2t 1 0 Cx,

x'(0)= ,Q. II К P? 0 1 0]Cx

x'(1) = R4x = [3 2 1 0]CX

(5)

Выражения (4) и (5) можно объединить в одно матричное уравнение, и обращая матрицу размером 4x4, мы получим искомое выражение для Cx:

C(x)

P1 ■ "0 0 0 1"

P4 1111

R1 0 0 10

_R4 _ 3 2 10

C(x)

"2 -2 11 " 1 1

-3 3 -2 -1 P4

0 0 10 R1

10 0 0 _R4 _

MhGhx.

Gh =

1 1 1 О О 0 1 1 1

P4 0 0 0 1 P2

R1 - 3 3 0 0 P3

_R4 _ 0 0 - 3 3 1 1

= MhbGb.

(7)

Подставляя выражение (7) в уранение (6), находим x(t) = TMhGhx = TMhMhbGbx ,

где Mb

-1 3 - 3 1 3 - 6 3 0 - 3 3 0 0 10 0 0

Форма Безье благодаря двум своим свойствам используется в машинной графике чаще, чем эрмитова. Во-первых, потому, что геометрическая матрица (в случае четырех точек) интуитивно привлекательна в интерактивном режиме, так как, перемещая точки с помощью локатора, можно легко привести кривую к желаемой форме. В случае эрмитовой формы касательные векторы должны

80

РИ, 2003, № 4

задаваться в явном виде; в режиме диалога их определять труднее, да и само понятие незнакомо некоторым пользователям. Однако если касательный вектор известен, то привести кривую в соответствие с ним легче при использовании эрмитовой формы. Во-вторых, четыре управляющие точки определяют выпуклый многоугольник (выпуклую оболочку), внутри которого находится кривая Безье . Выпуклая оболочка оказывается полезной при отсечении кривой по окну или видимому объему.

Кривая, представленная в виде кубического В-сплайна, в общем случае может проходить через любые управляющие точки. Однако она непрерывна и, кроме того, непрерывностью изменения обладают ее касательный вектор и кривизна (т. е. первая и вторая производные кривой непрерывны в конечных точках) в отличие от форм Эрмита и Безье, у которых в конечных точках непрерывны лишь первые производные (но которые проходят через управляющие точки). Таким образом, можно утверждать, что форма В-сплайнов “более гладкая”, чем другие формы. Термин сплайны происходит от длинных гибких металлических реек, с помощью которых чертежники размечают поверхности самолетов и кораблей. Металлические сплайны, если они не сильно напряжены, также обладают непрерывностью второго порядка. В-сплайн описывается следующей формулой: x(t) = TMsGsx.

При аппроксимации управляющих точек Pi , Р2 , ..., Pn последовательностью В-сплайнов мы будем применять между каждой парой соседних точек геометрические матрицы. Для аппроксимации в интервале, близком к точкам Pj и Pi+1, используются

-1 3 - 3 1"

3 - 6 3 0

- 3 0 3 0 ,

14 10

Ms =-s 6

G

І

s

Pi-1

Pi

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Pi+1

_Pi+2

2 < i < n - 2 .

Результаты

В качестве аналитических формул геометрических преобразований были взяты соотношения для проективных преобразований, аппроксимированные с помощью В-сплайна.

Выбор был сделан в пользу В-сплайна ввиду того, что кривая, аппроксимированная данным сплайном, у которого первая и вторая производные непрерывны, является гладкой, т.е. нельзя отличить один сегмент кривой от другого.

Однако, несмотря на все достоинства данного выбора, формулы включают в себя большое количество времяёмких операций умножения, деления и возведения в степень.

Поэтому аналитическим путем были выведены математические зависимости, позволяющие заменить данные операции накапливающим суммированием.

Математические зависимости имеют следующий вид:

Xi = Xi_1 + Pf_1 + Qx_1,

Yi = Yi_1 + Piy_1 + Qy_1,

где i = 2, да.

Слагаемые P и Q вычисляются так:

Pi = Pi-1 + Qi-1;

‘ Qi = Qi-1 + R;

R = 6ЛДДЛЯ Х).

Начальные значения параметров P, Q и R (приведены для X, для Y вычисляется аналогично):

X0 = A4; P0 = 0; Q0 = °-На первом шаге при i=1:

X1 - P1 + X0;P1 - A1 + A2 + A3;Q1 - 6A1 + 2A2-

Коэффициенты A1 — A4 вычисляются по формулам, которые в данной статье не приводятся.

Выводы

Применение накапливающего суммирования позволяет более чем в два раза увеличить скорость вычислений, обладая при этом незначительной погрешностью относительно формул, использующих операции умножения и деления.

Программная реализация предложенного способа показала его эффективность для решения поставленных задач геометрических проективных преобразований изображений в реальном масштабе времени.

Литература: 1. Завьялов Ю.С., Леус В.А., Скороспелое В.А. Сплайны в инженерной геометрии. М.: Машиностроение, 1985. 224с. 2. Аммерал Л. Интерактивная трехмерная графика. М.: Сол Систем, 1992. 317с. 3. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984. 352с.

Поступила в редколлегию 26.03.2003

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Бодянский Е.В.

Перьков Роман Валериевич, аспирант кафедры ЭВМ ХНУРЭ. Научные интересы: теория сплайнов. Адрес: Украина, 61166, Харьков, просп. Ленина 14, тел. 70-21354.

Елаков Сергей Геннадиевич, старший научный сотрудник кафедры ЭВМ ХНУРЭ. Научные интересы: теория сплайнов. Адрес: Украина, 61166, Харьков, просп. Ленина 14, тел. 70-21-354.

РИ, 2003, № 4

81

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.