Вычисление параметров процесса планирования запасов топлива ТЭЦ на основе матриц из однородных полиномов Белла Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.1 + 519.2 + 519.874 Кузьмин Олег Викторович,

д. ф.-м. н., профессор, заведующий кафедрой теории вероятностей и дискретной математики, Иркутский государственный университет, e-mail: [email protected]

Мельникова Вера Александровна,

старший преподаватель кафедры информационных технологий, ИГУ, филиал в г. Братске, аспирант ИГУ,

e-mail: [email protected], тел. 86501170993

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПРОЦЕССА ПЛАНИРОВАНИЯ ЗАПАСОВ ТОПЛИВА ТЭЦ НА ОСНОВЕ МАТРИЦ ИЗ ОДНОРОДНЫХ ПОЛИНОМОВ БЕЛЛА

O.V. Kuzmin, V.A. Melnikova

THE SIMULATION OF THERMOELECTRIC PLANT INVENTORY PLANNING PROCESS BASED ON HOMOGENEOUS

BELL POLYNOMIALS MATRIX

Аннотация. Для решения задачи планирования запасов топлива ТЭЦ предложена комбинаторная модель на основе матриц из однородных полиномов Белла. Представлено программное обеспечение, специально разработанное для автоматизации вычислений. Приводятся описание структуры данных для хранения параметров полиномов в оперативной памяти, алгоритм, составленный на основе метода рекуррентных соотношений, и результаты вычислительного эксперимента.

Ключевые слова: задача планирование запасов топлива ТЭЦ, дискретные процессы восстановления, однородные полиномы Белла, спецификация, алгоритм.

Abstract. The combinatorial model of the inventory planning problem is proposed. The model is designed on the base of homogeneous Bell polynomials matrix. The specially designed for automated simulation software is presented. The special dаta structure for polynomials storing in RAM is described, construction algorithm for homogeneous Bell polynomials on the base of recurrences is developed. The results of computer experiment are presented.

Keywords: inventory planning problem of thermoelectric plant, homogeneous Bell polynomials, specification, algorithm, ordinary renewal process.

Введение

Планирование запасов топлива ТЭЦ является важной задачей, так как сырье данного вида является основным для предприятий теплоэнергетики. Интенсивность расходования топлива может рассматриваться как случайная величина и зависит от таких факторов, как:

- сезонность;

- согласованность работы поставщиков;

- форс-мажор.

С одной стороны, несвоевременное пополнение топливных запасов может привести к их истощению, вследствие чего ТЭЦ не сможет выполнять свою основную функцию по выработке электрической и тепловой энергии для промышленных и гражданских объектов.

С другой стороны, возникновение переизбытка топливного запаса приводит к дополнительным издержкам по хранению, ухудшению его качества в результате неправильного хранения или даже нарушению требований экологической безопасности.

Следовательно, моменты пополнения топливных запасов следует планировать, исходя из интенсивности их истощения до минимально допустимого уровня (см. рис. 1).

Данный процесс можно рассматривать как дискретный относительно фактора времени, так как восполнение топливного запаса происходит в фиксированные моменты. Следовательно, процесс планирования моментов возобновления топливного запаса можно представить в рамках простого дискретного процесса восстановления.

Процессы восстановления представляют собой случайные явления, связанные с отказом и восстановлением элементов какой-либо сложной системы [1]. Наиболее существенное свойство этих явлений - полное возобновление их вероятностных свойств в некоторые случайные моменты времени.

Процесс восстановления имеет следующие характеристики:

Объем запаса топлива

Моменты пополнения запаса

Рис. 1. Динамика изменения уровня запаса топлива ТЭЦ

1) £ i - время безотказной работы / -го из числа взаимозаменяемых идентичных элементов системы. ££,..., £к,... образуют последовательность положительных независимых случайных величин. При этом считаем, что «восстановление» происходит в случае выхода из строя ^го элемента и мгновенной замены его новым, который, в свою очередь, проработает случайное время £ г+1 и т. д.

2) ^к - момент к-го восстановления:

с 0 = 0, С к =£1 + £ 2 +... + £ к, к > 1. (1)

3) а( = с+1 -1 - при фиксированном моменте времени ^ перескок, или остающееся время ожидания до момента времени

4) в ( = ^ — С^ - недоскок, или время, прошедшее с момента восстановления (.

5) Величина Н^) = МУ1 - функция восстановления.

Пусть в процессе восстановления, описываемом последовательностью (1), все случайные величины £1, i > 1, имеют одно и то же распределение вероятностей. В этом случае процесс называем простым процессом восстановления.

Возможна следующая интерпретация параметров задачи планирования запасов топлива ТЭЦ в рамках рассмотренной концепции процесса восстановления:

- событие пополнения запасов топлива считаем моментом восстановления;

- вероятность истощения топливного запаса в определенный период рассматриваем как вероятность отказа элемента системы;

- количество событий пополнения запасов топлива к определенному моменту времени расцениваем как число восстановлений;

- остающееся время ожидания очередного события, связанного с возобновлением запасов топлива, или время, пошедшее после него, принимаем, соответственно, за недоскок или перескок.

В [2] помимо простого процесса восстановления рассмотрены и другие, для которых приведены комбинаторные модели. Однако процесс планирования моментов возобновления запасов может рассматриваться как простой в силу того, что обычно ТЭЦ используют топливо от одного и того же поставщика, отдельные партии которого можно считать качественно однородными.

Для вычисления параметров задачи планирования запасов топлива ТЭЦ возможно использование модели простого дискретного процесса восстановления, приведенной в [2], которая составлена с использованием матриц из комбинаторных полиномов разбиений.

Понятие полинома разбиений - полинома от нескольких переменных, определяемого с помощью суммы по различным разбиениям значений его индекса, введено Беллом в [3]. Один из таких полиномов, связанный с производными от композиции функций, в [4] назван полиномом Белла. Ряд свойств коэффициентов «-го полинома Белла - так называемых однородных полиномов Белла Апк (g) приведен в [5]. Однородные полиномы

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Белла (А-полиномы) в явном виде можно представить следующим образом [6]:

п-к+1 г "Т1

А«,к (g) = «!!П gi'i [! (')" ] , (2)

п,к '=1

п > 1,1 < к < п, где сумма берется по всем разбиениям натурального числа п на к целых неотрицательных слагаемых, т. е. по всем таким наборам (г1,г2,...,гп-к+1) неотрицательных чисел, что

п - к+1 п-к+1

X'г' =«, Xг' =к.

'=1 '=1

Комбинаторные полиномы широко применяются при обращении комбинаторных сумм и моделировании дискретных распределений (см. [5], [6]), поэтому задача построения матриц А-полиномов на ЭВМ становится актуальной. Однако вопрос о составлении оптимального алгоритма с позиции определения А-полиномов в вычислительной системе остается открытым. В работе [9] сделана попытка сформировать интегрирующую структуру, позволяющую связать способ хранения данных и алгоритмы, направленные на выполнение операций над полиномами, в единый комплекс.

Данная работа посвящена моделированию процесса планирования запасов топлива ТЭЦ на основе комбинаторной модели средствами специально разработанного программно-алгоритмического комплекса.

1. Комбинаторная модель простого дискретного процесса восстановления

В простом дискретном процессе восстановления каждая случайная величина £ имеет одну и ту же производящую функцию распределения g(^) = Е =1 , полагаем g1 Ф 0. Приведем соотношения, связывающие показатели распределений введенных выше случайных характеристик процесса восстановления.

Пусть ~п = п! gп . Возьмем нижнюю треугольную матрицу Аг = | |А(п; к, ~)||, п > 0, 0 < к < п , А(п;0, = 5т, А(0, к; = 3Л , и диагональную матрицу С с элементами спп = п!, п > 0 .

Для простого процесса восстановления справедливы следующие утверждения [6]:

Теорема 1

Каждый к-й столбец матрицы, представленной следующим соотношением, выражает распределение случайной величины ^ к :

Теорема 2

Если известно распределение случайной величины £', то справедливы следующие соотношения:

п-1 п-1

Н(п) = XX к! (п!)-1 А(', к; п > 2; (4)

к=1 '=к

Р(Рп = 3) = Xк![(п - 3)!]-1 А(п - 3,к;

к=1

X [к! ('!)-1 А(', к£) - (к +1)! ('!)-1 А(', к +1; ~)],

'=к

п > 1,0 < 3 < п -1;

(5)

п+ 3

Р(ап = 3) = X к![(п + 3 )!]-1 А(п + 3, к;

к=1

5 = С- А8С .

(3)

X [(к -1)! ('!)-1 хА(', к -1; - к!('!)-1 А(', к; ~)],

'=к-1

п, 3 > 1. (6)

Из приведенных соотношений видно, что для получения распределений характеристик рассматриваемых процессов применяются нормированные матрицы А-полиномов, построение которых является довольно трудоемким процессом.

2. Рекуррентные соотношения и алгоритмы построения А-полиномов

В литературных источниках, посвященных комбинаторным полиномам разбиений, рассматриваются различные соотношения, которые могут быть использованы для их построения (см., например, [5-8]).

В частности, использование соотношения (2) предполагает построение А-полиномов на основе их явного описания, что, в свою очередь, требует нахождения разбиений натурального числа на целые неотрицательные слагаемые. Однако при формировании матрицы полиномов различные разбиения требуются каждый раз для построения очередного полинома, что сопряжено с дополнительными вычислительными операциями, приводящими к загрузке алгоритма.

Для А-полиномов известно следующее рекуррентное соотношение (см., например, [5]), которое позволяют получать очередной полином матрицы на основе уже имеющихся, построенных на предыдущих вычислительных этапах:

Ап.к (g) = ^ Ап-1,к-1 (Я) + ^Л-и (ЯX (7) п, к > 1, к < п, где Ь = g 2д / дgl + gзд / ^2 +....

В случае построения первого столбца нижней треугольной матрицы, состоящей из изучаемых полиномов, используется соотношение

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

АпЛ( g) = £„. (8)

Для построения главной диагонали указанной нижней треугольной матрицы применяем соотношение

Аи,п (ё) = gnl . (9)

Используя соотношение (7) в качестве основного, а соотношения (8) и (9) в качестве вспомогательных, составим алгоритм построения полинома Ап к (g) в явном виде.

Алгоритм 1

1. НАЧАЛО

2. Выбор значений п и к.

3. ЕСЛИ п = к = 1, то находим полином, являющийся единственным элементом первой строки матрицы АХ1(g) = g1 , и переходим к шагу 7.

4. ИНАЧЕ, ЕСЛИ п = к Ф 1, то, применяя соотношение (9), находим полином, являющийся элементом главной диагонали матрицы, и переходим к шагу 7.

5. ИНАЧЕ, ЕСЛИ п Ф к = 1, то применяя соотношение (8), находим полином, являющийся элементом первого столбца матрицы Ап1(g),

и переходим к шагу 7.

6. ИНАЧЕ:

6.1. Применяя соотношение (8) находим (п — к) полиномов, расположенных в первом столбце матрицы.

6.2. Для каждого столбца матрицы, начиная со 2-го и заканчивая к -м, производим следующие операции:

- находим 1-й элемент рассматриваемого столбца, используя соотношение (9);

- находим (п — к) элементов рассматриваемого столбца, используя соотношение (7), осуществляем приведение подобных слагаемых для вновь полученного полинома, вычисления прекращаются при нахождении искомого полинома

Ап,к (g).

7. КОНЕЦ.

В приведенном алгоритме учитывается, элементом какой области нижней треугольной матрицы является искомый полином Апк (g), это

определяется по введенным значениям п и к. В результате построение первого столбца и главной диагонали нижней треугольной матрицы сопряжено с меньшими вычислительными затратами.

Приведенный алгоритм является аналитическим и не предполагает автоматизации вычислительного процесса. Однако при разработке программного обеспечения необходима переработка аналитических алгоритмов с учетом выбранной структуры для хранения данных. В работе [10] приводится алгоритм, использованный в качестве основы при составлении одного из программных методов созданного ПО.

3. Спецификация A-полинома

и структура данных для ее хранения

Каждому A-полиному поставим в соответствие его спецификацию.

При этом под спецификацией комбинаторного полинома понимается числовое множество S, образованное следующими элементами:

- коэффициенты слагаемых полинома;

- индексы множителей;

- степени множителей.

Способ расположения элементов спецификации полинома An k (g) и структура для хранения

данных на основе динамических списков QList системы программирования Nokia Qt Creator предложены в [9].

Рассмотрим структуру A-полинома на примере явного вида полинома A96( g), который взят из таблицы, приведенной в [6]:

А,б( g) = 126g 4 g5 + 1260g з g 2 gx4 + 1260g 23 g3.

Пример 1. Спецификация полинома A9,6( g) имеет следующий вид:

{(126,1,5,4,1)(1260,1,4,2,1,3,1)(1260,1,30,2,3)}.

Для представления данных спецификации полинома используется вложенная структура QList<QList <int>>. Длина вложенного списка определяется количеством слагаемых полинома. Схема представления спецификации полинома A9,6 (g) указанным способом приведена на рис. 2.

Рис. 2. Структура для хранения данных спецификации А-полинома на примере полинома А9 б (g)

Спецификация соответствует А-полиному с приведенными слагаемыми и множителями. Па-

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

раметры множителя с определенным индексом включаются в спецификацию не более одного раза в пределах одного слагаемого, что позволяет хранить данные спецификации в памяти ЭВМ более компактно, исключая избыточность и сокращая количество циклов перебора элементов спецификации. Алгоритмы, входящие в состав комплекса, составлены с учетом сохранения компактности хранения данных.

Для построения А-полиномов средствами системы программирования Nokia Qt Creator был разработан алгоритмический комплекс, в котором использована описанная структура для хранения данных, и алгоритмы, основанные на методе рекуррентных соотношений.

В [9] приведено описание структуры разработанного алгоритмического комплекса и его основных методов.

4. Вычисление параметров задачи планирования топливных запасов ТЭЦ на основе заданных величин их истощения

В результате использования разработанного программного обеспечения была получена матрица полиномов для значений n < 10, k < n , которые

по своему явному виду полностью совпадают с А-полиномами, представленными в [2] на с. 135.

Для тестирования ПО в качестве входных параметров были выбраны следующие наборы (g1,g2, ...,g10) значений gi - вероятностей истощения топливных запасов в моменты времени i (табл. 1).

В результате работы метода программно -алгоритмического комплекса, составленного с использованием соотношения (3), было получено следующее распределение случайной величины ^к для 1 < п < 10, 1 < к < п (табл. 2) и первого

набора gi .

Номер строки п приведенной таблицы соответствует порядковому номеру периода времени, для которого осуществляется прогноз истощения определенного количества партий топливного запаса. Значение в ячейке, расположенной на пересечении п -й строки и к -го столбца, является вероятностью того, что к партий топлива истощатся к п -му моменту времени.

По малым значениям элементов, расположенных в столбцах со 2-го по 10-й табл. 2, можно

Таблица 1

g1 g 2 g 3 g 4 g 5 g 6 g 7 g 8 g 9 g10

/:( g ) 0,002 0,010 0,018 0,020 0,450 0,450 0,020 0,018 0,010 0,002

Л( g) 0,035 0,055 0,075 0,095 0,350 0,300 0,055 0,035 0 0

/3( g ) 0,35 0,25 0,15 0,145 0,055 0,035 0,01 0,005 0 0

Таблица 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0,002 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0,01 4,00E-06 0 0 0 0 0 0 0 0

3 0,018 4,00E-05 8,00E-09 0 0 0 0 0 0 0

4 0,02 1,72E-04 1,20E-07 1,60E-11 0 0 0 0 0 0

5 0,45 4,40E-04 8,16E-07 3,20E-10 3,20E-14 0 0 0 0 0

6 0,45 2,52E-03 3,40E-06 2,98E-09 8,00E-13 6,40E-17 0 0 0 0

7 0,02 1,15E-02 1,51E-05 1,73E-08 9,44E-12 1,92E-15 1,28E-19 0 0 0

8 0,018 2,57E-02 7,94E-05 8,50E-08 7,04E-11 2,75E-14 4,48E-18 2,56E-22 0 0

9 0,01 3,47E-02 3,16E-04 4,45E-07 4,10E-10 2,50E-13 7,53E-17 1,02E-20 5,12E-25 0

10 0,002 2,22E-01 8,60E-04 2,19E-06 2,26E-09 1,72E-12 8,11E-16 1,98E-19 2,30E-23 1,02E-27

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

судить о том, что принятая размерность матрицы п = 10, совпадающая с длиной набора g2,...,£10), пригодна для корректного прогнозирования процесса расходования только 1-й партии топлива. Для осуществления обоснованного прогноза по расходованию нескольких партий топлива необходимо увеличивать размерность задействованной части матрицы из А-полиномов в соответствующее число раз.

Значение функции восстановления Н(п),

рассчитанное на основе соотношения (4), для первого набора вероятностей отказа элементов системы составило 1,9395. Для второго и третьего наборов соответственно 2,1074 и 2,0291. Эти значения можно интепретировать как среднее ожидаемое количество партий топлива, которое будет израсходовано за период прогнозирования, равный 10 дням.

Значения вероятностей недоскоков Р(вп = У), полученные на основе соотношения (6), для п = 12, 1 < у < 11 представлены в табл. 3. На основе данных таблицы 3 построен график (рис. 3).

Значения вероятностей перескоков Р(ап = у), полученные на основе соотношения (5), для п = 5, 1 < у <7 представлены в табл. 4. На основе данных табл. 4 построен график (рис. 4).

Заключение

Алгоритмы, входящие в состав разработанного ПО, направлены на экономичное использование вычислительных ресурсов ЭВМ. Это достигается за счет применения метода рекуррентных соотношений и динамической структуры для хранения данных.

Представление алгебраических преобразований полиномов в виде операций над их спе-

Таблица 3

в2 = 1 в = 2 в = 3 в = 4 Рм = 5 Рм = 6 в = 7 Рм = 8 в2 = 9 в = ю в = 11

М g) 0,2844 0,1556 0,0272 0,0233 0,0140 0,1353 0,1338 0,0061 0,0054 0,0030 0,0006

Л( g) 0,1567 0,1318 0,0825 0,0749 0,0623 0,0940 0,0877 0,0267 0,0192 0,0130 0,0078

Л( g) 0,0818 0,0863 0,0874 0,0842 0,0768 0,0655 0,0513 0,0359 0,0220 0,0100 0,0020

Полигоны распределения вероятности недосконов Р,- = У)

0.30

)5

Р 0,25

о

= 0,20

а. 01 0,15

ш

и:

X 0,10

ф

п X 0,05

т 0,00

10 11 12

Л(£) /;(£)

Рис. 3. График распределения вероятностей недоскоков

Таблица 4

а5 = 1 а5 = 2 а5 = 3 а5 = 4 а5 = 5 а5 = 6 а5 = 7

У1( g) 0,4276 0,0196 0,0184 0,0112 0,0129 0,0202 0,0110

Л( g ) 0,2320 0,0589 0,0503 0,0298 0,0476 0,0563 0,0343

/э( g ) 0,1187 0,1038 0,0863 0,0676 0,0510 0,0368 0,0259

Рис. 4. График распределения вероятностей перескоков

цификациями дает возможность разработки универсальных методов программно -алгоритмического комплекса, предназначенных для построения комбинаторных полиномов разбиений различных видов.

Увеличение размерности преобразованной матрицы из А-полиномов в несколько раз по сравнению с длиной набора (g1,g2,...,g10) расширяет возможности прогнозирования для партий топлива в количестве больше 1.

Использование ПО позволяет автоматизировать процедуру вычисления параметров задачи планирования топливных запасов ТЭЦ. Появляется возможность проведения вычислительного эксперимента на основе различных заданных значений gj - вероятности истощения топливного запаса за i дней, которые могут быть определены исходя из эмпирических данных.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кокс Д., Смит В. Теория восстановления. М. : Сов. радио, 1967. 299 с.

2. Кузьмин О. В. Комбинаторные методы моделирования дискретных распределений. 2-е изд., испр. и доп. Иркутск : Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2006. 138 с.

3. Bell E. F. Exponential Polynomials // Ann. Math, 1934. Vol 35, P. 258-277.

4. Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. М. : Изд. иностр. лит., 1963. 287 с.

5. Кузьмин О. В. Рекуррентные соотношения и перечислительные интерпретации некоторых комбинаторных чисел и полиномов // Дискретная математика, 1994. Т. 6, №3. С. 3949.

6. Кузьмин О.В. Обобщенные пирамиды Паскаля и их приложения. Новосибирск : Наука. Сиб. изд. фирма РАН, 2000. 294 с.

7. Кузьмин О. В. , Леонова О. В. , О полиномах разбиений // Дискретная математика. 2001. Т. 13. Вып. 2. 144-158. с.

8. Баранчук А.Л., Кузьмин О.В. О некоторых комбинаторных полиномах. // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. Т. 12, Вып. 3. С. 651-653.

9. Кузьмин О. В., Мельникова В. А. Алгоритмический комплекс построения однородных полиномов Платонова на основе метода рекуррентных соотношений // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2013. № 2 (38). С. 46-51.

10. В.А. Мельникова. Алгоритм аналитического дифференцирования комбинаторных полиномов разбиений // Системы. Методы. Технологии. 2013. № 3 (19). С. 112-114.