CC BY
19
УДК 681.3+681.5:007
ПАРАЛЛЕЛЬНОПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ПОИСКА ТОЧКИ С ХАРАКТЕРНЫМ ПРИЗНАКОМ, ПОМЕХОУСТОЙЧИВЫЕ К СИММЕТРИЧНЫМ НЕРЕГУЛЯРНЫМ ВИРТУАЛЬНЫМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМ
АЛИПОВ Н.В., АЛИПОВ И.Н.,
КОРАБЛЕВ Н.М., РЕБЕЗЮКЛ.Н._______________
Строятся параллельно-последовательные помехоустойчивые к виртуальным двуполярным последовательностям алгоритмы, у которых интервал времени между соседними выбросами является случайной величиной. Такие алгоритмы задают функционирование конечных автоматов с псевдослучайными переходами из одного состояния в другое и используются в системах защиты информации.
Проблема “поиска” широка и сложна [1,2]. В данном исследовании рассматривается ее часть: проблема одномерного помехоустойчивого поиска точки с характерным признаком на отрезке единичной длины [1,3]. Отличительными признаками этой проблемы являются:
— для подавления виртуальных последовательностей используется алгоритмический подход, в основе которого лежит принцип пересечения [2,4];
— уменьшение интервала неопределенности относительно точки с характерным признаком достигается выполнением на каждом шаге алгоритма экспериментов во временном интервале неопределенности относительно точки с характерным признаком.
Решение этой проблемы важно потому, что результаты исследования могут быть использованы в разнообразных областях науки и техники: аналогоцифровые преобразования; при обнаружении отказов систем; поиске данных, защите информации, избыточном представлении десятичных чисел, а также в теории вопросников [1,3,4].
Структура алгоритмов помехоустойчивого поиска определяется датчиками виртуальных последовательностей [5].
К настоящему моменту разработаны алгоритмы, помехоустойчивые к регулярным [6] и нерегулярным последовательностям, у которых длительность выброса последовательности является случайной величиной [7].
Известны также последовательные алгоритмы поиска точки с характерным признаком, помехоустойчи -вые к симметричным нерегулярным последовательностям, у которых случайной величиной является
интервал времени между соседними выбросами [8]. Для этих алгоритмов характерно то, что любой их эксперимент одновременно выполняется только в одной точке (k = 1). Для параллельно-последовательных алгоритмов—то, что любой их эксперимент выполняется в k точках (k > 1) и количество шагов алгоритма всегда больше единицы.
Целью исследования является синтез параллельно-последовательных алгоритмов поиска точки с характерным признаком, помехоустойчивых к двуполярным (симметричным) нерегулярным (интервал времени между соседними выбросами виртуальной последовательности — случайная величина) последовательностям.
Заметим [4], что такие последовательности описываются: амплитудой выброса (a); длительностью выброса (£) и интервалом времени между соседними выбросами (h). Алгоритм поиска характеризуется количеством его шагов (i) и точек (k), в которых одновременно выполняется эксперимент на j -м шаге алгоритма (j < i, k > 1).
Формулировка задачи синтеза помехоустойчивых алгоритмов поиска приведена в работе [4]. Ее решение направлено на то, чтобы синтезировать правила выделения нового интервала неопределенности относительно точки x и стратегию поиска (правила распределения точек эксперимента во вновь сформированном интервале неопределенности).
В дальнейшем будем полагать, что h є [hbh2]; 7, a = const; k > 1; виртуальная последовательность двуполярная (симметричная), посредством которой точка x смещается в направлениях 0 ^ 1 и 1 ^ 0 , /?1 — минимальное значение параметра h; a , £, h — целые положительные числа; x є [0,1); [0,1) — исходный полуоткрытый интервал неопределенности относительно точки X .
Первоначально сформулируем правила выделения нового интервала неопределенности на первом шаге алгоритма, а затем на любом другом его шаге.
Пусть на первом шаге алгоритма некоторым образом выбраны k точек первого эксперимента: х^ є (0,1), q = 1, k . Тогда по итогам его выполнения может быть сформулирован один из исходов:
а) х(й) є [0,х});
б) x(t1) є [xq1,xq1+1), q=1,k -1; (1)
в) x(t1) є [xk,1).
Для этих исходов на основании принципа “пересе -чения” [2] выделяем такие полуоткрытые интервалы неопределенности:
x Є [°, xj’2); x Є [xlq11,xqf+1); x Є [xk,1);
12 I xq + a5, xq + a5 < 1;
xq Ч (2)
[1 в противном случае;
РИ, 2004, № 1
85
x
1,1
q
x- - aS,xq - aS > 0;
0 в противном случае;
5 — дискретность квантования исходного интервала неопределенности.
Обобщим соотношения (2) для произвольного шага алгоритма. Пусть на j -м шаге алгоритма некоторым образом выбраны k точек эксперимента
х1,4,...х^,...,4 . Тогда по итогам его выполнения
может быть сформирован один из исходов: а), б) либо в).
Для исхода типа а) устанавливаем
х є Ц“и>х1’2), q3 = 0k ; (3)
для исхода б) формируем такой полуоткрытый интервал неопределенности:
х є [хІ1>хІ’12+і), qi = U; (4)
для исхода в) выделяем следующий полуоткрытый интервал неопределенности:
х є , (5)
где х1,1 = q1
j,2
tJ’ --
q1+1
х- -a5, х- -a5 > х- 1,1; q1 q1 q3
j—1,1
х- в противном случае; х- + a5,x- 1 + a5< х-_1,:?;
-1 -1 +1 -3 +1
j—1,2
х- Д в противном случае.
При продолжении поиска для исхода а) может возникнуть такая ситуация: на (j +1), (j + 2),..., (j + z -1) шагах алгоритма формировался исход типа а), а по итогам выполнения (j + z) шага алгоритма (z > £) был сформирован один из исходов: а) , б) или в). Для этих исходов на основании принципа “пересечения” формируются следующие полуоткрытые интервалы неопределенности:
Для исхода а)
Ц;1,1, хГ2)
(6)
где
J+z,2 _ Й “
xfz + a5,x1+z + а5 < тіп{х- +l,x1+z 1>2};
тіп{х-3+рхГ z"l2}
q3+1’
в противном случае;
для исхода б)
где q2 = 1, k -1;
j+z,1
xJ =
q2
r i+z,1 i+z,24
x Є lxJ ,xJ , )
L q2 q2 +1 ’
xj+z - a5, xj+z - a5 > x- ; q2 -2 -3
x- xj+z - a5 < x- ;
I -3 -2 -3
(7)
х
j+z,2 P . = -2 +1
x0+1 + a5,xr+1 + a§< тіП{х-3+Px1+z“U};
-2 +1 ’ -2 +1 -3+1
• t і i+z-1,2,
min{x- +1,x1 } в противном случае;
для исхода в)
х є [xk+z’1,x1+z-1,2), (8)
j+z,1
где xk =
J+z
J+z
k
j;
-3
х- в противном случае.
При продолжении поиска для исхода в) (см. соотношение (4)) может возникнуть ситуация, для которой характерно то, что на (j +1), (j + 2),..., (j + z -1) шагах алгоритма формировался исход типа б), а на (j + z) шаге алгоритма (z > £) появляется один из исходов: а), б) или в). В этом случае на основании принципа “пересечения” формируются такие полуоткрытые интервалы неопределенности:
для исхода а):
г j+z—1,1 j+z,24
х e[xJ ,х1 ) ,
(9)
где -z = 1, k;
j+z,2
Ч , =
x1+z + a5, x1+z + a5 < min{x- 1, x-+z11,2}; 1,1 1 -1+P -z +1
• ( j j+z-1,2-,
min{x- +1,x- +1 } в противном случае;
для исхода б)
г j+z,1 j+z,2 ч х Е lxJ , xJ , )
L -z+1 -z1 +1 ' ’
(10)
где -z+1 = 1,k -1; _
-z+1
x-+z -a5, x-+z - a5 > max{x- ,x-+z ^1};
-z+1 -z+1 -z
max{x- ,x-+z ^1}
{x - , x- } в противном случае;
J+z,2 _
-z+1 +1
для исхода в)
x-+z а1 + a5, x-+z a1 + a5< min{x- ,1,х-+^11,2 };
-z+1+1 -z+1+1 -1+1 -z +1
• ( j j+z-1,2-,
min{x- +1,x- +1 } в противном случае;
X є [xJ + xJ +f“U)
L q2+1 ’ qz +1 ’
(11)
где x
j+z,1 _
-z+1
x-+z -a5, x-+z -a5> max{x- ,x-+z ^1};
-z+1 -z+1 1 ЧҐ -z ’
max{x- ,x-+z 1’1} в противном случае.
При продолжении поиска для исхода в) (см. соотношение (5)) возможна ситуация, для которой характерно следующее: на (j +1), (j + 2),..., (j + z -1) шагах алгоритма формировался исход в), а при выполнении (j + z) шага алгоритма (z > £) возник один из исходов: а), б) или в). Для такой ситуации на основании принципа “пересечения” формируются такие полуоткрытые интервалы неопределенности:
для исхода а)
г і+z—1,1 j+z,2 ч
х e[xk ,х1 ) ,
(12)
86
РИ, 2004, № 1
где xi+z’2 = •
xi+z + a5, xi+z + a5 > x^ 1 •
1 ’ 1 Чз+1’
j-1
xq +1 в противном случае;
для исхода б)
:rxj+Zj xj+Z’2)
[x Р ’x р+1 '■
(13)
где р = 1,k-1; xj+z,1 _
xj(+z - a5, x}p+z - a5 > max{xk, x^+z 1’1};
' ' k qz
max{xk,xq+z_1,1}
xj+z’2 -
x P+1 -для исхода в)
в противном случае;
xЙ + aS, x4^ + a5 < x^ 11;
p+1 ’ p+1 q3+1’
j-1
xq +1 в противном случае;
j+z,1
где xk =
x Є rxk+z,1,xJq3+2) , (14)
[xk+z -a5,xjk+z -a5> max{xk,xk+z_1,1}; max{xjk, xjj+z 1,1} в противном случае. При организации поиска точки с характерным признаком может возникнуть такая ситуация: на j -м шаге алгоритма сформирован исход типа б), на последующих (j + 1),(j + 2),...,(j + z -1) шагах алгоритма формировался исход типа а), а на (j + z) шаге (z > £) была применена смешанная стратегия:
j,1 _ j+z _ j-1 _ j+z _
xJ < x, <... < xv = xJ < xJ . <...
1 ft Ч1 У1+1
Ч1
j+z
k
q1 ,j+z—1 4 •
(15)
В результате применения такой стратегии может появиться один из исходов:
сі) x(tj+z)є, A1 = 0,У1 -1;
с2) x(tj+z)єrjz,xJA+2z+1), д2 = Y1,k-1; сз) x(tj+z) > xk+z •
Для исхода с2) характерно то, что результаты экспериментов, разнесенных во времени на £ шагов
алгоритма, совпали: (x(tj) > xq ; x(tj+z) > xjj+z). Это
означает, что на j -м шаге алгоритма виртуальная последовательность не проявлялась.
На этом основании для исхода с2) устанавливаем
г j+z, 1 j+z,24
x є [x д2 ,x Д2 +1) ,
(16)
где x
J+z,2 = А, +1
j+z, 1 _
xj.+z - a5, xj.+z - a5 > xj ;
q1
xq в противном случае;
Ч1+1
РИ, 2004, № 1
xД2+1 + a§, xiT+1 + a§ - min{xii +1’ x1+z_1’2};
• ( j j+z-1,2 ->
min{xJ , 1, x1 } в противном случае.
x
z
2
2
2
Для исхода с3) на основании принципа “пересечения” будем иметь:
x є [x
j+z ,1 k
xj+z+1,2 x1
),
(17)
где x
,J+z
j+z, 1 _
x
- a5, xk+z - a5 > x^ ;
’ k q1
в противном случае.
Для исхода с1) возникшее противоречие свидетельствует о проявлении виртуальной последовательности на (j + j + z -1) шагах алгоритма либо на (j + z + j + z + £ -1) шагах.
В этой неопределенности, которая будет продолжаться на последующих (£ -1) шагах, размещаем точки эксперимента в полуоткрытом интервале
r j+z j+z Ч
[x Д1 ,x Д1+1) согласно стратегии классического алгоритма. Затем на (j + z + £) -м шаге принимаем такую стратегию: (k -1) точек эксперимента размещаем в выделенном на (j + z + £ -1) -м шаге алгоритма интервале неопределенности, а k -ю точку этого эксперимента размещаем согласно соотношению
xk+z+1 = xq1 . (18)
При этом могут возникнуть два определяющих исхода:
d1) x(t j+z+У ) > xJq1; d2) x(tj+z+/) < xq1 . (19)
Исход d1) свидетельствует о том, что виртуальная последовательность проявилась на (j + z + j + z + £ -1) шагах алгоритма, смещая точку с характерным признаком влево. На этом основании относительно точки и выделяем такой полуоткрытый интервал неопределенности:
x Є [xq1,xqf) . (20)
В интервале неопределенности, выделенном на (j + z -1) -м шаге алгоритма, организуем процесс поиска x. На этом полуоткрытом интервале применяем комбинированный алгоритм: на последующих (h1 -1) шагах применяем классический алгоритм поиска; затем пропускаем (h2 - h1 + £) шагов алгоритма (рассматривается наихудший случай); потом снова на последующих h1 шагах используем классический алгоритм поиска и так до конца поиска. Посредством такой стратегии выделенный на (j + z -1) -м шаге алгоритма полуоткрытый интервал неопределенности за оставшиеся шаги алго -ритма разобьется на у21,h2,/,a(i _ j _ z _ ^,k) равных частей. Для этой функции справедливо соотношение:
у h1,h^,a(i - j - z -1, k) = (k + 1)h1_1 x
h1 x 2
i—j-z-^-h1+1 y+h2
2
(21)
87
где
а=
0,(i - j -£ - z-h+1) ~d- + h2)
i - j -£ - z-hj +1
(i _ j _ z - h+1)-(£ + h2)
(i - j - z - h +1)-(£ + hi)
t+hi i - j -I-z - h +1
<(£ + hi-hi);
I + hi i - j-t-z - h +1
£ + h2
-(£+h2-h1);
>(£+h2 ~hi).
Если при выполнении смешанной стратегии (18) сформировался исход d2), то это свидетельствует о том, что виртуальная последовательность имела место на (j + j + z -1) шагах алгоритма, смещая точку с характерным признаком вправо.
Поскольку последние (£ -1) шагов алгоритма выполнялись по схеме классического алгоритма, каждый эксперимент которого совершался в k точках, а на (j + z +1) снова был применен классический алгоритм, каждый эксперимент которого совершался в (k -1) точках, то полуоткрытый интервал
[x^z,x^^) будетза эти шаги уменьшен в k(k +1)/_1 раз. Затем при дальнейшем поиске на полуоткрытом интервале неопределенности, выделенном на (j + z + £) -м шаге, применяют комбинированный алгоритм поиска.
Следует заметить, что количество использованных шагов, расположенных между двумя соседними выбросами последовательности, определяется соотношением [1]
N1 = (h1 - z-1). (22)
j -м шаге сформирован исход б), на последующих (j + 1),(j + 2),...,(j + z -1) шагах формировался исход типа в), а на (j + z) шаге алгоритма (z > £) была применена смешанная стратегия:
J+z_1 < xj+z < xj+z < < xj+z _ xj < xj+z < < xj+z < j
xk < x1 < x2 < ...< xp _ Xq1+1 < xp+1 < ...< xk < Xq1+1.
(24)
В результате применения такой стратегии может появиться один из исходов:
cl) x(t J+z ) Є [jz , x JA+Z+1) , Д 3 = 1, p-1 ;
ci) x(tj+z) < x1+z;
ci) x(tj+z) є[xi+4z,xi+4z+1), Д4 =РД.
Для исхода с/) характерно то, что результаты экспериментов, разнесенных во времени на £ шагов алгоритма, совпадают:
(x(tj) < xq1+1;x(tj+z) < xq|z).
Это подтверждает утверждение, что на j -м шаге
алгоритма виртуальная последовательность не проявлялась. Для такого исхода устанавливаем:
x є [x
j+z,1
A3
xj+z’2) x A3 +1 ) :
(25)
где x д.
j+z,1 _
xJ.+z - a5, xJ.+z - a5 > max^ , xk+z 1,1};
Д3 Д3 q1 k
max{xJ ,xk+z 1,1} в противном случае.
Поэтому комбинированный алгоритм поиска на последующих N1 шагах использует стратегию классического алгоритма поиска; затем пропускает (h2 - h1 + £) шагов алгоритма, потом на последующих h1 шагах снова использует стратегию классического алгоритма и так до конца поиска.
Посредством такой процедуры полуоткрытый интервал неопределенности [x£z,xбудет разбит
на у 2i,h2,/,a (i _ j _ z -1, k) равных частей. Для этой функции справедливы соотношения:
y21,h2Aa(i - j - z -1, k) = k(k +1)^ _1(k + 1)h1 _z_1:
(k +1)
i-j-h-i+1
^+h2 L (k + a) “1 , (23)
где
0,(i - j - h1 - і+1) - (£ + h2) (i - j - h1 - £+1) - (£+h2)
(i - j - h1 - £+1) - (£+h2)
i - j - h1 - £ + 1
£ + h2
i - j - h1 - £+1
£ + h2 i - j - h - £+1
£+h
2
< £ + h2 - hp -(£+hi -h1); > £+hi - hp
h
h1 > z +1; z - £ +1 < h1.
При организации поиска точки с характерным признаком может возникнуть и такая ситуация: на
88
Для исхода ci) на основании принципа “пересечения” будем иметь:
x є [xk+z-1,1,x1+z,i), (26)
здесь x1+z,i =
x1+z + a5, x1+z + a5 < xj .; 1 1 q1 +1’
xq +1 в противном случае.
Для исхода с3) возникшее противоречие свидетельствует о проявлении виртуальной последовательности на (j + j + z -1) шагах алгоритма либо на (j + z -г j + z + £ -1) шагах. Этот исход разрешают таким же образом, как и исход с1). Отличие заключается в том, что на последующих (£ -1) шагах точки экспериментов размещаются согласно стратегии классического алгоритма поиска в полу-
r j+z j+z Ч
открытом интервале неопределенности [x д4 , x д4+1) . Затем на (j + z + £) -м шаге (k -1) точки экспериментов размещают в выделенном на (j + z + £ -1) шаге алгоритма интервале неопределенности, а первую точку этого эксперимента размещают согласно соотношению:
xj+z+/
x1
= x
j.
q1+1.
(27)
РИ, 2004, № 1
При этом может возникнуть один из исходов: d1) x(tj+z+/) ^ xJ4l +1; d\) x(tj+z+y) > xJqi +1- (28)
Исход dl) свидетельствует о том, что виртуальная последовательность проявилась на (j + z + j + z + £ -1) шагах алгоритма, смещая точку с характерным признаком вправо. На основании принципа “пересечения” выделяем относительно точки x такой полуоткрытый интервал:
x Є [xj11+1,xjq1+1) . (29)
В интервале неопределенности, сформированном на (j + z -1) -м шаге алгоритма, организуем процесс поиска согласно стратегии комбинированного алгоритма поиска, рассмотренной для разрешения исхода d 1). Этот комбинированный алгоритм поиска разобьет выделенный на (j + z -1) -м шаге алгоритма интервал неопределенности относительно точки x на у21>h2>^>a(j _j _z _£,k) равных частей (см. соотношение (21)).
Если при выполнении стратегии (27) был сформулирован исход d2), то это свидетельствует о том, что виртуальная последовательность проявлялась на (j + j + z -1) шагах алгоритма, смещая точки с характерным признаком влево. В этом случае в полуоткрытом интервале неопределенности, выделенном на (j + z + £) -м шаге алгоритма, применяем известный комбинированный алгоритм, использованный для исхода d2). Этот алгоритм
полуоткрытый интервал [x^z,xразобьет за
оставшиеся шаги алгоритмана у 21,h2,Aa (j _ j _ z -1, k) равных частей (см. соотношение (23)).
При организации поиска точки с характерным
признаком может возникнуть ситуация: на j -м шаге был сформирован исход б), на последующих (j + 1),(j + 2),...,(j + z -1) шагах алгоритма
формировался также исход б), а на (j + z) шаге алгоритма (z > £) была применена смешанная стратегия:
xq’1 < x1+z < xfz <... <xj+z = xj
q1
< xj+q/ <... < xj A1 = xh
qz +1 q1 +1 P
У1
_ xj+z
q1
<... < xj+z“1 < xj+"
qz qz ^1
j,2
< ... <
< ... < xk+z < xq ... k qz +1
(30)
В результате применения такой стратегии может появиться один из исходов:
c2) x(tj+z) e[xi^z’xi'1z+1), А1 = 0,У! -1;
c2) x(tj+z ) > xJq1 = x^ , x(tj+z) < xy|^1;
c2) x(tj+z ) Є [xi+2z ’ x£+1) , A2 = Y1 +1’ P-2 ;
C4) x(t j+z) > x^, x(tj+z) < xq1+1;
c5) x(tj+z) є [xi+4z’xi+4z+1), A4 =ftk .
Для исхода c2) на основании принципа “пересечения” устанавливаем:
РИ, 2004, № 1
x є [x
j+z—1,1
qz
xj+z’2) ,x 71 +1 ) ,
(31)
где x
j+z-1,1 _
qz
xj+z 1 - a5, x^+z 1 - a5 > x^ ;
qz qz q1
xj в противном случае;
j+z,2
xJ ’ = ^ У1+1
x■'+z1 + aS,xj+_z1 + aS< min{xj ,1,xj+C1,2}; 71+1 У1+1 г ^+1’ qz+1 J
min{xq +1,xq+z_11,2} в противном случае.
Поскольку исход типа c2) противоречит исходу типа б), для которого x(tj) є [xq xq1+1) , то формируем такой полуоткрытый интервал неопределенности:
x є [x
j+z,1 Д2 +1
xj+z,2) x A, +1 )
(32)
где x
J+z,2 = Д2 +1
j+z,1 _ ,
xJ.+z -a5, xJ.+z - a5 > max{x^ , xq+z 1,1}; л- ’ л~ 1 qP qz ’
max{xq , xq+z 1’1} в противном случае,
xi+z,1 + a5, xJ.+z. + a5< min^ , xq^1,2};
A2 +1 ’ Л2 +1 q1 +1 qz+1 y
• ( j i+z-1,2-,
min{xq +1,xJq +1 } впротивномслучае.
2
Для исхода с4) противоречий не возникает, что позволяет утверждать: x e[xq,xq+1) и
относительно точки с характерным признаком сформировать полуоткрытый интервал неопределенности:
x є [x
j+z,1
P-1
x
j+z-1,2
qz +1
),
(33)
где x
j+z,1 _ P-1 "1
xi+z -a5,x^ -a5>max^ , xq+z P-1 P-1 1 q^ qz 1
max{xq ,xq+z 1,1} в противном случае,
q1 qz
x
j+z-1,2
qz+1
x
j+z-1
qz +1
+ a5, x
j+z-1
qz +1
+ a5 < x
j; q1 +1’
xq +1 в противном случае.
Нетрудно заметить, что итоги исходов c2) и с5) противоречат шагам исхода б), возникшего при выполнении j -го шага алгоритма. Это противоречие свидетельствует о действии виртуальной последовательности на (j + j + z -1) шагах алгоритма либо — на (j + z + j + z + £ -1) шагах.
Поскольку исход c2) аналогичен исходу сі), а исход с5) — исходу c3), то они разрешаются известным нам способом (см. соотношения (21), (23)).
Следует заметить, что соотношения (2), (17), (20), (25), (28), (29), (31) - (33) позволяют для любых
89
исходов, возникших в процессе поиска точки с характерным признаком, сформировать новый полуоткрытый интервал неопределенности относительно точки X.
Как известно [1,2], для решения задачи синтеза помехоустойчивых алгоритмов поиска точки с характерным признаком необходимо разработать не только правила формирования нового полуоткрытого интервала относительно такой точки, но и правила распределения точек эксперимента во вновь возникшем интервале неопределенности (стратегии поиска).
Для параллельно-последовательных алгоритмов применяют три стратегии [2]: оптимистическую, пессимистическую и смешанную.
Оптимистическую стратегию всегда применяют на первом шаге алгоритма: xlq є (0,1), q = 1, k., а также в том случае, когда на j -м шаге алгоритма возникает исход x(tj) є [xq,xq+i), q = i,k , на основании которого формируют интервал неопределенности
x є [xq,1,xq,+i), (34)
а при выполнении (j + z) -го шага алгоритма (z < £)
точки следующего эксперимента размещают в интервале
(x
j+z-1
qz-1
xj+z_1) ’ qz-1 +1
qz-i = 0,k •
(35)
Для всех других вариантов, когда справедливо соотношение
z > £ , (36)
применяют оптимистическую либо смешанную стратегию. Ту или иную стратегию выбирают на основе анализа соотношений (21), (23) и длин полуоткрытых интервалов неопределенности
[xq,1,xq) и [xq+i,xq+i).
Предположим, что на j -м шаге алгоритма относительно точек с характерным признаком сформулирован полуоткрытый интервал неопределенности:
x є [xi1,xi2+i), (37)
где ji, І2 < І; qi = 0, k .
Тогда для (37) характерны такие соотношения:
а) j - ji < t;
б) j - ji > і; j - j2 < і;
в) j - ji < і; j - j2 ^ i ; (38)
г) j - ji > і; j - j2 ^ і.
Если возникает ситуация а), то на j -м шаге алгоритма применяется оптимистическая стратегия, точки j - го эксперимента размещаются следующим образом:
xq2 є (x p'i,xp+ii), (39)
где p = 0, k, x(t j_i) є [x H, x ).
Если возникает ситуация б), то на j -м шаге алгоритма применяется одна из стратегий: оптимистическая или смешанная.
Для того чтобы определиться в выборе стратегии, найдем длины интервалов неопределенности
, [j+i,xq21+i).
Для этой цели воспользуемся соотношением (23). Длина полуоткрытого интервала неопределенности определяется соотношением (см. (15), (23)):
T([a,b]) = 5-yik(k +1)/_i(k + 1)hi“zi_i x
i~ ji ~h2 "1+1
i+h2
(40)
: (k +1) J "Т112 L (k +1) где zi = j - ji, Yi < k , Yi — первое целое число, для которого выполняется неравенство (40) (ai определяется таким же образом, как и для соотношения (23)).
h
В том случае, когда z2 = j - j2 ^ £, длина интервала неопределенности определяется (см. соотношения (23), (24)):
£(a1, b1 ]) < S- (k -р + 1)k(k +1)/_i (k + 1)hi _z2 _i
hi
x (k +1)ai (k +1)
i~ j2 ~hi-l+l-f+h2
(41)
где z2 = j - j2 , P — первое целое число, для которого справедливо неравенство (41) (ai определяется таким же образом, как и для соотношения (23)).
Очевидным является то, что для полуоткрытого интервала [a, b) и [xj’ , xj) должно выполняться соотношение
^(jxj]) < Д[а,Ь]), У1 < k . (42)
Если (42) выполняется, то смешанную стратегию (15) можно применить на следующем (j +1) -м шаге в том случае, когда имеет место выражение:
/(j, xj ]) < 5- yik(k +1)/_i (k + 1)hi _z1 _i X
hi
x (k +1) ai(k +1)
i- ji -hi-1+1 f+h2
(43)
где z1 = j +1 - j1, j + 2 - ji < hi, j +1 - j2 < £ , yi < k.
Если же соотношение (42) выполняется, а (43) не выполняется, то смешанная стратегия (15) применяется на j -м шаге алгоритма.
Стратегия (15) применяется на j -м шаге алгоритма и тогда, когда соотношение (43) выполняется, но при этом имеет место неравенство: j + 2 - ji > hi.
В том случае, когда соотношения (42), (43) выполняются и имеет место неравенство j +1 - j2 > £ , на (j +1) -м шаге алгоритма может быть использована смешанная стратегия (30). Для того чтобы на (j +1) -м шаге алгоритма воспользоваться стратегией (30), необходимо, чтобы наряду с истинностью соотношения (43) имели место такие выражения:
РИ, 2004, № 1
90
*([x j +1,xj’+21]) < S(k - Pi + 1)k(k + 1)/-1(k + 1)hl-z2-1 X
hi
x (k + 1)a1 (k +1)
i~ j2 ~h1 ~l+! /+h2
(44)
где z2 = j +1 - j2, j-2-j2 <h1, 1 <P1 <k , y1 > 1,
r1 <P1 •
Если же соотношения (44) не выполняются, то смешанная стратегия (15) используется на j -м шаге алгоритма.
Если возникает ситуация в), то на j -м шаге алгоритма применяется также одна из стратегий: оптимистическая или смешанная.
Для того чтобы на j -м шаге алгоритма не использовать смешанную стратегию (24), необходимо, чтобы имели место такие соотношения:
^([xj +1’х£+1]) ^ §(k-Р + 1)k(k + 1)/_1(k + 1)h1 “z2-1:
h1
(k +1)
І-j2 -h1 -/+1
£ 2 + ho
L (k + 1)a1;
(45)
^([xj +j]) <8(k -P1 + 1)k(k + 1)/-1(k + 1)h1 -z2 -1: i_ j2 _h1 ~^+1
h1
x (k +1) J ^+П2 L(k + 1)a1;
где z2 = j +1 - j2 , j - 2-j2 < h1 , 1 <P1 < k ,
j +1 - j1 <£, 1 <P<k •
Если первое неравенство (45) выполняется, а второе не выполняется, то на j -м шаге используют смешанную стратегию (24). Ее применяют на j -м шаге и в том случае, когда соотношения (45) выполняются, но при этом имеет место неравенство
j + 2 _ j2 > h1 •
В том случае, когда соотношения (45) выполняются и при этом имеет место неравенство j + 1 - j1 > I, то на (j +1) шаге алгоритма может быть использована смешанная стратегия (30).
Для того чтобы на (j +1) шаге алгоритма применить стратегию (30), необходимо, чтобы наряду с истинностью соотношений (45) истинными были и выражения
^([xj11’1,xj1]) <5r1k(k +1)/-1(k + 1)h1 -z1
h11 i~ j1 h1 ~^+1 x (k +1) a1(k +1) -
^+h9
(46)
где j + 2 - j1 < h1, y1 > 1, Y1 <p .
Если же соотношения (46) не выполняются, то на j -м шаге алгоритма используют смешанную стратегию (24).
Если же на j -м шаге возникает ситуация г), то в этом случае может быть использована одна из стратегий: оптимистическая; смешанная (15), смешанная (24) или смешанная стратегия (30).
Для того чтобы выбрать стратегию поиска, необходимо выяснить: являются ли истинными соотношения (40), (43) и (45); определить значения параметров Y1, у1, Р и Р1. При этом, если все соотношения (40), (43) и (45) выполняются, а также выполняются выражения
j + 2 _ j1 ^ h1 , j + 2 _ j2 - h1 , Y1 <Р ,
У1 <Р1, 1 <Р1 <k , (47)
то на j -м шаге алгоритма используют оптимистическую стратегию.
Если же все соотношения (40), (43) и (45) выполняются и при этом истинными являются выражения j + 2 - j1 < h1, j + 2 - j2 < h1, y1 = k , P1 = 1, то на j -м шаге применяется смешанная стратегия x1 = xj , xk = xj+1, а все остальные точки j -го
эксперимента располагаются в выделенном на (j -1) -м шаге алгоритма интервале неопределенности.
Если же при истинности соотношений (40), (43), (45) имеют место неравенства y1 > k, Р > 1, j + 2 - j1 < h1, j + 2 - j2 < h1, то на j -м шаге алгоритма применяют смешанную стратегию (15).
Если истинными являются соотношения (40), (43), (45), то при истинности неравенств
У1 = k , Р1 > 1 , j + 2 - j1 < h1 , j + 2 - j2 ^ h2 (48)
применяют такую смешанную стратегию: x1 = x^ , а все остальные точки j -го эксперимента размещают в выделенном на (j -1) -м шаге алгоритма поиска интервале неопределенности. При истинности соотношений:
У1 < k , Р1 = 1 , j + 2 - j1 < h1 , j + 2 - j2 ^ h2 (49)
j j2
применяют смешанную стратегию вида xk - xq1+1, а все остальные точки располагают в выделенном на (j -1) -м шаге алгоритма интервале неопределенности. При истинности выражений
у1 < k, Р1 < 1, j + 2 - j1 ^ h1, j + 2- j2 ^ h1 используют смешанную стратегию (24); при истинности неравенств
у1 > k , р1 < 1, j + 2 - j1 < h1, j + 2 - j2 ^ h1 применяют смешанную стратегию (30). Следует заметить, что смешанная стратегия (15) используется при истинности таких неравенств:
j _ j1 + 2 > h1 , j _ j2 + 2 ^ h1 ; смешанная стратегия (24) — при истинности соотношений:
j _ j1 + 2 ^ h1 , j _ j2 + 2 > h1; (50)
смешанная стратегия (30) используется при истинности выражений: j - j1 + 2 > h1, j - j2 + 2 > h1.
При синтезе параллельно-последовательных алгоритмов поиска точки с характерным признаком, помехоустойчивых к виртуальным симметричным
РИ, 2004, № 1
91
последовательностям, пессимистическая стратегия в обязательном порядке применяется на последних (2£ +1) шагах алгоритма. При этом k точек эксперимента выбирают таким образом, чтобы они выделенный на предыдущем шаге алгоритма интер -вал неопределенности разбивали на равные части, а на всех последующих — эксперимент повторяют. Такую процедуру в худшем случае повторяют (2£ +1) раз. Если в процессе поиска (£ +1) раз, к примеру, был сформирован полуоткрытый интервал неопределенности (Xq, Xq+i) , q = 0, k , то исходя из свойств виртуальной последовательности, устанавливают X Є [Xq, Xq+i) .
Нетрудно убедиться в истинности соотношений
у h1,h2’/,a (1, k) =... = у 21,h2,/,a (2Т k) = 1,
у W,a(2^ +1, k) = (k +1). (51)
Построение параллельно-последовательных алгоритмов поиска точки с характерным признаком, помехоустойчивых к симметричным нерегулярным виртуальным последовательностям, осуществляется методом индукции по i по такой схеме [4]:
1. Построить для заданных параметров алгоритма и виртуальной последовательности (i -1) -шаговый помехоустойчивый параллельно-последовательный алгоритм поиска. Расположить точки первого эксперимента в исходном интервале неопределенности. Присвоить переменной j значение, равное единице.
2. Сформировать возможный исход. Если все исходы первого шага проанализированы, то перейти на п.7, иначе — на п.3.
3. Используя одно из соотношений (2), (17), (20), (25), (28), (29), (31) - (33), сформировать новый полуоткрытый интервал неопределенности.
4. Положить j = j +1 и если j < i, то на основании
соотношений (21), (23), (24), (30), (40), (51)
выбрать точки следующего j -го эксперимента и перейти на п.5, иначе — на п.6.
5. Сформировать возможный исход на j -м шаге
алгоритма. Если все исходы j -го шага алгоритма проанализированы, то перейти на п.6, иначе — на п.3.
6. Положить j = j +1. Если j = 1, то перейти на п.2, иначе перейти на п.5.
7. Местоположение точек экспериментов для всех исходов определены (алгоритм построен).
Следует заметить, что синтезированные правила для формирования нового полуоткрытого интервала неопределенности для точек с характерным признаком, распределения точек j -го эксперимента во вновь выделенном полуоткрытом интервале неопределенности позволяют по описанной схеме построить новый класс помехоустойчивых парал-
лельно-последовательных алгоритмов поиска точек для любых параметров виртуальной последовательности, рассматриваемого класса и параметров алгоритма. Тем самым можно определить формирование конечных автоматов с псевдослучайными переходами систем защиты информации.
Литература: 1. Алипов Н.В. Помехоустойчивый поиск точки с характерным признаком и кодирование информации// Радиоэлектроника и информатика. 2000. № 4. С.82-86. 2. Алъсведе Р., Вегенер И. Задачи поиска. М.: Мир, 1982. 365 с. 3. Алипов Н.В. Дискретные автоматы с псевдослучайными переходами и подстановочные методы защиты информации на их основе// Радиоэлектроника и информатика. 2001. №4. С.95-98. 4. Алипов Н.В. Разработка теории и методов решения задач помехоустойчивого поиска и преобразования информации // Автореф. дис. на соиск. уч. степени д-ра техн. наук. Харьков: ХИРЭ, 1986. 50 с. 5. Алипов Н.В., Алипов И.Н., Ребезюк Л.Н. и др. Датчики виртуальных помех, используемые для организации функционирования дискретных автоматов в системах защиты информации //Радиотехника. 1999. Вып. 11. С.33-39. 6. Алипов Н.В., Ребезюк Л.Н., Охапкин А.А. Защита информации в дискретном канале на основе устойчивых к периодическим помехам алгоритмов поиска точки с характерным признаком// АСУ и приборы автоматики. 1999. Вып. 109. С. 108-115. 7. Алипов Н.В, Ребезюк Л.Н. и др. Методы защиты информации в дискретном канале на основе помехоустойчивых к несимметричным нерегулярным виртуальным помехам алгоритмов поиска точки с характерным признаком // Радиоэлектроника и информатика. 2000. №2. С. 104-111. 8. Алипов Н.В., Алипов И.Н., Хилъ М.И., Ребезюк Л.Н. Последовательные алгоритмы поиска точки с характерным признаком, помехоустойчивые к симметричным нерегулярным виртуальным последовательностям // Радиотехника. 2003. Вып. 133. С. 36-45.
Поступила в редколлегию 15.07.2003
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Хаханов В.И.
Алипов Николай Васильевич, д-р техн. наук, профессор кафедры ЭВМ ХНУРЭ. Научные интересы: алгоритмизация задач автоматизированного проектирования электронно-вычислительных средств, защита информации. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.702-03-54.
Алипов Илья Николаевич, канд. техн. наук ХНУРЭ. Научные интересы: методы защиты информации, алгоритмизация задач автоматизированного проектирования электронно-вычислительных средств. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.702-03-54.
Кораблев Николай Михайлович, канд. техн. наук, доцент кафедры ЭВМ ХНУРЭ. Научные интересы: проектирование вычислительных средств. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 702-03-54.
Ребезюк Леонид Николаевич, канд. техн. наук, доцент кафедры системотехники ХНУРЭ. Научные интересы: алгоритмизация задач автоматизированного проектирования электронно-вычислительных средств, защита информации. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 702-10-06.
92
РИ, 2004, № 1
