Выбор оптимальных экономических решений в сложных вероятностных моделях управления предприятием Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

© Леготин Ф. Я., Воронин С. В., 2011

ЛЕГОТИН Федор Яковлевич

Доктор экономических наук,

профессор кафедры экономики предприятий

Уральский государственный экономический университет

620144, РФ, г. Екатеринбург, ул. 8 Марта/Народной Воли, 62/45 Контактный телефон: (343) 212-27-40 е-таИ: kafpp@mail.ru

ВОРОНИН Сергей Викторович

Соискатель кафедры экономики предприятий

Уральский государственный экономический университет

620144, РФ, г. Екатеринбург, ул. 8 Марта/Народной Воли, 62/45 Контактный телефон: (343) 264-05-54 е-таИ: voronins@e1.ru; voronin@66.ru

Выбор оптимальных экономических решений в сложных вероятностных моделях управления предприятием

Ключевые слова: риск; ущерб; шанс; прибыль; вероятность; капитал; предприятие; оптимизация параметров; метод производных.

Аннотация. Рассмотрены традиционные подходы учета риска и их слабые места. Предложена схема и метод принятия решений. Схема увязывает риск, прибыль и капитал предприятия, метод сочетает простоту и наглядность, позволяет найти оптимальный вариант при отсутствии исчерпывающих данных, что характерно для небольших предприятий. Применим как в хозяйственной, так и в финансовой сфере управления.

Теории анализа и синтеза систем управления предприятием (фирмой) рассматривает кибернетика - наука об управлении и связях. Исследуя кибернетические системы в 1957 г., Г. А. Саймон [1] предложил производственную модель с учетом математического аппарата теории автоматического регулирования и теории исследования операций (рис. 1).

Кз

О

а>

К2

К1

К4

О

% = Г'-г'

п

и

Рис. 1. Производственная модель Г. А. Саймона:

У - вход системы, сырье; У" = К1 * (ц - У”) - выход - готовая продукция;

У0 - заказы потребителей; ^ = (У - У") - ошибка-рассогласование между выходом и входом; П = (^ * К2 + У” * Кз) - плановая и реальная ^ = п * К4 производительности;

К1, К2, Кз и К4 - операторы, соответствующие передаточным коэффициентам системы

Классификацию кибернетических систем, в которых системы управления фирмой отнесены к «очень сложным вероятностным системам», имеющим гомеостатическую природу (нами используемую), предложил С. Бир [2] (табл. 1).

Таблица 1

Классификация систем управления и некоторые области применения

Системы Простые Сложные Очень сложные

Детерминированные Задвижка оконная ЭВМ Пустое множество

Механические мастерские Автоматизация

Вероятностные Монета вверх Запасы фирмы Экономика

Движение медузы Условные рефлексы Мозг

Контроль качества продукции Прибыль фирмы Фирма

Для принятия любого управленческого решения необходимо рассматривать несколько возможных альтернатив и из них выбирать наиболее эффективный вариант. Показателем коммерческой эффективности принято считать прибыль, и лучшим финансовым решением признается вариант, дающий максимум прибыли при заданных ограничениях затрат.

Нельзя утверждать со стопроцентной уверенностью, что некий проект принесет такую-то прибыль. Можно говорить только о вероятности получить эту прибыль, а она может оказаться большей, меньшей или никакой. Для оценки прибыли следует учитывать еще один параметр - риск. Риск обычно воспринимается как отрицательная величина. Тогда лучшим финансовым решением будет признан вариант, дающий максимум прибыли при заданных ограничениях затрат и уровня риска. В принципе, это оптимизационная задача.

В настоящее время доминируют три подхода в учете риска: математический, экономический, страховой. Конечно, существуют и другие интересные подходы учета риска, к примеру принцип субъективной асимметричности экономических оценок, но они значительно меньше освещены в доступной литературе. Чтобы дальнейшие рассуждения не были голословными, рассмотрим методы, применяемые в указанных подходах. В основе математического подхода лежат: математическое ожидание [3]

О = I Окрк,

(1)

где Ок - некоторая прибыль проекта (потери); рк - вероятность получения этой прибыли (потери),

и квадратическое отклонение прибыли

(2)

Варианты с наибольшей средней прибылью и наименьшим квадратическим отклонением являются предпочтительными, но для случаев большей прибыли характерно и большее квадратическое отклонение. В этом случае предлагается использование коэффициента вариации

(3)

к=1

к=1

Вариант с наименьшим коэффициентом предпочтительнее, так как квадратическое отклонение либо коэффициент вариации принимаются за меру риска. Использовать среднее квадратическое отклонение как меру финансового риска предложил Г. Марковиц [4]. В этом подходе риск трактуется как возможность любых (позитивных или негативных) отклонений показателей, но, как отмечается в Методических рекомендациях [5], высокая дисперсия свидетельствует скорее о большой вероятности позитивных отклонений и не может быть приемлемым индикатором риска. С другой стороны, не учитывается и серьезность ущерба, хотя понятно, что для человека, продавшего квартиру, чтобы организовать собственный бизнес, потеря миллиона рублей может быть катастрофичной, а для крупной компании - незначительной.

В основе экономического подхода лежит проверка проектов на устойчивость. В случае учета риска предлагается введение в коэффициент дисконтирования «премии за риск», после чего тот принимает вид

1

(4)

т (1 + Е + г

где Е - норма дисконта; г - «премия за риск».

В зависимости от внешних данных величина «премии за риск» либо просто постулируется, либо варьируется под необходимый результат. Но если учесть, что доходом является разность между денежными притоками и оттоками, а дисконтированию подлежат все потоки, то формула расчета чистого денежного дохода (ЧДД) примет следующий вид:

ЧДД = 5^) = Й^-тгтЫ ШЙ- (5)

Тогда уменьшение значения оттоков на величину постороннего для них риска выглядит крайне неубедительно.

Если оценена вероятность отдельных сценариев, то предлагается [5] использовать ожидаемый интегральный эффект:

ЭОЖ = 5ЧДДкРк, (6)

к=1

где п - количество сценариев; рк - вероятность реализации к-го сценария.

Представим формулу (6) в другом виде:

п

п т ( ЧД ^ т 5ЧДкРк п\

Эож=5 5 [ (1+еу г=5 (1+е) .

Если сравним полученное с формулой (1), то увидим частичное слияние математического и экономического подходов, что делает данный метод более универсальным. Но, как и в первом случае, серьезность ущерба остается «за кадром». Подчеркнем - не величина ущерба, а серьезность его.

При учете страхового риска, имеющего наибольший статистический материал наступления страховых случаев, вероятность разорения страховой компании оценивается формулой

г = 1 - Ч,

(8)

где ч - вероятность неразорения компании;

q = Ф

Ф - интеграл Лапласа I Ф = ^ Г е 2 &\; и - капитал предприятия, равный сумме

I лДП { )

страховых премий; Е(5 - среднее значение страховых выплат по обязательствам Б; .0(5) - дисперсия.

Здесь уже появляется такой индикатор, как капитал предприятия и, но сама величина капитала имеет вероятностное значение, а именно отталкиваясь от нее, рассчитывают страховую премию.

Принцип субъективной асимметричности экономических оценок [6; 7] представляет собой то же сочетание математического и экономического подходов с использованием критерия пессимизма-оптимизма Гурвица X. Общий вид расчета здесь будет следующим:

Э = 5Р4х х X; + Рт+П X (1 - X +) = 5Ст ах X X; + Ст 1п X (1 - X-) (10)

ОЖ 5 (1 + Е) 5 (1 + Е) , ( )

( U - E(S) ^

JDS)

(9)

где Pn+ax и P+n - наибольшее и наименьшее значения положительного денежного потока, ожидаемого в соответствующий год t; X + - параметр, предназначенный для учета экономических рисков, связанных с положительными потоками («риск недополучить»); C max и C - наибольшее и наименьшее значения отрицательного денежного потока, ожидаемого в соответствующий год t; X- - параметр, предназначенный для учета экономических рисков, связанных с отрицательными денежными потоками («риск переплатить»).

По сути, предлагается рассчитывать ожидаемые положительные и отрицательные потоки, применяя для них разные коэффициенты.

Вышеперечисленные подходы обладают общим существенным недостатком - они слабо применимы в реальной деятельности среднестатистической организации, а это вся масса малых форм бизнеса. Не будет простой хозяйственник, а именно таковыми являются большинство руководителей, рассчитывать дисперсию или дисконтировать выгоды от приобретения станка, вентиляции или системы отопления. И даже если экономист сделает соответствующие выкладки, они редко берутся во внимание. Во внимание принимаются стоимость на данный момент, производительность и надежность. Именно по этим трем параметрам будет приобретено оборудование, а так как четкого алгоритма нет, принят будет ближайший удовлетворяющий вариант. Такой подход называется «по наитию». Этот же подход переносится на задачи другого уровня. От руководителей любого ранга можно услышать, что он доверяет собственной интуиции, и это, по сути, является решением брать ответственность на себя. Мы хотим предложить схему принятия решений именно для случая простого хозяйственника, но которая применима как в хозяйственной сфере управления, так и в финансовой. Метод сочетает простоту, наглядность и учитывает такой показатель, как финансовое состояние предприятия, что позволяет принимать решения уже при первом приближении.

Выше отмечалось, что поиск варианта, дающего максимум прибыли при заданных ограничениях, представляет собой оптимизационную задачу. Представляется естественным, что чем больше прибыли мы хотим получить, тем больше нужно вложить средств (чем выше производительность оборудования, тем оно дороже). Зависимость эта редко бывает линейной. По исследованиям, нами проведенным, чаще прослеживается степенная зависимость вида y = axn. Если точнее, то дискретно-степенная, так как промежуточных значений может и не быть. Для лучшей визуализации проекты целесо-

образнее разбивать на категории, к примеру по объему производства, по производимой продукции, по расположению и т. д., что позволит рассмотреть веер возможных решений. На рис. 2 представлен веер решений по организации производства трех видов продукции с тремя возможными объемами производства (исходная информация - табл. 2).

Таблица 2

Исходная информация к построению рис. 2

Объем производства, т/мес. Вариант Необходимая величина вложений С Средняя ожидаемая прибыль1 О по производству продукта

№ 1 № 2 № 3

1 600 30

100 2 650 35

3 900 45

4 2 100 60

220 5 2 300 70

6 3 000 90

7 4100 90

350 8 4 500 105

9 6 000 135

в

а

я

*

о

ч

С 6 000

5 000

4 000

а

ч

о

х

й 3 000

2 000

1 000

Продукт № 3

и

20 40 60 80 100 120

Математическое ожидание прибыли

140 О

Рис. 2. Веер возможных решений по организации производства

При анализе рисков постулатом является условие, что максимально возможный ущерб не должен превышать финансовых возможностей участников проекта. Для данного примера взята величина 5 000 усл. ед. Тогда вариант производства продукта № 3 с объемом 350 т/мес. необходимо исключить, так как при отсутствии спроса организация

0

1 Средняя ожидаемая прибыль (математическое ожидание прибыли) рассчитывается исходя из четырех возможностей — спрос минимален (не приносит прибыли), спрос порядка 100; 200; 350 т и выше.

не сможет расплатиться по долгам. Но и оставшиеся восемь вариантов разительно отличаются друг от друга. Теория принятия субъективных решений [8] предполагает принятие решений в зависимости от склонности к риску. Человек, склонный к риску, предпочтет варианты крупного производства, не склонный к риску - варианты с небольшим объемом производства, но нам нужен не тот, который больше нравится, а оптимальный.

Для простоты изложения рассмотрим не весь веер, а только одну ветвь — организация производства продукта № 1 (рис. 3). Налицо явная зависимость величины необходимых вложений от величины желаемой прибыли, которую легко рассчитать: у = 1,8*4

С‘ ‘

6 000--------------------------------------------------

0 20 40 60 80 100 120 140 Q

Математическое ожидание прибыли

Рис. 3. Оптимум как максимум площади

Нас интересует некоторая точка, лежащая на графике у = 1,8x1,7, отвечающая условию максимизации прибыли х ^ max при заданных ограничениях у ^ min. Без дополнительных ограничений задача неразрешима. Попытка разрешить ее - очередное хождение по кругу. Хотите больше прибыли, вкладывайте больше средств. При этом, естественно, увеличивается возможный ущерб; хотите снизить возможный ущерб, отказывайтесь от большой прибыли. Все вышеперечисленные подходы посвящены попытке вырваться из этого круга путем ввода дополнительного параметра — дисперсии, устойчивости или капитала компании. Последний параметр, капитал компании, представляет собой чистую денежную величину, а не производную от предварительных манипуляций, потому представляется наиболее надежным. Чтобы воспользоваться им, зададим координаты для у по-другому - как максимум от U, от верхней границы возможных вложений. Для рассматриваемого случая это совокупность финансовых средств в 5 000 усл. ед.

Тогда вместо условия у ^ min используем

(5 000 - у) ^ max.

Итак, мы имеем два параметра х и (5 000 - у). Но х * (5 000 - у) есть площадь прямоугольника, ограниченного линиями х = 0; у = 5 000; у = 1,8 х1,72 (см. рис. 3). Тогда точка максимума его площади даст искомые значения этих параметров:

5 = х * (5 000 - у) = х * (5 000 - 1,8х1'72).

Воспользуемся методом производных для нахождения точки максимума:

5' = (х * (5 000 - 1,8х1’72))' = х * (5 000 - 1,8х:'72) + х * (5 000 - 1,8х1'72)' =

= 5 000 - 1,8х1,72+ х * (-1,8 * 1,7а0'72) = 5 000 - 1,8х^72 - х * 3,06х°'72 =

= 5 000 - 1,8х1,72 - 3,06х1,72 = 5 000 - 4,86а1'72

Приравняем производную к нулю, найдем значение х в этой точке:

5 000 - 4,86х1’72= 0, 4,86х1’72= 5 000,

,„ 5 000

= 1029,

4,86 х = 1-7^1029 « 56,

y = 1,8а1,72 = 1,8 * 561’72 = 1,8 * 1 029 * 1 850.

В районе точки (56; 1 850) площадь прямоугольника достигает максимума. Как следствие, при инвестициях порядка 1 850 усл. ед. сочетание факторов возможных убытков (риска) и прибыли по продукту № 1 будет оптимальным. Ближайшим вариантом к этим параметрам из рассчитанных является производство с объемами 220 т/мес.

Мы получили еще одну интерпретацию математического подхода учета риска, пусть даже оригинальную, которая вряд ли приживется в повседневной практике. Но если нахождение оптимального варианта рассматривать как максимум от площади, то нам достаточно иметь только значения точек по затратам и средней прибыли, по ним найти соответствующие площади, затем их сравнить и выбрать наибольшую (табл. 3). Искать зависимость становится не обязательным, тем более что зачастую ее может и не быть.

Таблица 3

Расчет площади S = (5 000 - С) * О

Объем производства, т/мес. Вариант Необходимая величина вложений С Средняя ожидаемая прибыль О по производству продукта S = (5000 - С) * О

№1 №2 №3

1 600 30 132000

100 2 650 35 152 250

3 900 45 184 500

4 2 100 60 174 000

220 5 2 300 70 189 000

6 3 000 90 180 000

7 4100 90 81 000

350 8 4 500 105 52 500

9 6 000 135 -135 000

Как видим, интерес могут представлять варианты 3, 4, 5, 6 (рис. 4). Вариант 5, т. е. производство продукта № 2 с объемами 220 т/мес., стоит считать наиболее перспек-

тивным. В то же время вариант 3 и при относительно небольших вложениях достаточно привлекателен.

=s

S

я

С

6 000

5 000

4 000

S3 3 000

2 000

1 000

0 20 40 60 80 100 120 140 Q

Математическое ожидание прибыли

Рис. 4. Визуальное представление поиска оптимального решения

Визуализация принятия решения позволяет упростить сам процесс и делает его доступным для широкого круга пользователей. Достаточно вспомнить классификацию товаров, предложенную Бостонской консалтинговой группой, или матрицу стратегического планирования бизнеса General Elektrik, чтобы увидеть действенность подобных методик.

Из представленных нами выкладок можно сделать вывод, что мы определяем риск как возможность негативных исходов, но в его учете используем и возможность получения прибыли. «В этом смысле можно говорить о риске ущерба и шансе на прибыль, где ущерб выражен в отрицательном, а прибыль - в положительном отклонении» [9]. Поэтому более важным для нас становится их соотношение. Не менее важным является и недопущение возможных потерь, ведущих к разорению компании. Но самым главным является их оптимальный баланс:

(U - C) х Q ^ max, (11)

где U - капитал компании; С - величина необходимых вложений; Q - среднее значение прибыли (полезности).

Формула (11) представляется нам тем инструментом, который можно применять как в финансовой, так и в хозяйственной сфере. Она позволяет увязать финансовые и реальные инвестиции, увидеть их общие корни.

Вычисление риска безотносительно финансового состояния предприятия представляется неверным, так как не отражает серьезности последствий, тогда мерой риска стоит считать отношение величины возможных потерь к величине капитала, находящегося в распоряжении. Наиболее корректно одновременно учитывать риск получить

ущерб и шанс получить прибыль с их вероятностным распределением и соотносить с капиталом компании. Их оптимальное сочетание можно найти очень просто - визуально, сравнивая площади фигур (см. рис. 4), либо используя формулу (11).

При первом приближении нет необходимости проводить масштабные и поэтому дорогостоящие исследования, требующие участия высококвалифицированных сотрудников, достаточно опыта работы в определенной области для ранжирования вариантов.

Источники

1. Simon H. A. Models of man. N.Y., 1957.

2. Бир С. Кибернетика и менеджмент : пер. с англ. М. : КомКнига, 1963.

3. Дубров А. М., Лагоша Б. А., Хрусталев Е. Ю. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе : учеб. пособие / под ред. Б. А. Лагоши. М. : Финансы и статистика, 1999.

4. Markowitz H. M. Portfolio selection. Efficient diversification of investments. Oxford (NY) : Blackwell, 1991.

5. Методические рекомендации по оценке эффективности инвестиционных проектов (2-я ред.). М. : Экономика, 2000.

6. Галасюк Вал., Галасюк Вик. Учет экономических рисков: от традиций к здравому смыслу. Режим доступа : www.management.com.ua/finance/fin131.pdf.

7. Галасюк Вал., Галасюк Вик. Учет экономических рисков: от традиций к здравому смыслу. Режим доступа : http://www.galasyuk.com.ua/new/presentations/Risk_Value_Mos-cow2007.pdf.

8. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение : пер. с англ. М. : Наука, 1970.

9. Шапкин А. С. Экономические и финансовые риски. М. : Дашков и К°, 2004.