CC BY
192
УДК 517.382
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ N-МЕРНОЙ СФЕРЫ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГАРАЛА ПУАССОНА
С. В. Бураков, Е. Д. Зиборов, В. С. Сыпачев, И. М. Тюкачева
*
Научный руководитель - Е. И. Яковлев
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: yei@ngs.ru
В настоящей заметке рассматривается оригинальный способ вычисления объема n-мерного шара, опираясь на определение площади поверхности тела по Минковскому.
Ключевые слова: интеграл Эйлера-Пуссона, n-сфера, объем n-мерного шара.
THECALCULATION METOD OF THE N-DIMENSIONAL SPHERE AREA USING
THE POISSON INTEGRAL
S. V. Burakov, E. D. Ziborov, V. S. Sipachev, I. M. Tyukacheva Scientific Supervisor - E. I. Yakovlev*
Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation
E-mail: *yei@ngs.ru
Authors consider the original method of calculating the capacity of an n-dimensional sphere, based on the definition of the solid surface area in Minkowski.
Keywords: integral of the Euler-Pousson, n-sphere, capacity of an n-dimensional sphere.
Шар и эллипс необходимы для описания любой планетарной системы. Для студента аэрокосмического вуза важно уметь получать объемы и площади их многомерных аналогов. Опираясь на источники [1-3], в настоящей работе предлагается один из вариантов решения этой задачи.
Совокупность точек n-мерного пространства, координаты которых удовлетворяют условию
G(a1,...,an):={хеR" :4 + 4 + "4*4
I a1 a2 an J
называется n-мерным эллипсоидом, при ai = ... = an = a он переходит в шар радиуса а. Такой шар будем обозначать Ba, его n-мерный объем Vn(Ba), границу шара, (n-^-мерную сферу и ее (n-^-мерную «площадь», соответственно юа = dBa, S„(roa). В случае а = 1, для удобства изложения, положим Vn = Vn (B1), Sn = Sn (ю1).
Замена переменных Xj = ayу; j = 1, ..., n, имеет якобиан перехода I = an, следовательно,
Vn (Ba ) = if ...J dx1...dXn = JJ ...J andy1...dyn = anVn (B).
Ba B1
Аналогично замена переменных ху = ay; ay- > 0; j = 1, ..., n, имеет якобиан перехода I = a1, ..., an и преобразует n-мерный эллипсоид G(a1,.,an) в единичный шар, поэтому Vn(G(a1, ..., an)) = a1, ..., anVn. Вычислив константу Vn, можно получить формулы для объема n-мерного шара и эллипсоида.
Так как известна зависимость объема шара от радиуса, то
Актуальные проблемы авиации и космонавтики - 2017. Том 2
1 1 и-1
¥„ = Л ...|йхх...йхп = | йхп Л ...|йхх...йхп_1 = ¥п_1 К1 - х2п) 2 ёхп .
х2<1 -1 х2 +^х2_1<1_ х2 -1
Рассмотрим, как связаны объем п-мерного шара Уп(Ва) и (п-1)-мерной площадью (п-1)-мерной сферы £„(юа). Из геометрических соображений понятно, что по аналогии с объемом
п-мерного шара, для (п-1)-мерной сферы ^„(юа) = ап 1^„(ю1) = ап 1Бп. Из определения производной (Гп(Ва))' = ^(юа), здесь производная берется по длине радиуса а. Поэтому
^ („а ) = = ^ = ^
аа аа
и, следовательно, п¥п = 8п - связь между объемом и площадью единичного п-шара. Известен интеграл Эйлера-Пуассона:
да
„2
I =| е х йх = -\/л .
Вычислим п-степень интеграла Эйлера-Пуассона, вначале заменив его кратным интегра-
п
лом по всему пространству К , а потом сведем его к повторному интегралу, причем первый интеграл возьмем по (п-1)-мерной сфере радиуса г, а потом проинтегрируем по г от 0 до да.
= I" = (|ке_х2ах)" = | е~х2_.. _х2ах =|е_г2йг | .
' К 0 х2+...+х„2=г2
Так как { = Бп (г) = гп-18п („) = гп-18п, тогда
2 . .2 2 х^ +...+хп=г
да 2 да 2
((^)п =| е_г гп-1^паг = Бп |е_г гп-1йг . 0 0
Интеграл, в последнем равенстве, с помощью замены сводится к гамма-функции.
п-1 л 1 л да п
^ ^ /4 X — 1 ^ ^ 1 -в / \
|е_г2гп-1аг = У2 = Ж = = |е_Ч~1 Г2Ж = 21е_'(Т Ж = 2г| п I. 0 0 2 2 0 2 ^21
Получаем уравнение относительно 8п, решая его, находим:
г
йп = 2л2
п { Г ЛЛ_1
V V 2
соответственно
^ („а ) = V-1 = 2л 2 ап-1 2 |
а, следовательно, так как пУп = £п, то
п
8п 2л2 л2 /„ \ л2ап чч а1...апл2
V = = —^= —7-Г; Уп(Ва) = -7-г; V№,...,ап)) = ^
п -<§) <§+•) <2+1) ^+.
Заметим, формула для площади поверхности эллипсоида здесь отсутствует. Однако вернемся к объему п-мерного шара. Для случаев четного и нечетного п получаются формулы
п
п" _ 2 (2л)"
V2n ~ . ' V2n+1 _
„Г 2„+1 (2„ +1)!!'
Хорошо известны три первых значения
У1 = 2, у2 = л» 3,141593, V = 4,18879.
Выпишем еще четыре значения
л2 8л2 ж3 16л3 К = — « 4,934802, V =-« 5,263789, V = —» 5,167713, V =-« 4,724766.
4 2 5 15 6 6 105
Заметим, что для размерности пространства можно выписать формулу
п = [У„ ]-1,
которая верна для первых трех значений, для следующих двух наблюдается равенство
„ = [¥„ ].
Будем увеличивать размерность. При этом объем единичного куба не изменяется и остается равным единице. А объем п-мерного шара, при неограниченном возрастании размерности стремится к нулю. Это вытекает из того, что факториал растет быстрее любой степенной функции. Итак, если рассматривать объем „-мерного шара, как функцию от размерности пространства, то при увеличении „, эта функция стремится к нулю. У этой функции есть только один экстремум „ = 5.
Вероятностный смысл этого факта выглядит следующим образом. Если точку случайным образом бросать в единичный „-мерный куб, содержащий в себе часть „-мерного шара, лежащего в первом ортанте, то вероятность того, что мы попадем в шар, с увеличением размерности стремится к нулю.
Библиографические ссылки
1. Зорич В. А. Шар, сфера и всё-всё-всё // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2016. № 3. С. 16-19
2. Заславский А. А. О вычислении объема n-мерного шара // Математическое просвещение. 2008. Сер. 3. Вып. 12. С. 270-271.
3. Неклюдова А. В. Некоторые нестандартные доказательства и задачи в курсе математического анализа [Электронный ресурс] // Инженерный журнал: наука и инновации. 2013. Вып. 5. URL: http://engjournal.ru/catalog/pedagogika/hidden/743.html (дата обращения: 14.04.2017).
© Бураков С. В., Зиборов Е. Д., Сыпачев В. С., Тюкачева И. М., Яковлев Е. И., 2017
