Вычисление группы автоморфизмов конечномерной алгебры в системе Maple Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2003, вып. 12, с. 113-119

УДК 512.81

ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ КОНЕЧНОМЕРНОЙ АЛГЕБРЫ В СИСТЕМЕ MAPLE

С.П. Барановский, И.В. Широков, С.В. Шмаков

In the present work the algorithm for the calculating of an arbitrary finitedimensional algebra’s automorphism group has been proposed. The proper Maple procedure has been fully described.

1. Вычисление группы автоморфизмов конечномерной алгебры

Пусть 0 — n-мерная алгебра с базисом {еа}, а = l,,,,,dim0, Билинейная операция • на базисных векторах задается следующим образом:

где СД — коэффициенты разложения билинейной операции (структурные константы алгебры 0). Отметим, что к классу алгебр задаваемых соотношениями (1) относятся алгебры Ли, где в качестве билинейной операции выступает скобка Ли, об алгебрах Ли см., например, [1].

Г руину автоморфизмов Aut 0 алгебры 0 можно рассматривать как группу преобразований, сохраняющую структурные условия (1). Пусть А — матрица, реализующая представление группы Aut 0 (далее без потери общности мы будем отождествлять матричное представление группы автоморфизмов с самой группой). Группа автоморфизмов осуществляет преобразование базиса {еа} по правилу:

где еа — новый базис алгебры 0. Из условия сохранения соотношений (1) получим систему уравнений на матрицу А:

(3) является системой нелинейных алгебраических уравнений второго порядка. Данная задача является плохо алгоритмизируемой в том случае, когда нам требуется найти решение в аналитическом виде. Причина этого не только нелинейность задачи, но и проблема выделения из всех возможных решений только

© 2003 С.П. Барановский, И.В. Широков, С.В. Шмаков

E-mail: [email protected] Омский государственный университет

еа»еь = с •>,.

(і)

еа ей : еа А^еа.

(2)

(3)

114

С.П. Барановский, И.В. Широков, С.В. Шмаков. Вычисление...

линейно независимых. Отметим, что не смотря на серьезные вычислительные трудности, в работах различных авторов, см,, например, [2], группы автоморфизмов находились из уравнения (3), Однако, существует способ линеаризации данной задачи. Поскольку группа автоморфизмов является группой Ли, то А представимо в виде:

A(z) = ехр(Ло:), Л (0) = Е. (4)

І

где a — базис алгебры Ли aut® группы автоморфизмов Aut 0, {Л} — локальные

І

координаты в группе Ли! ® (г = 1, ,,,, dim Aut&), Е - единичная матрица соответствующей размерности. Из соотношения (4) получим :

9A(z)l

дгг

zl=О

(5)

Перейдем к инфинитезимальному аналогу уравнения (3), Для этого продифференцируем (3) по переменным zl в точке zl = 0, Vi В результате получим (фиксируя І)

a

Q, С і „ Ь Ґ~~1С

a ab

H^ab

сірі

(6)

(б) является системой линейных алгебраических уравнений, В результате решения этой системы получим линейно независимый базис алгебры aut®. Очевидно, что размерность алгебры aut® (количество линейно независимых решений системы (6)) dim aut® = n2 — rank Л, Где В — матрица, определяющая систему

(в) .

Сделаем здесь несколько замечаний. Во-первых, приведенная схема вычислений приводит к потере дискретной подгруппы в группе Aut&. Но поскольку в большинстве значимых приложений (например, упрощение метрик на группах Ли, см, [3]) нам необходимы именно непрерывные автоморфизмы, данный недостаток не является решающим, и может рассматриваться как задача для дальнейшего изучения. Во-вторых, известно, что все автоморфизмы разделяются на внешние и внутренние. Внутренние автоморфизмы полностью определяются структурой алгебры и генерируются матрицами [СД = СД, Таким

a

образом, нетривиальной задачей является отыскание внешних автоморфизмов. Пространство внешних автоморфизмов можно считать ортогональным дополнением к пространству внутренних, так что полная алгебра может быть представлена в виде прямой суммы двух векторных пространств.

Введем скалярное произведение на множестве матриц:

(L, М) = ti L+M, (7)

где Ь+ — эрмитово сопряжение матрицы М. Легко проверить, что соотношение

(7) обладает всеми свойствами скалярного произведения. Обозначим через /3

т

базис алгебры внешних автоморфизмов. Поскольку a — базис полной алгебры

І

автоморфизмов, то, с очевидностью, имеем

/3 = ylnQ,

ГГ) 1

(8)

Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 12.

115

где угт — коэффициенты разложения базиса [3 по базису а. Умножим скалярно

т г

на базисные матрицы С слева, получим

а

(С+,« =<4(С'+,а).

а т а г

Величина в левой части равенства тождественно равна нулю. Отсюда получим, что величины угт, определяющие разложение (8), являются решениями системы линейных уравнений (фиксируя индекс т,, определяющий размерность алгебры внешних автоморфизмов и нумерующий элементы соответствующего базиса)

уЦС+,а)= 0. (9)

а г

Таким образом, соотношение (9) завершает задачу об отыскании алгебры внешних автоморфизмов. При этом соответствующие группы автоморфизмов легко восстанавливаются по формуле (4),

2. Процедура вычисления группы автоморфизмов конечномерной алгебры в системе Maple

Алгоритм вычисления группы автоморфизмов можно разделить на следующие этапы:

1, Приведение уравнения (6) к виду В х = 0:

(a) построение списка уравнений и списка неизвестных,

(b) нахождение матрицы В.

2, Решение системы В х = 0,

3, Получение базиса а алгебры автоморфизмов,

І

4, Решение уравнения (9),

5, Получение базиса /3 подалгебры внутренних автоморфизмов,

т

6, Восстановление группы автоморфизмов по формуле (4),

Далее мы рассмотрим процедуру, созданную в системе аналитических вычислений и компьютерной алгебры Maple 8, Процедура пользуется специальным пакетом программ LinearAlgerba, который реализует методы линейной алгебры. Данный пакет загружается командой

with(LinearAlgebra):

Процедура имеет следующий заголовок:

GetAutomorphism:=proc(С)

Здесь параметр С,задает структурные константы исследуемой алгебры. Далее следует стандартная опция, фиксирующую правообладателей:

option ‘Copyright й 2003. S. Baranowski, S. Shmakov, I. Shirokov.

All rights reserved.';

116

С.П. Барановский, И.В. Широков, С.В. Шмаков. Вычисление...

Локальные параметры процедуры:

local i,j,k, # переменные циклов,

N, # размерность исследуемой алгебры,

_А, # базисные элементы алгебры автоморфизмов,

Eq_L, # список уравнений,

ISN, # размерность алгебры автоморфизмов у, # коэффициенты разложения базиса внутренних # автоморфизмов по базису внешних В,х: # вспомогательные переменные системы Вх=0

Глобальные параметры процедуры:

global Basis, # матрицы базиса алгебры автоморфизмов

OuterBasis, # матрицы базиса алгебры внешних автоморфизмов AutG: # Группа автоморфизмов

Инициализация необходимых переменных:

lprint("Setting up

N:=RowDimension(C[1]): # задание размерности исследуемой алгебры Ли lprint("Dimension of the considered Lie algebra:",N): _A:=Matrix(N,N,(i,j)->alpha[i,j]): # базис алгебры автоморфизмов Eq_L:=[]: #пустой список, задающий уравнения

for і from 1 to N do for j from 1 to N do for k from 1 to N do Eq_L:=[op(Eq_L),

sum( ’_A[il, i] *C [il] [k, j]+_A[il, j] *C [i] [k,il]-_A[k,il]*C[i] [il, j] ’, »il’=l. .N)=0] :

od:od:od:

lprint("... done.:

Решение системы (6): lprint("Solving

(B,x):=GenerateMatrix(Eq_L,convert(Matrix2Vector(_A),’list’)): # приведенная строка переводит уравнение Eq_L в форму В*х=0, # где В -- матрица уравнения, $х$ -- столбец неизвестных

# Использована дополнительная процедура Matrix2Vector,

# переводящая вектор в матрицу. Результат перевода

# сконвертирован в тип ’list’ - список.

ISN:=N''2-linalg[rank] (В) : lprint ("Automorphism algebra dimension: ",ISN): for і from 1 to nops(NullSpace(B)) do

# NullSpace(В) вектора решения уравнения В*х=0 Basis[і]:=Vector2Matrix(NullSpace(B)[і])

# получили матрицы базиса алгебры autG od: lprint("... done."):

Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 12.

117

Находим внутренние автоморфизмы

lprint("Inner automorphisms у:=NullSpace(Matrix(Ы,ISN,(і,j)->

Trace(HermitianTranspose(C[i]).Basis[j]))); for і from 1 to nops(y) do

OuterBasis[i]:=evalm(sum(’y[i][j]*Basis[j]’,’ j’=1..ISN)):

#выше вычислен базис подалгебры внешних автоморфизмов od:

lprint("... done."):

И, наконец, вычисляем группу автоморфизмов Aut&: lprint("Group of Automorphisms ..."):

AutG:=linalg[exponential](evalm(sum(’z[i]*Basis[i]’,’i’=l..ISN))):

# использована процедура exponential, вычисляющая матричную

# экспоненту. Данная процедура описана в пакете linalg. lprint("... done."):

Конец процедуры:

end proc:

3. Автоморфизмы четырехмерных алгебр Ли

В качестве примера, иллюстрирующего алгоритм, описанный выше, приведем результаты нахождения алгебры автоморфизмов для всех четырехмерных алгебр Ли, по классификации А.З. Петрова, которая приведена в монографии [4], там же указаны коммутационные соотношения, которые мы приводить не будем Ниже представлены матрицы

dim aut ©

-4= £

i=1

zla,

І

генерирующие группу автоморфизмов АиМЗ алгебры Ли 0. Соответствующие группы Ли легко вычисляются по формуле (4). Результаты не приведены, по причине их большого объема.

Алгебра типа I

А

/ z4 + z5 z1 z2 Z3 \

О z4 0 z2

О 0 с5 (1-е) с1 ’

\ 0 0 0 о /

СЄІ.

Алгебра типа II

/ 2 z2 + Z4 Л \

0 с2 Z3 л

0 0 z2 л

V 0 0 0 0 )

118

С.П. Барановский, И.В. Широков, С.В. Шмаков. Вычисление...

Алгебра типа III

А

Алгебра типа IV

Алгебра типа V

-q z3 + 2 г4 О О О

-q zA + zq

q zl + z5 -z3

A

A

г3 г4

0 О

(A О О г2 \

0 г3 г4 О

0 О О О

V о О О О /

г1 - -23 г2 ^z4

г3 г1 г4 г2

О О О О

О О О О

z2 \ Z1

z5

О J

Алгебра типа VIi(2)

A

/ ^г2 ^z3 0 ^

г1 г2 г3 О

г4 г5 г6 О

V г7 О г8 )

Алгебра типа VIi(3)

A

( -z1 - г4 ^z2 - г5 _г3 _ z% О

г1 г2 zz О

г4 г5 z% О

\ г7 г7 z1 г8

Алгебра типа VIi(4)

A

\ *

О О г2 \

г3 г4 г5

г6 г7 г8

О О г2 )

Алгебра типа VIi(5)

A

( г1 О О г2 \

О г3 О г4

О О г5 г6

V О О О О )

q2 < 4

Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 12.

119

Алгебра типа VI2

Алгебра типа VI3

Л

/ z4 к z3 к

\

/ л 0 0 л \

л л 0 Л

0 0 л Л

V 0 0 0 0 )

Л Є + Л 0 0 л \

z3 є + z4 z4 k — z4e + z5 0 л

Л Л л л

0 0 0 0 )

к Є R. є = {0,1}

Алгебра типа VI4

Алгебра типа VII

Алгебра типа VIII

/л -л 0 л \

л л 0 л

0 0 л л

V 0 0 0 0 /

/ -Л л 0 0 \

2 Л 0 2 Л 0

0 л л 0

V 0 0 0 л/

( 0 -л -л 0 ^

л 0 -л 0

л л 0 0

V 0 0 0 Z4 )

Литература

1. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Т.1. Бишкек: «Айнштайн», 1997. 456 с.

2. Левичев А.В. Однородная, хроногеометрия. Новосибирск: НГУ, 1991. 50 с.

3. Барановский С.П., Михеев В.В., Широков И.В. Интегрирование уравнения Клейна-Фока на многообразиях четырехмерных групп Ли // Изв. вуз. Физика. 2002.

N.10. С.3-10.

4. Петров А.З. Пространства Эйнштейна. М.: Физматгиз, 1961. 464 с.