Выбор оптимального аккумулятора для многороторного беспилотного вертолета (мультикоптера) Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.65.013.622

БОТ 10.18698/2308-6033-2017-5-1616

Выбор оптимального аккумулятора для многороторного беспилотного вертолета (мультикоптера)

© С.З. Свердлов Вологодский государственный университет, Вологда, 160000, Россия

Рассмотрена задача о выборе массы аккумуляторной батареи, обеспечивающей максимальную продолжительность полета электрического мультикоптера в режиме висения с учетом изменения КПД электромотора. Определено, что максимальной продолжительности полета мультикоптера в режиме висения можно достичь, когда относительная масса аккумуляторной батареи находится в переделах от 1 до 2. Установлено, что учет изменения КПД двигателя почти не влияет на значения относительной массы аккумуляторной батареи. Даны рекомендации по относительной массе аккумуляторной батареи и определен диапазон ее значений — от 0,36 до 0,90.

Ключевые слова: беспилотный многороторный электрический вертолет, мульти-коптер, аккумуляторная батарея, максимальное время полета, относительная масса аккумуляторной батареи, тяговооруженность, бесколлекторный электромотор

Введение. В работах [1-3] указано, что наибольшая продолжительность полета (висения) электрического мультикоптера (рис. 1) достигается, когда относительная масса аккумуляторной батареи

Рис. 1. Квадрокоптер: 1 — несущие винты (пропеллеры); 2 — бесколлекторные электромоторы; 3 — элементы бортовой аппаратуры; 4 — аккумуляторная батарея; 5 — рама; 6 — полезная нагрузка (фотокамера)

равна 2. Под относительной массой т понимают отношение массы аккумуляторной батареи МАКБ к массе М0 летательного аппарата (ЛА) без нее:

М АКБ

т =

М

(1)

Вместе с тем приведенные в работе [3] результаты вычислительного эксперимента свидетельствуют о том, что максимума зависимости времени от относительной массы аккумуляторной батареи в реальных конфигурациях можно достичь при т < 2 (рис. 2) [3].

Рис. 2. Зависимость времени полета мультикоптера от массы аккумуляторной батареи (вычислительный эксперимент)

Задачи настоящей работы — уточнение математической модели, использованной в статье [3] для определения оптимальной относительной массы аккумуляторной батареи, и уточнение расчета оптимальной относительной массы аккумуляторной батареи. В новой модели учтено непостоянство КПД электродвигателя при изменении массы аккумуляторной батареи и ЛА.

КПД бесколлекторного мотора при висении. В конструкции мультикоптеров используются почти исключительно бесколлекторные (вентильные) электродвигатели [4, 5]. В работе [6] представлена формула, дающая оценку КПД бесколлекторного электродвигателя при его работе в режиме висения ЛА у поверхности Земли:

100

Мм =

ПюолДт +11 -Моо)'

(2)

где кТ — безразмерный коэффициент запаса тяги у поверхности Земли (тяговооруженность ЛА); п100 — безразмерный коэффициент, характеризующий жесткость механической характеристики электродвигателя.

Безразмерный коэффициент кТ запаса тяги у поверхности Земли определяют по выражению

кт = ^, (3)

о

где 2 — количество пропеллеров мультикоптера; Т100 — тяга, создаваемая одним пропеллером при работе на месте при 100 % газа (управляющего сигнала) у поверхности Земли; О — масса ЛА.

Безразмерный коэффициент п100, характеризующий жесткость механической характеристики электродвигателя, можно вычислить из равенства

П100 = —, П100 < 1, (4)

п0

где п0 — частота холостого хода электродвигателя (об/с); п100 — частота вращения мотора и пропеллера при 100 % газа при работе винтомоторной группы (ВМГ) на месте у поверхности Земли, т. е. в режиме максимальной тяги. Величина п100 приближенно равна КПД мотора при работе ВМГ в этом режиме.

Оценка времени полета с учетом КПД двигателя. Время полета т в режиме висения может быть оценено [3] как

Т = к пвис т = К_

укп 100 т гг\

" М (1 + т)32~ Пшл/кГ + (1 -П100) (1 + т)3/2'

где К — коэффициент, который остается постоянным в условиях обсуждаемой задачи.

При изменении массы батареи изменяется и тяговооруженность. Выразим массу ЛА через массу аккумуляторной батареи и массу ЛА без нее:

О = g (М0 + Макб ) = ёМ0 (1 + т), (6)

где g — ускорение свободного падения. Подставим выражение (6) в формулу (3):

кг = 2Т100 (7) Т gM0 (1 + т)'

Формулу (7) можно переписать в виде

кт =, (8) 1 + т

г гТ100 г-

где кт =--тяговооруженность, рассчитанная по массе без ак-

0 м

кумуляторной батареи (при нулевой массе аккумулятора).

Подставив формулу (8) в выражение для КПД мотора (2), а формулу для КПД мотора (2) в формулу (5), по которой оценивается время висения, получаем

Фт0 П100т

х = --2- (9)

\]кт0 П100 (1 + т) +(1 -П100 )(1 + т)

Для того чтобы определить значение топт, при котором функция (9) достигает максимума, найдем ее производную по т и приравняем производную нулю. Получаем уравнение для определения топт :

Л/кТ0П100 (топт - 2) + 2 (1 - П100 ) (топт - 1Утопт +1 = 0 • (10)

Аналитическое решение уравнения (10) сводится к вычислению корней алгебраического уравнения третьей степени. Воздержимся, однако, от использования громоздких формул, которые получились бы в этом случае.

Одним из ключевых параметров при проектировании мультикоп-тера является тяговооруженность. При этом разработчика интересует тяговооруженность аппарата с учетом массы аккумуляторной батареи, т. е. кТ при найденном топт, а не значение кТ0. Чтобы найти

топт для заданной тяговооруженности оптимальной конфигурации,

выразим кТ0 из (8) через кт:

кТ0 = кТ (1 + топт ) . (11)

Подставим выражение (11) в уравнение (10):

+ топт )п100 (топт

-2) + 2 (1 -П100 )(топт -1Утопт +1 =0. (12)

Теперь уравнение (12) можно разделить на ^Д + топт, понизив его степень:

П100 (топт - 2) + 2 (1 - П100) (топт -1) = 0. (13)

Решение уравнения (13) дает значение относительной массы аккумуляторной батареи, при котором достигается наибольшее время висения при заданной тяговооруженности:

2 Г(1 -П100 ) + П1001

___I_А. (14)

2(1 -П100 ) + П '

1100

Графики зависимости времени висения от относительной массы аккумуляторной батареи построены в соответствии с формулой (9) (рис. 3). Значения по оси ординат нормированы так, чтобы максимальное значение в варианте 2 было равно 1.

топт

т, отн.ед

Рис. 3. Зависимость относительного времени полета от относительной массы аккумуляторной батареи:

1 — П100 = 0,65, кт = 1,7, кт0 = 4,33; ШоШ = 1,55; 2 — П100 = 1, ™от = 2,0

Рассмотрим частные случаи. Если п100 = 1, что соответствует мотору с идеально жесткой характеристикой и КПД = 100 %, по формуле (14) получаем топт = 2 (кривая 2, рис. 3). Это значение совпадает с найденным в работе [3] для модели, в которой КПД мотора считается постоянным при изменении массы аккумулятора. При п100, стремящемся к нулю, формула (14) дает топт = 1. При 0 < п100 < 1 значение относительной массы аккумуляторной батареи, при котором достигается наибольшее время висения, находится в пределах от 1 до 2, зависит от тяговооруженности и монотонно возрастает с ростом п100.

На рис. 4 приведена зависимость оптимального значения относительной массы аккумуляторной батареи от п100 при двух значениях тяговооруженности кт. При тяговооруженности, равной 4, что можно считать верхним пределом для реальных ЛА, зависимость линейна; кт = 1 — это теоретический нижний предел тяговооруженности.

0,4 0,2

0 ОД ОД 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Л100

Рис. 4. Зависимость оптимальной относительной массы аккумуляторной батареи от тяговооруженности и КПД:

1 — кт = 4; 2 — кт = 1

Рациональный выбор массы аккумуляторной батареи. Использование относительной массы аккумуляторной батареи, соответствующей максимальной продолжительности полета, сталкивается с определенными препятствиями. Для того чтобы с ростом массы аккумуляторной батареи сохранялась тяговооруженность ЛА в приемлемых пределах, необходимо увеличивать мощность моторов и размер пропеллеров, что ведет к возрастанию массы и обусловливает необходимость усиления конструкции, в свою очередь увеличивающего массу. При больших значениях относительной массы аккумуляторной батареи такого рода зависимости могут оказаться труднопреодолимыми.

Представляется рациональным использование относительной массы аккумуляторной батареи меньшего значения — топт. При этом можно исходить из того, что вблизи максимума зависимость времени от относительной массы аккумуляторной батареи (см. рис. 3) малочувствительна к изменению т. Поэтому заметное уменьшение т не приведет к существенному сокращению времени полета. В работе [3] предложены два критерия для выбора рациональной массы аккумулятора: интегральный и дифференциальный.

Интегральный критерий выбора рациональной массы аккумулятора. В соответствии с интегральным критерием предлагается выбирать такое значение т, при котором средний темп увеличения времени полета с ростом массы аккумуляторной батареи будет не меньше темпа увеличения ее массы. В модели, которая не учитывает изменение КПД мотора, получаем значение

3

тинт ^-гтт-1 - 0,89. (15)

Используем такой же критерий и в рассматриваемом случае. Как и в работе [3], рассмотрим относительное время полета, т. е. время, отнесенное к максимально возможному времени полета. Уравнение для определения относительной массы тинт по интегральному критерию можно записать так:

т

т тах

= т. (16)

Значение ттах можно найти подстановкой в формулу (5) значения топт, которое определяется по формуле (14). Условимся, что в дальнейших выкладках опустим коэффициент К, который не влияет на относительное время полета. После подстановок и преобразований получаем

Т max 2nll

00

kT

211 -П100 ) + n

l00

(17)

\ [4(1 -Лию) + з4кТчш]

Уравнение (16) с учетом формулы (5), если опустить К, запишем

как

Тmax (1 + m)3/2

а его решение будет следующим:

Пм

m = m, (18)

г вис Л23

Т

у Lmax у

-1, (19)

где ПдГ вычисляется по формуле (2), а ттах — по формуле (17).

Следует отметить, что использование выражения (5) в приведенных для получения формулы (19) выкладках не означает, что зависимость времени полета от массы аккумулятора в рассматриваемом случае такая же, как и в модели, не учитывающей изменение КПД мотора. Зависимость (5) при фиксированных пюо и кт показывает, как будет изменяться время полета, если при каждом значении т обеспечивается заданная фиксированная тяговооруженность (значение кТ). Это предполагает, что масса ЛА без аккумулятора не остается постоянной. Зависимость времени от т при фиксированной массе М0 выражается формулой (9). Именно максимум этой функции используется для нормирования времени в уравнении (16).

Значение тинт при изменении пш0 от 1 до 0 составляет от

3

1« 0,89 до 1. При значениях п100 и кТ, соответствующих пара-

2

2/3

метрам реальных ЛА, изменение будет меньше. Так, при пюо > 0,5 и 1,25 < кт< 2,5 значение тинт варьирует в пределах от 0,89 до 0,92. На практике это означает, что таким изменением можно пренебречь и в качестве рекомендованного значения относительной массы аккумулятора по интегральному критерию принять тинт ~ 0,9 независимо от значений п100 и кт.

Дифференциальный критерий. В соответствии с работой [3] минимальной рациональной относительной массой аккумуляторной батареи можно считать такое значение тдиф, при котором производная по m относительного времени полета равна 1.

Дифференцируя левую часть (18) по m и приравнивая производную к 1, получаем уравнение

1. (20)

Tmax 2(1 + m)52

Его численное решение при изменении п100 от 1 до 0 дает значение корня в диапазоне от 0,355 до 0,390. При п100 > 0,5 и 1,25 < кт < 2,5, что примерно соответствует значениям этих параметров у реальных ЛА, значение тдиф изменяется в небольших пределах: от 0,355 до 0,366. Это означает, что на практике такими изменениями можно пренебречь и ориентироваться на тдиф ~ 0,36 независимо от значений п100 и кт.

Заключение. При учете непостоянства КПД электромотора можно достичь максимальной продолжительности полета в режиме висе-ния, когда относительная масса аккумуляторной батареи (отношение массы аккумуляторной батареи к массе ЛА без нее) находится в пределах от 1 до 2. Значение относительной массы, соответствующее максимуму времени, в существенной степени зависит от жесткости механической характеристики двигателя (КПД двигателя при максимальной нагрузке) и в меньшей — от тяговооруженности.

Вместе с тем учет изменения КПД двигателя почти не влияет на значения относительной массы аккумуляторной батареи, которые определяются с использованием интегрального и дифференциального критериев [3]. Значения относительной массы аккумуляторной батареи, находящиеся в диапазоне от 0,36 до 0,90, можно рекомендовать как рационально обоснованные.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Andrés. Optrnal Battery Capacity. 2011, April 12, 9 p.

URL:http://api.ning.com/files/aFMLPsgnHmZXdNMAY8PM0KekqE4uAQSM x2C *usF6KDpKiqpO4L9 -hrUKYB s S -xtRMqo -K4GR5TP sM2Isq56oMw__ /battery_capacity.pdf

[2] Neitzke K.-P. Rotary Wing Micro Air Vehicle Endurance. Proceedings of the International Micro Air Vehicle Conference and Flight Competition IMAV 2013, September 17-20. Toulouse, France, 2013, pp. 16-25.

[3] Свердлов С.З. Продолжительность полета электрического беспилотного вертолета. Вестник Вологодского государственного университета, 2015, № 5/15.

URL: http://www.uni-vologda.ac.ru/~c3c/artides/FLIGHT%20DURATI0N%20 OF% 20THE%20ELECTRIC%20UNMANNED%20HELIC0PTER.pdf

[4] Овчинников И.Е. Вентильные электрические двигатели и привод на их основе (малая и средняя мощность). Санкт-Петербург, Корона-Век, 2006, 336 с.

[5] Xia Ch.-l. Permanent Magnet Brushless DC Motor Drives and Controls. John Wiley & Sons, Singapore Pte. Ltd., 2012, 320 р.

[6] Свердлов С.З. Оптимальный вертикальный подъем электрического мультикоптера. Инженерный журнал: наука и инновации, 2016, вып. 11. URL: http://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2016-11-1551

[7] Traub L.W. Range and Endurance Estimates for Battery-Powered Aircraft. Journal of Aircraft, 2011, vol. 48, no. 2, pp. 703-707. DOI: 10.2514/1.C031027

[8] Traub L.W. Optimal Battery Weight Fraction for Maximum Aircraft Range and Endurance. Journal of Aircraft, 2016, vol. 10, no. 3. DOI: 10.2514/1.C033416

[9] Джонсон У. Теория вертолета. В 2 книгах. Пер. с англ. Москва, Мир, 1983, кн. 1, 502 с.

Статья поступила в редакцию 11.11.2016

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Свердлов С.З. Выбор оптимального аккумулятора для многороторного беспилотного вертолета (мультикоптера). Инженерный журнал: наука и инновации, 2017, вып. 5. http://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2017-5-1616

Свердлов Сергей Залманович — канд. техн. наук, профессор кафедры прикладной математики Вологодского государственного университета. Область научных интересов: информационные технологии, цифровая фотография и обработка изображений, беспилотные вертолеты. e-mail: [email protected]

Selecting the optimum battery for a multi-rotor unmanned electric helicopter (multicopter)

© S.Z. Sverdlov Vologda State University, Vologda, 160000, Russia

The study deals with selecting a rechargeable battery mass that ensures maximum flight duration for an electric multicopter in hover mode, taking into account the changes in the electric motor energy conversion efficiency. As a result of studying a refined model that takes into account the changes in energy conversion efficiency, we discovered that using a relative battery mass between 1 and 2 leads to achieving the maximum flight duration in hover mode. The relative mass value corresponding to the maximum in time greatly depends on how rigid the speed-torque characteristic of the engine is, and depends on the thrust-to-weight ratio to a lesser degree. Taking into account the energy conversion efficiency of the engine does not really affect relative battery mass values that are determined using the integral and differential criteria. We can recommend designers to use the values we obtained for the relative battery mass.

Keywords: multi-rotor unmanned electric helicopter, multicopter, rechargeable battery, maximum flight duration, relative battery mass, thrust-to-weight ratio, energy conversion efficiency, brushless electric motor

REFERENCES

[1] Andrés. Optimal Battery Capacity. 2011, April 12, 9 p. URL:http://api.ning.com/files/aFMLPsgnHmZXdNMAY8PM0KekqE4uAQSM x2C *usF6KDpKiqpO4L9 -hrUKYB s S -xtRMqo -K4GR5TP sM2Isq56oMw__ /battery_capacity.pdf

[2] Neitzke K.-P. Rotary Wing Micro Air Vehicle Endurance. Proceedings of the International Micro Air Vehicle Conference and Flight Competition IMAV 2013. September 17-20. Toulouse, France, 2013, pp. 16-25.

[3] Sverdlov S.Z. Vestnik Vologodskogo gosudarstvennogo universiteta — Bulletin of the Vologda State University, 2015, no. 5/15. Available at: http://www.uni-vologda.ac.ru/~c3c/articles/FLIGHT%20DURATI0N%200F%20THE%20ELE CTRIC%20UNMANNED%20HELIC0PTER.pdf

[4] Ovchinnikov I.E. Ventilnye elektricheskie dvigateli i privod na ikh osnove (malaya i srednyaya moshchnost) [AC converter-fed motors and drives based on them (low and medium power)]. St. Petersburg, Korona-Vek Publ., 2006, 336 p.

[5] Xia Ch.-l. Permanent magnet brushless DC motor drives and controls. John Wiley & Sons, Singapore Pte. Ltd., 2012, 320 p.

[6] Sverdlov S.Z. Inzhenernyy zhurnal: nauka i innovatsii — Engineering Journal: Science and Innovation, 2016, iss. 11.

Available at: http://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2016-11-1551

[7] Traub L.W. Range and Endurance Estimates for Battery-Powered Aircraft. Journal of Aircraft, 2011, no. 48 (2):703-707. DOI: 10.2514/1.C031027

[8] Traub L.W. Optimal Battery Weight Fraction for Maximum Aircraft Range and Endurance. Journal of Aircraft, 2016, vol. 10, no. 03. DOI: 10.2514/1.C033416

[9] Johnson W. Helicopter Theory. Princeton University Press, 1980 [In Russ.: Johnson W. Teoriya vertoleta. In 2 vols. Moscow, Mir Publ., 1983].

Sverdlov S.Z., Cand. Sc. (Eng.), Professor, Department of Applied Mathematics, Vologda State University. Specialises in information technology, digital photography and image processing, unmanned helicopters. e-mail: [email protected]