CC BY
28
Key words: canonical representations; pseudo-orthogonal group; Berezin transform.
Артемов Анатолий Анатольевич к. ф.-м. н., доцент, начальник управления методологического обеспечения основной деятельности университета Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов
e-mail: [email protected]
Anatoliy Artyomov
candidate of phys.-math. sciences,
senior lecturer
Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov
e-mail: [email protected]
УДК 519.85
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРИСОЕДИНЕННОЙ МАТРИЦЫ НА МНОГОПРОЦЕССОРНОМ КЛАСТЕРЕ 1
© А. А. Бетин
Ключевые слова: параллельный рекурсивный алгоритм; присоединенная матрица; детерминантные тождества.
Аннотация: Предлагается параллельный рекурсивный алгоритм вычисления присоединенной матрицы. Приводятся результаты экспериментов на кластере МСЦ при различных размерах, плотности матриц для различного числа процессоров.
Задача обращения плотных и разреженных матриц - одна из самых распространенных задач параллельного программирования. Однако с ростом размеров матриц накопление ошибок тоже растет, и для некоторых задач эта проблема становится катастрофической.
Мощности параллельных вычислительных систем позволяют сегодня подойти к проблеме накопления ошибок с другой стороны. Можно строить параллельный алгоритм с точными вычислениями. Также как в числовых параллельных алгоритмах, преимущество будет у блочных, рекурсивных алгоритмов, в которых не требуется выборка ведущего элемента на каждом шаге.
Алгоритм вычисления присоединенной матрицы основан на разложении на множители об-
( А С \
ратной матрицы. Если А = I I - обратимая матрица и А ее обратимый блок, то можно
,BD,
разложить на множители ее обратную матрицу A-1 [1]:
■ (I -A-1C ' I0 I0 0 -1 A
0 I 0 (D - BA-1C)-1 I B - 0I
Применение детерминантных тождеств позволяет вычислять присоединенную матрицу с помощью аналогичного разложения присоединенной матрицы [2].
Работа выполнена при поддержке программы "Развитие потенциала высшей школы"(проект 2.1.1/1853) и Темплана 1.12.09.
Алгоритм является рекурсивным. Графом алгоритма является дерево.
Граф алгоритма состоит из вершин пяти типов:
1 - главная вершина - корневая вершина дерева алгоритма (A, S, Es, d) = Aext(M, do);
2 - вершина типа A * B;
3 - вершина типа ^tBdo]
4 - вершина типа AB + CD;
5 - вершина типа do + ^tTdo, гДе A, BCD матрицы, do, d\ числа.
Все деревья, исходящие из вершины, разбиты на пучки. Деревья в одном пучке вычисляются параллельно, пучки пронумерованы и вычисляются в соответствии со своими номерами. Пучок из одного дерева - это вычислительный блок в вершине.
В докладе приводятся результаты экспериментов, проведенных на кластере МСЦ, в которых вычислялась присоединенная матрица. В экспериментах изменялась плотность матриц, размеры и числовые множества, из которых брались коэффициенты матриц. Кроме того, эксперименты проводились при различном числе процессоров, которое выделялось для решения задачи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Strassen V. Gaussian Elimination is not optimal // Numerische Mathematik. 1969. V. 13. P. 354-356.
2. Малашопок Г.И. Матричные методы вычислений в коммутативных кольцах. Тамбов: Издательство ТГУ им. Г. Р. Державина, 2002.
Abstract: A parallel recursive algorithm for calculating an adjoint matrix is constructed; the results of experiments on a multiprocessor computer for various matrix sizes and density, for various amount of processors are demonstrated.
Key words: parallel recursive algorithm; adjoint matrix; determinant identities.
Бетин Андрей Андреевич аспирант
Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: [email protected]
Andrey Betin
post-graduate student
Tambov State University named after
G.R. Derzhavin
Russia, Tambov
e-mail: [email protected]
