CC BY
9
ГЕОДЕЗИЯ И МАРКШЕЙДЕРИЯ
УДК 517.538.7:52-423
ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОТЕНЦИАЛА ТЕЛ ИТЕРАЦИОННЫМ СПОСОБОМ
Игорь Георгиевич Вовк
630108, Россия, г. Новосибирск, профессор, доктор технических наук, e-mail: vovkig383@rambler.ru
Анна Андреевна Епифанцева
OOO «Экслинго», Россия, 630091, г. Новосибирск, ул. Романова, 39, преподаватель, e-mail: Anuta_m@rambler.ru
Необходимость вычисления гравитационного потенциала тел различной геометрической формы, а также производных этого потенциала постоянно возникает в практической деятельности людей. Например, при изучении формы и размеров Земли, разведке полезных ископаемых, расчете траекторий космических аппаратов и решении других задач. Трудоемкость решения этой задачи зависит от сложности геометрической формы измеряемого тела, функции распределения плотности вещества в измеряемом теле, требуемой точности результатов вычислений. Для преодоления этих затруднений измеряемое тело аппроксимируют телом (или совокупностью тел) простой геометрической формы и постоянной плотностью вещества в них. Вследствие этого получают приближенные результаты, оценить точность которых затруднительно. В статье обсуждается итеративный алгоритм вычисления гравитационного потенциала любых тел, ограниченных правильно параметризованной поверхностью, и плотностью вещества в них, заданной непрерывной функцией координат. Она основана на построении числовых последовательностей его оценок «сверху» и «снизу». Это позволяет в процессе вычислений оценивать предельную погрешность вычисления гравитационного потенциала тела и завершать процесс вычислений при достижении требуемой точности. Приводятся результаты вычисления гравитационного потенциала тел (линия, поверхность, тело) по обсуждаемому алгоритму. Полученные результаты свидетельствуют, что этот алгоритм позволяет вычислять гравитационный потенциал тел с приемлемой для практики точностью при сравнительно небольшом числе итераций.
Ключевые слова: гравитационный потенциал, предельная погрешность, числовая последовательность, гравитационный потенциал материальной кривой, гравитационный потенциал материальной поверхности, гравитационный потенциал тела, сетка узлов для вычисления гравитационного потенциала.
Введение
В различных задачах физической геодезии, геодезической и разведочной гравиметрии и геодинамики возникает потребность вычисления гравитационного потенциала и его производных [1-7]. Гравитационный потенциал V тела Т в точке Р, как известно, определяется по формуле
плотности масс в точке М тела Т; г - расстояние от точки Р до точки М. Очевидно, что при вычислении потенциала приходится учитывать форму тела Т, распределение масс в теле Т, расположение точки Р относительно тела Т. Для тел простой геометрической формы и постоянной плотности масс задача вычисления потенциала и его производных может быть решена аналитически. Формулы для вычисления потенциала и его производных для подобных тел приводятся в работах [1, 3]. На практике измеряемые тела имеют сложную геометрическую форму, плотность вещества в них не постоянна. Поэтому реальные измеряемые тела аппроксимируют телами простой геометрической формы и постоянной плотности вещества в них. Вследствие этого получают приближенные результаты, оценить точность которых затруднительно.
В математическом анализе для получения приближенных значений вычисляемых величин применяют итерационные алгоритмы, основанные на получении числовых последовательностей интервалов их оценок «сверху» и «снизу» [8, 9], позволяющие оценивать точность результатов вычислений. Такой алгоритм был применен в работах [10-14] при вычислении длин линий, площади поверхности и объема тел.
Тело Т, имеющее сложную форму и распределение масс, разделим на элементарные части простой геометрической формы. Из этих частей сконструируем тело В, лежащее в теле Т, и тело Q, содержащее в себе тело Т. Для каждой из порций вычислим массу и положение в пространстве. По этим данным для тела В и тела Q находят приближенные значения потенциала V(D) и У^) в точке Р, расположенной вне тела В и вне тела Q. Значения V(В) и Vприблизительно оценивают искомый потенциал с недостатком (снизу) и с избытком (сверху) соответственно. Следовательно, справедливо неравенство
г
113 2
где О = 6,674 5 • 10- м/кг-с - гравитационная постоянная; 5(М) - функция
2
Основное содержание
V(В) < V(Т) < V(Q),
которое позволяет сконструировать простои итеративным алгоритм для вычисления потенциала тел, ограниченных правильно параметризованными поверхностями [8]. Одна итерация с номером у включает вычисление потенциала У(Р!) и У^) при фиксированной величине элементарной порции тела Т. Повторяя эту процедуру для уменьшающихся порций тела, получим две заведомо сходящиеся числовые последовательности значений У(Су) и У^) и для итерации с номером у приблизительно оценим искомый потенциал средним значением
У(Т) _ [У(а)+У(д)] У (Т) _ 2 , (!)
предельная погрешность которого
(2)
Процесс вычислений продолжается, пока не будет достигнута необходимая точность или не будут исчерпаны имеющиеся вычислительные ресурсы.
Применим этот алгоритм для вычисления потенциала тел различной геометрической формы и размерности (линия, поверхность, тело), а также с различной функцией распределения масс в теле. Вычисления выполним в узлах плоской сетки, составленной из N х М узлов. Значение гравитационной постоянной примем равным единице.
На рис. 1 в графическом виде представлены результаты вычисления потенциала отрезка АВ прямой линии:
Я(г) = к ■ г,
где к - орт-вектор оси 02. На измеряемом отрезке функция распределения плотности масс 5(г) = г . Значения потенциала У(Р) вычислены в узлах плоской сетки, расположенной параллельно плоскости ОХУ и составленной из 30 х 30 узлов. Слева на этом рисунке вычисленные значения потенциала представлены поверхностью, изображенной параметрическими линиями (прямоугольная сетка) и линиями равных значений потенциала (плоские кривые на поверхности). Здесь же показан отрезок АВ и линии равных значений потенциала в плоскости 0ХУ. Справа результаты вычислений показаны линиями уровня на плоскости.
Вычислим потенциал одного витка винтовой линии, ось которой совпадает с осью ОУ. Вычисления выполнены для двух различных функций распределения плотности масс, результаты показаны на рис. 2 и 3 в тех же обозначениях, что и на рис. 1.
- 25" / 30 А / / ?5 "-25 \ \ ч
__ "■■30 40 \ \ 25 \ Г \ |
1 30 1 ( ':■ ] 30 1 1
\ V V40- Ё5 \ '35. \ Чо_ -■-'' 35 „зох и /
0 \ 25— /
2
Рис. 1. Потенциал отрезка прямой, плотность масс = ?
10 -5 0 5
Рис. 2. Потенциал одного витка винтовой линии. Плотность масс 5(?) = 1
На рис. 3 приведены результаты вычисления того же витка винтовой ли-
2
нии при 5(?) = ? .
2
Рис. 3. Потенциал одного витка винтовой линии. Функция плотности 5(?) = ?
На рис. 4 в графическом виде показаны результаты вычисления потенциала диска единичного радиуса с функцией плотности вещества 5(и, V) = 1.
2
Рис. 4. Потенциал плоского диска
На рис. 4 слева - плоская сетка узлов, в которых вычислен потенциал, и поверхность, построенная по вычисленным значениям потенциала, справа -вычисленный потенциал, представленный линиями равных значений на плоскости ОХУ.
На рис. 5 и 6 в графическом виде показаны результаты вычисления потенциала плоского диска радиусом 1 и плотностью 3v2eм.
Рис. 5. Потенциал диска с плотностью масс 5(и, V) = 3v2eм в узлах плоской сетки параллельной плоскости ОХУ
Рассмотрим вычисление потенциала тел заданной формы, размеров и функцией распределения масс.
На рис. 7 показано измеряемое тело в виде цилиндра единичного радиуса и высоты Н = 1 и плоскость расположения сетки узлов, где вычисляется потенциал.
0 5 10
Рис. 6. Потенциал диска с плотностью масс 5(и, V) = 3у2в" в узлах плоской сетки непараллельной плоскости ОХУ
Рис. 7 Измеряемое тело (цилиндр с радиусом основания 1 и высотой Н = 1) и плоскость, в которой располагается сетка узлов, где вычисляется потенциал цилиндрического тела
На рис. 8 приведены результаты вычислений гравитационного потенциала в узлах плоской прямоугольной сетки, состоящей из 20 х 20 узлов.
-2-10 1
Рис. 8. Результаты вычисления гравитационного потенциала цилиндрического тела, изображенного на рис. 6. Плотность масс в теле задана функцией 5(х, у, 2) = г
На рис. 8 слева изображено цилиндрическое тело, сетка узлов, где вычислен потенциал, поверхность (отображение вычисленного потенциала) в параметрических линиях и линиях равных значений потенциала, вычисленные значения потенциала в виде линий равных значений в плоскости ОХУ. Справа - вычисленные значения потенциала в линиях равных значений на плоскости ОХУ.
Рассмотрим теперь вычисление потенциала тела РР в форме параллелепипеда, верхняя и нижняя грани которого - поверхности Р(и, V), 0(м, V), показанные на рис. 8 параметрическими линиями (слева) и линиями уровня (справа).
Рис. 9. Поверхности Р(и, V) (верхняя) и 0(м, V) (нижняя) тела РР
Вычисление гравитационного потенциала такого тела выполнено в узлах плоской сетки, содержащей 10 х 10 узлов. Плотность вещества в теле задана функцией
ч V*2 + У2 +10022
5(X, У, 2) =----.
30
На рис. 10 показаны результаты вычислений в графической форме. Для наглядности на этом рисунке показаны поверхности Р и О, ограничивающие тело РР сверху и снизу, плоскость сетки узлов, в которых вычислялся потенциал, и потенциальная поверхность.
Рис. 10. Результаты вычисления гравитационного потенциала тела РР
Заключение
Таким образом, приведенные примеры свидетельствуют, что рассмотренный алгоритм по существу является универсальным. Он позволяет вычислять потенциал тел различной формы и размерности с различными функциями 5(M) распределения масс в теле. Точность вычислений и количество итераций определяются в процессе вычислений. Это обстоятельство позволяет управлять процессом вычислений, завершая его по мере достижения приемлемой точности. Во всех рассмотренных примерах для вычисления потенциала в точке с предельной относительной погрешностью 10-6 оказалось достаточно 6-8 итераций. Вычисление значений потенциала может выполняться не только на сетке узлов, расположенных в плоскости, но и на других поверхностях или на любой пространственной сетке узлов.
Этот же алгоритм может применяться и для вычисления производных потенциала. Рассмотренный алгоритм найдет применение при решении прикладных задач геодинамики, физической и космической геодезии, гравиметрии, гравиразведки и других.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Dellinger P. Marine Gravity. - Amsterdam, 1978.
2. Загребин Д. В. Введение в теоретическую гравиметрию. - Ленинград : Наука, 1976. -
292 с.
3. Гравиразведка. Справочник геофизика. - М. : Недра, 1981. - 397 с.
4. Грушинский Н. П. Основы гравиметрии. - М. : Наука. Главная редакция физ.-мат. л-ры, 1983. - 352 с.
5. Вовк И. Г. Вариации гравитационного поля при изменении уровня водохранилища // Геодезия и картография. - 1982. - № 9. - С. 12-15.
6. Дементьев Ю. В., Каленицкий А. И. Топографо-геодезическое обеспечение определения полной топографической редукции силы тяжести // Вестник СГГА. - 2014. -Вып. 2 (26). - С. 3-8.
7. Дементьев Ю. В., Каленицкий А. И., Черёмушкин А. В. Вычисление вертикальной составляющей притяжения масс однородного цилиндра и конуса // Вестник СГГА. - 2013. -Вып. 1 (21). - С. 3-10.
8. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Т. 2. - М. : Государственное издательство физ.-мат. л-ры, 1960. - 465 с.
9. Математическая энциклопедия. Т. 4 / под ред. Виноградова И. М. - М. : Советская энциклопедия, 1977.
10. Вовк И. Г. Вычисление площадиучастка физической поверхности Земли в задачах прикладной геоинформатики // Интерэкспо ГЕ0-Сибирь-2015. XI Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 2 т. (Новосибирск, 13-25 апреля 2015 г.). - Новосибирск : СГУГиТ, 2015. Т. 1. -С. 3-7.
11. Вовк И. Г., Епифанцева А. А. Вычисление площади участка физической поверхности Земли // Гуманитарные науки и образование в Сибири. - 2015. - № 3 (21). -С. 88-93.
12. Вовк И. Г., Епифанцева А.А. Вычисление длины линии, расположенной на физической поверхности Земли в задачах прикладной геоинформатики // Вестник СГУГиТ. -2016. - Вып. 1 (33). - С. 101-106.
13. Вовк И. Г., Епифанцева А. А. Вычисление объёма тел в задачах прикладной геоинформатики // Вестник СГУГиТ. - 2017. - Т. 22, № 2. - С. 130-136.
14. Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления. - М. : Наука, 1975. - 336 с.
Получено 05.05.2018
© И. Г. Вовк, А. А. Епифанцева, 2018
BODY GRAVITATIONAL POTENTIAL CALCULATION BY ITERATION METHOD
Igor G. Vovk
Novosibirsk, 630108, Russia, D. Sc., Professor, e-mail: vovkig383@rambler.ru Anna A. Epifantseva
Exlinguo LLC, 39, Romanova St., Novosibirsk, 630091, Russia, Lecturer, e-mail: Anuta_m@rambler.ru
People regularly have a need in their practical work to calculate the gravity potential and its derivatives for bodies of different shape. Examples may include the study of the Earth's form and size, exploration of mineral resources, spacecraft trajectory calculation and other tasks. Difficulties in this task solution depend on the geometrical complexity of the measured object, mass density distribution function and the required calculation accuracy. To get over these difficulties the measured body is approximated to a geometrically simple body (or a set of bodies) possessing constant matter density. Thus, the obtained results are approximate and therefore, it is difficult to estimate the accuracy of these results.
The paper discusses an iterative gravity potential calculation algorithm for bodies with regularly parametrized surface and preset density distribution function. This method is based on formation of numerical sequences for estimates "from the top" and "from the bottom", and allows assessment of the error limit for the body gravity potential calculation and completion of the calculation process once the required accuracy is achieved. The article provides findings of experimental gravity potential calculations as per algorithm discussed here for different objects (line, surface, 3D body). Obtained results show that this algorithm enables body gravity potential calculation with a tolerable accuracy achieved for a comparatively small number of iterations.
Key words: gravity potential, limit of error, numerical sequence, material curve gravity potential, material surface gravity potential, body gravity potential, gravity potential calculation grid.
REFERENCES
1. Dehlinger, P. (1978). Marine Gravity. Amsterdam.
2. Zagrebin, D. V. (1976). Vvedenie v teoreticheskuyu gravimetriyu [Introduction to theoretic gravimetry]. Leningrad: Nauka, 292 p. [in Russian].
3. Gravirazvedka. Spravochnik geofizika [Gravity survey. Geophysicist's handbook]. (1981). Moscow: Nedra, 397 p. [in Russian].
4. Grushinsky, N. P. (1983). Osnovy gravimetrii [Principles of gravimetry]. Moscow: Nauka. Editorial board of physical and mathematical literature, 352 p. [in Russian].
5. Vovk, I. G. (1982). Gravity field variations with fluctuations of reservoir level. Geodeziya i kartografiya [Geodesy and Cartography], 9, 12-15 [in Russian].
6. Dementyev, Yu. V., & Kalenitsky, A. I. (2014). Topographic and geodetic support for determining complete topographic reduction of gravity. Vestnik SGGA [Vestnik SSGA], 2(26), 3-8 [in Russian].
7. Dementyev, Yu. V., Kalenitsky, A. I., & Tcheremushkin, A. V. (2013). Selection and substantiation of optimal conditions for linear interpolation of topographic reduction beyond the mass effect of the outer intemediate layer. Vestnik SGGA [Vestnik SSGA], 1(21), 3-10 [in Russian].
8. Fikhtengolts, G. M. (1960). Osnovy matematicheskogo analiza: T. 2 [Principles of mathematical analysis: Vol. 2]. Moscow: Gosudarstvennoye izdatelstvo fiziko-matematicheskoy literatury, 465 p. [in Russian].
9. Vinogradov, I. M. (Ed.). (1977). Matematicheskaya ehnciklopediya: T. 4 [Mathematic Encyclopedia: Vol. 4]. Moscow: Sovietskaya entsiklopediya [in Russian].
10. Vovk, I. G. (2015). Calculating the Area of Some Earth's Physical Surface Part in Applied Geoinformatics Tasks. In Sbornik materialov Interekspo GEO-Sibir'-2015: Mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii: T. 1. Geodeziya, geoinformatika, kartografiya, markshejderiya [Proceedings of Interexpo GEO-Siberia-2015: International Scientific Conference: Vol. 1. Geodesy, Geoinformatics, Cartography, Mine Surveying] (pp. 3-7). Novosibirsk: SSUGT Publ. [in Russian].
11. Vovk, I. G., & Epifantseva, A. A. (2015). Calculation of an Earth's surface area size. Gumanitarnye nauki i obrazovaniye v Sibiri [Humanitarian Sciences in Siberia], 3(21), 88-93[in Russian].
12. Vovk, I. G., & Epifantseva, A. A. (2016). Calculation of the length of a line placed on the earth surface in applied geoinformatics problems. Vestnik SGUGiT [Vestnik SSUGT], 1(33), 101106 [in Russian].
13. Vovk, I. G., & Epifantseva A. A. (2017). Calculating the Bodies' Volume in the Tasks of Applied Gtoinformatiks. Vestnik SGUGiT [Vestnik SSUGT], 22(2), 130-136 [in Russian].
14. Laptev, G. F. (1975). Elementy vektornogo ischisleniya [Vector calculus elements]. Moscow: Nauka, 336 p. [in Russian].
Received 05.05.2018
© I. G. Vovk, A. A. Epifantseva, 2018
