CC BY
20
УДК 517.2 Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2007, вып. 4
С. С. Расова
ВЫБОР МОМЕНТА НАЧАЛА СТРАХОВАНИЯ ПРИ НЕМОНОТОННОЙ ДЕГРАДАЦИИ
1. Введение. В работе рассматривается модель страхования, с точки зрения клиента страховой компании. В этой модели предполагается наличие двух сторон: страхуемого (клиент, страхователь, insurant) и страхующего (страховщик, insurer), заключающих страховой договор, в соответствии с которым клиент платит страховщику определенную сумму (страховую премию) до момента наступления страхового события, а страховщик обязуется выплатить страховое возмещение в случае наступления страхового события, если момент страхования наступил до него.
Будем считать, что страховое событие происходит в случайный момент С- Клиент заключает страховой договор в момент т, если до него не наступило страховое событие, и выплачивает страховую премию в размере V в единицу времени начиная с момента г и до момента £. В момент £ клиент получает от страховщика сумму W. Затраты клиента составляют
Хт = V(C - т)+ - WI{( > т} + С,
где С - ущерб, вызванный страховым событием; (£ — т)+ = max{0,C — г}; /{£ > г} -индикатор события {( > г}. Это означает, что страховое событие (например, поломка автомобиля) происходит обязательно, но компенсация потерь будет произведена только в том случае, когда страхование начинается в момент т, предшествующий этой поломке.
Средние потери клиента ЕХТ = VE{С - т; С > т) - WP{( > т} + ЕС. Предполагается, что опасность наступления страхового события пропорциональна степени износа некоторой детали, служащей диагностическим параметром объекта. Таким образом, если происходит случайный процесс £(£), опасность отказа объекта страхования, то известна условная функция надежности > ¿10 = ехР(~ /о ds) при фиксированной опасности отказа £(£). Момент т начала страхования является марковским моментом при наблюдении за случайным процессом Следовательно, г = т(£) и условная вероятность того, что клиент застрахуется, есть
Р(С>т|0=ехр - J £(s) ds ,
V 0 /
а условное математическое ожидание длительности периода страхования равно
оо / i \
£«-т;С>т|0= J ехр - J ф) ds j dt.
r(í) V о /
Тогда средние потери клиента в терминах распределения £ составляют
ЕХТ = Eq If J ехр í - J £(e) ds I dt - Wex p J f(e) ds^) ] + EC, (1)
© С. С. Расова, 2007
где С) - распределение процесса; - математическое ожидание по данному распределению; при этом считается, что С - случайная величина, независимая от £ и
Б. П. Харламовым [1] был найден оптимальный момент начала страхования в предположении, что процесс износа - монотонный неубывающий. Было установлено, что оптимальным является момент пересечения процессом износа некоторого уровня, который определяется в соответствии с параметрами процесса. В настоящей работе рассматривается случай, когда этот процесс немонотонный. Будет ли в таком случае существовать оптимальный момент начала страхования и, если да, будет ли он моментом пересечения данного уровня?
2. Немонотонная модель. Необходимым условием оптимальности момента т относительно функционала ЕХТ является соотношение [1]
Ясно, что для непрерывного монотонного процесса марковский момент с таким свойством определяется единственным образом. Это момент первого пересечения уровня Ь = В настоящей статье рассматривается немонотонный процесс опасности отказа, для которого выполнение условия (2) не означает, что момент первого пересечения оптимальный.
Изучим немонотонный процесс £(£), £ ^ 0, частного вида, который представляет собой процесс регенерации с моментами первого выхода из интервала (0, с) в качестве моментов регенерации и с возвращениями в точку 0 в момент регенерации. Траектория данного процесса состоит из последовательности отрезков непрерывных неубывающих процессов со значениями из интервала [0, с), с > 0. Процесс такого вида встречается в реальной жизни: момент регенерации при достижении процессом некоторого уровня соответствует замене элемента, за степенью износа которого ведется наблюдение, новым элементом [2]. Он бесконечно много раз пересекает снизу вверх любой уровень Ь £ (0,с). Пусть - г-й момент достижения уровня Ь. При этом - марковский момент и £(тьг) = Ь для всех траекторий процесса, т. е. выполняется условие (2).
Рассмотрим функционал (1) (средние потери клиента) для марковского момента т = То, что момент п-го достижения процессом уровня Ь € (0,с) т = т™, означает, что до данного момента процесс п — 1 раз достигал уровня с, поэтому
При этом Ес}(Е(С|£)) = Е(. Без потери общности можно предположить, что ЕС, < оо.
Рассмотрим отдельно каждое из слагаемых в (1) под знаком математического ожидания по распределению Ц. Для второго слагаемого находим
71 — 1
¡=1
где 9г - оператор сдвига на множестве траекторий процесса. Обозначим
= £ \1*(8)Ла)овтГ1 + здесь использована замена
О < « - т'"1 = Я1 < Т,' - г'"1 =тс0вг1-х, + Г*"1) = е(в1) о
Отсюда получаем, что
ехр
п-1
¿=1
- у1 £00 <Ь = ехр ( - [ I £(5) ¿8 | О 0гГ1 - | у £(*) йз ) О Тогда по свойству регенерации процесса £ с мерой С) имеем
Есз ехр I £(«) <Ь | = = ( Ее} | ехр [ -- у £(5) Ж ) ) ) ^ (ехр ( - £(«) Л| ) = /с"
„-1 =
1Л,
где
/б
/с = |^ехр у £(а) (Ь
Рассмотрим теперь первое слагаемое:
ТЬ / г дь{п) = У ехр ( - у | сИ =
о V о
= (ехр (-^£(5)^
= У ехр ( - У £(*) I ^ + У ехр ( - У £(й) с/в | <Й =
= 9с{п - 1) + ехр
= 9с{п - 1) + ехр I - J
-1 а*) <1*
сИ =
г-т?
- I Ца1)(1а1 овт»-г <Й,
в котором
О < Ь - тГ1 = ¿1 < тьп - г,"-1 =4 О 0Т._,, г = и + г,"-1,
дс{п- 1) = / ехр
О < Я1 = 5 - г»"1 < « - гГ1, + тГ1) = {(в) о
Делаем замену переменных 0 < £ - т™-1 = < г6п - г™-1 = ть о втп-1. Тогда
= - 1) + ехр - J сЫ J | ехр I ~ I ° ^т»-1 ] =
= - 1) + ехр - I ф) ¿8 I /ехр -/£(в) <*в ) ) о вт
Отсюда по свойству регенерации имеем
/ --1
Еддь(п) = Е(здс(п - I) + Е<з ехр
- I £(а) I ехр -1 е(в) сИ =
\ 0
= - 1) + /с(п -
Следовательно,
- 1) = - 2) + /с"-25с = + /сдс + /с 9с + • • • + /Г29с =
п-2
к=О
1-/Г1
/с '
п-1
Тогда 68
-1 /с
I ехр ( - I £ (в) Л? I Л - ехр - У «¿в
Уь"
+ £С =
= У(ЕаШ\ О) - EQgb(n)) - w/r1/» + яс =
= V ( ЕС - - fc~l(Jb ) - Wfr'fb + ЕС,
где
fx = -Eq |^ехр J £(s)ctej j , gx = Eq exp J £(u)duj duj , x = b,c. Отсюда
FIX- - VF,(r\ - VnJ
l-/c
№ = VB(0 - Vffc1, /c" 1 - У/Г^ь - Wf"~lfb + ЕС = Fi.
Найдем приращения
Fn - F„_! = - - Wf?fb + V»^1 - У/ГЧ - Wfr'h =
= V9cf\~J}c 1 - V/r^/c - - fr'Wfbife ~ 1) =
= -^ffc/r1 + v/cn_1(i - fc)9b + wfr'Mi - fc) =
= frH-Vgc + V(1 - fa)gb + WM 1 - fc)) = (1 - fc)fr1 + У9b + Wfb
Получаем fc > 0, 1 — fc > 0. Следовательно, знак приращения полностью определяется знаком выражения:
G=-VT^T+Vgb + Wfb. (3)
•L Je
Если G ^ 0, т. е. Fn — Fn-1 ¡г 0, то последовательность {Fn} не убывает с ростом п. Таким образом, в данном случае оптимальное решение существует: оптимальным является момент первого достижения процессом уровня Ь = Если G < 0, т. е. Fn — Fn-1 < 0, то последовательность (Fn) убывает с увеличением п. Тогда оптимального решения нет, так как каждое последующее пересечение процессом некоторого уровня b более предпочтительное, чем предыдущее.
3. Кусочно-линейная модель. В качестве процесса износа рассмотрим немонотонный процесс, траектория которого состоит из последовательности отрезков возрастающих линейных функций со значениями из интервала [0, с), с > 0. Линейные функции имеют вид £,(s) = s/Ki, где (Кп) - последовательность независимых и одинаково распределенных положительных случайных величин. Функция G = G(b,c) в данном случае имеет точное аналитическое представление, если К\ экспоненциально распределено: Q{K 1 > t) = exp(-Ai) (А > 0). При этом ть = ЬК\. Имеем
fb = Eq \ exp = Eq ( exp ( = Eq (exp
Рис. 1. А-сечение функции б при Л = | (а), 1 (б) и 2 (в).
оо
= J Аехр(—Хх) ехр -
Ь2х\ , 2А
Яд (/ехР (- / ^ <*«) =Ес}(] 6ХР (Ы
дь — Ад | / ехр | - / — с?й | с?и \ о
После замены и/Л-! = £ получаем
5ь
О 2 \ °° 2 ^ехр ) | = А J ехР (~Аж) х I ехР ^¿х =
Ь оо
Г
/(1Ь 1 г
--о = Т / о •
(А + г2/2) А у ^ ■ "
•п*
о о
Замена ¿/-\/2А = Ьап(а/2) дает
2агс1ап(Ь/-\/2А)
СЙ
\/2А
/
о (А + ¿2/2) А 7 (1 + г2/(2А))
(¿а
соз2(а/2)(1 + 1ап2(а/2))'
в
Рис. 2. (7, ¿)-сечение функции С? при разных 7 и <5. а - 7 = 0,61,5 = 16,4; б - 7 = 0,28, 8 = 81, 4; в - 7 = 0,38,5 = 33,4.
1 ( Ь Л 6 \\
= —= 2 агйап —7= + 8т 2 агс1ап .—
2^2Л V у/2\ V л/2А//
Заменяя Ь на с, выводим выражения для /с и дс.
Теперь, взяв в качестве момента первого выхода момент пересечения уровня Ь — можно проверить, является ли он оптимальным. Задав значения У, IV, с, А, вычисляем функционалы /ь, дь, /с, 9с, определяем знак функции (7 и принимаем решение об оптимальности момента первого выхода.
В функции трех переменных Ор, с, А) можно произвести замену переменных х = 2аг^ап(Ь/л/2А), у = 2агс1ап(с/\/2А), 0 < ж, < тт. Следовательно, Ъ — \/2А 1ап(х/2), с = л/^йап(?//2). Тогда
<5(ж,?/,А) = О (\^лtan(2;/2),v/2лtan(2//2),л) .
На рис. 1, а-е даны А-сечения функции <3(х,у,\) в виде набора линий одинакового уровня. На каждом из рисунков незаштрихованная область выше диагонали квадрата (0,7г) х (0,7г) есть область отрицательных значений (3{х,у, А).
4. Кусочно-монотонная полумарковская модель. Когда мы имеем дело с полумарковским процессом, функционалы /ь, дь, /с, дс можно преобразовать. Поскольку монотонный полумарковский процесс является обращенным процессом с независимыми
положительными приращениями, то для него справедливо разложение Леви-Хинчина:
\/А > О и О, £(ехр(-Ат6)) = ехр(- [ /3(Х,з)йз),
)о
где Р(Х,х) = Аа(:с) + /0°£(1 — ехр( — Аи))г/(й-и| х)\ а{х) - интегрируемая неотрицательная функция; и(с1и\х) - интегрируемое семейство мер на интервале (0, оо). Тогда, согласно теореме (см. [1]),
}с = £<э ^ехр У С» (в) ^ = ехр J 0(х) йх^ ,
9с = ^/ехР / ^ = / ехР |I
Заменив в этих формулах с на Ь, получаем выражения для /ь и дь- Если на интервалах монотонности в качестве полумарковского рассмотреть обращенный гамма-процесс, то 0(х) = ¿1п(1 + Тогда
/ / Ь\\ Г
h = ехр (6Ь-¿(7 + Ь)\п 11 + -J J , дь = 6 J ft V - '
о
dt,
где <5 и 7 - параметры гамма-процесса. Подставив с вместо ft, выводим выражения для
/с И £fc.
На рис. 2, а-о показаны (7, ¿)-сечения функции G(b, с, 7,6) в виде набора линий одинакового уровня. На каждом из рисунков незаштрихованная область выше диагонали квадрата есть область отрицательных значений функции G(b,c,"/,S). Размерность по осям - миллиграммы - есть размерность величины износа. Данные по износу материалов (разные грани сапфиров) предоставила лаборатория трения и износа Института проблем машиноведения РАН. Была использована модель износа сапфира в виде обращенного гамма-процесса. Оценки параметров взяты из работы [3], в которой проведен анализ процесса изнашивания. Каждая из трех граней сапфира представлена двумя оценками параметров (7, <5) соответствующего гамма-процесса.
Summary
Rasova S. S. Choice of time of the beginning of insurance of objects with non-monotone degradation.
The problem of searching an optimal time of the beginning of some object insurance is under consideration provided its degradation is observed. The degradation process involved is supposed to be random. Two particular types of such processes, piecewise-linear and piecewise-serni-Markov, are dealt with. For such processes it is shown that an optimal time of the beginning of insurance does not always exist. If this time does occur it is the first crossing time of a given level to be determined by the problem parameters.
Литература
1. Харламов Б. П. О выборе момента начала страхования // Автоматика и телемеханика. 2003. Вып. 7. С. 134-142.
2. Bagdonavicius V., Bikelis A., Kazakevicius V., Nikulin M. Non-parametric estimation in degradation-reneval-failure models // Probability, Statistics and Modelling in Public Health / Eds. by M. Nikulin, D. Commenges, C. Huber. Berlin: Springer, 2006. P. 23-36.
3. Расова С. С., Харламов В. П. Полумарковская модель деградации и задачи надежности // Proc. of Intern, scientific school: Modelling and analysis of safety and risk in complex systems. СПб., 2006. С. 404-414.
Статья рекомендована к печати членом редколлегии проф. В. Ф. Демьяновым.
Статья принята к печати 24 мая 2007 г.
