CC BY
23
DOI 10.36622/^Ти.2021.17.2.004 УДК 519.852
ВЫБОР МЕТОДА ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ НА ОСНОВЕ
ВЫЯВЛЕНИЯ АНОМАЛЬНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ
С.И. Носков
Иркутский государственный университет путей сообщения, г. Иркутск, Россия
Аннотация: описываются свойства методов оценивания параметров регрессионных моделей - наименьших квадратов, модулей, антиробастного, а также их применения для решения конкретных практических проблем. При этом метод наименьших модулей не реагирует на аномальные наблюдения выборки, метод антиробастного оценивания сильно отклоняет линию регрессии в их направлении, метод наименьших квадратов занимает промежуточное положение. Показано, что если целью построения модели является проведение на ее основе многовариантных прогнозных расчетов значений зависимой переменной, то выбор метода численной идентификации параметров модели следует производить на основе анализа характера выбросов. Если есть основания полагать, что подобные им ситуации могут иметь место в будущем, следует выбрать метод антиробастного оценивания, в противном же случае - метод наименьших модулей. Построена регрессионная модель грузооборота Красноярской железной дороги на основе применения всех трех методов оценивания параметров. Проведен анализ причин, имеющих место в 2010 году в ситуации резкого падения величины грузооборота, которая вполне может характеризоваться как аномальное наблюдение в данных. Сделаны рекомендации по выбору метода оценивания параметров в этом случае
Ключевые слова: регрессионная модель, методы наименьших квадратов, модулей, антиробастного оценивания, выброс, прогнозирование, грузооборот
Введение
Методы регрессионного анализа давно и эффективно применяются при анализе сложных систем самого различного характера и масштаба. Наиболее популярным методом оценивания неизвестных параметров регрессионных моделей является метод наименьших квадратов (МНК). Так, с его помощью построена модель продаж [1]. В работе [2] построены регрессионные модели рельсовой колеи в зависимости от числа проходов вагона-путеизмерителя линейного, полиномиального и логарифмического типов. В [3] представлена модель топливно-скоростных свойств грузовых автотранспортных средств серийного производства в системе автомобиль-дорога. Регрессионные модели специализированного биометеорологического показателя для погод-но-климатических условий Арктики в зимний период разработаны в [4]. Менее часто построение регрессионных моделей осуществляется посредством применения метода наименьших модулей (МНМ). Так, в работе [5] описана модель условного среднего экономического ущерба муниципальных образований Свердловской области от пожаров. В [6] показана возможность эффективного применения МНМ при решении задач обработки и анализа изображений. В [7] решена задача оценивания тен-
зора инерции орбитальной станции «Мир» по данным измерений кинетического момента. В работе [8] приведен весьма интересный обзор публикаций по вопросам применения методов регрессионного анализа в технической сфере. В частности, рассмотрены следующие модели: взаимосвязи характеристик обрабатываемого материала и технологических режимов лазерного упрочнения с глубиной поверхностного слоя; плотности имитационного шпика; длительности опорожнения ёмкости смесителя от остатков (выгрузки) при приготовлении зерновой смеси при производстве комбикормов; вычисления температуры вспышки в закрытом тигле; влияния факторов условий эксплуатации на температуру поверхности автомобильного генератора; мониторинга графиков движения поездов по критерию энергетической эффективности; определения рациональных конструктивных параметров рифлёного валка. Одним из наименее популярных методов построения регрессионных моделей является метод антиробастного оценивания, основанный на расстоянии Чебышева между фактическими и расчетными значениями выходного фактора. Так, в работе [9] он применяется для моделирование валового регионального продукта Иркутской области. В [10] с его помощью построена модель объема погрузки грузов на железнодорожном транспорте. В работах [11-15] рассмотрены различные алгоритмические аспекты применения этого метода.
© Носков С.И., 2021
При построении каждой конкретной регрессионной модели исследователь, располагая прикладными программами, в которых реализованы МНК, МНМ, МАО, встает перед выбором - какой из этих методов предпочесть при оценивании модельных параметров? Один из возможных подходов к решению этого вопроса предлагается в настоящей работе.
Свойства МНК, МНМ и МАО по реакции на аномальные наблюдения
Рассмотрим обязательную составляющую любой регрессионной модели некоторого реального объекта - уравнение (зависимость) вида:
Ук = + £к ,к = Хп, (1)
где у — зависимая, а х^ — 7-ая независимая переменные; — 7-ый подлежащий оцениванию параметр; £к — ошибки аппроксимации, к— номер наблюдения, п— число наблюдений (длина выборки).
Представим уравнение (1) в векторной форме:
У = Ха+£, (2)
где у = (у±,...,Уп)т,а = (аъ ...,атУ, £ = (£1,... ,£п)Т, X - (пх т)-матрица с компонентами .
Рассмотрим вкратце основные задачи, которые можно решить с помощью уравнения (1). Прежде всего, оно позволяет оценить характер и степень влияния каждой независимой переменной X; на выходной фактор у. Действительно, если а{>0, это влияние положительно, то есть с ростом >го независимого (входного) фактора переменная у возрастает, если же «¿<0 - убывает, то есть его влияние отрицательно. Сравнение величин |Л[Х[|, где х~( - среднее на выборке значение >го фактора, позволяет соотнести степень влияния каждой независимой переменной на зависимую.
Часто регрессионные модели строятся с целью кратко-, средне- или долгосрочного прогнозирования значений выходных переменных. При этом сам процесс прогнозирования состоит в следующем [16]. Вначале исследователь разрабатывает сценарии проведения многовариантных прогнозных расчетов, в рамках которых производится задание значений независимых переменных модели. Затем эти заданные величины подставляются в зависимость (1) и производится расчет значений выходной переменной у. Такая стратегия прогнозирования вполне оправдана лишь в том слу-
чае, когда есть все основания полагать, что тенденции, имеющие место на предыстории процесса, проявятся и на периоде прогнозирования. В противном случае следует при построении модели привлекать наряду со статистической еще и экспертную информацию относительно возможной смены этих тенденций в будущем (см., например, [17-19]).
Подлежащая обработке выборка данных -пара (Х,у), - может содержать аномальные наблюдения, называемые также выбросами (см., например, [20]), то есть наблюдения, не согласующиеся с остальными. Основными причинами их присутствия в данных могут быть две. Одна, субъективная, является следствием либо ошибок в деятельности соответствующих статистич еских служб , либо сбоем в работе задействованных технических средств. Другая, объективная, является действительным проявлением характера изучаемого объекта или процесса. И если в первом случае наблюдение-выброс можно просто удалить из выборки, то во втором следует «встроить» его в алгоритмическую схему оценивания параметров модели путем выбора соответствующего метода.
Перечисленные выше методы оценивания параметров уравнения (1) по-разному реагируют на аномальные наблюдения в выборке (см., например, [21-25]). Метод наименьших модулей такие наблюдения просто «не замечает», полностью их игнорируя и придавая им неявным образом нулевой вес. Метод антиро-бастного оценивания (и это отражено уже в самом его названии) сильно к ним тяготеет, смещая линию регрессии в направлении аномалий. Метод же наименьших квадратов занимает в определенной мере промежуточную в этом отношении позицию, являясь своего рода компромиссом между МНМ и МАО.
Разумеется, в модели можно отразить присутствие в данных выбросов, используя различные преобразования переменных [14, 15].
Таким образом, при выборе метода оценивания параметров регрессионной модели следует вначале определиться с тем, содержит ли анализируемая выборка выбросы, и если «да», то каков их характер, действительно ли их присутствие связано с некими конкретными причинами, проявление которых и отразилось на данных. Затем, если в дальнейшем построенную модель предполагается применять для решения практических проблем, связанных с прогнозированием будущего поведения объек-
та анализа, имеет смысл выяснить, не будут ли эти причины проявляться и в дальнейшем, на периоде упреждения прогноза. И если будут, следует из перечисленных трех методов оценивания выбрать МАО. При отрицательном же ответе на этот вопрос выбор должен быть сделан в пользу МНМ. Наконец в случае, если у исследователя возникнут сомнения в том, будут ли в будущем иметь место ситуации, аналогичные тем, которые сопровождались появлением аномалий в данных, следует, гарантируя себя от серьезных ошибок, предпочесть МНК.
Учет выброса при построении регрессионной модели грузооборота Красноярской железной дороги
В работе [26] с помощью МНК построена регрессионная модель грузооборота Красноярской железной дороги по статистической информации за 2001-2019 гг. Несколько видоизменим состав объясняющих переменных этой модели. Введем обозначения: y - грузооборот (млн. т км); х1 - прием порожних вагонов (ваг.); х2 - среднесуточный пробег локомотива (км); х3 - эксплуатируемый парк локомотивов (шт.).
Отметим, что в анализируемых данных присутствует явное аномальное наблюдение -в 2010 г. наблюдалось существенное, на 8%, падение грузооборота при его стабильном увеличении во все остальные годы. Причем этот факт имел вполне объяснимую причину. Дело в том, что именно в этом году произошло снижение многих экономических показателей в стране, вызванное последствиями кризиса 2008-2009 гг. В данном случае такое отложенное последствие кризиса связано с наличием у основных грузоотправителей Восточного полигона долгосрочных контрактов. Поэтому по окончании выполнения основных обязательств поставок угля в страны АТР произошла реба-лансировка портфелей поставок с учётом профицита запасов, создавшихся в прошлые годы. После нормализации запасов был продолжен долгосрочный восходящий тренд роста грузооборота.
Проанализируем, каким образом указанный выброс отразился на значениях параметров регрессионной модели грузооборота, оцененных на основе применения МНК, МНМ и МАО.
а) МНК
y = -45826.4 +23.1*! +41.66х2 + 88.21х3, (3)
R=0.97, Е=3.14, М=48500.75, К=234202439.23, 0=10174.68. Здесь под уравнением (3) приведены значения традиционных для регрессионных моделей критериев их адекватности: R - значение критерия множественной детерминации;
E - средняя относительная ошибка аппроксимации;
M - сумма модулей ошибок;
K - сумма квадратов ошибок;
O - максимальная по модулю ошибка.
б) МНМ
y = -38125.9 +26.3хх +41.86х2 + 50.18х3, (4) Е=2.86, М=42897.58, К=271929446.59, 0=12548.94.
в) МАО
y = -3777.8+22.3хх -23.6х2 + 108.8х3, (5) Е=5.24, М=77930.71, К= 433600433.47, 0= 6555.20.
Проведем краткий анализ уравнений (3) -(5). Прежде всего отметим, что в перечне критериев адекватности для моделей (4) и (5) отсутствует критерий R, не имеющий смысла для методов наименьших модулей и антиробастно-го оценивания. Далее, знаки параметров уравнений (3) и (4) совпадают, относительно близки значения как этих параметров, так и критериев адекватности. Уравнение же (5) сильно отличается от (3) и (4). Прежде всего, сменился на отрицательный знак при переменной х2, при этом резко возросло влияние на выходной показатель фактора х3. Главное же, значительно ухудшились значения критериев Е, М и К при весьма существенном, почти в два раза, уменьшении максимальной по модулю ошибки. А она во всех трех случаях как раз и соответствует наблюдению-выбросу, имеющему место в 2010 году.
Общий вывод относительно того, какую из приведенных выше трех альтернативных моделей грузооборота Красноярской железной дороги выбрать при ее использовании в режиме прогнозирования, можно сформулировать следующим образом. Если в прогнозном периоде следует ожидать повторения ситуации, аналогичной той, которая сложилась в 2010 г., выбрать следует модель (5). Если такого повторения, по мнению исследователя, не произойдет, выбор должен быть сделан в пользу модели (4). Наконец, в случае, если указанная ситуация в какой-то мере возможна и в будущем, следует принять компромиссное решение - выбрать модель (3).
Заключение
В работе рассмотрены свойства наиболее часто используемых методов идентификации неизвестных параметров регрессионных уравнений и их применение для решения некоторых прикладных проблем. Отмечено, что метод наименьших модулей не реагирует на аномальные наблюдения выборки, метод антиро-бастного оценивания сильно отклоняет линию регрессии в их направлении, метод наименьших квадратов занимает промежуточное положение.
Получены следующие результаты
1. Установлено, что если целью построения модели является проведение на ее основе многовариантных прогнозных значений зависимой переменной, то выбор метода численной идентификации параметров модели следует производить на основе анализа причин выбросов. Если подобные им ситуации будут иметь место в будущем, следует выбрать метод антиробастного оценивания, в противном же случае - метод наименьших модулей. Метод наименьших квадратов является своего рода компромиссом между ними.
2. Построена регрессионная модель грузооборота Красноярской железной дороги в трех вариантах. Проведен анализ причин резкого падения величины грузооборота в 2010 году, которое может характеризоваться как аномальное наблюдение в данных. Сделаны рекомендации по выбору метода оценивания параметров в этом случае.
Литература
1. Жуковский А.Г., Золотых О.А., Проскурин А.В. Получение математической модели продаж на основе регрессионного анализа // Евразийский союз ученых. 2019. № 4-3 (61). С. 40-43.
2. Сычев В.П., Дудник В.В., Кузнецова Н.В. Регрессионные модели изменения состояния рельсовой колеи с оценкой точности прогнозирования по построенным моделям //Внедрение современных конструкций и передовых технологий в путевое хозяйство. 2019. Т. 14. № 14 (14). С. 187-198.
3. Коноплев В.Н. Методика идентификации сложной системы автомобиль-дорога на основе использования однофакторных регрессионных моделей и моделей бран-дона// Грузовик. 2010. № 3. С. 21-26.
4. Шипко Ю.В., Шувакин Е.В., Шуваев М.А. Регрессионные модели оценки безопасности работ персонала на открытой территории в жестких погодных условиях// Воздушно-космические силы. Теория и практика. 2017. № 1 (1). С. 131-140.
5. Азарян А.А. Быстрые алгоритмы моделирования многомерных линейных регрессионных зависимо-
стей на основе метода наименьших модулей: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Екатеринбург, 2018.
6. Сурин В.А., Тырсин А.Н. Применение обобщенного метода наименьших модулей в задачах обработки и анализа изображений // Вестник Астраханского государственного технического университета. Сер. Управление, вычислительная техника и информатика. 2020. № 2. С.45-55.
7. Применение метода наименьших модулей в задаче оценивания тензора инерции орбитальной станции 'Мир' по данным измерений кинетического момента/ Е.Ю. Чебукова, В.В. Сазонов, М.Ю. Беляев, С.Г. Зыков // Препринт ИПМ № 13. Москва, 1994.
8. Караулова А.В., Базилевский М.П Применение регрессионного анализа при решении реальных задач технического характера // Молодая наука Сибири. 2020. № 3 (9). С. 229-236.
9. Баенхаева А.В., Базилевский М.П., Носков С.И. Моделирование валового регионального продукта Иркутской области на основе применения методики множественного оценивания регрессионных параметров // Фундаментальные исследования. 2016. № 10-1. С. 9-14.
10. Перфильева К.С., Хоняков А.А. Моделирование объема погрузки на железнодорожном транспорте// Молодая наука Сибири. 2020. № 3 (9). С. 223-228.
11. Базилевский М.П. Сведение задачи отбора информативных регрессоров при оценивании линейной регрессионной модели по методу наименьших квадратов к задаче частично-булевого линейного программирования // Моделирование, оптимизация и информационные технологии. 2018. Т. 6. № 1 (20). С. 108-117.
12. Базилевский М.П. Исследование однофактор-ных регрессионных моделей с параметрами в виде матриц линейных операторов двумерного векторного пространства //Информационные технологии и математическое моделирование в управлении сложными системами. 2020. № 2 (7). С. 1-13.
13. Носков С.И., Перфильева К.С. Эмпирический анализ некоторых свойств метода смешанного оценивания параметров линейного регрессионного уравнения // Наука и бизнес: пути развития. 2020. № 6 (108). С. 62-66.
14. Базилевский М.П., Носков С.И. Алгоритм формирования множества регрессионных моделей с помощью преобразования зависимой переменной // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2011. № 3. С. 159-160.
15. Базилевский М.П., Носков С.И. Алгоритм построения линейно-мультипликативной регрессии // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2011. № 1 (29). С. 88-92.
16. Носков С.И. Технология моделирования объектов с нестабильным функционированием и неопределенностью в данных. Иркутск: Облинформпечать, 1996. 320 с.
17. Головченко В.Б., Носков С.И. Выбор класса линейной по параметрам регрессии на основе экспертных высказываний // Кибернетика и системный анализ. 1992. №5. С.109-115.
18. Головченко В.Б., Носков С.И. Комбинирование прогнозов с учетом экспертной информации // Автоматика и телемеханика. 1992. №11. С.109-117.
19. Головченко В.Б., Носков С.И. Оценивание параметров эконометрической модели по статической и экспертной информации // Автоматика и телемеханика. 1991. №4. С.123-132.
20. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. М.: Финансы и статистика, 1981. 302с.
21. Носков С.И. Метод антиробастного оценивания параметров линейной регрессии: число максимальных по модулю ошибок аппроксимации // ЮжноСибирский научный вестник. 2020. № 1. С. 51-54.
22. Миллер Б.М., Колосов К.С. Робастное оценивание на основе метода наименьших модулей и фильтра Калмана //Автоматика и телемеханика. 2020. № 11. С. 7292.
23. Тырсин А.Н. Робастное построение регрессионных зависимостей на основе обобщенного метода наименьших модулей // Записки научных семинаров Санкт-Петербургского отделения математического института им. В.А. Стеклова РАН. 2005. Т. 328. № 9. С. 236250.
24. Базилевский М.П. Исследование возможности оценивания моделей парной линейной регрессии со стохастическими переменными методом наименьших моду-лей//Вопросы естествознания. 2017. № 2 (14). С. 9-15.
25. Горяинов А.В., Горяинова Е.Р. Сравнение эффективности оценок методов наименьших модулей и наименьших квадратов в авторегрессионной модели со случайным коэффициентом // Автоматика и телемеханика. 2016. № 9. С. 84-95.
26. Носков С.И., Врублевский И.П. Анализ регрессионной модели грузооборота железнодорожного транспорта // Вестник транспорта Поволжья. 2020. № 1 (79). С. 86-90.
Поступила 01.03.2021; принята к публикации 14.04.2021 Информация об авторах
Носков Сергей Иванович - д-р техн. наук, профессор, Иркутский государственный университет путей сообщения (664074, Россия, г. Иркутск, ул. Чернышевского, д. 15), e-mail: sergey.noskov.57@mail.ru, тел. +7 (3952) 638-322, ORCID: https://orcid.org/0000-0003-4097-2720.
CHOOSING A METHOD FOR ESTIMATING THE PARAMETERS OF LINEAR REGRESSION BASED ON IDENTIFICATION OF ANOMALOUS OBSERVATIONS
S.I. Noskov
Irkutsk State Transport University, Irkutsk, Russia
Abstract: the article describes the properties of methods for estimating the parameters of regression models - least squares, moduli, anti-robust - as well as their application for solving specific practical problems. At the same time, the method of least modules does not respond to anomalous observations of the sample, the method of anti-robust estimation strongly deviates the regression line in their direction, the method of least squares occupies an intermediate position. I show that if the purpose of constructing a model is to carry out multivariate predictive calculations of the values of the dependent variable on its basis, then the choice of a method for the numerical identification of model parameters should be based on an analysis of the nature of emissions. If there is a reason to believe that similar situations may occur in the future, the anti-robust estimation method should be chosen, otherwise - the least modulus method. I built a regression model of the freight turnover of the Krasnoyarsk railway on the basis of the application of all three methods of parameter estimation. I carried out the analysis of the reasons for the situation of a sharp drop in the value of cargo turnover in 2010, which may well be characterized as anomalous observation in the data. I give recommendations on the choice of the parameter estimation method in this case
Key words: regression model, least squares methods, modules, anti-robust estimation, outlier, forecasting, cargo turnover
References
1. Zhukovskiy A.G., Zolotykh O.A., Proskurin A.V. "Obtaining a mathematical model of sales based on regression analysis", Eurasian Union of Scientists (Evraziyskiy soyuz uchenykh), 2019, no. 4-3 (61), pp. 40-43.
2. Sychev V.P., Dudnik V.V., Kuznetsova N.V. "Regression models of changes in the state of the rail track with an assessment of the forecasting accuracy using the constructed models", Implementation of Modern Designs and Advanced Technologies in Track Facilities (Vnedrenie sovremennykh konstruktsiy i peredovykh tekhnologiy v putevoe khozyaystvo), 2019, vol. 14, no. 14 (14), pp. 187-198.
3. Konoplev V.N. "A technique for identifying a complex car-road system based on the use of one-factor regression models and brandon models", Truck (Gruzovik), 2010, no. 3, pp. 21-26.
4. Shipko Yu.V., Shuvakin E.V., Shuvaev M.A. "Regression models for assessing the safety of personnel in an open area in severe weather conditions", Aerospace forces. Theory and practice (Vozdushno-kosmicheskie sily. Teoriya i praktika), 2017, no. 1 (1), pp. 131-140.
5. Azaryan A.A. "Fast algorithms for modeling multivariate linear regression dependencies based on the method of least modules" ("Bystrye algoritmy modelirovaniya mnogomernykh lineynykh regressionnykh zavisimostey na osnove metoda naimen'shikh moduley"), Cand. of Physical-Mat. Sci. dis., Ekaterinburg, 2018.
6. Surin V.A., Tyrsin A.N. "Application of the generalized method of least modules in problems of image processing and analysis", Bulletin of Astrakhan State Technical University (Vestnik Astrakhanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta), 2020, no. 2, pp. 45-55.
7. Chebukova E.Yu., Sazonov V.V., Belyaev M.Yu., Zykov S.G. "Application of the method of least moduli in the problem of estimating the tensor of inertia of the orbital station 'Mir' from the data of measurements of the angular momentum", Preprint IPM no. 13, Moscow, 1994.
8. Karaulova A.V., Bazilevsky M.P. "Application of regression analysis in solving real technical problems",
Young Science of the Siberia (Molodaya nauka Sibiri), 2020, no. 3 (9), pp. 229-236.
9. Baenkhaeva A.V., Bazilevskiy M.P., Noskov S.I. "Modeling of the gross regional product of the Irkutsk region based on the application of the method of multiple estimation of regression parameters", Fundamental Research (Fundamental'nye issledovaniya), 2016, no. 10-1, pp. 9-14.
10. Perfil'eva K.S., Khonyakov A.A. "Modeling the volume of loading on railway transport", Young Science of the Siberia (Molodaya nauka Sibiri), 2020, no. 3 (9), pp. 223-228.
11. Bazilevskiy M.P. "Reduction of the problem of selection of informative regressors in the estimation of a linear regression model using the least squares method to a problem of partial-Boolean linear programming", Modeling, Optimization and Information Technologies (Modelirovanie, optimizatsiya i informatsionnye tekhnologii), 2018, vol. 6, no. 1 (20), pp. 108-117.
12. Bazilevskiy M.P. "Investigation of one-factor regression models with parameters in the form of matrices of linear operators of a two-dimensional vector space", Information Technology and Mathematical Modeling in the Management of Complex Systems (Informatsionnye tekhnologii i matematicheskoe modelirovanie v upravlenii slozhnymi sistemami), 2020, no. 2 (7), pp. 1-13.
13. Noskov S.I., Perfil'eva K.S. "An empirical analysis of some properties of the method of mixed estimation of parameters of a linear regression equation", Science and Business: Ways of Development (Nauka i biznes: puti razvitiya), 2020, no. 6 (108), pp. 6266.
14. Bazilevskiy M.P., Noskov S.I. "Algorithm for the formation of a set of regression models using the transformation of the dependent variable", International Journal of Applied and Fundamental Research (Mezhdunarodnyy zhurnal prikladnykh i funda-mental'nykh issledovaniy), 2011, no. 3, pp. 159-160.
15. Bazilevskiy M.P., Noskov S.I. "Algorithm for constructing linear multiplicative regression", Modern Technologies. System Analysis. Modeling (Sovremennye tekhnologii. Sistemnyy analiz. Modelirovanie), 2011, no. 1 (29), pp. 88-92.
16. Noskov S.I. "A technology for modeling objects with unstable functioning and uncertainty in data" ("Tekhnologiya mod-elirovaniya ob"ektov s nestabil'nym funktsionirovaniem i neopredelennost'yu v dannykh"), Irkutsk, Oblinformpechat', 1996, 320 p.
17. Golovchenko V.B., Noskov S.I. "The choice of a class of regression linear in parameters based on expert statements", Cybernetics and Systems Analysis (Kibernetika i sistemnyy analiz), 1992, no. 5, pp. 109-115.
18. Golovchenko V.B., Noskov S.I. "Combining forecasts taking into account expert information", Automation and Telemechanics (Avtomatika i telemekhanika), 1992, no.11, pp.109-117.
19. Golovchenko V.B., Noskov S.I. "Estimation of parameters of an econometric model based on static and expert information", Automation and Telemechanics (Avtomatika i telemekhanika), 1991, no. 4, pp. 123-132.
20. Demidenko E.Z. "Linear and nonlinear regression" ("Lineynaya i nelineynaya regressii"), Moscow, Finansy i statistika, 1981, 302p.
21. Noskov S.I. "The method of anti-robust estimation of linear regression parameters: the number of approximation errors maximum modulo", Yuzhno-Siberian Scientific Bulletin (Yuzhno-Sibirskiy nauchnyy vestnik), 2020, no. 1, pp. 51-54.
22. Miller B.M., Kolosov K.S. "Robust estimation based on the method of least modules and Kalman filter", Automation and Remote Control (Avtomatika i telemekhanika), 2020, no. 11, pp. 72-92.
23. Tyrsin A.N. "Robust construction of regression dependencies based on the generalized least modulus method", Notes of Scientific Seminars of the St. Peterburg V.A. Steklov Institute of RAS (Zapiski nauchnykh seminarov Sankt-Peterburgskogo otdeleniya matematicheskogo instituta im. V.A. Steklova RAN), 2005, vol. 328, no. 9, pp. 236-250.
24. Bazilevskiy M.P. "Investigation of the possibility of estimating paired linear regression models with stochastic variables by the least modules method", Questions of Natural Science (Voprosyyestestvoznaniya), 2017, no. 2 (14), pp. 9-15.
25. Goryainov A.V., Goryainova E.R. "Comparison of the efficiency of estimates of the least modulus and least squares methods in an autoregressive model with a random coefficient", Automation and Remote Control (Avtomatika i telemekhanika), 2016, no. 9, pp. 84-95.
26. Noskov S.I., Vrublevskiy I.P. "Analysis of the regression model of freight turnover of railway transport", Bulletin of Transport of the Volga region (Vestnik transporta Povolzh'ya), 2020, no. 1 (79), pp. 86-90.
Submitted 01.03.2021; revised 14.04.2021 Information about the author
Sergey I Noskov, Dr. Sc. (Technical), Professor, Irkutsk State Transport University (15 Chernyshevskogo str., Irkutsk 664074, Russia), e-mail: sergey.noskov.57@mail.ru, tel. +7 (3952) 638-322, https://orcid.org/0000-0003-4097-2720.
