Оптимальный вертикальный подъем электрического мультикоптера Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.65.013.622

DOI 10.18698/2308-6033-2016-11-1551

Оптимальный вертикальный подъем электрического мультикоптера

© С.З. Свердлов

Вологодский государственный университет, г. Вологда, 160000, Россия

Рассмотрены особенности вертикального набора высоты с минимальным расходом энергии аккумуляторной батареи. Исследовано влияние изменения КПД электрического двигателя на расчет оптимального подъема. Получены формулы для определения скорости оптимального и квазиоптимального подъема, для расчета тяговооруженности летательного аппарата, обеспечивающей оптимальный подъем, для оценки КПД элетромотора в режиме висения летательного аппарата. Приведены аэродинамические характеристики пропеллеров, необходимые для расчета оптимального подъема.

Ключевые слова: беспилотный многороторный электрический вертолет, мульти-коптер, оптимальный вертикальный подъем, КПД, удельный расход энергии, тяго-вооруженность, винтомоторная группа, бесколлекторный электромотор.

Введение. Важнейшим ресурсом, ограничивающим возможности электрического беспилотного многороторного вертолета, является запас энергии аккумуляторной батареи. При выполнении любого маневра в воздухе рекомендуется использовать режим полета, обеспечивающий минимально возможный расход энергии для осуществления этого маневра.

Рассмотрим вертикальный подъем мультикоптера (рис. 1). Если в ходе подъема не предполагается выполнение каких-либо специальных задач (например, видео- или фотосъемки), а требуется лишь достичь заданной высоты, то целесообразен подъем в режиме, обеспечивающем минимальный расход энергии аккумуляторной батареи для подъема на эту высоту.

Задачей настоящего исследования стало определение условий, при которых достигается минимальный расход энергии на вертикальный подъем, и характеристик мультикоптера, при которых эти условия могут быть выполнены.

Аэродинамические характеристики и коэффициент полезного действия пропеллеров мультикоптеров. При постройке мультикоп-теров используются почти исключительно несущие винты (пропеллеры) фиксированной геометрии, в частности, выпускаемые компанией Landing Products Inc. (США) под торговой маркой APC, которые широко распространены. Серия пропеллеров APC MR специально предназначена для мультироторных летательных аппаратов (MR —

MultiRotor). В конструкциях мультикоптеров применяют также пропеллеры серии APC CF той же компании, которая предоставила данные о пропеллерах [1], полученные вычислительными методами на основе вихревой теории. Они хорошо согласуются с экспериментальными результатами из работ [2, 3].

Рис. 1. Схемы мультикоптеров:

а — квадрокоптер; б — гексакоптер; в — соосный октокоптер; г — трикоптер

Получены результаты квадратичной аппроксимации зависимости коэффициента тяги а(Х) и коэффициента мощности P(X) от коэффициента скорости (относительной поступи, числа Струхаля) X пропеллеров серии APC MR (табл. 1).

При использовании квадратичной аппроксимации коэффициенты тяги а(к) и мощности р(к) вычисляются по формулам

а (к) = а0 + а^ + а2к2, (1)

в(к) = во + pik + p2k2. (2)

Коэффициент к скорости определяется из равенства:

V

к = —, (3)

nD

где V — осевая скорость (в обсуждаемом случае скорость вертикального подъема); n — частота вращения пропеллера (об/с); D — диаметр пропеллера.

Таблица 1

Аэродинамические характеристики пропеллеров APC MR

Пропеллер Диаметр про- Коэффициент тяги Коэффициент мощности nmax ^опт ^95 ^90 ^85

пеллера d, м ао а1 а2 во в1 в2

APC 8x45MR 0,203 0,1223 -0,0349 -0,1448 0,0492 0,0673 -0,1457 0,7993 0,6270 0,5269 0,4760 0,4331

APC 9x45MR 0,229 0,1187 -0,0569 -0,1405 0,0459 0,0513 -0,1387 0,7698 0,5677 0,4755 0,4291 0,3904

APC 10x45MR 0,254 0,1140 -0,0763 -0,1291 0,0429 0,0355 -0,1248 0,7422 0,5198 0,4335 0,3908 0,3553

APC 10x55MR 0,254 0,1230 -0,0416 -0,1414 0,0511 0,0542 -0,1343 0,8033 0,6164 0,5187 0,4693 0,4279

APC 11x45MR 0,279 0,1055 -0,0823 -0,1254 0,0379 0,0292 -0,1182 0,7216 0,4818 0,4007 0,3608 0,3279

APC 12x45MR 0,305 0,1006 -0,0915 -0,1196 0,0351 0,0227 -0,1123 0,7018 0,4517 0,3749 0,3374 0,3065

APC 12x55MR 0,305 0,1117 -0,0693 -0,1299 0,0428 0,0320 -0,1179 0,7655 0,5299 0,4437 0,4009 0,3652

APC 13x55MR 0,330 0,1020 -0,0738 -0,1223 0,0373 0,0225 -0,1104 0,8308 0,5279 0,4486 0,4075 0,3726

APC 14x55MR 0,356 0,0983 -0,0829 -0,1172 0,0345 0,0186 -0,1008 0,7495 0,4694 0,3916 0,3534 0,3218

APC 16x55MR 0,406 0,0908 -0,0918 -0,1128 0,0300 0,0177 -0,1020 0,6990 0,4246 0,3519 0,3166 0,2875

APC 18x55MR 0,457 0,0847 -0,0961 -0,1134 0,0267 0,0144 -0,0986 0,6750 0,3906 0,3228 0,2901 0,2634

Известны также результаты квадратичной аппроксимации коэффициентов тяги и мощности от коэффициента скорости для пропеллеров серии APC CF (табл. 2).

Таблица 2

Аэродинамические характеристики пропеллеров APC CF

Пропеллер Диаметр про-пелле-ра D, м Коэффициент тяги Коэффициент мощности nmax ^опт ^95 ^90 ^S5

ао а1 а2 во в1 в2

APC 7x6SF 0,178 0,1333 0,0518 -0,1319 0,0760 0,1271 -0,1415 0,8734 0,9460 0,8006 0,7267 0,6643

APC 7x5SF 0,178 0,1351 0,0080 -0,1391 0,0670 0,0963 -0,1420 0,7949 0,7632 0,6384 0,5764 0,5247

APC 7x4SF 0,178 0,1306 -0,0347 -0,1393 0,0580 0,0656 -0,1385 0,7596 0,6396 0,5339 0,4815 0,4380

APC 7x38WSF 0,178 0,1764 -0,1045 -0,1275 0,0869 0,0401 -0,1503 0,7194 0,6306 0,5276 0,4766 0,4342

APC 8x6SF 0,203 0,1591 0,0092 -0,1452 0,0845 0,1129 -0,1617 0,8289 0,8373 0,7065 0,6400 0,5840

APC 8x47SF 0,203 0,1550 -0,0532 -0,1398 0,0743 0,0639 -0,1487 0,7531 0,6641 0,5556 0,5018 0,4570

APC 8x38SF 0,203 0,1424 -0,0811 -0,1393 0,0621 0,0457 -0,1454 0,7094 0,5685 0,4738 0,4272 0,3886

APC 9x75SF 0,229 0,1576 0,0412 -0,1519 0,0861 0,1444 -0,1732 0,8514 0,9114 0,7716 0,6998 0,6391

APC 9x6SF 0,229 0,1590 -0,0210 -0,1431 0,0801 0,0882 -0,1546 0,7939 0,7502 0,6297 0,5693 0,5187

APC 9x47SF 0,229 0,1498 -0,0773 -0,1302 0,0674 0,0493 -0,1399 0,7280 0,6065 0,5048 0,4548 0,4135

APC 9x38SF 0,229 0,1355 -0,0972 -0,1286 0,0569 0,0337 -0,1337 0,6820 0,5247 0,4352 0,3917 0,3560

APC 10x7SF 0,254 0,1597 -0,0095 -0,1459 0,0824 0,0966 -0,1581 0,8049 0,7785 0,6549 0,5926 0,5404

APC 10x47SF 0,254 0,1433 -0,0975 -0,1116 0,0622 0,0352 -0,1243 0,7006 0,5650 0,4672 0,4199 0,3812

APC 10x38SF 0,254 0,1285 -0,1059 -0,1157 0,0531 0,0248 -0,1211 0,6618 0,4989 0,4124 0,3708 0,3367

APC 11x7SF 0,279 0,1586 -0,0355 -0,1410 0,0788 0,0761 -0,1510 0,7803 0,7166 0,6010 0,5433 0,4951

APC 11x47SF 0,279 0,1369 -0,1050 -0,1121 0,0575 0,0299 -0,1230 0,6798 0,5286 0,4365 0,3922 0,3559

APC 11x38SF 0,279 0,1223 -0,1159 -0,1096 0,0490 0,0151 -0,1113 0,6506 0,4674 0,3861 0,3472 0,3155

APC 12x8SF 0,305 0,1612 -0,0357 -0,1264 0,0862 0,0609 -0,1098 0,6945 0,6770 0,5549 0,4981 0,4520

APC 12x6SF 0,305 0,1495 -0,1084 -0,0847 0,0691 0,0168 -0,0966 0,7292 0,6006 0,4969 0,4472 0,4065

APC 12x47SF 0,305 0,1306 -0,1042 -0,1236 0,0540 0,0238 -0,1226 0,6752 0,5010 0,4153 0,3740 0,3400

APC 13x47SF 0,330 0,1258 -0,1066 -0,1286 0,0511 0,0181 -0,1204 0,6740 0,4807 0,3996 0,3603 0,3280

APC 14x47SF 0,356 0,1197 -0,1094 -0,1299 0,0471 0,0164 -0,1184 0,6516 0,4526 0,3751 0,3379 0,3073

КПД пропеллера вычисляется [4, 5] по формуле

п=а^. (4)

PO.) 1 ;

Построены зависимости КПД от коэффициента скорости для пропеллеров APC MR (рис. 2). Определены значения максимального КПД пропеллеров и значения величины Хопт, при которой достигается такой КПД (см. табл. 1 и 2).

КПД

О 0,2 0,4 0,6 0,8 X

-8x4,5 -8x4,5 ^=10x4,5—10x5,5----11x4,5-12x4,5

--12x5,5-13x5,5 — 14x5,5 16x5,5.......18x5,5

Рис. 2. Зависимость КПД пропеллеров APC MR от коэффициента скорости

Если считать КПД двигателя постоянным, то минимальный расход энергии в расчете на 1 м подъема (удельный расход энергии) достигается, если пропеллер работает с наибольшим КПД, т. е. при фиксированном для данного пропеллера значении X = Хопт. Величина Хопт не зависит от нагрузки (веса летательного аппарата и силы лобового сопротивления) и плотности воздуха. Расход энергии при подъеме на заданную высоту минимален тогда, когда в любой момент подъема работа пропеллера оценивается максимальным КПД (при допущении, что КПД мотора — постоянная величина).

Удельный расход энергии имеет размерность джоуль на метр (Дж/м) или ньютон (Н). Если не учитывать силу лобового сопротивления и КПД двигателя, минимальный удельный расход энергии при подъеме составит G/^max (Н), где G — вес летательного аппарата.

Частота вращения пропеллера при оптимальном подъеме. Частота вращения пропеллеров мультикоптера при подъеме определяется значением тяги, которую должны создать пропеллеры. В дальнейших расчетах не будем учитывать силы инерции, поскольку ускорения (замедления) при подъеме в режиме 100 % газа (максимальном сигнале управления) малы и, по расчетам, не превышают 0,5 % ускорения свободного падения (если не принимать во внимание короткий момент старта и набора скорости). Не будут также учитываться потери от обдува частей летательного аппарата потоком воздуха от воздушных винтов. Площадь лучей мультикоптера, попадающих под создаваемый винтами поток, как правило, невелика.

Оптимальный вертикальный подъем электрического мультикоптера

Тяга пропеллера вычисляется [4] по формуле

Т = а(А)рп2 Б 4, (5)

где р — плотность воздуха.

При равномерном полете (силами инерции, а значит, и ускорением, пренебрегаем) вертикально вверх тяга пропеллеров должна уравновешивать вес летательного аппарата (О) и силу лобового сопротивления Ру:

ъ Т = О ( ¥у, (6)

где

V 2

Ру =рСу$—. (7)

Здесь г — количество пропеллеров мультикоптера (соосная схема, в которой пропеллеры работают в неравных условиях, здесь не рассматривается); Су — коэффициент лобового сопротивления при полете вверх (обычно так обозначают коэффициент подъемной силы крыла, но поскольку крыльев у мультикоптера нет, а речь идет о вертикальном полете (по оси у), такое обозначение здесь, полагаю, оправданно); £ — характерная площадь.

В расчетах можно использовать площадь мультикоптера в плане (без учета пропеллеров) и соответствующий коэффициент Су или площадь и коэффициент Су эквивалентной по сопротивлению пластины. Примем второй подход, рассматривая эквивалентную круглую плоскую пластину, для которой Су = 1,16 [6].

Подставим в выражение для силы лобового сопротивления (7) величину V из формулы (3):

п2 б2а 2

Ру = рСу£ ~~~~ (8)

Подставляя в уравнение равновесия (6) выражения для тяги (5) и силы лобового сопротивления (8), получаем соотношение, которое позволяет определить частоту вращения пропеллеров:

п 2 Б 2 А 2

га(А)рп2 Б4 = О + рСу£ —. (9)

Из формулы (9) частота вращения пропеллеров п выражается так: п =

грБ 4

О (10)

а (А) - А2 2 гБ2

Обозначим коэффициент сопротивления Яу, который определяется по формуле

Я=С*. (11)

Этот безразмерный коэффициент характеризует аэродинамическое сопротивление летательного аппарата при полете вверх и пропорционален отношению площади эквивалентной пластины к площади, ометаемой пропеллерами мультикоптера. При сохранении геометрического подобия конструкции мультикоптера Яу изменяется незначительно и не зависит явно от абсолютных размеров летательного аппарата. Это удобно в теоретических исследованиях и проектных расчетах. Если иметь в виду круглую эквивалентную пластину, можно вычислять коэффициент по формуле

Я

пС (П л2

ппл

"у

у 8г

v

Б

(12)

где Ппл — диаметр эквивалентной круглой пластины.

С учетом формулы (11) выражение для вычисления частоты вращения пропеллеров можно записать так:

п

V

О (13)

грП4 [а (X) - Яу X 2 ]'

Для того чтобы определить частоту вращения для оптимального подъема, нужно подставить в формулу (13) значение X = Хт и а(Аопт) из табл. 1, 2.

Как видно из выражения, частота становится больше с увеличением веса и лобового сопротивления. Если лобовое сопротивление слишком велико, необходимую частоту нельзя достигнуть. Предельное значение коэффициента Яу может быть определено из условия обращения в ноль знаменателя в формуле (13):

Яу <ОА>. (14)

Для круглой пластины должно выполняться соотношение

Бл < 1Щ. (15)

п УпСу X 2

Оптимальный вертикальный подъем электрического мультикоптера

Для квадрокоптера (z = 4) с пропеллерами APC 12*45MR при X = Хопт получается, что D^ < 1,22. При D^ = 0,5 коэффициент

Ry = 0,028.

Оптимальная скорость подъема. Зная частоту n и значение X, скорость подъема можно найти из формулы (3):

V = knD. (16)

С учетом выражения (13) определим, что

V = к

V

G (17)

zD2p[a (к ) - Ry к 2 ]'

Выражение пропорционально нагрузке на ометаемую про-zD

пеллерами мультикоптера площадь (нагрузке на диск). Как следует из формулы (17), оптимальная скорость вертикального подъема пропорциональна квадратному корню из нагрузки на ометаемую площадь.

Для примера вычислим оптимальную скорость подъема у поверхности Земли (р = 1,226 кг/м ) для квадрокоптера с пропеллерами APC 12x45MR (D = 0,305 м, Хопт = 0,4517; а(Хопт) = 0,03487) полетной массой 2,7 кг (вес 26,5 Н) и коэффициентом сопротивления Ry = 0,028 [7]:

/Г г

----,-2 = 20, 2 м/с.

4 • 0,3052 • 1,226 • (0,03487 - 0,028• 0,45172)

Увы, максимальная расчетная скороподъемность этого квадрокоптера у поверхности Земли составляет только около 11 м/с [8]. Разумной стратегией в такой ситуации является подъем с максимально возможной скоростью.

Зависимость оптимальной скорости от высоты. Плотность воздуха уменьшается с высотой. Как следует из формул (13) и (14), по мере подъема при уменьшении плотности воздуха частота вращения винтов и скорость подъема должны увеличиваться, чтобы подъем происходил в режиме максимального КПД пропеллеров. В общем случае такая задача невыполнима хотя бы потому, что по мере приближения к потолку висения скорость подъема стремится к нулю.

На небольших высотах (до 1000 м), на которых, как правило, и используются мультикоптеры, увеличение скорости по мере подъема возможно при условии, что летательный аппарат обладает достаточным запасом тяги. Однако и в этом случае нет необходимости проек-

тировать мультикоптер в расчете на возможность увеличения скорости в ходе подъема. Пример расчета скороподъемности [8] показывает, что пропеллеры APC 12*45MR квадрокоптера, начинающего взлет в оптимальном режиме (расчетный КПД равен 0,702), при полете в режиме постоянного газа на высоте 1000 м работают с КПД, равным 0,698. Таким образом, можно считать, что в случае, если у поверхности Земли обеспечивается оптимальная скорость подъема, его можно продолжать при постоянном (максимальном) газе, практически без потери энергоэффективности.

Квазиоптимальный подъем. Для достижения оптимального режима подъема требуется достаточно высокая скорость, которую можно достичь, если летательный аппарат обладает большим запасом тяги. Проектирование летательного аппарата с большим запасом тяги может быть невыгодно: увеличиваются необходимая мощность и вес моторов, что, в свою очередь, требует увеличения прочности конструкции, а значит, веса рамы и т. д.

Разумным компромиссом может быть подъем со значением коэффициента скорости X несколько меньше оптимального. Поскольку в окрестности максимума значение КПД пропеллера малочувствительно к небольшим изменениям X (см. рис. 2), можно рассчитывать, что при заметном уменьшении коэффициента скорости КПД снизится не столь существенно.

Определены значения коэффициента скорости, которые дают 85, 90 и 95 % максимального КПД (см. табл. 2). Пользуясь этими данными, вычислим скорость подъема, обеспечивающую 90 % максимального КПД для квадрокоптера, параметры которого использованы в примере выше:

Полученное значение сопоставимо с расчетной скороподъемностью этого летательного аппарата у поверхности земли.

Расчетный запас тяги. Достижение оптимального (или квазиоптимального) коэффициента скорости при подъеме может служить одним из критериев при проектировании многороторного летательного аппарата. Важнейшим параметром, определяющим скоростные и динамические характеристики мультикоптера, является запас тяги (тяговооруженность) — отношение максимальной тяги к весу муль-тикоптера у поверхности Земли:

= 11,2 м/с.

(18)

где кТ — коэффициент запаса тяги (тяговооруженность); Т[00 — тяга одного пропеллера при работе на месте у поверхности Земли при 100 % газа.

Определим тяговооруженность, которая обеспечит заданный коэффициент скорости при подъеме у поверхности Земли. Механическая характеристика бесколлекторного (вентильного) электромотора (зависимость частоты вращения от крутящего момента) может быть выражена [8] формулой

П = П0 - ^^М, (19)

где п0 — частота холостого хода электромотора; М — крутящий момент на валу двигателя; М100 — крутящий момент при замере тяговооруженности (работа винтомоторной группы на месте при 100 % газа); п100 — частота при замере тяговооруженности.

Учитывая связь крутящего момента и тяги пропеллера Т, уравнение (19) можно [8] переписать:

(п0 - п100 )а0^ п = п0 1 п а-Тг, (20)

где а и в — коэффициенты тяги и мощности для заданного значения X, например, для X = Хопт.

Обозначим коэффициент, определяющий жесткость характеристики двигателя:

П100 = —, П100 ^ 1. (21)

п0

Тяга, создаваемая пропеллерами при полете вертикально вверх, выражается формулами (6) и (8). Величина п100 может быть найдена из выражения (5) при Т = кТО и а = а0:

"100 =,р£г ■ <22>

\ра0В I

Значение п определяется по формуле (13). Делая соответствующие подстановки в формулу (20) и выполняя преобразования, получаем

=кт-(1-П100 УХ2 Т У '10^Р0 а-Яу,

Решаем квадратное уравнение (23) относительно л/кТ:

^100. =кт - (1 - П100) £ —Л0. (23)

V а - ЛХ2 в0 а - Л,Х2

кт- а о

(а-Л, X2 )

П100 ^П2оо + 4 Iе (1 -П1оо )

(24)

Можно отметить, что увеличение лобового сопротивления и уменьшение жесткости механической характеристики двигателя увеличивают значение тяговооруженности, необходимое для оптимального (или квазиоптимального) подъема. Рассмотрим частные случаи. Для двигателя с идеально жесткой характеристикой п1оо = 1 по формуле (24) получаем

кт (25)

т a-RyX2

Если при этом не учитывать лобовое сопротивление, формулу можно еще упростить:

кт (26) а

Пример расчета необходимой тяговооруженности. Расчет выполним для квадрокоптера с пропеллерами APC 12*45MR (D = 0,305 м, ао = 0,1006; во = 0,0351; ^т = 0,4517; а(^пт) = 0,03487; Р(Хопт) = 0,02244; ^о = 0,3374; а(Хэд) = 0,05611; Р(Хэд) = 0,02997) и коэффициентом сопротивления Ry = 0,028. Коэффициент жесткости характеристики двигателя п1оо = 0,65.

По формуле (24) для значения Хопт получаем кт = 2,79, что скорее превышает обычные для аппаратов такого класса значения, но дает КПД пропеллера в значении 0,70. Для квазиоптимального подъема при 90 % максимального КПД (в данном случае это 0,63) расчет дает кт = 1,76, что примерно соответствует фактической тяговооруженно-сти летательного аппарата, данные которого использованы в примере.

Влияние КПД двигателя. В приведенных выше материалах не учитывалось, что удельный расход энергии при вертикальном подъеме определяется не только КПД пропеллера, но и КПД двигателя.

При средних и больших нагрузках КПД бесколлекторного (вентильного) двигателя можно приближенно оценить отношением п/по, где п — частота вращения под нагрузкой; по — частота холостого хода при том же управляющем сигнале (среднем напряжении питания) [9]. Такая оценка вполне приемлема, поскольку моторы мультикоптера работают со значительной нагрузкой, обеспечивая тягу несущих винтов не меньше веса летательного аппарата. Фактический КПД будет несколько меньше этой оценки. Использованная выше величина п1оо приближенно равна КПД мотора мультикоптера в случае работы пропеллера на месте при 1оо % газа у поверхности Земли.

Механические характеристики (зависимость частоты вращения от крутящего момента) двигателя при 100 % газа и при меньшем управляющем сигнале (среднем напряжении), которые иллюстрирует рис. 3, представляют собой прямые, имеющие одинаковый наклон [9].

О м м100 м

Рис. 3. Схема для расчета КПД мотора

Точка A (см. рис. 3) соответствует работе винтомоторной группы на месте при 100 % газа (режим измерения тяговооруженности), точка B — текущему режиму работы, который характеризуется крутящим моментом M и частотой вращения n и для которого нужно определить КПД.

Эластичность механической характеристики e (тангенс угла наклона линии механической характеристики к оси абсцисс) выражается таким образом:

e = , (27)

M loo

а КПД мотора пМ (в точке B на рис. 3) можно вычислить по формуле

Пм =4" = —• (28)

no n + eM

Подставляя равенство (27) в выражение (28), учитывая соотношение (21) и выполняя преобразования, получаем

Пм =—(1 „ 1-гт" • (29)

1 ( (1 -nioo) nioo M

nioo n Mioo

Зависимость частоты n от коэффициента скорости X выражается формулой (13). Частота nioo может быть найдена из равенства (22). Крутящий момент M, создаваемый пропеллером, определяется так:

М = ±- рв(Х)п2 В5. (30)

2п

Формулу (30) можно непосредственно использовать для вычисления величины М из выражения (29). Для вычисления М100 необходимо подставить в(Х) = р0 и п = п100 в формулу (30):

МШ0 = ^ рр0пшВ5. (31)

Подставив выражения для М, п, М100, п100 в формулу (29) и выполнив элементарные преобразования, получим зависимость КПД мотора от коэффициента скорости X:

Пм =-П"*|Р0, . (32)

Л.00Р0 + (>-Л,00)в(Х^ кТ[а(Х)^

Перемножив КПД пропеллера и КПД мотора, получим КПД винтомоторной группы (ВМГ):

п =_Ха(Х) П100Р0_ (33)

"лвмг = г 1. (33)

Р(А)

сх

П100Р0 + (1 -П100 )в(А) '

kT (а(А) - RyА2 )

Значение X, при котором достигается максимум функции (33), можно определить численным методом, как численно найдены значения Хопт, приведенные в табл. 1, 2. Однако это значение, в отличие от Хопт для пропеллера, зависит от тяговооруженности, жесткости механической характеристики мотора и лобового сопротивления. Поэтому делать такие расчеты заранее и табулировать их нерационально.

Вместе с тем оказывается, что вычисляемый по формуле (32) КПД мотора незначительно изменяется в интересующем нас диапазоне значений X при обычном сочетании параметров мультикоптера. Зависимости КПД пропеллера APC 12*45MR, КПД электромотора (П100 = 0,65) при трех вариантах параметров, а также КПД соответствующих ВМГ представлены на рис. 4.

Как видно, значение X, соответствующее максимуму КПД винтомоторной группы, незначительно отличается от Хопт пропеллера. Еще меньше отличие от своего максимального значения в величине КПД винтомоторной группы при X = W Это позволяет использовать значения X из табл. 1 и 2 для расчета оптимального и квазиоптимального вертикального подъема. При этом погрешность таких расчетов, в ко-

КПД

О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 X

-Пропеллер Мотор-1 ВМГ-1

-Мотор-2--ВМГ-2

_ Мотор-З - - ВМГ-3

Рис. 4. КПД винтомоторной группы: Мотор-1, ВМГ-1: кТ = 1,7; Яу = 0,028; Мотор-2, ВМГ-2: кТ = 1,7; Яу = 0,055; Мотор-3, ВМГ-3: кТ = 2,5; Яу = 0,028

торых не учитывается КПД мотора, будет незначительна. Разумеется, само значение КПД винтомоторной группы с учетом КПД мотора будет ниже КПД пропеллера. Если, например, КПД винтомоторной группы составляет 50 %, то удельный расход энергии будет равен 2G Дж/м (или ньютонов).

КПД мотора при висении. Формулу (32) можно использовать для оценки КПД мотора при зависании мультикоптера у поверхности земли. Такой режим является одним из основных для летательного аппарата рассматриваемого класса. Подставив в выражение (32) значение X = 0, получаем

Формула (34) дает оценку сверху КПД мотора при висении, она применима для значений коэффициента запаса тяги кТ от 1 до примерно 2,5, что соответствует значениям тяговооруженности реальных летательных аппаратов.

Заключение. Скорость вертикального подъема, обеспечивающая минимальный расход энергии аккумуляторной батареи для подъема на заданную высоту, обратно пропорциональна квадратному корню из нагрузки на ометаемую площадь и увеличивается с усилением лобового сопротивления. Зависимостью от плотности воздуха на высотах, не превышающих 1000 м, можно пренебречь. Необходимая для достижения заданной оптимальной скорости тяговооруженность зависит от аэродинамических характеристик пропеллеров, жесткости механической характеристики двигателя и коэффициента лобового

(34)

сопротивления. В случае, если достижение тяговооруженности, необходимой для оптимального подъема, невозможно или нерационально, в расчетах можно использовать коэффициент скорости, при котором КПД пропеллера снижается незначительно, а необходимые скорость подъема и тяговооруженность заметно уменьшаются.

Изменение КПД двигателя в зависимости от коэффициента скорости незначительно влияет на параметры оптимального и квазиоптимального режима подъема, что позволяет использовать для расчета оптимального подъема в первом приближении только характеристики пропеллера.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Landing Products Inc. APC Propeller Performance Datа. URL: http://www.apcprop.com/Articles.asp?ID=270

[2] Brandt J.B. and Selig M.S., Propeller Performance Data at Low Reynolds Numbers. 49th AIAA Aerospace Sciences Meeting. AIAA Paper 2011-1255, Orlando, FL, January 2011. URL: http://m-selig.ae.illinois.edu/pubs/BrandtSelig-20ll-AIAA-20ll-l255-LRN-Propellers.pdf

[3] Brandt J.B., Deters R.W., Ananda G.K. and Selig M.S. UIUC Propeller Database, University of Illinois at Urbana-Champaign,

URL : http ://m-selig. ae.illinois.edu/props/propDB. html

[4] Прицкер Д.М., Сахаров Г.И. Аэродинамика. Москва, Машиностроение, 1968, 310 с.

[5] Обуховский А.Д. Аэродинамика воздушного винта. Новосибирск, Изд-во НГТУ, 2009, 80 c.

[6] Справочник авиаконструктора. Т. 1. Аэродинамика самолета. Москва, Издательство ЦАГИ, 1937, 512 с.

[7] Свердлов С.З. Квадролёт.

URL: http://forum.rcdesign.ru/blogs/174358/blog18011.html

[8] Свердлов С.З. Скороподъемность электрического мультикоптера. Мехатроника. Автоматизация. Управление, 201б, т. 17, № б, с. 425-432.

[9] Овчинников И.Е. Вентильные электрические двигатели и привод на их основе (малая и средняя мощность). Санкт-Петербург, Корона. Век, 200б. 336 с.

Статья поступила в редакцию 24.05.2016

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Свердлов С.З. Оптимальный вертикальный подъем электрического мультикоптера. Инженерный журнал: наука и инновации, 2016, вып. 11.

http://dx.doi.org/lG.l8698/23G8-6G33-2Gl6-ll-l55l

Свердлов Сергей Залманович — канд. техн. наук, профессор кафедры прикладной математики Вологодского государственного университета. Область деятельности и научные интересы: информационные технологии, цифровая фотография и обработка изображений, беспилотные вертолеты. e-mail: c3c@uni-vologda.ac.ru

Optimum vertical ascent of an electric multicopter

© S.Z. Sverdlov

Vologda State University, Vologda, 160000, Russia

We consider the problem of a vertical climb that minimises battery power consumption. We obtained equations for the velocities of optimum and quasi-optimum ascent along with an equation for computing aircraft thrust-to-weight ratio that ensures optimum ascent. We studied the effect that varying the electric motor energy conversion efficiency had on optimum ascent computations. We derived an equation for estimating the electric motor energy conversion efficiency in aircraft hover mode. The article presents propeller aerodynamic parameters required for determining the optimum ascent.

Keywords: multi-rotor unmanned electric helicopter, multicopter, optimum vertical ascent, energy conversion efficiency, specific power consumption, thrust-to-weight ratio, aircraft power plant, brushless electric motor.

REFERENCES

[1] Landing Products Inc. APC Propeller Performance Datа. Available at: http://www.apcprop.com/Articles.asp?ID=270

[2] Brandt J.B., Selig M.S. Propeller Performance Data at Low Reynolds Numbers. 49th AIAA Aerospace Sciences Meeting, Orlando, 2011.

[3] Brandt J.B., Deters R.W., Ananda G.K., Selig M.S. UIUC Propeller Database, University of Illinois at Urbana-Champaign. Available at:

http://m-selig.ae. illinois.edu/props/propDB.html

[4] Pritsker D.M., Sakharov G.I. Aerodinamika [Aerodynamics]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1968.

[5] Obukhovskiy A.D. Aerodinamika vozdushnogo vinta [Propeller aerodynamics]. Novosibirsk, Novosibirsk State Technical University Publ., 2009, 80 p.

[6] Spravochnik aviakonstruktora [Aircraft designer handbook]. Vol. 1: Aerodinamika samoleta [Airplane aerodynamics]. Moscow, TsAGI (Central Aerohydrodynamic Institute) Publ., 1937, 512 p.

[7] Sverdlov S. Kvadrolet [Quadcopter]. Available at: http://forum.rcdesign.ru/blogs/174358/blog18011.html

[8] Sverdlov S.Z. Mekhatronika, avtomatizatsiya, upravlenie — Mechatronics, Automation, Control, 2016, vol. 17, no. 6, pp. 425-432.

[9] Ovchinnikov I.E. Ventilnye elektricheskie dvigateli i privod na ikh osnove (malaya i srednyaya moshchnost) [AC converter-fed motors and drives based on them (low and medium power)]. Saint Petersburg, Korona-Vek Publ., 2006, 336 p.

Sverdlov S.Z., Cand. Sci. (Eng.), Professor, Department of Applied Mathematics, Vologda State University. Specializes in information technology, digital photography and image processing, unmanned helicopters. e-mail: c3c@uni-vologda.ac.ru