Выбор портфеля с учетом горизонта инвестирования Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Инвестиционная деятельность

выбор портфеля с учетом горизонта инвестирования

В статье предлагается новый подход к построению оптимального портфеля с учетом инвестиционного горизонта. Эта теория основана на существующей модели Тобина-Марковица и расширяет ее на случаи, когда происходит балансирование портфеля и последовательное реинвестирование капитала. Также вводится альтернативное определение колеблемости временного ряда, отличное от стандартного отклонения, основанное на соотношении между средним арифметическим и средним геометрическим конечного ряда положительных чисел. Помимо этого, в статье приводится аналогия теории САРМ, методика расчета коэффициентов Шарпа для модели с учетом инвестиционного горизонта и альтернативным вариантом колеблемости, а также результаты ретроспективного анализа исторических данных российского фондового рынка в контексте этой теории.

Ключевые слова: инвестиционная деятельность, портфельный анализ, риск-менеджмент, диверсификация, оптимизация портфеля, CAPM.

Постановка задачи

Целью портфельного анализа является максимизация дохода от инвестиций при минимизации риска. Решение этой задачи частично было рассмотрено в работах Тобина и Марковица, суть этого решения сводилась к максимизации выборочного математического ожидания доходностей портфеля внутри предыдущего исторического периода при фиксированном значении дисперсии, либо же, наоборот, — минимизация дисперсии доходностей

Л.П. ЯНОВСКИЙ, доктор экономических наук, профессор Воронежский государственный аграрный университет

С.Н. ВЛАДЫКИН, аспирант Институт менеджмента, маркетинга и финансов, г. Воронеж

при фиксированном значении математического ожидания.

Такому методу расчета соответствует стратегия, когда инвестор на каждом атомарном расчетном периоде приводит свой портфель в исходное состояние, т. е. в зависимости от результата этого периода либо выводит полученную прибыль, либо инвестирует дополнительно сумму, равную полученному убытку, а также восстанавливает пропорции портфеля, которые могли быть нарушены вследствие изменения стоимостей составляющих его инструментов. Очевидно, что такая модель инвестиций подходит вовсе не каждому, так как не учитывает возможности реинвестирования капитала (с учетом прибылей или убытков, полученных ранее), а также не учитывает возможности восстановления пропорций портфеля внутри инвестиционного периода. Соответственно возникает потребность в более универсальной методике, удовлетворяющей потребности более широкого круга инвесторов.

В статье обозначены границы применимости классической портфельной теории Тобина-Мар-ковица, предложено ее обобщение, устраняющее ранее названные недостатки, а также приведен аналог теории САРМ, основанный на обобщенном варианте портфельной теории. Актуальность темы связана также с тем, что на сегодняшний день модель Тобина-Марковица и теория САРМ являются наиболее популярными и значимыми, составляя основу современной портфельной теории, однако

со времени их создания прошло уже порядка пятидесяти лет, и с тех пор никаким принципиальным усовершенствованиям они не подвергались.

Для наглядности приведем пример, когда портфель с положительной средней доходностью может быть убыточен для долгосрочного инвестора, если не учитывается горизонт инвестирования. Пусть долгосрочный первый инвестор вкладывает единицу капитала в портфель Тобина-Марковица на два периода, а второй краткосрочный инвестор вкладывает в каждом периоде в портфель Тоби-на-Марковица единицу капитала сроком на один период. Предположим, что в первом периоде потери портфеля составили 50 % капитала, а во втором периоде доходность портфеля составила 70 % вложенных средств. Тогда в результате потери первого инвестора за два периода составили 1 — 0,5 1,7=0,15, т. е. 15 % первоначального капитала, а прибыль второго инвестора (0,5+1,7) — 2=0,2, т. е. 10 % годовых от вложенного за два года капитала.

Таким образом, максимизация арифметической средней доходности в долгосрочном периоде, состоящем из N краткосрочных периодов (критерий Марковица), не означает, что построенный портфель даст наибольший рост капитала за тот же период. Наибольший прирост капитала за N периодов обеспечит портфель с максимальным средним геометрическим темпом прироста капитала Т, т. е. портфель для которого

ТР = N П о+а).

(1)

совпадающего с темпом прироста в случае постоянного роста капитала в каждом периоде (так же, как для случая максимизации среднего арифметического значения доходности абсолютно устойчив портфель с нулевой дисперсией, когда все значения совпадают со средним). Так как для портфеля с постоянным темпом прироста капитала выражение (1) совпадает со средней арифметической доходностью (среднее арифметическое совпадает со средним геометрическим), то колеблемость портфеля V можно определить выражением:

¥ = 1 --

Тр

I (1 + 4)/N

(2)

где d¡ — доходность портфеля в ¿-м периоде (положительная или отрицательная), измеренная в долях капитала в конце (¿-1) периода; (1+^.) — окупаемость портфеля за ¿-й период.

Следовательно, максимизация средней арифметической доходности в портфеле Марковица-Тобина: во-первых, дезориентирует наивного инвестора, ожидающего в каждом периоде среднего роста капитала, соответствующего средней доходности; во-вторых, долгосрочный инвестор, использующий портфель Тобина-Марковица, строит (на исторических данных) портфель не с максимально растущим приростом капитала, а с ростом капитала меньше максимального, так как для портфеля Тобина-Марковица не выполнено условие (1).

Далее, очевидно, что устойчивость роста капитала портфеля связана не с разбросом доход-ностей вокруг среднего значения, а с отклонением Тр — среднего геометрического темпа прироста капитала за долгосрочный период от показателя,

Очевидно, что колеблемость V> 0 в силу соотношения между средним арифметическим и средним геометрическим конечного набора положительных чисел.

Преимуществом такого метода расчета колеблемости является то, что при уменьшении атомарного периода ее значение будет уточняться, а не изменять своего масштаба, как это происходит в случае расчета дисперсии.

Портфели с оптимальным темпом роста капитала

Сформулируем теперь оптимизационную задачу построения портфеля с оптимальным темпом роста капитала.

Пусть существует набор из k финансовых инструментов, предназначаемых для использования в портфеле. Предположим, что имеется информация по N наблюдениям (обучающей выборке для построения портфеля с оптимальным темпом роста). Обозначим цену ¿-го инструмента в у'-й период за dij. Тогда окупаемость ¿-го инструмента ву'-й период определяется выражением:

а.

(3)

а

и-1

где . = 1...^ у'=1...Ж

Обозначим А долю ¿-го инструмента в портфеле инвестора. Тогда задача нахождения оптимального портфеля с параметрами А состоит в максимизации среднего темпа роста портфеля за исторический период, состоящий из N наблюдений при фиксированном уровне риска портфеля — отклонении среднего темпа роста (среднего геометрического доходностей за N периодов) от арифметической средней доходности:

¡=1

1=1

Q =

П -1

j=1 i=1

N

■> тах,

V = 1 -

v

П dVj)

j=1

N k

< const,

(4)

(5)

(Ц^Х,)/N

,=1 1=1

где Q — средний темп роста портфеля V — колеблемость портфеля.

Если портфель финансовых инструментов не предполагает «коротких продаж», т. е. игры на понижение цены инструмента, то к условиям (4), (5) добавляется условие:

Х1 > 0, (6)

где i = 1,2..

К сожалению, построение портфеля с оптимальным темпом роста сводится к решению задачи нелинейного программирования, а не квадратичного программирования, как задача построения портфеля Тобина-Марковица. Но современные программные средства позволяют преодолеть вычислительные сложности поиска набора параметров оптимального портфеля.

В отличие от портфеля Марковица, где колеблемость портфеля вычисляется через дисперсию, учитывающую только парные взаимодействия между инструментами, в задаче (4), (5) в определении колеблемости учитывается взаимодействие всех инструментов портфеля. Таким образом, появляется возможность учесть и вероятности катастрофических событий («риски айсберга»), возникающих при неблагоприятном сочетании нескольких факторов.

Как и в модели Тобина, один из финансовых инструментов может предполагаться безрисковым, а темп роста цены этого инструмента будет в данном случае постоянным в течение всех N периодов. Если предположить, что одним из инструментов, скажем, являются денежные резервы портфеля, а вторым инструментом является участие инвестора в некотором рискованном инвестиционном проекте (например, работа на протяжении N периодов некоторой торговой системы на финансовом или фондовом рынке), то решение задачи (4) сводится к определению оптимальной доли участия инвестора в рискованном инвестиционном проекте для получения максимального темпа роста капитала инвестора за Nпериодов с учетом степени рискованности стратегии (5). Похожая задача нахождения оптимальной доли участия капитала в проекте рассматривалась в работах Ральфа Винса [7], однако в этих работах

оптимальная доля инвестирования связывалась с максимальными потерями, допускаемыми инвестором в процессе инвестирования.

Итак, краткосрочный портфельный инвестор, входящий в рынок, например, ежедневно с определенной фиксированной суммой денежных средств и закрывающий свои позиции в конце рабочего дня, может руководствоваться моделью Тобина-Марковица для средней арифметической дневной доходности портфеля, а долгосрочный инвестор, вкладывающий определенную сумму средств, например на год, может ориентироваться на портфель, для которого выполняются условия (4), (5), с максимальным дневным темпом роста (средней геометрической дневных доходностей).

Для теории управления капиталом это означает, что инвестор, реинвестирующий весь капитал, полученный в прошлом периоде, придерживается стратегии портфеля с оптимальным геометрическим темпом роста, а инвестор, инвестирующий в каждом периоде фиксированную сумму капитала, использует модель Тобина-Марковица.

Графический анализ оптимальных портфелей, для которых выполняются условия (4) и (5), приведен на рисунке.

Q

Q2

Q1

0

1

В

А

1 Q6e3p

Vmi„ Vmax 1 ■

V

Графический анализ оптимальных портфелей Обозначения: Vm¡n — минимальная возможная колеблемость для данной совокупности активов без участия безрисковой составляющей; Vmax — максимальная возможная колеблемость для данной совокупности активов без участия безрисковой составляющей; <26ер — средний темп роста безрискового вложения;

01 опт — средний темп роста оптимального портфеля без участия безрисковой составляющей при минимальной колеблемости;

02 опт — средний темп роста оптимального портфеля без участия безрисковой составляющей при максимальной колеблемости; А — точка, характеризующая оптимальный портфель без участия безрисковой составляющей при минимальной колеблемости; В — точка, характеризующая оптимальный портфель без участия безрисковой составляющей при максимальной колеблемости; Обе,зрАВ (область треугольника) — возможные портфели с участием безрисковой компоненты.

Портфели с оптимальным горизонтом реинвестирования

Рассмотрим поведение инвестора с промежуточным горизонтом инвестирования капитала. Предположим, что общее число рассматриваемых периодов равно N, но горизонт реинвестирования капитала для инвестора равен m периодам. Для простоты изложения будем считать, что n = N/m является целым числом.

Тогда задача максимизации темпа роста постоянного портфеля за N периодов инвестора (все периоды) с промежуточным горизонтом инвестирования сводится к максимизации дохода, приходящегося на один элементарный период при колеблемости не более заданной и неизменных X, т. е. к максимизации выражения:

n m

Q

m

при условии:

I (П (IV* )-1)

s=1 j=1 i=1

N

■> max,

(7)

N

V = 1 --

П IK

< const,

(8)

1,

Транзакционные издержки

Для практического применения представленных ранее алгоритмов следует в формулу (7) включать постоянные издержки по переформированию портфеля в конце каждого атомарного периода и каждого периода длины т. Эти издержки прямо пропорциональны количеству периодов N количеству подпериодов п и состоят из биржевых сборов, вознаграждения брокера и издержек выхода из рынка и входа в рынок, зависящих от степени ликвидности (спрэда) каждого инструмента, входящего в портфель.

Так как в числителе формулы (7) обозначен полный доход за все время инвестирования, то, обозначив общий размер транзакционных издержек переменной Р, получим формулу для расчета темпа роста капитала за элементарный период:

I (П (IVj) -1) - р

Qm

m

s=1 j=1 i=1

N

(9)

Отметим, что величина Р в данном случае определяется в относительных единицах, т. е. вычисляется по формуле:

(Ц^)/N

^=1 1=1

где Qm — темпы роста капитала с учетом горизонта реинвестирования капитала, длиной т — атомарных периодов;

P = P,

Y

(10)

^ — номер подпериода длиной т.

Для т = 1 (п = N задачи (7) и (8) превращаются в классическую модель нахождения оптимального портфеля Тобина-Марковица.

В данном случае может быть поставлена содержательная задача оптимального выбора горизонта инвестирования длины т.

Задача формулируется следующим образом: найти число интервалов инвестирования в портфель с постоянными параметрами А, для которого максимален рост капитала за элементарный период, который рассчитывается по формуле (7) при выполнении условия устойчивости роста (8).

Решением задачи является оптимальный интервал инвестирования топт портфеля. Оптимальный интервал инвестирования можно «строить» для отдельных инструментов, фиксированных наборов инструментов, отраслевых индексов и рыночного индекса в целом.

где РА — общая величина транзакционных издержек, выраженная в денежных единицах, а Y — денежная стоимость единицы капитала, по сути, равная изначальному размеру размещаемого капитала.

Порядок расчета транзакционных издержек специфичен для каждого брокера, поэтому единой методики их определения не существует. Тем не менее наиболее простыми и распространенными подходами являются либо фиксированная стоимость обслуживания за период времени при отсутствии комиссии на торговые операции, либо некая комиссия на торговые операции в виде определенного процента от объема каждой сделки.

В первом случае величина транзакционных издержек будет определяться по формуле:

P1

P = — • N,

1 Y

(11)

где РА — денежная стоимость одного элементарного периода.

Во втором случае величина транзакционных издержек рассчитывается по формуле:

P = Р • (1+ I

П (IV*) -1

j=1 i=1

N-1 k

+II

s=1 i=1

К

1 i=1

i=1

s=1

• (П ) - П )

1=1 }=у 1=1

хт), (12)

где р — это доля от объема сделки, удерживаемая брокером;

у — начало подпериода длиной т для текущего атомарного периода 5.

Данная формула формируется следующим образом. Необходимо учесть издержки на изначальное размещение денег (первое слагаемое, равное единице). Далее в каждом периоде длиной т (кроме последнего), происходит балансирование инвестированной суммы до изначального значения вне зависимости от знака дохода за этот период (второе слагаемое). Также необходимо учесть балансирование портфеля в каждом атомарном периоде, связанное с изменением стоимостей инструментов и соответственно нарушением пропорций портфеля (третье слагаемое). В последнем периоде необходимо перевести итоговую сумму обратно в денежные единицы (четвертое слагаемое).

Также зачастую используется комбинированная схема, когда присутствуют и постоянные издержки, и зависимые от объема торговых операций. В этом случае общие издержки определяются по формуле:

Р = Р + р2. (13)

Коэффициенты Шарпа с фиксированным горизонтом реинвестирования(аналогтеории САРМ)

По аналогии с подходом Шарпа введем для рыночного инструмента два параметра: 81т и 82т. Параметр 81т отвечает за темп роста инструмента при горизонте инвестирования т по сравнению с темпом роста индекса всего рынка с тем же горизонтом инвестирования:

О'инстр О'безр + 81 крынка О'безр(14)

где Q тнстр — темп роста инструмента или портфеля при горизонте инвестирования т;

Ш6езр — темп роста безрискового вложения;

Qm — темп роста всего рынка при горизонте

рынка * г г г

инвестирования т.

Далее если:

81т < 0, то это свидетельствует о том, что темп роста при горизонте инвестирования т меньше

безрискового вложения Ш тнстр < (бе.зрУ; 8Г = 0 то это означает, что темп роста инструмента с горизонтом инвестирования т совпадает с темпом роста безрискового вложения (Шт = (О, ); 8,т

г г инстр ^безр" 1

< 1, то это позволяет сделать вывод о том, что темп роста инструмента с горизонтом инвестирования т

меньше темпа роста всего рынка (( т < (т );

инстр рынка

81т = 1, то это означает, что темп роста инструмента совпадает с темпом роста всего рынка, с тем же

г°ризонтом инвестир°вания (Штнстр = (трынка); 8Г

> 1, то это определяет ценную бумагу с горизонтом инвестирования т, опережающую по темпу роста рынок в целом при горизонте инвестирования

длины т (Ш тнстр > Отынка)

Необходимо отметить, что величина 81т имеет смысл только в случае выполнения условия при темпе роста рынка больше темпа роста безрискового вложения (ШтрьШка > Шбезр).

Параметр 82т отвечает за колеблемость инструмента по сравнению со степенью колеблемости всего рынка при горизонте инвестирования длины т:

(15)

V11 =8т • V11

инстр 2 рынка'

где Утинстр — колеблемость инструмента или портфеля;

Vm — колеблемость рынка.

рынка

Далее если:

82т = 0, то это означает, что устойчивость инструмента максимальная и совпадает с устойчивостью безрискового вложения, т. е. равна нулю; 82т < 1, то это означает, что устойчивость инструмента выше устойчивости всего рынка (защитная ценная бумага); 82т = 1, то это означает, что устойчивость инструмента совпадает с устойчивостью всего рынка (Ут = ); 8т > 1, то это определяет

инстр рынка 2

ценную бумагу с колеблемостью, превышающей колеблемость всего рынка (бумага с повышенным риском вложения).

Расчеты для инструментов российского фондового рынка

Рассмотрим результаты описанных ранее расчетов для некоторых инструментов фондовой секции ММВБ. Определим оптимальные периоды инвестирования в обыкновенные акции российских эмитентов, а также коэффициенты Шарпа с фиксированным горизонтом инвестирования. В расчете принимали участие последние 240 торговых дней 2007 г., т. е. практически полный торговый год. Для расчета коэффициента величина безрисковой ставки бралась равной 5 %, для расчета транзакци-онных издержек величина брокерской комиссии принималась равной 0,08 % от объема сделки (тарифы ЗАО «ВТБ24» на 20.01.2009).

В табл. 1 и 2 приведены соответственно наилучшие и наихудшие длины периодов инвестирования.

1 1=1

Таблица 1

Наилучшие длины периодов инвестирования для инструментов российского фондового рынка

Акция эмитента Длина периода (количество дней) Количество периодов Средний дневной доход Транзакционные издержки Итоговый доход Колеблемость

Ростелеком 240 1 0.00195322 0.00197660 0.46877350 0.00010397

Аэрофлот 30 8 0.00177144 0.00241595 0.42514556 0.00017857

НК Роснефть 1 240 0.00006622 0.00400259 0.01589311 0.00013329

Газпром 12 20 0.00101107 0.00234383 0.24265720 0.00013056

Норильский никель 240 1 0.00220628 0.00202523 0.52950631 0.00023167

Лукойл 12 20 0.00018656 0.00229414 0.04477433 0.00014049

Таблица 2

Наихудшие длины периодов инвестирования для инструментов российского фондового рынка

Акция Длина периода Количество Средний дневной Транзакционные Итоговый Колеблемость

эмитента (количество дней) периодов доход издержки доход

Ростелеком 10 24 0.00168144 0.00226735 0.40354610 0.00010397

Аэрофлот 120 2 0.00158944 0.00190670 0.38146556 0.00017857

НК Роснефть 240 1 -0.00005673 0.00159038 -0.01361494 0.00013329

Газпром 120 2 0.00093259 0.00178048 0.22382130 0.00013056

Норильский никель 48 5 0.00192709 0.00197158 0.46250261 0.00023167

Лукойл 240 1 0.00003011 0.00160707 0.00722651 0.00014049

В табл. 3 представлены коэффициенты Шарпа с фиксированным горизонтом инвестирования, рассчитанные относительно индекса РТС.

Как показано в табл. 1, 240 дн. являются оптимальной длиной периода инвестирования в акции кампании «Ростелеком». Так как в данном расчете 240 дн. — это максимальная длина периода, то имеет смысл рассматривать и более длительные периоды. По доходности инструмент превосходит рынок почти в два раза, тогда как колеблемость незначительно больше.

Для акций кампании «Аэрофлот» можно сделать вывод, что длина периода инвестирования в 30 дн. является наиболее оптимальной. Инструмент является более доходным по сравнению с рынком в целом, но его колеблемость превышает рыночную в два раза.

Результаты расчетов для акций НК «Роснефть» показывают, что данный инструмент во всех слу-

чаях является менее доходным, чем безрисковый актив, при колеблемости больше рыночной, а при длительных периодах инвестирования и вовсе становится убыточным.

Акции кампании «Газпром» даже при оптимальной длине периода инвестирования в 12 дн. являются менее доходными, чем рынок в целом, при более высокой колеблемости.

ГМК «Норильский никель» является наиболее доходным инструментом при горизонте инвестирования в 240 дн., доходность превышает рыночную больше чем в 2 раза, колеблемость тоже значительно выше, таким образом, его можно отнести к высокодоходным, но высокорисковым инструментам.

Расчеты по акциям кампании «Лукойл» показывают, что доходность этого инструмента была меньше, чем доходность безрискового актива на любых инвестиционных горизонтах.

Таблица 3

Коэффициенты Шарпа с фиксированным горизонтом инвестирования для инструментов российского фондового рынка

Акция эмитента Наилучшие значения Наихудшие значения 82т

Длина периода (количество дней) Количество периодов 81" Длина периода (количество дней) Количество периодов 81я

Ростелеком 240 1 1.92702463 10 24 1.70589093 1.21200000

Аэрофлот 30 8 1.61194545 120 2 1.64707712 2.08162801

НК Роснефть 1 240 -0.13403474 240 1 -0.27361036 1.55378449

Газпром 12 20 0.91958659 120 2 0.87223621 1.52190566

Норильский никель 240 1 2.20408503 48 5 2.03166649 2.70057971

Лукойл 12 20 -0.00434833 240 1 -0.17853257 1.63771511

Таблица 4

Оптимальный порте >ель для акций ММВБ

Период реинвестирования (количество недель) Портфель акций эмитентов 1-я половина 2007 г. 2-я половина 2007 г.

Q V Q V

24 Аэрофлот — 14,1 % Лукойл - 24,6 % Роснефть — 3,2 % Ростелеком — 58,1 % 0.00676 0.0003 0.00439 0.00022

12 Аэрофлот — 13,9 % Газпром — 0,5 % Лукойл — 21 % Роснефть — 6 % Ростелеком — 58,6 % 0.00661 0.0003 0.00446 0.00022

6 Аэрофлот — 13,6 % Лукойл — 21,6 % Роснефть — 6 % Ростелеком — 58,8 % 0.00649 0.0003 0.00474 0.00022

Приведем пример расчета оптимального портфеля для инструментов российского фондового рынка ММВБ с использованием генетического алгоритма. Генетический алгоритм представляет собой стохастический метод оптимизации путем последовательного подбора, комбинирования и вариации параметров с использованием механизмов, напоминающих биологическую эволюцию. Отличительной особенностью генетических алгоритмов является акцент на использование оператора «скрещивания», который производит рекомбинацию параметров решений-кандидатов, что является аналогом скрещивания в живой природе. В нашем случае оптимизируемой величиной будет доходность, а параметрами (генами) соответственно весовые коэффициенты А,. Для реализации этой задачи будем использовать встроенные средства пакета научных программ для численных расчетов SciLab.

В расчете принимали участие обыкновенные акции следующих эмитентов: Аэрофлот, Северсталь, Газпром, Норильский Никель, Лукойл, МТС, Полюс Золото, Роснефть, Ростелеком, Сургутнефтегаз. В табл. 4 приведены результаты расчетов оптимального портфеля за первые 24 нед. 2007 г. при различных инвестиционных горизонтах (периодах реинвестирования), проверка качества портфелей производилась в следующие 24 нед. В данном случае колеблемость ограничивается сверху значением 0,0003, а доходность максимизируется, атомарный период — одна неделя.

Следует отметить, что результаты, представленные в табл. 4, получены без учета транзакци-

онных издержек, которые в значительной степени

зависят от периода реинвестирования.

Список литературы

1. Markowitz H. M. Portfolio Selection // Journal of Finance. 1952. Vol. 7, №1. P. 77-91.

2. Markowitz H. M. Mean-variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Market. Oxford; N. Y.: Blackwell, 1987. P 387.

3. Markowitz H. M. Portfolio Selection. Efficient Diversification of Investments. Oxford; N.Y.: Blackwell, 1991. P 384.

4. Tobin J. The Theory of Portfolio Selection. London: Mac Millan, 1965. P. 3-51.

5. Sharpe W. F. A Simplified Model for Portfolio Analysis // Management Science. 1963. Vol. 9, №2. P. 277-293.

6. Шарп У., Александер Г., Бейли Д. Инвестиции. М.: Инфра-М, 1997.

7. Ралыр Винс Новый подход к управлению капиталом. М., 2003. 132 с.

8. Samuelson, Paul al. The «Fallacy» of Maximizing the Geometric Mean in Long Sequences of Investing or Gambling. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, Vol. 68, No. 10, October, 1971, p. 2493-2496.

9. Thorp, Edward 0. The Mathematics of Gambling. Gambling Times, Hollywood, California, 1984.