CC BY
40
________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том 7/ 1971
№ 6
УДК 533.6.011.5:532.582.33
ВЫЧИСЛЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ТЕЛА ПО ФОРМЕ ГОЛОВНОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ
Г. И. Майкапар
На основании теорем сохранения массы и импульса, анализа порядка величин и численных результатов подтверждается справедливость формулы для вычисления волнового сопротивления полубес-конечного цилиндрического тела по форме головной волны. Формула может быть использована для определения сопротивления головных частей осесимметричных и цилиндрических тел по теневым снимкам течения.
Связь между приращением энтропии и сопротивлением тела, движущегося в сжимаемой среде, в общем виде была установлена Осватичем, которому принадлежит следующая теорема: „Произведение сопротивления на скорость тела минус теплота, поглощаемая телом, равны суммарному потоку энтропии через большую контрольную поверхность, окружающую тело, умноженному на температуру свободного потока" [1]. Теорема доказана для бесконечно малых возмущений и не справедлива в случае конечных приращений энтропии, например за ударными волнами.
Уитхэм, рассматривавший движение тела вращения со сверхзвуковой скоростью, получил в первом приближении формулу для сопротивления в соответствии с теоремой Осватича:
’'РнТ’н/ (8 — 8н)(1у2
О
(интегрирование распространяется на плоскость за телом, нормальную к скорости движения [2]). Недавно эта формула была получена также в статье [3].
Автором настоящей статьи была получена формула для вычисления волнового сопротивления полубесконечного цилиндрического тела при нулевом угле атаки по форме головной волны без предположения о малости возмущений (1959 г.). Предполагалось, что газ невязкий, нетеплопроводный, совершенный; в потоке, кроме головной, других ударных волн нет; на большом расстоянии за головной частью тела поперечная составляющая скорости г» = 0,
давление равно давлению в невозмущенном потоке, р = ра. При этих предположениях из уравнения Бернулли следуют выражения для продольной составляющей скорости
ин + Ц = 1/
«Н Г
(7 — 1)М2
плотности и температуры газа
А = ^ = ^
Рн Т д '
Здесь и„, рн — соответственно скорость и плотность невозмущенного потока,
СР ЛД «н . а _ Рщ
ТГ = —; м = —, у = -—.
где ан— скорость звука в невозмущенном потоке.
Удельный безразмерный расход газа
£-1
р(Ин+ Ы) _ »н |/ ,____V 1
Рн«н & Г (Т — 1) М2
в связи с тем, что заударной волной &/&„> 1. Поэтому предположение о равенстве г;=0 нельзя распространить на все течение от тела до ударной волны, так как при этом не будет выполнено условие сохранения массы. Уитхэм предположил, что эта погрешность схемы течения может быть устранена во втором приближении [2]. Заранее не очевидно, что погрешность в условии сохранения массы, остающаяся и при х-* оо, не внесет заметной погрешности и в формулу для сопротивления.
Добавление бесконечной цилиндрической хвостовой части можно рассматривать как искусственный прием при вычислении сопротивления передней части тела, аналогичный вычислению индуктивного сопротивления по свободным вихрям [3]. Многочисленные фотографии головных ударных волн дают возможность вычисления волнового сопротивления. Поэтому представляет интерес доказательство справедливости формулы для сопротивления полу-бесконечного цилиндра:
Х=к! (/>„у;о+1 — Рнин /«<Ув+1),
. _ 0 для плоского течения, где 1 ~ 1 для осесимметричного течения.
Покажем прежде всего некоторые следствия из линейной теории обтекания тонких тел вращения сверхзвуковым потоком. В области, ограниченной характеристическими конусами, идущими из начальной точки д: = 0 и точки перехода на цилиндр лг0
(0<д: — до^Хо ПРИ условии х— до <С ДО), составляющие скорости
возмущения
/. х-^У о
и„ Г <1уо (?)
и — — [IV— н 1 ----
г Дуо(б) .
3 ух —V.у— %
2 /2до } }/х — до — £
. о
следовательно, в этой области скорость убывает как х~112.
На большом расстоянии за головной частью тела (х—}*У х0)
и
инху0(х0) . 2(x2-v2y2f/'i ’
V :
Щ{уу?у1(х0)
2 (х2—р2 у2)312'
следовательно, при у — const составляющая и — х~2, а составляющая г>~л-3, скорость убывает с ростом х гораздо быстрее, чем в области. О — [iy<;x0.
Есть основание предположить, что течение далеко за головной частью тела состоит из трех частей (фиг. 1):
1) „энтропийного" слоя за сильной частью головной волны,
в котором величины ия-\-и, р, Т существенно отличаются
от характеристик невозмущенного потока и размер которого мало изменяется с ростом х;
2) „ударного" слоя вблизи волны;
3) промежуточной области течения за слабой частью головной волны, расширяющейся с ростом х.
Предположение о том, что в энтропийном слое и промежуточной области ю — 0, приводит к следствию из уравнений движения;
йр
ёх
О, р = рн.
При этих условиях скорость возмущения — , приращение удель-
Ин
ного расхода
р(ин+ и)
-1
Рн
пропорциональны величине первом приближении
и удельного импульса
8 — в,
Р (ин + ц)2 Рн Кн
— 1
—, которая для слабой волны в
"ч- У* '•...ічз ctS3а83-
Здесь 8 = ер — а,
3 (т+1 )3
^arcsinM-1, — угол наклона ударной волны.
В то же время непосредственно за ударной волной возмущения пропорциональны 8:
ив__ 2 sin 2а Л vB _ 4 cos2 а ? Рв~Ри_ 2 sin 2а ,
_ Т + 1 °’ «н Т+ 1 ’ рн «2 _ Т + 1 ’
рв — Рн _ 4 ctg а 5
Рн Т + 1 '
Несмотря на то, что при х -» оо волна переходит в волну Маха
и как в ударном, так и в промежуточном слое течение приближается к невозмущенному, в промежуточном слое этот переход происходит быстрее.
Различный характер поведения характеристик течения в трех
указанных областях при х-
оо подтверждается приведенными в работе [4] результатами расчетов, некоторые из которых показаны на фиг. 2—6. Особенно отчетливо различный характер асимптотического поведения давления в ударном слое и в остальной части течения иллюстрируется фиг. 6 (обозначения на фиг. 2—6 такие же, как и в [4]).
Указанная выше схема течения устанавливается на тем боль-
Фиг. 3
шем расстоянии л:, чем больше число М. Приняв эту схему, применим теоремы сохранения массы и импульса. В качестве контрольной возьмем поверхность, состоящую из головной волны, цилиндрической поверхности, плоскости, нормальной оси х, и поверхности тела (см. фиг. 1). Из условия сохранения массы:
ус Хс 2
| р (ин + и) (1у“ + 2ус | ^йх — Рнииус = 0;
у« ХВ
„ Ус
Рв«и^о + С [рн Ии - р («„ + и)1 йу2 =» 2ус рг/ йх.
I -В
9 лиф
g лиф
jr ЛИф
Условие сохранения импульса:
у
----— + РнУс — рн (Ус — Уо) — ^ р (ин + м)2 Лу2 +
Уо
У‘ 2 + 2ус§ рг> (мн + и) йх - рн ы„ у) ;
Уо
2 У° Х°
— — РЛо - | ри (и„ + и) йуг — 2ус | puvdx.
У о
Интеграл
Уг
Фиг. 7
]■ [р„-р(«„+«Я<У2=Р-«и |
йув
V о
сходится при х -»оо, как это будет показано далее, поэтому 2уг J р1>йл: при у -» оо остается конечным. Вместе с тем с ростом у
хв п
составляющая скорости и -» 0, поэтому
и, следовательно,
тс
РнУІ — [ 9U (ин + и) dy2 = pHyl +
РнУо—Р„ИН I иС^Ув = РнУо + Раин
О О
При малых приращениях энтропии s
& — &„ s — s„
dyl (1)
из выражения (1) получаем формулу Уитхэма
X со
— = РнУ2о + р„ тн | (в - вн) йу2.
Уо
Для сильной ударной волны линейная зависимость подынтегральных функций ОТ 5 — Ян имеет место только при небольших
сверхзвуковых скоростях [ на фиг. 7 она показана для прямого
скачка уплотнения f
линеиная зависимость неприменима уже
при М>2.
В случае плоского течения формула для сопротивления 00 00 х = Рн у0 - / Р («Н + и) udy = рну0 — Рн иа J иёув.
Vo
Докажем теперь, что интегралы
со р
Г Рн «н
J |_Р(«в+и)‘
-1
dyl и
и
dy в
о о
сходящиеся, для чего достаточно показать, что интегралы в пределах от оо до у (у — большая величина) стремятся к нулю.
В обоих интегралах подынтегральные функции пропорциональны 83. Следуя Уитхэму, уравнение головной волны для больших значений у представим в виде
х—у ctg а — Ьуп — с
* dx , , ,
ctg ср = -д- = ctg а — Ьпуп-Х
Так как 8 sin2 a (ctg а— ctg <р) == sin2abnyn~1, условие сходимости
1/2 \ интегралов выполняется при «-<-д- га для плоского течения!.
Обработка результатов вычислений [4] показала, что «^0,1 (фиг. 8), следовательно, условие сходимости выполняется*.
* Уитхэм получил Я:
для тела конечной длины.
зо
Дифференциальное уравнение сохранения массы в энтропийном и промежуточном слоях
р (и„ + и) ау2 — рн ин йу\
при известном диаметре цилиндра _у0 дает возможность найти форму волны по известной функции &(у) или же функцию &(_у) по известной форме волны.
Для определения функции &(у), соответствующей минимальному сопротивлению тела с заданными х0, у0(х0), по-видимому, следует задать три точки кривой 9(_у): &(_У0)> зависящую от того, заостренное тело или тупоносое; &(оо) и характеризующую
удлинение. Величина О* может, например, соответствовать углу наклона волны «р*, при котором скорость за ней звуковая (фиг. 9).
ЛИТЕРАТУРА
1. Основы газовой динамики. Аэродинамика больших скоростей и реактивная техника. Под ред. Г. Эммонса. М., Изд. иностр. лит., 1963.
2. W h і t h a m Q. B. The flow pattern of a supersonic projectile. Comm, on Pure
and Appl. Math., vol. V, No 3, 1952.
3. Becker E. Relaxation effects in gasdynamics. Aeron. J., No 717, 1970.
4. Любимов A. H., Русанов В. В. Течения газа около тупых тел. М., ,Наука", 1970.
Рукопись поступила 2jIV 1971 г.
