Интегрированные гидродинамические модели при разработке нефтяных месторождений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.954.622

ИНТЕГРИРОВАННЫЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРИ РАЗРАБОТКЕ НЕФТЯНЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ

1 2 3

Ахметзянов А. В. , Ибрагимов И. И. , Ярошенко Е. А.

(Учреждение Российской академии наук Институт проблем управления РАН, Москва)

Рассмотрены проблемы построения интегрированных (комплексных) математических моделей фильтрации флюидов в пластах и течения газожидкостных смесей (ГЖС, т.е. нефть, газ, вода) в нефтегазосборных сетях трубопроводов. Моделирование такой комплексной системы определяется как процесс вычисления обобщенного решения начально-краевой задачи для системы уравнений, описывающих реальные физические процессы в нефтеносных пластах, стволах (лифтах) скважин и наземных нефтегазосборных сетях трубопроводов. Предложены и исследованы методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений, получаемых после дискретной (сеточной) пространственно-временной аппроксимации начально-краевых задач рассматриваемого класса.

Ключевые слова: гидродинамическая модель, фильтрация, газосборная сеть.

1 Атлас Валиевич Ахметзянов, кандидат технических наук, заведующий лабораторией (Москва, ул. Профсоюзная, д. 65, тел. (495)334-92-11).

2 Ильдар Ильясович Ибрагимов, кандидат технических наук, с.н.с. (Москва, ул. Профсоюзная, д. 65, тел. (495) 334-90-30).

3 Егор Александрович Ярошенко, н.с. (Москва, ул. Профсоюзная, д. 65, тел. (495) 334-92-11).

1. Введение

При исследовании технологических процессов добычи и сбора нефти и газа необходимо рассматривать три типа объектов моделирования, технологически связанных между собой. Первый тип - это нефтяные залежи месторождения. Моделирование ведется в трехмерной области (резервуаре месторождения) Q с R , ограниченной внешним контуром Г0 и внутренними контурами Гп, n с S, где S - множество номеров добывающих и нагнетательных скважин. Второй тип - это лифт (ствол) скважины. В лифтах добывающих скважин движение ГЖС происходит от забоя скважины к ее устью, в нагнетательных скважинах, наоборот, движение нагнетаемой жидкости (вода или ее смесь с реагентами) - от устья к забою скважины. Третий объект - это наземные нефтесборная и водораспределительная сети трубопроводов.

Интеграция моделей множества объектов заключается в совместном решении уравнений, описывающих реальные физические процессы и связанных через граничные условия.

2. Постановка задач моделирования

2.1. ОБЪЕКТ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПЕРВОГО УРОВНЯ

Первый объект, для которого исходными являются уравнения в частных производных, описывающие пространственновременные изменения распределения давления, относительных содержаний (насыщенностей) нефти, газа и воды. В частности, для фильтрации несжимаемой водонефтяной смеси при отсутствии влияния капиллярных сил можно записать:

(1) div[ka (x)(kH (а) / m + к в (а) / m) grad p] = 0 ,

(2) да / dt = div[(k3 (х)кн (а) / тн) grad p],

где x = (x1, x2, x3) с Q с R3; кн и кв - фазовые проницаемости нефти и воды соответственно; и цв - динамическая вязкость нефти и воды соответственно; p(x, t), a(x, t) - распределения давления и нефтенасыщенности в пласте в момент времени t.

Граничные и начальные условия, необходимые для решения уравнений (1) и (2), следующие:

(3) p(x, t) = Po(t), x еГо,

(4) p(x, t) = Pn (t), x еГп , п е Sp,

где Sp - множество номеров скважин, на которых заданы забойные давления. Второй способ задания граничных условий на забое скважин следующий: р( Xt) = p(t),

(5) - |kа (x)(kн (^) / М + kв (^) / Мв)(5Р/ ду)ф = qn 0),

Гп

где V - направление внешней нормали к границе Гп, x е Гп,

п е Sq - множество номеров скважин, на которых заданы qП(t),

т. е. заданные отборы или закачки жидкости;

а( хt) = ^оОX x еГо,

(6)

^( X t) = X еГп, П е Sн ,

где Sн - множество номеров нагнетательных скважин; отП - остаточная нефтенасыщенность;

(7) а( x, to) = (x),

где он(x) - функция начального распределения и нефтенасы-щенности.

2.2. ОБЪЕКТ МОДЕЛИРОВАНИЯ ВТОРОГО УРОВНЯ

Рассмотрим случай подъема ГЖС с помощью погружного насоса. Уравнения изменения давления вдоль лифта определяют модели второго уровня. Ствол лифта скважины от устья до забоя разобьем на два участка (0, L) и (Ь, Lзаб), где L - условная координата по длине подвески насоса; Ьзаб - координата забоя скважины.

При 0 < I < Ь и Ь < I < Ьзаб справедливо дифференциальное уравнение [2]

5Р/ 61 = g(РНРН + (РвРв + РгРг)С05в +

(8) 2 2 2

Лсм (РнРн^н + РвРв^в + РгРг wг)/2d,

где фн, фв, фг и рн, рв, рг - функции истинных объемных долей и плотности нефти, газа и воды в смеси; О - угол наклона скважины к вертикали; wн = qн /ф/ ^в = дв /фв/; Wj, = qг /фг/- истинные скорости нефти, воды и газа; Лсм - коэффициент гидравлического трения потока, является функцией от числа Рейнольдса смеси Reсм [2]; d - гидравлический диаметр колонны скважины; g - ускорение свободного падения. Функции фн, фв, фг зависят от значений плотностей рн, рв, рг и относительных содержаний Он = qH /qсм, Ов = qв /qсм, Ог = qг /?см, Он + Ств + Ог = 1, поверхностных натяжений онв, ож на границах раздела нефть-вода и газ-жидкость, вязкостей и цв жидкости и воды [2].

В точке L можно использовать рабочие характеристики насоса

(9) Ap = F 0?ЖСр, qг^

где qж ср - средне-интегральный расход жидкости через насос. В первом приближении можно считать qж ср = q^ Ap- перепад давления (напор), развиваемый насосом. Обычно зависимости даются в виде набора функций Ap = F^q^) при постоянных величинах расхода газа q^

Предположим, что задано граничное условие для модуля второго уровня p(0) = p^. Тогда для получения p^ необходимо решить дифференциальное уравнение (8) на участке (0, L) с граничным условием p(0) = p^, в результате получаем p = p(L). В

точке L происходит скачок p+ = p - Ap, где Ap - величина, определяемая (9). Далее на участке (L, L^) решается (8) с граничным условием p(L) = p+ .

Таким образом, модули первого и второго уровней в общем случае не могут быть просчитаны независимо друг от друга. Задание граничного условия в виде (4) будет корректным с физической точки зрения в двух случаях.

1. Насос имеет систему регулирования, поддерживающую величину pn(t) = const.

2. На буфере перепад давления может регулироваться штуцером таким образом, что pn = const.

Предположим теперь, что p^^ = const, n е Sp. Запишем решение на выходе модели первого уровня как q^t) = Ф^^), где Ф^ - некоторый оператор, определяемый уравнениями (1) и (2) и условиями (3)-(7) в момент времени t

(10) Pзаб (t) = FQ (Q, Q, Q, Pбуф К

где Ян и Рзаб - Sp-мерные векторы в эвклидовом пространстве, Фя - оператор, определяемый уравнением (8) и соотношением (9).

Если n е Sq, то считаем, что всегда выполнено условие (5). Отметим, что в фиксированный момент времени t при известной функции o(x, t), qm = фnвqн(1 - Фпв), где Фпв - функция обводненности скважины, зависящая только от o(xn, t); xn - координаты точки-скважины [2]; qni. = F(L, Г), где Г - газовый фактор. (Считаем, что газ в пласте полностью растворен в жидкостях).

Исходя из этого, (9) можно записать в виде:

(11) Pзаб (t) = Fq (qж j , Pбуф )

Окончательно запишем

(12) qж =F pF q (qж, j, Pбуф).

Предположим, что для оператора ФрФq справедливо неравенство

(13) | Ф pF q qj ) - F pF q q j ) |£ * | q^ - ^ж I, K < 1,

где |ФрФч^ж, pni^)| и |qII|- эвклидовы нормы в SP-мерном пространстве.

Исследование уравнений моделей показало, что в ряде случаев неравенство (13) выполняется.

Справедливость неравенства (13) означает, что оператор ФPФq сжимающий, и для решения уравнения (12) можно применить метод простой итерации, реализация которого сводится к многократному совместному решению систем уравнений (1),

(2), (8), при этом для всех n е Sp граничное условие будет

pn(0) pnOY^.

2.3. ОБЪЕКТ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТРЕТЬЕГО УРОВНЯ

На этом уровне моделируются изменения во времени и пространстве распределений давления и потоков в наземных сетях трубопроводов месторождения. Наземная сеть трубопроводов состоит из системы поддержания пластового давления и нефтегазосборной сети. Обе сети представляют собой планарный граф общего вида. Изменение давления вдоль каждого линейного участка (ветви графа) определяется как решение двухточечной краевой задачи для уравнений типа (8). Кроме того, в каждом узле справедливы уравнения Кирхгофа.

Модель 3-го уровня может быть записана в операторном

виде рбуф Ф3(qж, фB, рвхХ где pбуф, qж, рвх и фв - |*^|-мерные векторы буферных (или устьевых) давлений, отборов жидкости, обводненностей и давлений на входе насосов; Ф3^ж, фв, рвх) - нелинейный оператор, определяемый уравнениями (8), балансовыми соотношениями Кирхгофа и указанными выше граничными условиями.

Модель второго уровня можно записать в виде операторного уравнения Рзаб = Ф2^ж, фв,Рбуф). Оператор Ф2(qж, фв) описан выше, при этом считается, что в качестве граничных условий задаются значения рпбуф, п е Sp.

Модели первого уровня соответствует операторное уравнение вида

qж =ф1( Рзаб), qж = qн + qв.

Окончательно можно записать

(14) qж = ф1ф 2фз(qж ,Рв).

Таким образом, при каждом фиксированном моменте времени t и известной функции фв отыскание распределения функции давления эквивалентно решению операторного уравнения (14).

3. Особенности совместного математического моделирования первого и второго уровней

В данном разделе более подробно остановимся на некоторых математических моментах совместного моделирования объектов первого и второго уровней.

Будем считать, что система уравнений (1), (2) решается широко применяемым способом, описанным в [1]. Время моделирования [/0, Т] разбивается на N интервалов длиной (Т - ґ0)/М. На «-ом интервале фиксируется насыщенность &п-1(х, / п-1), полученная на предыдущем (п - 1)-ом интервале. После этого решается уравнение (1) с приведенными выше граничными условиями и находится функция рп(х, / п). После этого решается уравнение (2) при фиксированной функции рп(х, /п), приведенных выше граничных условиях и начальном условии оп(х, /п) = ^п-1(х, / п-1). После нахождения функции оп(х, /п) все процедуры итеративно продолжаются на (п + 1)-ом интервале.

Уравнение (1), участвующее в приведенном выше делении общей модели на уровни, решается путем аппроксимации всех производных на разностной сетке [3]. Обозначим через Рф разностную функцию рп(х, /) на сетке являющуюся разностным решением уравнения (1) зависящим от граничных условий

(3)-(5).

(15) Ар (Р) = ВрРзад ,

где Ар и Вр - линейные операторы, точнее матрицы [3].

Из соотношения (15) следует уравнение

(16) Чг =Е р} заб^у + Чг0 .

Здесь и в дальнейшем для простоты изложения вместо дпж будем писать qn.

Модель второго уровня, определяемая уравнением (8) и напорной характеристикой (9), возьмем в упрощенном виде:

(17) рп заб = рп буф + рп ст + апЧ1 -(Лрп°мех - /п (Чп )(Чп-Чпо)) ,

где /п(дп) > 0; рп ст- статический вес жидкости, определяемый первым слагаемым в правой части уравнения (8); апд^ - член,

определяемый потерями на трение; ЛрПмех - напор, развиваемый

насосом в номинальной точке; qПo- номинальный расход жидкости; - функция, определяемая производной от функции

напора ¥ (9) и удовлетворяющая условиям:

(18) 5¥п /^ ^ -5¥п /^ = ¡п(qп).

После элементарных преобразований запишем (18) в виде

(19) Рпзаб = ЩП + Ьп?п + Рп00, а > 0, Ьп > 0 РпО > 0 .

Из (16) и (19) запишем (2°) q1 = Х ¿а(аА] + Ь]^}- + Р] о) + q0

или в векторной форме q = Ф^).

Выражение (20) конкретизирует операторное соотношение (12). Для исследования разрешимости уравнений (20) построим уравнение t = ф(0, определенное на промежутке [°, ^]и мажорирующее уравнение (20), т. е.

(21) 11 ф (qo)|| - qo< фЮ - ^,

(22) || Ф'(q) ||< ), если || q - qo ||< t - Г0 ||.

В качестве t выберем следующую функцию

(23) t = (£,,,,«? )1,!,

а в качестве ф(t) - следующую зависимость

j(t) = А(В - С), А,В,С > 0, t е ^0,t'],^ = t0 + г < t0 + Я ,

Я - радиус шара Ц? - q0||, в котором определен оператор Ф. Определим

|| q ||= тах | qг |= тахX| ¿ц (]2 + ь?] + Р]) + q0 |

г г у

и обозначим

Ф0тах =| | ФЫ - q0 11= таХ | X (^г] + Р]0 ) + qг0 ) - | .

г г]

Оператор Ф'^) определяется уравнениями

5ф, / а?,. = ё] (2а^г + Ьг + qIдЬ] / ^ ) < 0, ql > 0, г = 1,| ^ |;

Эф,/ дq] = ёг] (2]. + Ь] + q]дЬ] /^)> 0, q] > 0, ] *г = 1;| 5^ |;

так как dü < 0, dtj > 0, i Ф j, dbi / dqi > 0, i = 1,| Sp |. Определим || Ф' || как

|| F'(q) ||= maxl5Ф, /ôq\, ij 1 1

пРи ij =11 Sp |

У F'(q) ||= max| dij (2aj-qj + bj + qj dbj/ 5q; J •

ij

при У q - qo ||= max | q, - q,o|£ r обозначим || ф'|| как Fmax •

i

Если учесть (23), то для соответствующих значений q и t справедливо

11 - to |= fcesp (q,- q,o)2)1/2 > max I q,- q,о N q - qo|| •

Предположим, что уравнение t = ç(t) имеет корень t , причем t0 £ t < t' = t0 + r, т. е. A(В - С~ ) - 0 и

(24) t = B / С .

Таким образом, для выполнения условий (21) и (22) необходимо, чтобы

А(В - Ct0 ) - t0 > F0max ,

(25) АС >| Fmax |

и, кроме того, из (24) следует t0 + r > В/С.

Положим В/С = t0 + r/2, тогда из равенства А/(В - Ct0) -- t0 = ACr/2 - t0 следует, что необходимо ACr > 2(t0 + Фтах) или

(26) АС > 2(t0 + Фmax ) / r .

Постоянные А и С всегда можно выбрать так, чтобы условия (25) и (26) выполнялись. Таким образом, оператор Ф и функция ф обладают всеми свойствами, которые описаны в теореме 1 §3, Гл. XVIII [4].

Следовательно, уравнение q = Ф^) имеет решение q , к которому сходится последовательность {qn}

qn+i =F(q„ X n = 0,1,2 • • •

i * \ ^ * при этом |q - q0| < t - t0.

Рассмотрим выражение

р(^) = р(У0 + г) при В = Су0 + Сг / 2 ,

р^') = А(Су0 + Сг/2 + С(^ + г) < 0, т. е. р(у') < У0.

Отсюда следует справедливость теоремы 2 §3, Гл. XVIII [5], и упомянутое выше решение q единственно.

Если начальная точка q0 близка к решению q , то эффективным может оказаться метод Ньютона.

Для этого запишем аппроксимированное уравнение (1) в следующем виде

(27) А]к(Р]к) = 0, ] еЦ,,

(28) А]к (Р]к) - аД, - Ь (&)а - Р0 = 0, ] е Я, * е ^ ,

(29) а = в;к (Р]к) = 0,

где Аук и А%]к - это линейные формы от сеточных значений Рук,

определяемых при конечно-разностной аппроксимации уравнений (1); й0- множество узлов г]к, на которых не задаются граничные условия; множество узлов г]к, на которых задается граничное условие Рф = Р, заб; В? ф - линейная форма от Рф, определяющая расход жидкости в 5-ой скважине.

Соотношения (27)-(29) определяют уравнение Р(х) = 0, фигурирующее в Гл. XVIII [5].

Основное уравнение метода запишем в виде

(30) Р'(Хп)(Хп -Хп¥1) = Р(ХП), X = (ХР,Xе),

где ХР = Р]к, г]к е00 и О,, Xе = е,, * е 5р . В силу линейности

Аф , Вф , и Аг]к

А]к (Хп)Хп = А1}к (Хп), ] е ^0;

(A]к) '(Хп )Хп = А]к (Хп ), * е Бр; е' (Хп )Хп = & (Хп ), * е ^ ;

(B]к) '(Хп )Хп = В]к (Хп ),, е 5р ;

Ак (хп ) хп+1 = Ао]к (хп+1 Xг]к еО0, 5 е 5р ;

(В]к )'(Хп) = В]к (Хп+,).

Из приведенных соотношений уравнение (30) можно записать как

- Аг]к (Хп+1) = 0,l]■k еО0;

- А](Хп+1) - 2а,е,(Хп)(е,(Хп) - е,(Хп+1) + а&(Хп) -

(31) Л

- —Ь (е, (Хп )е, (Хп) )((Хп) - е, (Хп+1))+Ь,е, (Хп) + + 0 = 0,

- е, (Хп+1) + В]к (Хп+1) = 0.

Уравнения (31) являются линейными уравнениями относительно переменных (ХР, Xе).

Учитывая связь е, = ВХР]), очевидно, что указанные уравнения являются уравнениями относительно переменных

РПк+1, г]к е^0 иО,.

Эти уравнения можно записать в виде АХ = Ь, где А - ада-маровская матрица, поэтому существуют эффективные методы численного решения этого уравнения.

Вернемся к соотношению (17). Запишем его в виде:

Рзаб = Рбуф + Рст + - е,0) -

(32) -( 0К / ле, )0 ( - е, 0 ))=

= Р + (е, -е,0)(2а, + (/ /ле,)) = ) + (е, -е,0)/К,

Р<) = Р, буф + Р,ст + а,е2 - /0, / Ле, < 0 К, > 0.

В качестве езо можно взять некоторый стационарный режим работы скважины.

Для двумерной модели (1) можно привести следующие расчетные формулы, следующие из уравнений (15)

(33) р = (Р+1 ] + Р] +1)К] + Рг-1 ]Кг-1 ] + Р]-1Кг]-1 „ е О •

(33) ^ = 2К,] + Кг-] + К] - ’ ^ еО0;

р = Р+1К + Р-1 іК-у + Рц-К-1 + Р0 /К -6о /К

(34) * 1/К, + 2Ку. + Кі-; + Кг]- ’.

І ,

Здесь Ку [ка(кы + кв ^в)]у' (см. (1)), ^о где ^

множество внутренних узлов; ^ - множество внутренних узлов, на которых задано граничное условие (4); 0.к - множество внутренних узлов, на которых задано граничное условие (5).

РІ = РІ зад, ІІ

где О0 - множество узлов, аппроксимирующих внешний контур Го.

Рассмотрим теперь проблему интерференции скважин. Пусть имеем модель первого уровня. Если на скважинах задавать граничные условия в виде (4), то изменение граничного условия на любой скважине приводит к изменению расходов на всех остальных скважинах. Это максимальный модельный эффект интерференции скважины.

Если на скважинах задаются граничные условия в виде (5), то изменения режима данной скважины не ведет к изменению расходов на других скважинах. Это минимальный модельный эффект интерференции.

Формула (34) наглядно показывает, каким образом параметры скважинного лифта влияют на распределение давления в пласте и, следовательно, на распределение расходов по скважинам. Предположим, что одним из двух описанных выше методов найдено точное решение 6ю, 5 е Бр. Если на какой либо скважине проведено мероприятие, приводящее априори к «небольшому» изменению 650, то «быстрый» расчет новых режимов можно производить по формулам (33), (34), и тем самым оценить интерференцию интересующих нас скважин.

Рассмотрим некоторые особенности, связанные с использованием вышеприведенных формул. Для большей адекватности математической модели и физических процессов фильтрации в районе скважин вводятся специальные призабойные зоны. Опи-

сание изменения давления в этих зонах при разностной аппроксимации и учете малости этих зон часто дается в виде

(35) рзаб=р;к - а / Я ,

где Р5ф - давления на узлах разностной сетки, соответствующие 5-ой скважине, 5 е Я8— постоянная величина, получаемая при

подгонке модельных значений забойных давлений и продуктивностей добывающих скважин к их фактическим значениям.

С учетом формулы (35) формулы (33), (34) выглядят следующим образом

Р + 1 ^Кц + Р ! :КI 1 1 + Рц + 1К„ + Рц ^

(36) Р = 1+1 1 11---1—11 1—11------^-4 1 11—1 , ¡1 е Оп;

2Кц + К1—11 + К.—1 7 п

Ри = [Р1+11Кч + Р1—11К1—11 + Ри+1Ки + Ри—1Ки—1

—р0

/((я, г1+(к, )—1 ) / к, ( г1+(к, )—1-

(37) ( у 1

х(2Ку. + ( 1 ( + К—1 + (Я, Г1 + (К,)—1) ,

1 еО;

Формула (37) получена из формул (34) и соотношения

(38) р+(е,—а)/к,=р—а /я,, 11 е о5 ,

определенного равенством забойного давления на скважине и полученного из формул (32) и (35). Параметры Я8 и К;, с одной стороны, являются существенными параметрами математической модели, а с другой стороны, их идентификация допускает простые процедуры.

Предположим, что в момент („ нам известны фактические

величины и Р,фаб, 5 = 1,| 5р |. Задавая для математической модели граничные условия в виде (4), определяем величины Р11,

1 е О;.

Из формулы Рфзаб = Р11 — / Я, определяем

Я, = 0-5 /(Р1 — Р,заб), а из формулы рзаб = Р° — (еф — е,п)/К,

определяем к, = (°ф—— р,0).

Для определения Я, и К, можно воспользоваться также фактическими величинами продуктивностей добывающих скважин,

т. е. РЯООХ = А0ф / АР/ .

Вообще говоря, величины Я, и К, можно считать функциями времени. Предположим, что идентификация функций ЯДО и К() происходит на интервале времени [Т, Тк]. На этом интервале имеем N точек замеров t1, ^, ..., ы величины 0,(^1), • ••, 0,(^лт); Р,(^), ..., Р^ы); РЯОБД^), ..., РЯОО^м); и, соответственно, подсчитанные величины Я,(^), ., Я,(^); Кs(t1), ., К5(^).

Выбираем класс функций, в котором будут аппроксимированы полученные значения Я, и К,, например

К, = Ап + А^ — Т) + —Т \

Я, = Вп + В^ — Т) + £2^—Т}.

Используя метод наименьших квадратов, находим значения постоянных величин А1, В1,1 = п, 1, 2, 3.

В заключение рассмотрим один из вариантов построения модели, включающей три уровня.

Предположим, что на линейном участке наземной нефтесборной сети соотношение между давлениями на концах участка и расходом жидкости можно записать в виде

АРт —АРп = КтпА0тп,

АРт = Рт — Ри°,

АР = Р — Р0,

П П П ’

АОтп = 0 тп 0тп, пп

где Рт и РП - некоторые стационарные значения давлений в узлах т и П, полученные в результате измерений или расчетов. Аналогичный смысл имеют величины 0т°п .

Запишем теперь уравнения модели трех уровней для приращений функций относительно некоторых стационарных значений.

др *Р+11К1 + АР—1К—11 + ^+1К1 + А^—1К1—1 еП.

11 2КУ. + К—11 + К1—1 0’

(39)

р лр+1К + Др _ К-1 у Щ+К + АРу-К _

у 2К. + К _1+ Кг;_1 + (Р,)_ + (К)_

АР,

2КУ. + К—11 + К—1 + (Я, Г1 + (К)—1, 11 е О;

Для каждого внутреннего узла наземной сборной сети справедливо уравнение, вытекающее из уравнений Кирхгофа (4п) АРт = !(Рп / Кпт )/ I (1/Кпт ),

т V п пт)

пєОт пєйт

где От — множество номеров узлов, из которых выходят линейные участки сети в рассматриваемый узел т.

К рассмотренным выше граничным условиям

Ар1 = Ар1 ^), 1 е °> ,

Ару = АРк, к еО \ Оп \ О,,

добавляются условия АРт = АРт зад, т е ^вых, где ^вых — множество узлов наземной сети, на которых задается условие др = др

т т зад

В приведенной линеаризованной трехуровневой модели уязвимым местом является определение коэффициентов Ктп в

уравнениях (4п). Если величины Р^ и ОН не измеряются, их необходимо определить расчетным путем, используя уравнения

(8) и уравнения Кирхгофа в каждом внутреннем узле.

4. Заключение

Как следует из вышеизложенного, моделирование на каждом уровне сводится в общем случае к решению системы нелинейных алгебраических уравнений, обладающих определенной спецификой, вытекающей из балансового характера моделируемых физических процессов. Учет второго и третьего уровней приводит как к увеличению размерности модели, так и к появлению новых нелинейностей.

При решении задач моделирования разработки месторождения углеводородов, в соответствии с предложенной трехуров-

невой моделью, приходится многократно решать системы из сотен тысяч алгебраических уравнений.

Естественно, практическая реализация моделирования всех трех уровней за приемлемое время с применением рассмотренных выше методов решения уравнений возможна только с использованием вычислительных систем с параллельной организацией алгоритмов вычислений.

Литература

1. АЗИЗ Х., СЕТТАРИ Э. Математическое моделирование пластовых систем. - М.: Недра, 1982.

2. ГОДУНОВ С. К., РЯБЕНЬКИЙ В. С. Разностные схемы. -М.: Наука, 1973.

3. КАНТОРОВИЧ Л. В., АКИЛОВ Г. П. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1977.

4. САМАРСКИЙ А. А., НИКОЛАЕВ Е. С. Методы решения сеточных уравнений. - М.: Наука, 1972.

5. Справочное руководство по проектированию разработки и эксплуатации нефтяных месторождений. Добыча нефти / Под ред. Ш. К. Гиматудинова. - М.: Недра, 1983.

INTEGRATED HYDRODYNAMICAL MODELS OF OIL FIELD DEVELOPMENT PROCESSES

Atlas V. Akhmetzyanov, Institute of Control Sciences of RAS, Moscow, Cand.Sc., (awa@ipu.ru).

Ildar Ibragimov, Institute of Control Sciences of RAS, Moscow, Cand.Sc., (ildar@ipu.ru).

Yegor Yaroshenko, Institute of Control Sciences of RAS, Moscow, (yaryegor@ipu.ru).

Abstract: We consider the problems of development of integrated mathematical models for stratum fluids filtration and gas-liquid

mixtures flows (i.e. oil, natural gas, and water) in oil and gas collecting systems. The modeling process consists of finding the generalized solution for the system of equations that describe real physical processes in oil and gas strata, shafts, and on-ground collecting pipelines. We propose and study the methods to solve nonlinear algebraic equations systems obtained from the space-time approximation of the initial boundary problems of the considered class.

Keywords: hydrodynamic model, filtration, collecting pipelines.

Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии А. П. Курдюковым