Выбор уравнения для замыкания сопряженной задачи циклического теплообмена твердого тела с холодным и горячим теплоносителями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.24: 621.184.53+001.891.573

ВЫБОР УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЗАМЫКАНИЯ СОПРЯЖЕННОЙ ЗАДАЧИ ЦИКЛИЧЕСКОГО ТЕПЛООБМЕНА ТВЕРДОГО ТЕЛА С ХОЛОДНЫМ И ГОРЯЧИМ ТЕПЛОНОСИТЕЛЯМИ

Ю.А. КИРСАНОВ

Математическая модель регенератора строится путем решения сопряженной задачи циклического теплообмена насадки с холодным и горячим теплоносителями. Сопряженная задача, включающая в себя краевые задачи теплопроводности насадки и конвективного переноса энергии теплоносителями, решается методом последовательной подстановки решения одной из краевых задач в другую. Из-за незамкнутости этого метода решения сопряженную задачу приходится дополнять уравнением, которое является приближением точного решения одной из краевых задач. Рассмотрено несколько уравнений для замыкания сопряженной задачи циклического теплообмена твердого тела с холодным и горячим теплоносителями. Выбор наиболее точного замыкающего сопряженную задачу уравнения производился путем сопоставления результатов расчетов, полученных с помощью математических моделей регенератора, с опытными данными, измеренными на экспериментальном стенде с лабораторным регенератором. Критериями выбора, помимо невязок по тепловому балансу насадки и теплоносителей, служили совпадение расчетных и опытных значений температур теплоносителей на выходе из регенератора и сходимость итерационного процесса теплового расчета регенератора с помощью математической модели. Дано решение сопряженной задачи с выбранным замыкающим уравнением.

Использование регенеративного воздухоподогревателя (регенератора) в качестве инструмента для исследования теплоотдачи [1, 2] предъявляет повышенные требования к адекватности описания тепловых процессов математической моделью реальным тепловым процессам, протекающим в регенераторе. Процесс теплопередачи в регенераторе от горячего теплоносителя к холодному протекает циклически. Каждый цикл состоит из двух рабочих периодов (нагревания и охлаждения) и может также включать два промежутка времени при переходе от одного рабочего периода к другому - холостые периоды.

Математическая модель односекционного регенератора представляет собой совокупность математических выражений, определяющих температурные поля в насадке и потоках теплоносителей, полученную путем решения сопряженной задачи циклического теплообмена твердого тела, выполняющего роль насадки, с холодным и горячим теплоносителями. Сопряженная задача включает в себя краевую задачу нестационарной теплопроводности твердого тела при циклических граничных условиях третьего рода и задачу конвективного переноса энергии каждым из теплоносителей.

Краевая задача нестационарной теплопроводности в двухмерном твердом теле (призме или цилиндре конечных размеров) без учета теплоотдачи торцов имеет вид

© Ю.А. Кирсанов

Проблемы энергетики, 2003, № 5-6

дв; (х, у,Ро) 1 д

д Ро хУ д х

.у двв(х,у,Ро)

хх

1 д в; (х,у,Ро) I? д у2 '

д х

вj+l(x, yfi)=вj{x, у,Роа,;); (2)

дв;(0, у,Ро)

д х

= 0; (3)

3 >,Р0) = -В1 щ,3[в;{1,У,Ро)-ву,;(у,Ро)]; (4)

д х

Ро )

= 0; (5)

двз (х,0,Ро )

д у Ро) = 0, (6)

двз (х,1,Ро)

д у

где V = 0 и 1 соответственно для призмы и цилиндра; 3 = 1, 2, 3, 4 - номер периода; в = 2 ( - tf

,тт')/((/,тах - tf ,т1п) - относительная избыточная температура; t -

абсолютная температура, К; tf,тах и tf,т}п - максимальная температура

горячего и минимальная температура холодного теплоносителей, К; х -относительная координата точки в поперечном направлении (0 < х < 1); у - то же

в продольном направлении (0< у < 1); ¥а = 4а*т/4- число Фурье;

Ро т, 3 = 4 ащТз/- предельное значение числа Фурье в j -м периоде; ащ -

коэффициент температуропроводности насадки, м / с; - толщина насадки, м;

т - время от начала з -го периода, с; Т; - длительность з -го периода, с; В1 щ з =af,(2Л) - число Био боковой поверхности в 3 -м периоде; af,; -

2

коэффициент теплоотдачи боковой поверхности тела в з -м периоде, Вт/(м • К); Л - коэффициент теплопроводности насадки, Вт/(м • К).

Задача переноса энергии потоком в з -м периоде включает в себя дифференциальное уравнение и условия однозначности.

Дифференциальное уравнение конвективного переноса энергии теплоносителем в пренебрежении переносом тепла вдоль потока теплопроводностью имеет вид [3]

А1,3 дв^3°)+двд^+ А2з [о)вз (°, у,ро)]= 0. (7)

Здесь А1,з — 4ащ1/(щг,3Зщ); А2,з — каа,,зУ{Gf,з*ср,3); ^ 1/2 - для

цилиндрического тела и к =1 - для призмы; гз — у0,3 ± у - продольная координата,

совпадающая с направлением потока (прямоточной схеме течения теплоносителей и первому рабочему периоду противоточной схемы соответствуют знак "+" и у0,з = 0, второму рабочему периоду противоточной схемы - знак "-" и

у0,3 =1); 3 - среднерасходная скорость теплоносителя в 3 -м периоде, м/с; 3

2

- боковая поверхность, омываемая теплоносителем в з -м периоде, м ; Gf,3 -массовый расход теплоносителя в 3-м периоде, кг/с; Ср 3 - удельная изобарная теплоемкость теплоносителя в 3-м периоде, Дж/(кг • К).

Условия однозначности задачи конвективного переноса энергии, помимо геометрии каналов и теплофизических свойств теплоносителей, должны включать в себя начальное температурное поле в потоке и граничное условие. Под начальным моментом времени здесь понимается момент прохождения фронтом потока теплоносителя сечения с координатой 13. Этот момент

запаздывает относительно момента переключения периодов, являющегося начальным в краевой задаче теплопроводности, на промежуток времени Агг,з — з . Поэтому в задаче конвективного переноса энергии начальное

температурное поле, строго говоря, становится зависимым от Атг,3. В данной

модели, ввиду малости 1/щг>3 , где I - длина насадки, принято Дгг,3 = 0. Это

позволило совместить начальные моменты в обеих задачах и сделать начальные температурные поля в теплоносителях независимыми от Атг,3, то есть от

времени. В этом случае начальное температурное поле не оказывает влияния на тепловое состояние потока и поэтому, как показано в работе [3], его можно не задавать.

Граничное условие задачи конвективного переноса энергии

вf, з (0,Ро) = ^о). (8)

В качестве функции f j(¥о) в работах [2,4] использовалась функция

fj (ро) = £0,3 + 8\,3 ехр(3о), (9)

где £0,з , £1,з и оз - постоянные для з -го периода.

Решение рассматриваемой сопряженной задачи предполагает подстановку величины вз(0,у,Ро), полученной из решения краевой задачи (1)-(6), в

дифференциальное уравнение (7). Аналогично, полученная из решения задачи (7)-(8) величина вf,3(г,Ро) должна подставляться в граничное условие (4) задачи (1)-

(6). Однако такая подстановка сопровождается появлением в решении сопряженной задачи все новых и новых постоянных интегрирования, зависящих

от продольной координаты и времени. В результате решение сопряженной задачи

становится не замкнутым.

В работе [4] был предложен способ замыкания сопряженной задачи с помощью приближенного уравнения, аппроксимирующего точное решение краевой задачи (1)-(6) функцией

где ¿о, j, Ь\ j , в ^ , ак, j - коэффициенты.

Тепловой расчет регенератора представляет собой итерационный процесс определения температур насадки и теплоносителей. Сходимость итерационного процесса во многом зависит от математической модели.

Математическая модель регенератора, построенная с использованием замыкающего уравнения (10), обеспечивает хорошую сходимость. Недостатком функции (10) является то, что согласно ей продольное распределение температуры в насадке изменяется в течение периода эквидистантно начальному профилю - это может быть лишь при полностью симметричных периодах нагревания и охлаждения. При наличии расхождений в значениях коэффициентов теплоотдачи, длительности смежных рабочих периодов использование формулы (10) вносит некоторую погрешность в расчетные температурные поля. Поэтому вместо этой формулы для аппроксимации температурных полей в насадке в работе [2] было предложено другое выражение

Сопоставительный анализ моделей с замыкающими уравнениями (10) и (11) дан в работах [2,5], где было отмечено преимущество уравнения (11) по точности расчета средней за период выходной температуры теплоносителей, невязке по тепловому балансу насадки и теплоносителей, а также по характеру изменения во времени температур насадки. Недостатком моделей с уравнениями (10) и (11) является качественное различие расчетной и опытной зависимости температуры теплоносителей на выходе из регенератора от времени.

Поэтому в данной работе продолжен поиск более точного уравнения для замыкания сопряженной задачи циклического теплообмена твердого тела с холодным и горячим теплоносителями. В качестве замыкающих уравнений здесь рассматриваются следующие выражения:

(10)

к=0

3

в j(0,у,¥о)= 2 [ак,j• + ьк,^хР(к,^Го)] /.

(11)

і=0

3

в j (0, у,го)= 2 [ак, j•+ьк,[р(к, ¿Го)+ ск^р°\ ук;

(12)

і=0

(13)

к=0

3 I п

вї,7'(,Го)= 2 г 2 8і,к^¥о . к=0 і=0

Уравнение (12), как и (11), аппроксимирует точное решение краевой задачи теплопроводности насадки; уравнения (13) и (14) являются приближением точного решения задачи конвективного переноса энергии теплоносителями.

Количество членов ряда П^ по степеням Го в уравнении (14) бралось от 3 до 5.

При замене одного замыкающего уравнения другим сопряженную задачу приходится решать заново. Поэтому каждому из уравнений (10) - (14) соответствует своя сопряженная задача, свое решение этой задачи и своя модель регенератора.

Для удобства пронумеруем сравниваемые варианты сопряженной задачи:

1. Вариант с замыкающим уравнением (11) и граничным условием (9).

2. Вариант с замыкающим уравнением (12) и граничным условием (9).

3. Вариант с замыкающим уравнением (13) и граничным условием

fj(ґо')= £0,0, j + £1,0, j ехР(Г0, jFo)+ 82,0, j ро.

4. Вариант с замыкающим уравнением (14) и граничным условием

вf ,7-(z,Fo)=I2:gі,о,jFot. (15)

і=0

Ограничения на объем статьи не позволяют дать решения для каждого варианта. Такое решение будет дано для наиболее точной модели.

В качестве критериев выбора того или иного замыкающего уравнения рассматривались: сходимость итерационного процесса теплового расчета

регенератора; качественное и количественное совпадение расчетных и опытных значений температуры теплоносителей на выходе из регенератора; невязки по тепловому балансу насадки и теплоносителей.

Опыты проводились на экспериментальном стенде с лабораторным многосекционным регенератором переключающегося типа.1 Стенд с регенератором, методика проведения опытов, измерений и обработки экспериментальных данных описаны в [2,5,6]. Порядок теплового расчета многосекционного регенератора описан в работах [7,8].

Для более полного представления о качестве каждой из моделей были обработаны три опыта с разной длительностью рабочего периода Т и расходами холодного Єf ,0 и горячего Єf ,1 теплоносителей (см. табл.1).

Анализ сходимости итераций при обработке указанных опытов показал, что модель 1 обеспечивает удовлетворительную сходимость. Расчеты по моделям 2 и 3 показали неудовлетворительную сходимость. Причина, по-видимому, заключается как в большом количестве коэффициентов в уравнениях (12) и (13), так и в интерполяционном способе определения этих коэффициентов из-за присутствия экспонент.

1 Опыты выполнены инженером Волченко К.М. © Проблемы энергетики, 2003, № 5-6

Длительности периодов и расходы теплоносителей в опытах

№ опыта Т, с ,0 • 103, кг/с д • 103, кг/с

1 8 12,3 12,7

2 34 8,6 7,2

3 64 13,0 18,4

Степенная зависимость температуры теплоносителей от продольной координаты и времени в уравнении (14) позволила аппроксимировать точное решение задачи конвективного переноса энергии методом наименьших квадратов, дающим наилучшие оценки коэффициентов регрессии. Поэтому расчеты по модели 4 показали хорошую сходимость при всех рассмотренных значениях щ. Однако, поскольку при щ = 3 наблюдались большие отклонения уравнения регрессии (15) от опытных температур на входе в регенератор, то этот вариант был отвергнут. Модели с уравнением (14) при щ = 4 и щ = 5 показали одинаковую точность, но машинное время на расчет одного варианта при щ = 5 примерно в 1,5 раза превышало время при щ = 4. Поэтому в уравнении (14) окончательно было принято щ = 4.

Результаты расчетов температур теплоносителей на выходе из регенератора представлены на рис.1-3 и в табл.2. Из графиков на рис.1-3 видно, что рассчитанные по модели 4 температуры (сплошные линии) для всех опытов как качественно, так и количественно ближе к опытным данным, чем рассчитанные по модели 1 (штрих пунктирные линии). О том же свидетельствуют значения средних за период температур, данные в табл.2.

Рис.1. Изменения температуры теплоносителей за период Т = 8 сек:

1-4 - данные измерений; 5-8 - расчетные данные; 5, 7 - модель 1; 6, 8 - модель 4;

1, 3, 5, 6 -температура холодного воздуха; 2, 4, 7, 8 - температура горячего воздуха: 1, 2 - температура теплоносителей на входе в регенератор;

3 - 8 - температура теплоносителей на выходе из регенератора

Рис. 2. Изменения температуры теплоносителей за период Т = 34 сек: обозначения см. рис. 1

Рис. 3. Изменения температуры теплоносителей за период Т = 64 сек: обозначения см. рис. 1

Средние температуры теплоносителей на выходе из регенератора

№ Опыта Холодный воздух Горячий воздух

Опыт Модель 1 Модель 4 Опыт Модель 1 Модель 4

1 71,7 67,6 71,7 32,8 34,7 33,0

2 62,3 56,6 62,0 30,5 27,2 30,7

3 52,6 43,0 53,6 55,1 54,4 56,5

По каждой модели рассчитывались мощности тепловых потоков (тепловые нагрузки), передаваемые насадкой , воспринимаемые холодным

теплоносителем 20 и отдаваемые горячим теплоносителем Ql. Невязки по тепловому балансу определялись по формулам:

2 = 20 ~ . 100% ; ^ = Ох - °. 100% .

Qw Qw

Значения невязок приведены в табл.3. Из таблицы видно, что невязки по модели 1 на порядок и более превышают невязки по модели 4. Максимальная по абсолютной величине невязка по модели 4 составила 2,6 % (опыт № 3, горячий теплоноситель). При расчете промышленных регенераторов, обладающих большой массой и площадью поверхности насадки, следует ожидать сокращения невязок. Так, при тепловом расчете РВП-90 и регенератора для газотурбинной установки ГТУ-4000 невязка по модели 1 не превысила 0,5 % [7] (сравнение с данными табл.3 для модели 1).

Таблица 3

Невязки по тепловому балансу в %

№ Холодный воздух Горячий воздух

опыта Модель 1 Модель 4 Модель 1 Модель 4

1 - 11 - 2,0 - 1,9 + 0,9

2 - 4,5 - 1,9 + 22 + 0,8

3 - 33 - 0,4 + 16 + 2,6

Таким образом, сравнение моделей по сходимости итераций теплового расчета, по точности расчета температур теплоносителей на выходе из регенератора и по невязкам теплового потока позволяют сделать выбор в пользу модели 4, в которой для замыкания сопряженной задачи используется уравнение

(14) при щ = 4.

Решение сопряженной задачи (1)-(8), (14), (15) состоит из решения краевой задачи (1)-(6), (14) (общее решение см.[4, 8]):

в. (х, у,Ж°) = 2

да X

mj =1 Бх nj =1 Б

+

+ ехр

-(^. +г2пі/І?)Р° 'в( ,Гп. ,0)

/ \ Гео«Хит .х) при v =-1/2, і і і і

Здесь КхКхЬ{ J0Х‘т.ї) при у = 0; КУ<М= «°Ьп.УЬ

¥; = ехр

■ С

ц2 +у2 /і2 Жо

ті пі 1

Жо

■ { Ж. ехр 0

йц\

82х = }х2у+1 КХ(.х)йх ; 0

Б 2=/К 2 Х'піу )• йУ;

1 і ж. = 2 ;

і=0

йі = Ві-п>,іКхімт: )2Сі,кик ; і к=0

Сі,0 = 2 Зі,іу0 ; і=0

1

сі,1 = ±2і• Зі,іу0- ; і=1

Сі,2 =2(2 • і -1)' Зі,іу0-2 ; і=2

Сі ,3 =± Зі ,3; ик = |ук Ку Х'п.у)йу;

0

ві(ит. ,уп. ,0) - изображение начального температурного поля в ^м периоде (подробнее см. [9]).

Решение задачи конвективного переноса энергии (7), (8), (15) (индекс номера периода ] опущен):

(г, ро) = ехр(- 4 г) 2 gt ,0 (ро - А1 г У +

г=0

* К (п ) * 1 I И

+ 4 2 *пШУ 5 -Т-! 2^В(у)-В((у0)• ехр(- 4г)]

от=1 и=132 [г=0

+ 2 ^ 2^ [к - г (у)-(Ро - [1 г)вк - г (у0 )ехр(- 4 г)]+ (17)

г=1 г!к=г

+

•[ (Пот, Ги,0) - Щ0 ]ехр[- ( + Л1 & )• Ро[)^ ] )-

(У0 ). ехр[- [2 г + [1 г( + гИ & )]}.

Здесь

Щ = [ - ( -1). Щ+1 ] + гИ&); Вщ = йщ/(п^ + уЦ&);

о() [2 Ку (Ги")± $Г(") о() . ^И - [2 )ку ('и«)+ 2 [2 $Г(")

в0 (")=----2 12----------; в1(н)=А1------------71—22--------;

Гп + 4 ( + 4 )

о ( ) л2 4 - 3^И4Ку(Ти")± (3[2 - ГИ2К(и)

В2 (и)=4 (4) ;

и ( ) ,(3 (б[2 гИ - А2 - )ку(Ти")± 4(^И2 - [2К(и)

В3 (и)=4 (+4) ;

4 [ + 5ГИ - 10Л2гИ )[2Ку (Ги«)± (р4 +А -10^2 ГИ К(")

в4(и)=41 (4) ;

В„(«)= [[2 - 4|("'" + [^('И")±!';Г(“) ; 3г(и)=Г™()«).

гИ + [4 - 4 ( +г11 & У

Полученные выражения (16) и (17), как сказано выше, представляют собой математическую модель односекционного регенератора.

Выводы

1. Рассмотрены несколько функций в качестве уравнения для замыкания сопряженной задачи циклического конвективного теплообмена твердого двумерного тела с холодным и горячим теплоносителями.

2. Построенные математические модели регенератора с каждым из рассмотренных замыкающих сопряженную задачу уравнений использованы для теплового расчета лабораторного многосекционного регенератора.

3. Выбор наиболее точного уравнения для замыкания сопряженной задачи производился по таким критериям: невязки по тепловому балансу насадки и теплоносителей, качественное и количественное совпадение расчетных и опытных значений температур теплоносителей на выходе из регенератора; сходимость итераций теплового расчета по математической модели.

4. Наиболее точные результаты теплового расчета регенератора получены с помощью модели, в которой для замыкания использованы степенные функции температуры теплоносителей от продольной координаты и времени -уравнение (14).

Summary

A mathematical model of the regenerator is a solution of the conjugate problem of cyclic heat transfer between a matrix and both cold air and hot gas. The conjugate problem include both the heat conductivity in matrix problem and the convective heat transfer in air/gas problem is decided by the method of sequence substitution of one problem’s solution in other of the problems. The conjudate problem is need additional equation because of unclosing the method. Some equations for closing the conjugate problem of cyclic heat transfer between a solid body and both cold air and hot gas are considered. Choosing more exactly closing equation made by correlation calculated results with experimental data. Criteria of the choosing are discrepancy in heat balance between the solid and both the air and the gas, agreement between calculated results of the gases outlet temperature and experimental data these parameters, converging of a mathematical model. The solution of the conjugate problem with the chosen closing equation is given.

Литература

1. Хаузен Х. Теплопередача при противотоке, прямотоке и перекрестном токе. Пер. с нем. И.Н.Дулькина. - М.: Энергоиздат, 1981. - 384 с.

2. Кирсанов Ю.А., Волченко К.М., Низамова А.Ш. Метод экпериментального исследования теплоотдачи пакета параллельных пластин // Изв. вузов. Проблемы энергетики. - 1999. - № 5 - 6. - С. 19-23.

3. Кирсанов Ю.А. Влияние нестационарности и неоднородности температурных полей в стенке на температуру потока теплоносителя // Изв. вузов. Авиационная техника.- 1997.- № 2.- С. 75-79.

4. Кирсанов Ю.А. Циклический сопряженный теплообмен потоков теплоносителей с твердым телом // Изв. РАН. Энергетика.- 1998.- № 5.- С. 113119.

5. Волченко К.М., Кирсанов Ю.А., Низамова А.Ш. Экспериментальная проверка математических моделей регенеративного воздухоподогревателя // Изв. вузов. Проблемы энергетики. - 2001. - № 5 - 6. - С. 19-30.

6. Кирсанов Ю.А., Волченко К.М., Низамова А.Ш. Циклическая теплоотдача пакета гладких пластин // Изв. вузов. Авиационная техника.- 2001.- № 2.- С. 3943.

7. Кирсанов Ю.А., Волченко К.М., Низамова А.Ш. Математическая модель регенеративного воздухоподогревателя для исследования теплоотдачи пакета параллельных твердых тел // Изв. вузов. Проблемы энергетики. - 1999. - № 9 -10. - С. 3-10.

8. Кирсанов Ю.А. Математическое моделирование тепловых процессов в регенеративном воздухоподогревателе // Теплоэнергетика.- 1999.- № 1.- С. 5154.

9. Кирсанов Ю.А. Двухмерная теплопроводность в твердом теле при циклических четырехпериодных граничных условиях третьего рода // Изв. РАН. Энергетика.- 1996.- № 2.- С. 69-74.