CC BY
57
УДК 622.691-50 ББК 22.161:33.362
ВЫБОР ДОПУСТИМЫХ РЕЖИМОВ ОТБОРА ГАЗА ИЗ СКВАЖИН ГАЗОВЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ
1 2 Ахметзянов А. В. , Гребенник О. С.
(Учреждение Российской академии наук
Институт проблем управления
им. В. А. Трапезникова РАН, Москва)
Рассматривается методика расчета стационарного распределения давлений и потоков сырого газа в газосборных сетях газовых месторождений, обеспечивающих заданный уровень суммарного отбора продукции из скважин и удовлетворяющих технологическим ограничениям в виде граничных условий. Поскольку групповые схемы сбора, использующие внутреннюю энергию самого газа, представляют собой древовидные конфигурации газопроводов, решение общей задачи выбора стационарного режима сводится к решению последовательности одномерных нелинейных уравнений с монотонной функцией по неизвестному аргументу известными высокоэффективными методами.
Ключевые слова: распределение давлений, газосборные сети, стационарный режим.
1. Введение
Управление добычей газа из скважин газовых месторождений (ГМ) связано с необходимостью выбора распределения давлений и потоков в газосборных сетях. Типичные газосборные сети имеют древовидную структуру и состоят из шлейфов кус-
1 Атлас Валиевич Ахметзянов, кандидат технических наук, заведующий лабораторией (г. Москва, ул. Профсоюзная, д. 65, + 7(495) 334-92-11, e-mail: awa@ipu.ru).
2 Олег Сергеевич Гребенник, н.с. (г. Москва, ул. Профсоюзная, д. 65, + 7(495) 334-87-69, e-mail: gos@ipu.ru).
тов газовых скважин (КГС), зданий понижающей аппаратуры (ЗПА) и цехов осушки газа (ЦОГ) с последовательно соединенными сепаратором (С) и абсорбером (А), а также выходной узел на входе в магистральный газопровод (МГ) (рис. 1).
в газосборных сетях
При сборе газа за счет внутренней энергии потока основными управляющими устройствами в газосборных сетях, как правило, являются дросселирующие клапаны, расположенные в ЗПА. Изменение гидравлического сопротивления в этих клапанах предоставляет возможность регулирования распределений давления и потоков газа в газосборных сетях в целом. Для решения основной (наиболее актуальной для газодобывающих предприятий) задачи управления газовыми потоками в газосборных сетях сначала необходимо решить задачу выбора установившихся режимов течения газа при фиксированных значениях управляющих воздействий.
2. Постановка задачи выбора распределения потоков
Структура ориентированного графа, соответствующего реальной газосборной сети любого ГМ, обычно имеет простую древовидную конфигурацию. В дальнейшем рассматриваются только древовидные схемы соединения ветвей газосборной сети, и будем считать, что для любого участка сети расход газа и давления Pвх и P^x на входе и выходе связаны с нелинейным уравнением
(1) Q = F(Рвх, ^ых, R) причем Q = 0, если Рвх = ^ых ,
где R - некоторая константа, определяемая параметрами участка нефтесборной сети, а F - как правило гладкая функция своих аргументов Рвх и Рвых.
По технологическим соображениям будем предполагать, что при фиксированных значениях входного или выходного давлений области определения функции F по аргументам Рвх и Рвых соответственно ограничиваются неравенствами (1') P > P > P > P ■
v ' max — вх — вых — mm ’
где Pmax и Pmm - максимальное и минимальное допустимые значения давлений в нефтегазосборной сети.
Для функции F можно предположить, что справедливы неравенства
(2) dF / дPвЫx £ 0, dF / дPвx > 0.
Поскольку F гладкая функция, то существует и обратная ей функция Pвыx = F“^P^, Q, R).
Если Q > 0, для этой обратной функции, в свою очередь, справедливы неравенства
(3) dF- / dPIix > 0, dF- / dQ £ 0 .
Обычно, на практике вид функций F для турбулентных течений газа определяются по формулам
Q = k'4P~PZ, Q = k"VP[-PL ,
Рвх
Р к
вых
Р
V вх 0
р.
к+1 ^ к
Р
V вх 0
к > 1,
РВХ > РВХ
где к' , к'' , к''' — некоторые константы. Для ламинарных течений вид функций Р определяются по формулам е = у'(РВх - Рвых),
2 = у"(Рвх2 - Рвых2), где у', у", к', к", к"' — некоторые константы.
Необходимо отметить, что в некоторых случаях функция Р может обладать только свойством непрерывности [2], однако и в этом случае можно предполагать, что выполнены следующие условия монотонности
Рых > Рв'ых ^ Р(Рвх , Рв"ых , Л) < Р(Рвх , Рв'ых , Л), е > е ' ^ р-1( Рвх, е'', Л) < р-1( Рвх, е ', Л),
СР(Рвх , Рвых , Л) > Р(Рв'х , Рвых , Л),
[ р-1( Рв'х, е, Л) > р-1( Рв'х, е, Л).
Рассмотрим структурный элемент газосборной сети, т. е. КГС и ЗПА (рис. 1). Ясно, что для каждой из параллельных ветвей справедливы соотношения (1) и (2), поэтому для структурного элемента в целом можем записать
е = !&х ,■ =!Р (Рвх , Рвых , Лвх г ) = Ф(Рвх , Рвых , Л) ,
І =1 2=1
Рвых =Ф—1( Рвх , е, Л), где Лвх = (Лвх1, Лвх2, ..., Лвхп) — множество параметров; функции Р2 удовлетворяют условиям (1) и (2), но могут быть различными для разных значений 2 = 1, ..., п. Очевидно, что в силу (2) для функций Ф и Ф1 справедливы условия
(3' ) до/ аРвых < о, до/ 5Рвх > о, до—1 / дРвх > о, до—1 / де < о.
Для выходного давления двух последовательных ветвей газосборной сети справедливы выражения Рвых = Рвых (Р 2 (Р, е, Л1), е, Л2) = Р2(Р),
(4)
с1Р
дРвых Р
дР2 дР
аРвых аР2 ае | дРвых ае дР2 де дР де дР '
Согласно (4) можно показать, что дРвх/дР1 > 0. Это следует из следующих рассуждений. В силу условия (2) имеем ЭР2/ае < 0, Э6/ЭР1 = Эбвх1/ЭР1 + Эбвх2/ЭР1 + ... + Эбвхп/ЭР! < о, поскольку ае^/дР < о для всех 2 = 1, ..., п, а в силу условия (3) имеем, что дРвых/дР2 > о, дР2/дР1 > о. Таким образом, все слагаемые в правой части (4) неотрицательны.
Если ветвь газосборной сети имеет т ступеней дроссельных клапанов, то методом математической индукции можно показать, что ЭРвых/ЭР1 = дZm(P1)/дP1 > о.
Если типовая ветвь газосборной сети состоит из двух последовательных ветвей, в конце которого производится вторая ступень дроссельных клапанов, то для выходного давления справедливы аналогичные выражения
Рвых = Рвых (Р 2 (Р, е, Р), е, Л),
(5) ^ дРвых дР2 + дРвых дР2 де + дРвых де > о
с1Р1 дР2 дР дР2 де дР де дР ’
поскольку в силу (3' ) дРвых/дР2 > о, ЭР2/ЭР1 > о и дРвых/де < о, де/дР1 < о, следовательно, все слагаемые в (5) неотрицательны. Далее используя полученные выражения методом математической индукции можно показать, что для схемы многоступенчатого понижением давления, состоящей из части входного блока с Рвх1, ..., Рвхп и последовательного соединения в произвольном порядке элементов, справедливо выражение
дРвых/дР1 = д^т(Р1 )/дР1 > о.
Для окончательной постановки задачи в качестве центральной ветви газосборной сети выберем в соответствующем ориентированном графе маршрут максимальной длины
3. Алгоритм выбора допустимого стационарного режима в простой неразветвленной ветви газосборной сети
Считаем заданным давления на концах неразветвленной цепи, т. е. Рвх1, ..., Рвхп и Рвых. Необходимо найти расход газа в ветви и давления в промежуточных точках. Предлагается сле-
дующий алгоритм. Для центральной ветви зададим значение давления Р1 и определим расход газа на ее входе, т. е.
(6) Я = 1бвх г =!К (Рвх г, Р, Кх г ).
г=1 г=1
Затем, используя либо функцию К (Р1, Я, Я1), либо
Ф1(Р1, Я, Я1), находим Р2 и т.д. Последовательно выполняя подобные вычисления, находим значение Рт - давление на выходе ветви. В общем случае может быть, что Р1 ф Рвых. Поэтому будем предполагать, что при выборе Р1тт = тт|г {Рвхг} будет выполнено условие Рт > Рвых, поскольку в противном случае поставленная задача будет неразрешимой. Действительно в силу условия ЭРвых/ЭР1 = дZm(P1)/дP1 > 0 для достижения Рт = Рвых необходимо Р1 увеличивать, что приведет к недопустимому физически условию (<2вхг)тт < 0. Величина (<2вхг)тт соответствует
т1п|| {Рвхг}.
Если ввести функцию Рт = ^(Р1), то условие разрешимости принимает вид
(7) У (Ртт) ^ Рвых , Ртт = тШ^ }.
г
Таким образом, при условии (7) задача разрешима, а ее решение сводится к решению следующего нелинейного уравнения:
У (Р) = Рвых ,
где ^(Р1) - монотонная функция, т. е. д¥(Р1)/дР1 > 0.
Для решения нелинейного уравнения (7) существует целый ряд эффективных вычислительных алгоритмов [1].
4. Алгоритм выбора допустимых стационарных потоков в древовидной газосборной сети
Для решения общей задачи выбора введем следующие обозначения. Пусть Р°, . . . , РЩ, Рв°1х - заданные давления на входе и
выходе центральной ветви. Соответственно р, . . . ,Р^ Рв1ых, ...,
Р1 , .. . , К , Рв"ых .. ., Р^ , .. . , Рщ , Р!х = Рвых - заданные давления на
входе и выходе боковых ветвей газосборной сети, где 5 = 1, ..., N - номер боковой ветви, N - число боковых ветвей.
Необходимо найти расходы во всех ветвях схемы и распределение давлений в любой точке схемы. Обозначим через РЕ давления в узлах центральной ветви, соответствующие входу боковых ветвей с индексами 5 = 1, ., N в центральную ветвь. Предлагается следующий алгоритм решения поставленной
задачи. Задаем давление Рв°1х, соответствующее Рщ (ниже мы
введем условие разрешимости общей задачи). Просчитываем, как и выше
«о
во = 1 Р0( Р0, РЕ1, я о, • • •),
і=1
где Яг°, і = 1, ..., «0, - некоторые известные константы. Последовательно вычислим давления вдоль центральной ветви, как это описано выше вплоть до узла Е1, т. е. - узла входа в центральную ветвь первой боковой ветви. Далее при заданных давлениях
р1, • • • ,Р«0,Рв1ых = Рщ , необходимо найти расход газа в первой боковой ветви и давления в промежуточных узлах первой боковой ветви. Эта задача сводится к решению нелинейного уравнения
^( Р1) = Рв11Х = Рщ2.
Обозначим расход газа в первой боковой ветви как в1. Далее проводим вычисления вдоль центральной ветви от узла Е1 до узла Е2, т. е. узла входа второй боковой ветви в центральную ветвь с расходом газа в0 + вь Для второй боковой ветви решаем задачу полностью аналогичную задаче, рассмотренной для первой боковой ветви, т. е. ¥2 (Рь2) = Рв21х = РЕз.
В дальнейшем вычисления вдоль центральной ветви продолжаются от узла Е2 до узла входа третьей боковой Е3 с расходом газа в0 + вЬ + в2 и т.д. Продолжая аналогичным образом, получим давление в узле EN - в последнем узле центральной ветви.
Решение общей задачи можно сформулировать как решение нелинейного уравнения
(8) уо(РВ0ЫХ)=р:ы1Х.
Вернемся к проблеме разрешимости общей задачи. Условия разрешимости основной задачи (8) определяются последовательно для каждой ветви аналогично (6), по мере продвижения вычислений вдоль центральной ветви следующим образом. Положим Р^"1П = шт{р0} и, вычислив О"” аналогично (6), опре-
1 г
делим минимально допустимое значение давления РЕ"1” в узле Е1, т. е. в узле входа первой боковой ветви в центральную ветвь. Условие разрешимости для первой боковой ветви при заданных значениях р1,.. . , Р^, Рв1ЫХ = Р“" определяется неравенством
(9) ^( р1) > РЕ"п.
Считая условие разрешимости (9) выполненным и решив нелинейное уравнение У1(Р/ т1П) = Рв1ых = Р“” , вычислим значение
суммарного расхода газа в первой боковой ветви О"1”. Затем
при суммарном расходе газа О"1” + б1тт вдоль центральной ветви между узлами Е1 и Е2 определим минимально допустимое значение давления РЕ"1” .
Условие разрешимости задачи для второй боковой ветви (аналогично (9)) определяется неравенством
(10) %(Р2тШ) > Ре"1”.
Считая, что (10) выполнено, решим уравнение У 2( Р1т1П) = РЕ"1” и вычислим значение суммарного расхода газа во второй боковой ветви О2т1П . Затем определяем значение минимально допустимого давления Р“” в узле Е3 при расходе газа между узлами Е2 и
Е3 центральной ветви, равном О"1” + О"1” + О"1” и т. д. Продолжая последовательно процесс вычислений до узла EN, получим условие разрешимости задачи для Ы-ой боковой ветви
(11) Уы(Р"ш) > Р" .
Условием разрешимости для центральной ветви в целом является неравенство
(12) ВД°тш) > > Рвых .
Таким образом, условие разрешимости общей задачи определяется набором N неравенств, аналогичных (9)-(11), и одного неравенства вида (12), т. е.
Ш (Р1 ) > Рт1п Ш (PN ) > Рт1п > Р
1 V 1т1п ^ -'£!?•••? 1 т1п ^ 1 — 1 вых ?
Ш (Р0 ) > Р
0 V 1тт ' ~ вых •
Величина Р1°п1п является максимальным значением давления, при котором сохраняется условие физической допустимости отборов газа на входе в центральную ветвь, поскольку все слагаемые выражения
во = 1 Р0( Р 0, Рт1п , *0)
:=1
должны быть неотрицательными. При этом очевидно, что расход во будет минимальным. В силу (2) значение давления РЕт1 1п
будет максимально возможным в точке Е1, при котором достигается физическая реализуемость отборов газа на входах в центральную ветвь. Условие (9) является условием физической реализуемости расходов газа на входе в первую боковую ветвь. При
задании Рв1ых = РЕ“п, где Рв1ых - давление на выходе первой боковой ветви, определяется максимальное значение давления в узле Е1, при котором будет соблюдаться условие реализуемости отборов газа, т. е. не отрицательности всех слагаемых суммарных отборов
вот1П=£ ъ 0(Р0, Ре^1П, р0), вт1п=1 рЧр1, Ре^1п, $).
1=1 :=1
Аналогичные рассуждения справедливы и для узла Е2. Значение давления РЕт21п , вычисленное при суммарном расходе газа
в0т1п + в1тп, является максимальным, при котором соблюдены условия неотрицательности не только слагаемых суммарных
отборов в0т1П и в1тт, но и слагаемых суммарного отбора газа во второй боковой ветви
вт1п=1 ъ 2( рг 2, Ре^1п, р2).
:=1
Из изложенных выше рассуждений следует, что для функции Ш1 (РЕ ) справедливо условие ее монотонности по аргументу ¿ШоРых )/<* > 0. Поэтому для решения нелинейного уравнения Ш0(РЕ ) = Рв°1х с неизвестной величиной Рщ с монотонной функцией Ш1(РЕ ) можно воспользоваться высокоэффективными методами дихотомии, золотого сечения и др. [1].
Каждый шаг последовательных вычислений по центральной ветви, т. е. определение значений давлений РЕ .. . , РЕ , Рвых
при заданных значениях р1,... , Р^; Р/,...., РЦ , РЕ назовем
подзадачами типа «А», а решение нелинейных уравнений Ш5 (Р/) = Рв^1х ° РЕ , 5 = 1, N будем называть подзадачами типа «В».
Таким образом, на каждом шаге решения общей задачи расчета стационарного режима газосборной сети, решаются N + 2) подзадач типа <«4» и N подзадач типа «В». Быстродействие решения общей задачи определяется в основном трудоемкостью вычислений при решении подзадач типа «В».
5. Заключение
При наличии в газосборной сети параллельных и несвязанных между собой перемычками древовидных конфигураций трубопроводов решение общей задачи выбора стационарного режима распадается на соответствующее число независимых задач, которые можно решать параллельно на одном многопроцессорном вычислительном комплексе.
Литература
1. ДЕМИДОВИЧ Б.П., МАРОН И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 1970.
2. ЗАЛМАНЗОН Л.А. Проточные элементы пневматических приборов контроля и управления. - М.: Изд-во АН СССР, 1966.
SELECTION OF ALLOWABLE GAS EXTRACTION MODES FOR WELLS OF GAS FIELDS
Atlas Ahmetzyanov, Cand. Sc., Institute of Control Sciences of RAS, (Moscow, Profsoyuznaya st., 65, (495)334-92-11, e-mail: awa@ipu.ru)
Oleg Grebennik, Institute of Control Sciences of RAS, (Moscow, Profsoyuznaya st., 65, (495)334-87-69, e-mail: gos@ipu.ru)
The approach is considered for solution of a stationary distribution problem of gas pressures and flows of crude gas in gas-gathering systems. The approach meets cumulative gas production requirements and technological constraints as boundary conditions. Clustered gas-gathering systems, which use internal energy of natural gas itself, represent tree structures of pipe lines. Therefore the solution of the stationary mode selection problem is reduced to the solution of a sequence of one-dimensional nonlinear equations with monotone functions.
Keywords: pressure distribution, gas-gathering system, stationary mode.
Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии М. В. Губко
