CC BY
29
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том VII
19 7 6
№ 6
УДК 532.57:621.375.8
ВЫБОР ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ЛАЗЕРНОГО ДОППЛЕРОВСКОГО ИЗМЕРИТЕЛЯ СКОРОСТИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
В I части статьи* изложена методика оптимальной обработки результатов определения скорости потока при помощи ЛДИСа с учетом веса точности единичного измерения. Показано, что для уменьшения собственных шумов системы ЛДИСа (эквивалентных степени турбулентности потока) необходимо ограничивать эффективную ширину измерительного объема ЛДИСа. Это может быть реализовано, например, при использовании амплитудной селекции сигналов ЛДИСа. Решена задача выбора оптимального уровня порога амплитудного селектора для квазиоптимальной системы дискретного измерения допплеровской частоты. Результаты проведенного анализа указывают на возможность исследования методом лазерно-допплеровского измерения скорости потоков с малой степенью турбулентности
Во II части рассмотрена задача выбора оптимальных параметров ЛДИСа с учетом концентрации светорассеивающих частиц в изучаемых потоках. Исследовано влияние наложений сигналов от двух частиц на точность измерения и указаны пути селекции таких сигналов, содержащих заметную погрешность. Показано, что при рациональном выборе интенсивности потока светорассеивающих частиц и соответствующей селекции обеспечиваются малые погрешности (до 0,01%), как и при одночастичном режиме работы ЛДИСа.
II. ВЛИЯНИЕ НАЛОЖЕНИЯ СИГНАЛОВ ОТ ДВУХ ЧАСТИЦ НА ТОЧНОСТЬ ЛАЗЕРНОГО ДОППЛЕРОВСКОГО ИЗМЕРЕНИЯ
СКОРОСТИ
1. Как подчеркивалось в I части, минимальная погрешность лазерного допплеровского измерения скорости достигается при одночастичном режиме работы [5—10]**. В случае прохождения измерительного объема одновременно несколькими светорассеивающими частицами вследствие случайности начальной фазы
* Часть I опубликована в .Ученых записках ЦАГИ“, т. 7, № 5, 1976.
** Формулы (1) —(33), фиг. 1—4 и список литературы с [1] по [18] приведены в части I статьи.
Г. Л. Гродзовский
сигнала от дискретной частицы суммарный сигнал ЛДИСа содержит так называемые фазовые шумы [5—7], которые могут существенно повысить погрешность измерения. Поэтому важно рассмотреть условия, при выполнении которых режим работы ЛДИСа будет практически одночастичным.
Поток светорассеивающих частиц в аэрогазодинамическом эксперименте можно рассматривать как пуассоновский, для которого вероятность обнаружения k частиц в интервале времени Т составляет [13, 19]:
Р{к,Т)^Ш^л (34)
где Т—характерное время пролета частицы через измерительный объем, М— интенсивность потока частиц через измерительный объем ЛДИСа, уровень сигнала от которых превышает порог чувствительности измерительной системы.
Отметим, что величину М можно регулировать в широких пределах как путем изменения концентрации п вводимого в исследуемый поток аэрозоля [7], так и выбором параметров ЛДИСа.
Условная вероятность реализации в интервале времени Т одночастичного режима (при условии, что в интервале Т присутствуют светорассеивающие частицы) составит
Р =P(k=* 1 /fe>0) = Р{1' Т)- =Sf—-1 V \ ^ ) J р(0> г) ъмт_J
Видно, что при малых значениях параметра МТ 1 вероятность реализации одночастичного режима работы ЛДИСа приближается к единице; с точностью до членов второго порядка р —____2
2 + МТ '
Однако уменьшение параметра МТ (уменьшение числа измерений величины М в единицу времени) ограничивает информативность результатов измерений. Рассмотрим влияние величины параметра МТ на погрешность измерения, вызываемую частичным наложением сигналов от двух частиц. Влиянием редких наложений в интервале Т сигналов от трех и более частиц пренебрегаем, так как их вероятность много меньше вероятности наложения сигналов от двух частиц (34). Задачу рассматриваем в следующей модельной постановке: при постоянной скорости потока [v = const), при постоянной (осредненной) амплитуде сигнала от каждой частицы, без учета взаимного влияния дробовых и фазовых шумов. Для такой постановки в работе [20] в интервале Т (определенном уровнем порога) найдено среднеквадратичное отклонение допплеровской частоты
'' У ..
— и показано, что величина этой погрешности в основном
"Д J
зависит от промежутка времени t... между смежными частицами. Проведем аналогичные выкладки для рассмотренной выше квази-оптимальной системы дискретного измерения допплеровской частоты сигнала ЛДИСа.
Согласно соотношению (16) сигналы от двух смежных частиц запишем в виде
h (t) = exp
-4U-4
cos 2™да 2 ]/2 — -Tpj ;
I2(i) = exp
4U +
72 \ 2
2 J
cos2nvna 2 ]/ '2 \t -\~ 4|-j .
Здесь £ =—%=- и ^ , где 21/2а —оптимальная длительность
2/2а 2/2а
временного интервала измерения 7'ор1.
6 л ю* In, =е1
о,ь / // \ XX г
0,4 1 л
0,1 С -
1 _ лс с
0,5
1,0
Фиг. 5
При наложении двух таких сигналов от смежных частиц суммарный сигнал определяется известными соотношениями (см., например, [21]):
/, -f /, = U (t) cos I2*vfl£ + <р(0];
£/(£) = exp [—(4^2 + Q] \ exp(8z^*) + exp (—8^*) + 2cos2k&;
exp (—877*) - I
<p (/) = arctg
exp ( — 8/ 7*)+ 1
tg 7Г)>
где 0 —сдвиг фаз между сигналами /, и /,.
Сдвиг фазы суммарного сигнала в точках ta пересечения амплитуды сигнала и(Т) с уровнем порога Д,
иО п) = /п
определяет влияние наложения сигналов от двух частиц на погрешность а,; дискретной системы измерения допплеровской частоты сигнала ЛДИСа [7—9]:
2^ (^ni ^пг)
Отметим, что если уровень порога пересекает амплитуду суммарного сигнала ив четырех точках, то погрешность измерения определяется для каждой частицы.
В качестве примера на фиг. 5 приведены средние величины относительной дисперсии измерения допплеровской частоты <з^ в зависимости от промежутка времени между смежными частицами для двух значений уровня порога /п1 == е-1 (верхняя сплошная кривая) и /п2 = е-2 (пунктирная кривая) при 7^ = 20.
Относительную дисперсию можно значительно уменьшить, если селектировать сигналы, образующиеся при наложении сигналов от двух частиц. В качестве селектирующего признака можно использовать, например, ситуацию четырехкратного пересечения суммарным сигналом 11(1) уровня порога селекции /п. с в течение интервала времени Тг На фиг. 5 показано уменьшение дисперсии а2, при селекции на уровнях 7П. с = е-1/2 и 7П. с = е~1/4 в случае 7П1 = е-1. _
Показанная на фиг. 5 дисперсия измерения /(7*) имеет место только при близком (по времени 7ц.) наложении сигналов от двух смежных частиц. Если согласно (34) осреднить по плотности вероятности распределения промежутков времени ts^ между частицами и учесть условную вероятность реализации в интервале времени Т двухчастичного режима, то вызываемая наложениями двух сигналов относительная среднеквадратичная погрешность определится соотношением
т
Р (2, Т) [/(<*) ехр (—ЛГГор4/*) МГор1^*
~2 __________О____________________________ _
[Р{\, Т) + Р(2, Т)) (1 - е~мг)
мт I - - -
= (2 + МТ)(1 е—/(^)ехр (-Л*7,0Р1*,)/И7’0Р(<И,1 (35)
которое при малых значениях МТ можно записать в виде
- МТов1 л _ -
(36)
* о
Согласно данным фиг. 5 при использовании порогов селекции предельные значения Т~Т/Тор1 имеют порядок единицы, т. е. Т^Тор1. Для примеров, иллюстрируемых фиг. 5, в таблице приведены значения интеграла — правой части соотношения (36).
Значения уровня порога Величина г да г л, о Значения уровня порога Величина ? — Ю* | а* Л* І)
Без селекции наложения сигналов С селекцией наложения сигналов двух
двух частиц частиц при /П1 = е-"1
7пі = е-і 0,334 /п. с = е 12 0,236
7п9 = Є 2 0,360 : /п. с = е~1/4 0,168
На фиг. 6 для варианта /п1 —е-1, /п, с = е-,/4 приведены значения относительной среднеквадратичной погрешности в зависимости от параметра МТорі: сплошные кривые — точное решение (35), пунктирная кривая (для «= 20) — по приближенному соотношению (36). Видно, что приближенное соотношение (36) хорошо описывает величину относительной погрешности лазерного допплеровского измерения скорости, вызываемую наложением сигналов от двух
частиц. Данные фиг. 6 показывают, что при использовании селекции „на двугорбость“ амплитуды сигнала ЛДИСа погрешность, вызываемая наложением сигналов от двух частиц, достаточно мала при Ж7’О14-<0,5. В необходимых случаях может быть также использована селекция, основанная на сравнении величин допплеровской частоты, измеренных на всем интервале времени 7'ор1 и на части этого интервала [7].
Согласно соотношениям (35), (36) и данным фиг. 6, относительная погрешность лазерного допплеровского измерения скорости, вызываемая возможным наложением сигналов от двух частиц, естественно возрастает с увеличением интенсивности потока М светорассеивающих частиц через измерительный объем. С другой стороны, с увеличением М повышается информативность измерения в единицу времени и уменьшается погрешность аппроксимации функции изменения скорости потока во времени по результатам дискретных измерений (выборке). В связи с этим существует оптимальный поток частиц М, обеспечивающий минимальную суммарную погрешность [22]. Решение указанной экстремальной задачи зависит от спектра пульсаций скорости исследуемого потока. Например, для однородных и изотропных турбулентных потоков, а также для однородных турбулентных потоков при больших значениях числа Ие нормированная корреляционная функция /?ц продольных пульсаций скорости и' и спектральная плотность мощности пульсаций скорости имеют следующий вид [23—29]:
- ехр (- ;
<-'7с)2 ‘
Для таких потоков, если рассматривать ЛДИС как статистический аппроксиматор [30], вызываемая ступенчатой аппроксимацией относительная среднеквадратичная погрешность измерения составит
и"1 __ и"> Тор1
«2 7’0 М 1А М^ТорО
Согласно соотношениям (36) и (37) суммарная погрешность, обусловленная наложением двух частиц и аппроксимацией, достигает минимума при следующем значении оптимальной интенсивности потока частиц:
ор\МТ0
р‘'
2и'2 7ор1
ц2
То ]'
При
7’о и значениях М7'ор4 порядка единицы погрешность аппроксимации (37)практически отсутствует—система ЛДИСа точно отслеживает переменную во времени скорость потока. В этом случае важным является вопрос о выборе длительности измерения скорости Г*, обеспечивающей определение с заданной точностью средних параметров потока по зафиксированной реализации. Относительная среднеквадратичная погрешность о- определения средней скорости потока и и степени турбулентности V и'2 составит [31-33]:
-- Г* , со вш2 Ч^Т*.
-2 2й'2 (* г> / \ /1 * \ V 1 С л 2
а- _
«3 7',
О \ * / о *
а* = = /?* (,)(1 _ а-,
У «'• «2 Т* 3 v Я 7'* /
При Гор, < Т0 и (А/Гор,Х1 система ЛДИСа измеряет отдельные значения выборки мгновенной скорости потока и (Ь), по которым нельзя найти спектр пульсаций скорости, но можно определить среднюю скорость и и среднеквадратичное значение пульсационной скорости Vи'2 [7]. Относительная погрешность измерения значений и и Vи’2 при этом определяется размером выборки М7\ [13, 19]:
~2 _ _ -2_____ Р5
и*МТ* ’ Ъи* (/ИГ*— 1) ■
В целом результаты исследований показывают, что при рациональном выборе интенсивности потока светорассеивающих частиц и соответствующей селекции обеспечивается получение характеристик, соответствующих одночастичному режиму работы ЛДИСа. Выбор оптимальных параметров и весовая статистическая обработка результатов позволяют эффективно использовать метод лазерного допплеровского измерения скорости для исследования аэродинамических потоков с малой степенью турбулентности порядка 1/ ^«0,001-+-0,0001.
X и?
Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность Ю. А. Зленко и Р. Н. Овсянникову за ценные замечания при обсуждении рассмотренной проблемы.
(Продолжение, начало см. в I части статьи)
19. Б е р н ш т е й н С. Н. Теория вероятностей. М.—Л., Гостех-теориздат, 1946.
20. Б а р и л л Г. А., Соболев В. С., Ж у р а в е л ь С. А. Паразитная частотная модуляция сигналов лазерных допплеровских измерителей скорости при малых концентрациях рассеивателей. В сб. .Когерентно-оптические допплеровские устройства в гидроаэродипа-мическом эксперименте”. Новосибирск, ИАЭ СО АП СССР, 1974.
21. Гон о ров с к ий И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. М., „Советское радио", 1971.
22. Соболев В. С., Тимонин С. А. Об оптимальной концентрации рассеивающих частиц потока. В сб. „Когерентно-оптические допплеровские устройства в гидроаэродинамическом эксперименте*. Новосибирск, ИАЭ СО АН СССР, 1974.
23. К а г m а п Т., Nowarth A. On the statistical theory of isotropic turbulence. Proc. Roy. Soc. (A), vol. 164, N 917, 1938.
24. M и л л и о н щ и к о в М. Д. Вырождение однородной изотропной турбулентности в вязкой несжимаемой жидкости. ДАН СССР, т. 22, № 5, 1939.
25. Л о й ц я н с к и й Л. Г. Некоторые основные закономерности изотропного турбулентного потока. Труды ЦАГИ, вып. 440, 1939.
26. П р а и д т л ь Л. Гидроаэромеханика. М., Изд. иностр. лит.,
1949.
27. Li ерша n Н. On the application of statical concepts to the diffeting problem. JAS, vol. 19, N 12, 1952.
28. Laurence J. C. Intensity, scale and spectra of turbulence in mixing region of free subsonic jet. TR NACA, 1956, N 1292.
29. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М., „Наука", 1965.
30. Постое н ко Ю. К. ЛДИС как статистический аппроксима-тор. В сб. „Когерентно-оптические допплеровские устройства в гидроаэродинамическом эксперименте". Новосибирск, ИАЭ СО АН СССР, 1974.
31. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования. Т. 2. Под ред. В. В. Солодовникова М., „Машиностроение”, 1967.
32. Бенд а т Дж., Пирсол А. Измерения и анализ случайных процессов. М., „Мир”, 1974.
33. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Т. II. М., „Советское радио*, 1975.
Рукопись поступила 23jIV 1976
