CC BY
10УДК 688.276.53
ВЫБОР ВАРИАНТА РАЗМЕЩЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ГАСИТЕЛЯ КОЛЕБАНИЙ ДЛЯ ЭЛЕКТРОЦЕНТРОБЕЖНОГО НАСОСА
CHOOSING AN OPTION FOR PLACEMENT OF THE DYNAMIC VIBRATION DAMPER FOR THE ELECTRIC CENTRIFUGAL PUMP
М. С. Габдрахимов, А. С. Галеев, Г. И. Бикбулатова, С. Л. Сабанов, К. Р. Фахриева
M. S. Gabdrakhimov, A. S. Galeev, G. I. Bikbulatova, S. L. Sabanov, K. R. Fakhrieva
Уфимский государственный нефтяной технический университет, филиал, г. Октябрьский Альметьевский государственный нефтяной институт, г. Альметьевск
Ключевые слова: погружное оборудование; вибрация; демпфирующее устройство; смещения установки; скорость распространения продольных колебаний в колонне Key words: submersible equipment; vibrations; damper; setting offset; velocity of longitudinal vibrations
propagation in the tubing string
44 Нефть и газ № 2016
В процессе эксплуатации погружной установки электроцентробежного насоса часто возникают интенсивные колебания. Частота колебаний связана с частотой вращения ротора и практически постоянна. С целью снижения вибрации ответственных узлов конструкций довольно часто используют динамические гасители колебаний, когда вибрация с защищаемой машины переносится на вспомогательный узел, вибрация которого не представляет опасности для системы в целом [1]. В работе рассмотрены возможности использования этой идеи для защиты электроцентробежной установки.
Рис. 1. Установка демпфера между ЭЦН и колонной НКТ
Самая простая возможность — установка демпфера между ЭЦН и колонной НКТ с целью переноса вибрации с ЭЦН на колонну НКТ (рис. 1): нижний конец колонны через демпфер соединен с установкой У; установка подвержена воздействию некоторой гармонической силы P cos at, где P — амплитуда силы, a — угловая частота переменной силы, a > 0; установка при колебаниях колонны остается в покое; Я — жесткость демпфера; u — коэффициент, характеризующий демпфирующие свойства демпфера.
Для удобства исследования силу P cos at представим в комплексной форме
Peiat, вещественная часть которой равна Pcosat. Колебания колонны и установки будут описываться уравнениями
I utt + but - a u^ = 0, Jat
mc1 = Pelwl -Я[х1 - u(0, t)] - j[x1 - U(0, t)]
и граничными условиями
\u (да, t) = 0,
Е8иХ (0, г) = Л[ы (0, г) - х1] + /и[й(0, г) - Х^
без начальных условий, так как рассматривается установившееся движение. Обозначим и (0, г) = иг (0, г).
В этих уравнениях Ь — коэффициент, характеризующий вязкое трение; а — скорость распространения продольных колебаний в колонне; т — масса установки; Е — модуль Юнга материала колонны; ^ — площадь поперечного сечения колонны; Х1 = Х1(г)— смещение установки; и = и (х, г) — продольное смещение поперечного сечения х колонны в момент времени г.
Подставим второе граничное условие во второе уравнение системы
I иг + Ьи1 - а2иХ = 0, [т; = Рвш + ЕБиХ (0, г).
Поскольку установка не должна смещаться при установившихся колебаниях колонны, то должно быть = 0. Теперь задача — найти функцию Ы,
удовлетворяющую уравнениям
I Ыц + ЬЩ - а2ыХХ — 0.
и граничным условиям
ЕыХ (0,0 — -Рё
{ы(<Х>, ^ — 0,
¡а>1
[^ы(0, г) + Лы(0,?) = -РёШ.
(1)
(2)
Зависимость продольного смещения ы от координаты х поперечного сечения колонны и от времени t будем искать в виде
л -kx+iаt . п kx+iаt
ы — Аё + Вё ,
(3)
где А, В, к — константы, подлежащие определению. Подстановка выражения (3) в первое уравнение системы (1) дает квадратное уравнение относительно к
2 2 2 а к + а - iаb — 0.
Оба его корня
% —
iаb -а
2
представим в показательной форме
к 0 — тё1К к, — гё1 (ф+т).
Тогда
г.2
а 1 Ь ж 1 Ь
г — — 41 +—тг, ф —---агС^ —, где фе
а V а2 2 2 а
Т Т
4 ' 2
Отсюда получим величины
(4)
Н — г cosр —
(О
1 + -1, О — г
а л12а
1 + ^ +1, а
которые вскоре нам понадобятся. Видим, что
Н > 0, О > 0.
(5)
Равенство F — 0 возможно лишь при Ь — 0.
Выражения (4) предлагают нам две равносильные возможности для выбора значения к. В них Яе(к0) — гcosф> 0, Яе(к1) — г соБ(ф + т) < 0. Для определенности выберем к — к0. В этом случае
к — г (cos р + i sin р) — Н + О.
(6)
Предположим, что в (3) B Ф 0. Тогда при x ^ х будем иметь \Ae lkC+,mt\ ^0,
^-го. В этом случае из (3) будет следовать и ^ ю, что противоречит первому условию в (2). Чтобы избежать этого противоречия, следует положить В = 0. Выражение (3) упростится:
и = Ае -^. (7)
Тогда
и(0,') = Ае'ш', их (0,') = -Аке'ш', и(0,0 = шАе'т'. (8)
Подстановка этих значений во второе уравнение системы (1) дает
Р
k = - . ESA
Подстановка значений (8) во второе граничное условие в (2) дает
P
A = --
Подставив (10) в (9), будем иметь
k = -
Из сравнения (11) с (6) получаем
1 + ia/
1 + ia// ES '
(9)
(10)
(11)
Р = -А о = -^Е
ES, ЕБ
Полученное значение О противоречит второму условию (5). Значит, данный случай нереализуем. Погасить колебания установки невозможно.
Второй случай: нижний конец колонны жестко связан с установкой У массы m2 (рис. 2); (а) установка через демпфирующее устройство соединена с грузом массы т1; на установку действует гармоническая сила Ре,т'; установка при колебаниях колонны остается в покое.
Рис. 2. Нижний конец колонны жестко связан с установкой
Из условия (а) следует, что смещения установки массы m2 совпадают со смещениями нижнего конца колонны, то есть равны и(0,'). Поэтому колебания всей системы будут описываться уравнениями
utt + but - a2uxx = 0,
mlxl = -1[x1 - u(0,t)] - /[xl - u(0,t)],
m2u(0, t) = ESux (0, t) - Peiat - 1[u (0, t) - xj - /[u (0, t) - xj
(12)
и граничным условием
ы (да, t) — 0. (13)
Здесь х — х1 (t) — смещение груза.
В предыдущем случае мы показали, что решение первого уравнения системы (12), удовлетворяющее условию (13), имеет вид
ы — Аё~кх+а. (14)
Подставив соответствующие значения (8) во второе и третье уравнения системы (12), получим
\щХ + "Х + 1х — А(Л+'а")е,а',
|т2Аа2ёш — ЕБАке'а' + Ре'а' + Л(Аеш -х) + "('аАеш -х1).
(15)
Первое уравнение имеет общее решение
-I
Х — ё 2щ
С -I"2-4ш1Л -4т I ^
2ш л. Г о 2ш
^ --—I—— t
С1ё + С2ё
Л + Аеш'
1 + 'а"- шр1
При t ^да первый член стремится к нулю. Поэтому установившееся решение определяется вторым членом
X Л + Аеа (16)
XI — -—:-Г Ае . (16)
1 + 'Р" - шр
Подстановка этого значения во второе уравнение системы (15) приводит к равенству
А[(ш2а2 -ЕБк)(Л + 'а"-ш1а2) + шр2(1 + 'а")] — Р(1 + 'а"-ш1а2). (17)
Отсюда
А —-2-Р(1+Р"-ШР) 2-. (18)
(ш2а -Е'к)(1+ 'а"-шр ) + шр (1+ 'а")
Подставим (18) в (16) и получим
Х —-2-—Р"-2-Ре'а. (19)
(ш2а -ЕБк)(1 + 'а"-шр ) + шр (1 + 'а")
Так как установка и нижний конец колонны с течением времени должны прийти в неподвижность, то при всех достаточно больших t амплитуда колебаний должна быть равна нулю: А — 0. Это условие будет выполняться, если правая часть (17) равна нулю
1 +'а"-шрг — 0. (20)
Отсюда находим условия неподвижности установки
1 — шр2, " — 0. (21)
Рис. 3. Нижний конец колонны
через демпфирующее устройство соединен с грузом
Подставив (20) в (19), получим зависимость смещения груза от времени
р
tr.it
Итак, при выполнении условий (21) установка придет в неподвижность. Третий случай: нижний конец колонны через демпфирующее устройство соединен с грузом массы т2 (рис. 3); груз через демпфирующее устройство соединен с установкой У массы т\, на установку действует гармоническая сила Ре'"'; установка при установившихся колебаниях колонны остается в покое. Колебания данной системы описываются уравнениями
и„ + Ьы, - а2ихх = 0,
т1 х1 = Ре'" - Л1(х1 - х2) - / (х1 - х2), (22)
т2Х2 = х2 - х1) - /(х2 - х1) - Л2[х2 - и(0,')] - /2[х2 - и (0,')]
и граничными условиями
Гы(<ю,') = 0,
ЕБых(0,') = Л,2[ы(0,') - х2] + /2[ы (0,') - х2].
Здесь х — смещение установки; х2 — смещение груза; Я1, // — жесткость и коэффициент демпфирования демпфера, расположенного между грузом и установкой; Хг, /2 — жесткость и коэффициент демпфирования демпфера, расположенного между грузом и нижним концом колонны.
Решение первого уравнения системы (22) с учетом первого граничного условия имеет вид и = Ае^кх+"', где к представляется равенством (6).
Подставим второе граничное условие в третье уравнение системы. Система (22), в которой мы теперь опустим первое уравнение, запишется в виде
т1 х1 = Ре'"' - А1 (х1 - х2) - / (х1 - х2), т2х2 = -Л1(х2 - х1) - /(х2 - х1) + ЕБих (0,').
Поскольку при установившемся движении установка не должна смещаться при колебаниях остальных частей колонны, то должно быть х1 = х1 = х1 = 0. Система уравнений упростится
х1 =
е
2
т,а>
" Х2 + 1.x, — - Ре'а',
12 1 2 (23)
[ш 2 Х2 + Х2 +х2 — ЕБых (0, t).
Первое уравнение этой системы имеет следующее решение
Р
х2 — Сеt--—-.
1 + '""
При t ^да первый член стремится к нулю. Поэтому решение, описывающее установившееся колебание груза, таково:
Х2 — -, (24)
\ + IV
где обозначено V — аВторое уравнение системы (23) с учетом (8) примет вид
ш2 Х2 + "Х2 + \хг — -ЕБАке'"'. Подставив сюда значение (24), получим
(1 + ^)(Р - ЕБАк) — Ра 2ш2. (25)
Заменив к значением (6) и отделив вещественную часть от мнимой, получим систему уравнений
(Р - АЕБН) + vESAО — Ра2ш2, [11 Е'АО -v(Р - Е'АН) — 0,
из которой находим
vP
А —-, (26)
Е' {\О + vH)
О(12 + V2)
ш2 — —;-1-.
2 а2(\О + vH)
С помощью (7) второе граничное условие в (25) запишется
(27)
1 (х2 - Ае) + " (Х2 - 'а Ае) — ЕБАке. (28)
Подстановка (27) в (28) приводит к выражению:
А(1 + 'V)(Е'к +12 + '""2) + Р(12 + '""2) — 0. Подставим значение А из (26)
v(Я1 + 'у)(Я2 +'"" + Е'к) + Е' (ДО + vH )(Л2 +'"") — 0.
Заменив к значением (6) и отделив вещественную часть от мнимой, получим
\[\ V+Е'(1О + vH)]12 - а V2"2 — Е'у(гО - Я1Н), [V2! +а[1у++ vH )]"2 — -ESv(\G + vH).
Решим систему относительно Л2, ¡л2:
Л = (ЛЯ - vG)[ky + ES(ÄlG + vH)] - v2 (kfi + vH) ESv (29)
2 v4 + [Ä,v+ ES (k1G + vH )]2 ' ( )
_ (kfi + vH)[kp + ES(kfi + vH)] + v2(Ä1H -vG) ESv
ß2 _--4-2--■ (30)
2 v4 + [^v- ES {IG + vH )]2 w
Таким образом, значения Л2, ¡л2, m2, удовлетворяющие равенствам (27), (29), (30), обеспечивают неподвижность установки при колебаниях колонны.
Найдем условия, при которых значения Л2 и /л2 будут неотрицательными. Обозначим
Ху + ES(k1G + vH) _ ÄlH-vG %_ v2 ' Г k1G + vF' C 1
Тогда числители в (29) и (30) будут неотрицательными при
\%Г ^ 1,
(32)
%+Г< 0.
В (31) видим, что % > 0. Поэтому для выполнения первого условия в (32) должно быть г > 0. Но при неотрицательных % и г не будет выполняться второе условие в (32). Следовательно, третий случай нереализуем.
Итак, среди рассмотренных вариантов размещения демпфирующего груза лишь во втором варианте при установившихся колебаниях колонны установка будет оставаться в неподвижности.
Список литературы
1. Динамика бурильного инструмента при проводке вертикальных, наклонных и горизонтальных скважин / М. С. Габдрахимов, А. С. Галеев, Л. Б. Хузина, Р. И. Сулейманов. - СПб. :Недра, 2011. - 244 с.
Сведения об авторах Information about the authors
Габдрахимов Мавлитзян Сабирьяноеич, Gabdrakhimov M. S., Doctor of Engineering,
д. т. н., профессор, заведующий кафедры «Неф- professor, head of the chair «Oilfield machines and
тепромысловые машины и оборудование», Уфим- equipment», Ufa State Petroleum Technical Universi-
ский государственный нефтяной технический ty affiliate in the town of Oktyabrski, phone:
университет, филиал, г. Октябрьский, тел. 8(34767)65401, e-mail: [email protected] 8(34767)65401, e-mail: [email protected]
Галеев Ахметсалим Сабироеич, д. т. н., Galeev A. S., Doctor of Engineering, professor of
профессор кафедры «Нефтегазовое the chair «Oil and gas production equipment»,
оборудование», Альметьевский государственный Almetievsk State Petroleum Institute, phone:
нефтяной институт, г. Альметьевск, тел. 8(8553)310124, е-mail: agni-ngo @mail.ru 8(8553)310124, е-mail: agni-ngo @mail.ru
Бикбулатоеа Голия Ильдусовна, к. т. н., Bikbulatova G. I., Candidate of Science in
доцент кафедры «Нефтегазовое оборудование», Engineering, associate professor of the chair «Oil
Альметьевский государственный нефтяной and gas production equipment», Almetievsk State
институт, г. Альметьевск, тел. 8(8553)310124, е- Petroleum Institute, phone: 8(8553)310124,
mail: agni-ngo @mail.ru е-mail: agni-ngo @mail.ru
Сабанов Сергей Леонидович, ассистент Sabanov S. L., assistant of the chair «Oil and
кафедры «Нефтегазовое оборудование», gas production equipment», Almetievsk State
Альметьевский государственный нефтяной Petroleum Institute, phone: 8(8553)310124,
институт, г. Альметьевск, тел. 8(8553)310124, е- е-mail: agni-ngo @mail.ru mail: agni-ngo @mail. ru
Фахриева Кристина Ринатовна, препода- Fakhrieva K. R., lecturer of the chair «Oilfield
ватель кафедры «Нефтепромысловые машины и machines and equipment», Ufa State Petroleum
оборудование», Уфимский государственный неф- Technological University, affiliate in the town of
тяной технический университет, филиал, г. Ок- Oktyabrsk, phone: 8(34767)65401, e-mail:
тябрьский, 8(34767)65401, e-mail:[email protected] [email protected]
