О границах Рао Крамера для оценок параметров сигнала ЛДИС Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ 11. А Г И Том IX 19 8 0

М 3

УДК 621.378.525:532.57

О ГРАНИЦАХ РАО—КРАМЕРА ДЛЯ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ЛДИС

В. Т. Злацкий, Р. Н. Овсянников

Дано решение задачи определении нижних границ дисперсий несмещенных оценок (границ Рао — Крамера) параметров сигнала лазерного допплеровского измерителя скорости (ЛДИС), работающего в одночастичном режиме. Приведены примеры расчетов нижних границ дисперсий оценок допплеровской частоты для случаев известного и неизвестного моментов прохождения светорассеивающей частицы через центр измерительного объема. Показана быстрая сходимость дисперсий оценок максимального правдоподобия к границам Рао — Крамера.

Статистическая природа сигналов, поступающих от датчиков измерительных устройств, предопределяет погрешность определения параметров сигнала, интересующих экспериментатора. Этот факт находит отражение в существовании нижней границы ошибок определения параметров сигналов. Реальная погрешность оценок параметров определяется как статистическими свойствами наблюдаемого сигнала, так и конкретным способом его обработки. Так, например, в работах [1—5] дано описание статистических свойств сигнала ЛДИС для одночастичного режима работы (сигнал формируется в результате пролета через измерительный объем одной светорассепвающей частицы). Это позволило проанализировать погрешность ряда конкретных способов определения допплеровской частоты сигнала ЛДИС [6 — 10].

В настоящей работе ставится задача отыскания нижней границы погрешностей определения допплеровской частоты, которую невозможно превзойти ни при каком способе обработки сигнала. Эта граница полностью определяется только статистическими свойствами сигнала ЛДИС.

Статистическая теория оценок |11 —13] не дает универсального способа построения точной нижней границы ощибок. Однако известен ряд приближений (снизу) к этой грани. Фундаментальное значение имеет граница Рао — Крамера, дающая оценку нижней границы дисперсий оценок параметров сигналов. Степень близости

погрешностей оценок конкретной системы обработки сигнала ЛДИС к* границе Рао — Крамера характеризует степень совершенства системы обработки. Кроме того, с точки зрения выбора рациональной структуры реальных систем обработки целесообразно исследовать влияние различных факторов (например, длительности обрабатываемой реализации сигнала или степени информированности

о несущественных параметрах сигнала) на положение границы Рао — Крамера.

В случае идеального фотоприемного устройства сигнал ЛДИС описывается [1—5] как нестационарный пуассоновский поток фотоэлектронов, каждая реализация которого представляется в виде:

Здесь q ~ 1,6-10~1!'/\ — заряд электрона; 8 (/ — tk) — дельта-функция Дирака с размерностью с"-1; ^ — момент вылета &-го фотоэлектрона из катода приемного устройства; £ —текущее время; К— общее число фотоэлектронов в данной реализации фототока, вызванной пролетом светорассеивающей частицы через измерительный объем.

Вероятность вылета ровно К фотоэлектронов в конкретной реализации определяется законом Пуассона:

Здесь и далее скобками (...) обозначается статистическое осреднение случайной величины, заключенной в эти скобки.

Считаем, что на катоде идеального фотоприемного устройства в соответствии с законами внешнего фотоэффекта выполняется безынерционное линейное преобразование светового потока 5Щ [Вт| в поток фотоэлектронов 5(/) [электрон с]:

г- //-мерный вектор неизвестных параметров сигнала ЛДИС; \ — квантовая эффективность фотокатода, электрон фотон; X — длина волны лазерного излучения, м; с = 3-108—скорость света, м/с; А = 6,625* 10“:и — постоянная Планка, Вт-с2.

Среднее по реализациям число фотоэлектронов (К) определяется в этом случае следующим образом:

здесь — начало наблюдения реализации фототока, Т ~ длительность наблюдения реализации фототока.

Моменты 1к вылета фотоэлектронов распределены непрерывно

на оси времени так, что плотность вероятности ?#(/*, г) для &-го

—>

электрона пропорциональна интенсивности $(■**, г) потока фотоэлектронов:

А’

(о

Рк == К'к[ ехр (— < К ) ).

(2)

1а+ г

(4)

г) = сопв! 5 (/*, г).

(5а)

Константа находится и:>. условия нормировки плотности вероятности, и окончательное выражение для плотности вероятности имеет вид: . •

.V (/,, г)

П =....(к у • (56)

Вероятность реализации фототока (1) равна совместной вероятности вылета ровно К фотоэлектронов в моменты времени , tк.. В силу взаимной независимости моментов вылета фотоэлектронов эта вероятность [она же - функция правдоподобия £Цк'(^) |г) реализации (I) фототока] равна [1, 2, 5):

1 О К (О I Г) — д^г-ехр |— ] 5 (*, г) П Я (<* , /•). (6)

Пусть далее г... — несмещенная оценка вектора неизвестных параметров г. Тогда нижние границы дисперсий оценок г* у компо-

нентов вектора г определяются из обобщенного неравенства Рао — Крамера [10] системой неравенств

.> Уп' У= 1. • , П, (7)

* У

где К,!7'7) — диагональные элементы матрицы /,7\ обратной информационной матрице Фишера.

Элементы матрицы Фишера определяются по формуле:

/,<"'•'» = 1п £ (/,, (0 I г) 1п £ (/А'(0 I г) . (8)

В нашем случае, когда функция правдоподобия представляется в виде (6), после выполнения операций статистического усреднения по К и tk [см. (2.0) — (2.3)| элементы матрицы Фишера определяются по формулам

*0 +т

/Г- П - ] 1п 5 (*, Г) 1п 5 (£ Г)( 5 (£ Г) (И. (9)

%

т

Для конкретной системы оцениваемых параметров г и функции г) интенсивности потока фотоэлектронов [или светового

потока 5(/. г) на фотокатод приемного устройства] можно по формулам (7), (9) определить нижние границы дисперсий оценок параметров г.

Приведем подробный переход от формулы (8) к формуле (9). В обозначениях (2), (56) функция правдоподобия представляется в виде

_ к

ЩщЩ ! 0 = ЯЛ. П ® №. '•)■ (2.0)

г =1

При подстановке (2.0) в (8) элементы информационной матрицы определя ютсн по формулам:

со ^0+7' *о + Т

(т, /') ___ V

дг

К ^ '

д In Р., + У _— In w (t, г)

/= 1

т

X

А’

X

к

дг

— In Рк 4- V -1— In w (tit г) /= 1 0rJ

(2.1)

/=1

После раскрытия скобок в правой части выражения (2.1) и учета при суммировании очевидных соотношений

дрк

АГ=0 дг

формула (2.1) приводится к виду

to+T

dw (t, /*)

дг

dt = 0

с-"-!

/с=о4

л^'пяА)яИ-

/«+7*

(

\

1пхе>(Л /*) lnw(/, /*) (/. л*)

£

А =0

(2.2)

Рассмотрим каждый из рядов, входящий в правую часть соотношения (2.2):

У

Л' = 0

дг,

In /V

дг i

n я,/) p.. =1п/-K1 V (К-(К> уяА. =

дг

дг

= </0

J Л'=0

a in </<> a in </с>

дг

т

drj

/о+Г

дг

In w (t, г) f - In w (t, r)\w(tt r)cit ^\KPK —

dr

K = o

t,,+T

<K> д 1п <K> d 111 <A:> -f I d\ns(t, r) d\ns(t, r) s(f *dt ,23 drm drs 1 J dr« dr,-

После подстановки (2.3) в (2.2) получается формула (9), определяющая элементы информационной матрицы Фишера.

Определим границы Рао — Крамера для дисперсий оценок допплеровской частоты шд и момента т прохождения через центр измерительного объема аэрозольной частицы, движущейся вдоль оси *(у = 0, £ = 0). В этом случае интенсивность потока фотоэлектронов имеет следующий вид [4|:

S(t, ш„ т) - А ехр (— (t 2J)2 j [1 -p. cos »,(* — •:)]; (Л = const, ЯШД = const)

(10)

Элементы информационной матрицы /2 в этом случае определяются следующими выражениями:

,он, = ^Т(^ехр(-^)х

а* (о:

Д /

10

X

. . ч <l>jf (t т) 9 . (1), (t т)

(I — -) COS ----------------2-------- + м,Да“ Slt1 • ~ 2-----

to+T

dt

(' - т)»

(/" — х) cos —- + шд л2 sin ^^2—”

2а2 2

)Х

dt\

Art- Т

j (2, 2) __ 2Л

я4

2а2

X

(t — т) cos

(Од (t — z)

2

4- % а2 sin

<НЛ-

(II

Можно показать, что соотношения (11; приводятся к виду:

/(і. и

/2 =

3 — а2 ш"

+4-4^2т:a*ш2er^(-^)-

u>д I V «У 2 /

4 + ^»> + з), +

ехр -

<7 -„т + 3) cos Шд <7 -f ©д (<?2 — а2) sin шл q

| #0 + Г J <7о

"■»- .«.о _ы_*_ 2, ^)х

X

+ 2) ^ + cos ?) “I* 0)Д <а2 ШД + Я sin Шд <7)

<7о + Г

<7о

X

г (1 + cos Шд V) + Шд sin Шл </

<7о+ Т Чо

(12)

Здесь введены следующие обозначения:

<7о = — т, </<> = | s(^, шд, “0 dt,

to

fo+T

j = \ exp (-~2a^2 ) sin Шд (і t) dt.

(13)

Формулы (12), (13) позволяют рассчитать диагональные элементы Уи,,) матрицы /2-1, определяющие значения нижних границ дис-

персий оценок допплеровской частоты (У21,1}) и времени пролета частицы через центр измерительного объема (Уч2,21) при совместном оценивании этих параметров

(2, 2)

/

у (2,2) ■* 2

г(1. 1). I ж .

к I /2 !,,

(14)

I /21 = /2(1, ,)/.]2>2> - (41, 2))2. ]

На рис. 1 и 2 представлены примеры расчетов по формулам (12) — (14) нижних границ дисперсий совместных несмещенных оценок допплеровской частоты (см. рис. 1—сплошные линии) и времени х пролета частицы через цент)) измерительного объема (см.

Рис. 2

рис. 2 — сплошные линии). Пунктирные линии на рис. 1 дают значения нижних границ дисперсий при точном знании момента т прохождения ч'астицы через центр измерительного объема. Пунктирные линии на рис. 2 определяют нижние границы дисперсий оценок т при точном знании допплеровской частоты сигнала. Пунктирные линии рассчитаны по формулам:

1 1 (15)

о—

'(2, 2)

д V#' » ’ I

В расчетах принималось, что интервал наблюдений начинается в момент = 0.

Из приведенных результатов видно, что при малых временах наблюдения расхождения границ совместных оценок с соответствующими однопараметрическими вариантами могут быть весьма значительными. В устройствах обработки сигналов ЛДИС с временами обработки сигнала Т^>2а отсутствие точных сведений о т не должно сильно изменять точность определения допплеровской частоты по крайней мере для Влияние.величины-т на ниж-

нюю границу дисперсии допплеровской частоты показано на рис. 3 (т известно точно). Максимальная точность достигается в точке т—Г/2, т. е. при симметричном расположении интервала наблюдения относительно вершины огибающей сигнала ЛДИС.

При бесконечном увеличении времени наблюдения первое выражение (15) значительно упрощается и может быть представлено в виде:

А У 2 г* а \ I + е

(3_д2ш2) + 2Л у'2Гы дЗ 0)2

1/2 *

(16)

Учитывая, что при Т -* оо среднее число фотоэлектронов

<К>-=АУ2-а VI +е 2 / , (17)

выражение (16) можно переписать в окончательной форме:

а I <К>

•> 2 а* е>;

1/2

(18)

СОд

0,3

Результаты расчетов по формуле (18) представлены на рис. 4 сплошной линией. Эта формула асимптотически (по ао>д) совпадает с формулой для дисперсии оценки допплеровской частоты методом максимального правдоподобия (пунктирная линия на рис. 1), приведенной в |9].

Это объясняется увеличением с ростом (ла)л) числа интерференционных полос в измерительном объеме, что равносильно увеличению числа наблюдений частоты. А оценки максимального правдоподобии асимптотически эффективны.

0,2

0,1

1 ^УАа ашм=10п;Т/а = !

/

0,5 7,0 1,5 2,0 х/Т

Рис, 3

<5

сил

со.

|/Та

а и>„ = 10 и

4

Рис. 5

8 Т/а

Для существования эффективной несмещенной оценки

ш

д *

допплеровской частоты часть выражения

сигнала ЛДИС необходимо, чтобы правая

(!)

Д *

= ©я + У

(1,1) д Іп £ (іх (0 | (-Од)

ді.0 :

(19)

О)

д-

не зависела от истинного значения допплеровской частоты

Подстановкой (6), (12) —(14) в (19) нетрудно убедиться в обратном, т. е. правая часть выражения (19) зависит от истинного значения о)д, что доказывает невозможность построения эффективной оценки и достижения границ Рао —Крамера для дисперсии оценки допплеровской частоты. Отсюда в соответствии с общей теорией оценок 110] следует также невозможность построения несмещен-

ных эффективных оценок любого векторного параметра сигнала ЛДИС, если одним из его компонентов является допплеровская

частота. Однако, как видно из рис. 3, при -^->2 наблюдается

практическое совпадение дисперсий оценок максимального правдоподобия и границ Рао— Крамера.

На рис. 5 показано влияние величины времени наблюдения Т на границу Рао — Крамера при оценке единственного параметра допплеровской частоты о>д при х=Т/2. Видно, что при 2а отличие от случая бесконечного времени наблюдения (уровень, обозначенный пунктиром) также пренебрежимо мало. Таким образом, при 2а, соЛ а >> 4ти дисперсии оценок максимального прав-

доподобия и границы Рао — Крамера практически совпадают. С другой стороны, погрешность алгоритмов систем дискретного измерения частоты сигнала ЛДИС и следящих систем ЛДИС с частотной автоподстройкой частоты, используемых в реальных технических системах, мало отличаются от точности оценок максимального правдоподобия [6—10]. Так как в реальных системах всегда выполняются указанные условия совпадения границы Рао — Крамера и дисперсий оценок максимального правдоподобия, то это доказывает и возможность создания совершенных систем обработки сигнала ЛДИС на базе указанных алгоритмов.

ЛИТЕРАТУРА

]. Райс С. Теория флуктуационных шумов. В сб. „Теория передачи электрических сигналов при наличии помех*, М., Изд. иностр. лит-ры, 1953.

2. Шереметьев А. Г. Статистическая теория лазерной связи.

М., „Связь", 1971.

3. Пратт В. К. Лазерные системы связи. М., „Связь", 1972.

4. Скворцов В. В. Некоторые оптоэлектронные и спектральные характеристики полезного сигнала ЛДИСа. В сб. „Лазерное допплеровское измерение скорости газовых потоков", Труды ЦАГИ, вып. 1750, 1976.

5. 3 лен ко Ю. А. Дробовой эффект в фотоприемнике ЛДИСа.

В сб. „Лазерное допплеровское измерение скорости газовых потоков", Труды ЦАГИ, вып. 1750, 1976.

6. Г родзовски й Г. Л. Анализ точности измерений ЛДИСа.

В сб. .Лазерное допплеровское измерение скорости газовых потоков-, Труды ЦАГИ, выи 1750, 1976.

7. Зле и к о Ю. А. Исследование точности метода дискретного измерения частоты сигнала ЛДИС. В сб. „Лазерное допплеровское измерение скорости газовых потоков", Труды ЦАГИ, вып. 1750, М.,

1976.

8. Шуми л кин В. Г. К оценке точности метода дискретного измерения частоты сигнала ЛДИСа. В сб. .Лазерное допплеровское измерение скорости газовых потоков", Труды ЦАГИ, выи. 1750, 1976.

9. Авр а м ч е п к о Р. Ф., Акопян И. Г., Г р о д з о в с к и й Г. Л., Злей к о Ю. А., О в с я п и и к о в Р. Н., II т и ц ы и В. И., Семе й-ки н И. П., Фи ль В. А., Я п к о в В. П. Принципы построения электронной аппаратуры ЛДИС. В сб. „Лазерное допплеровское измере-рение скорости газовых потоков", Труды ЦАГИ, вып. 1750, 1976.

10. Г р о д з о в с к и й Г. Л. Приложение метода максимума правдоподобия к задачам оптимизации обработки данных аэродинамического эксперимента. „Ученые записки ЦАГИ", т. 8, № 3, 1977.

11. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники, т. II, „Советское радио", 1968.

12. В а п Трис Г. Л. Теория обнаружения, оценок и модуляции, т. 1, .Советское радио“, 1972.

13. Закс Ш. Теория статистических выводов. М., „Мир", 1975.

Рукопись поступила 28 XI 1977 г.