Выбор значений параметров для планов статистического управления процессом на основе функции затрат Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.248:658.562.012.7 Е. А. ЗЕНЦОВА

ВЫБОР ЗНАЧЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ ДЛЯ ПЛАНОВ СТАТИСТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ НА ОСНОВЕ ФУНКЦИИ ЗАТРАТ

Рассматривается методика назначения параметров планов статистического управления процессом с использованием контрольных карт средних и карт Хотеллинга. Критерием эффективности выбора параметров выступают суммарные затраты на брак, контроль изделий, исследование и корректировку процесса.

Ключевые слова: статистическое управление процессом, контрольная карта Хотеллинга, функция затрат.

Статистическое управление процессом заключается в непрерывном мониторинге показателей процесса и принятии мер для обеспечения его стабильности по ограниченному числу наблюдений. При этом обоснованность принимаемых решений существенно зависит от выбранного плана статистического контроля, т. е. от значений контрольных границ, объёма и периодичности выборок [2-4]. Одним из методов обоснованного назначения параметров плана контроля является модель Кнаппен-бергера и Грендейджа [7], минимизирующая затраты на статистическое управление с применением контрольной карты средних.

При построении модели предполагается, что контролируемый показатель качества, являющийся непрерывной случайной величиной, можно аппроксимировать дискретной случайной величиной с множеством значений [/0,/,/2,..]. Одно значение этой случайной величины /и0 соответствует значению контролируемого показателя при управляемом состоянии процесса, остальные значения [/,/,...] - при неуправляемом. Время нахождения процесса в управляемом состоянии подчиняется

экспоненциальному закону распределения.

Выделены три составляющие затрат на контроль:

- затраты С1 на исследование и корректировку процесса после сигнала от карты. Затраты, обусловленные появлением каждого отдельного сигнала, представлены величиной а1. Затраты на исследование истинного и ложного сигналов принимаются равными;

- затраты С2, связанные с производством дефектных изделий. Стоимость убытков от одной дефектной единицы продукции а2;

- затраты С3 на обработку результатов выборочных наблюдений. Единовременные затраты на контроль выборки составляют а3, единицы продукции - а4 .

Величина средних затрат, приходящихся на единицу выпускаемой продукции, оценивается так:

М (С ) = М С ) + М С ) + м (Сз ) = ^ + а 2 + ^^^, (1)

т 1=о .=о т

где т - число изделий, производимых между выборками,

- условная вероятность получения сигнала от карты при / = / ,

- вероятность нахождения процесса в состоянии / = в момент взятия выборки,

fi - условная вероятность производства бракованных изделий при / = / ,

- вероятность нахождения процесса в состоянии / = / .

Приняты следующие предположения об исследуемом процессе:

- после выхода из управляемого состояния, процесс продолжает пребывать в неуправляемом состоянии до устранения причин нарушения;

© Зенцова Е. А., 2018

- процесс не может вернуться в управляемое состояние без вмешательства извне. Это означает, что значение контролируемого показателя качества может смещаться только в худшую сторону;

- на интервале между выборками возможно только одно смещение.

Для определения оптимальных параметров контрольной карты средних была выполнена двухста-дийная процедура. На первой стадии рассчитывалась функция затрат для широкого диапазона значений параметров карты при заданных коэффициентах затрат и параметрах априорного распределения. По полученным результатам предварительно оценивались значения параметров контрольной карты средних, которые использовались на второй стадии в качестве отправной точки для определения оптимальных параметров плана статистического управления с любой требуемой точностью.

Монтгомери и Клатт [6] разработали модель экономического планирования контрольных карт Хо-теллинга для контроля двух или более показателей качества, которая является обобщением модели Кнаппенбергера и Грандейджа на многомерный случай.

Предполагается, что состояние процесса (управляемое или неуправляемое) обнаруживается непосредственно во время извлечения частной выборки. Это предположение позволяет описывать экспоненциальным законом продолжительность управляемого состояния процесса для случаев, когда действуют очень большие объёмы выборок и сложные правила контроля [1, 5].

Функция затрат для карты Хотеллинга имеет тот же вид (1), а расчётные зависимости для вероятностей qi, уi, fi, п[ определяются следующим образом.

1) Вероятности получения сигнала от карты при управляемом q 0 и неуправляемом q1 состояниях процесса:

Чг = Р {тг 2 > Г1„ }= | / (( 2 Ц 2, i = 0,1,

(2)

где /(Тг2 У - плотность распределения Т.]2 с р и (п - р) степенями свободы.

2) Для расчёта вероятностей нахождения процесса в управляемом у0 и неуправляемом у1 состояниях в момент извлечения выборки рассматривают матрицу Q переходных вероятностей. Она состоит из элементов, характеризующих вероятности изменения состояния процесса в течение производства т единиц продукции. Вероятность нахождения процесса в стабильном состоянии в течение » часов рассчитывается так:

1 -} Л*"

0

•Лг „

= 1 -Л

-1 е-Л = 1 -Л Г 1 -Л» --е - 11 ь — = 1 -Г 1 - е-Л ] = е-Л

_ Л _ _ Л Л_ J

(3)

Пусть за час производится Я единиц продукции, в том числе и дефектных, тогда вероятность нахождения процесса в управляемом Р0 и неуправляемом Р0 состояниях при производстве т единиц продукции:

Р =. + ИУ

Лт

~,г = 0,1.

Тогда матрица Q определяется следующим образом:

Q =

р Р

(4)

(5)

^!Р0 q1р1 +(1 - q1)

Поскольку матрица Q является матрицей перехода неприводимой и апериодической цепи Маркова, вероятности у0, у1:

У г ='

, г = 0,1.

(6)

(( + qlPo У

3) Для определения вероятностей производства дефектных изделий при управляемом ^ и неуправляемом f1 состояниях процесса рассматриваются векторы и и I верхних и нижних границ поля допуска для р исследуемых показателей качества. Изделие считается дефектным, если значение, по крайней мере, одного из показателей лежит вне соответствующих границ поля допуска. Тогда вероятности f0 и ^ определяются по формулам:

12 Р f =1 -//... ¡Не

—( х-и )Т5-1( х-д )

2 dx1dx2.. Дхр, г = 0,1,

(7)

1л 1р

ад

2

Т

а, р,п-р

где

" • <8)

4) Для определения вероятностей нахождения процесса в управляемом л0 и неуправляемом я1 состояниях оценивается среднее время т появления нарушения на интервале между двумя последовательными выборками:

т = —^ '-. (9)

R

Тогда вероятности 7Г0, щ определяются по формулам:

щ =гЛ +(i+ИГ^Р, i = 0,1. (10)

Вид функции (1) можно упростить, приняв

K = (11)

R

Ai = |i, i = 1,2,...,4. (12)

Отсюда выражение для функции затрат для контрольной карты Хотеллинга:

M (C ) =K t я,г, +t M, + ^K41 (13)

K i=o i=o K

В качестве оптимальных параметров плана статистического управления выступают решения, обеспечивающие минимум целевой функции. Для решения задачи минимизации могут применяться итерационные методы локального поиска. К ним можно отнести поиск с запретами, поиск с чередующимися окрестностями, генетические алгоритмы, алгоритмы имитации отжига и другие метаэв-ристические методы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бендерский А. М., Богатырёв А. А., Баумгартен Л. В. Стандартизация статистических методов управления качеством. - М. : Изд-во стандартов, 1983. - 152 с.

2. Зенцова Е. А. Сравнительный анализ подходов к оптимизации параметров контрольной карты Хотеллинга // Автоматизация процессов управления. - 2017. - №1(47). - С. 40-46.

3. Зенцова Е. А., Клячкин В. Н. Адаптивный многомерный статистический контроль технологического процесса // Радиотехника. - 2017. - №6. - С. 45-48.

4. Клячкин В. Н., Зенцова Е. А. Оптимизация статистического контроля многопараметрического процесса // Радиотехника. - 2016. - №9. - С. 48-51.

5. Клячкин В. Н., Зенцова Е. А. Модель затрат для многомерной контрольной карты Хотеллинга // Автоматизация. Современные технологии. - 2017. - №4(71). - С. 167-170.

6. Knappenberger H. A., Grandage A. H. Minimum cost quality control tests // AIIE Transactions. -1969. - V. 1(1). - P. 24-32.

7. Montgomery D. C., Klatt P. J. Economic design of T2 control charts to maintain current control of a process // Management Science. - 1972. - V. 19(1). - P. 76-89.

Зенцова Екатерина Александровна, окончила факультет информационных систем и технологий УлГТУ, аспирант кафедры «Прикладная математика и информатика» УлГТУ. Имеет статьи в области статистического контроля процессов.

Получена 12.09.2018 г.