CC BY
15
ВЫБОР БАЗИСА ЧАСТНЫХ АЛГОРИТМОВ В КАТЕГОРИИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ С ФУНКЦИОНАЛЬНЫМ ПАРАЛЛЕЛИЗМОМ И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ СИСТЕМНЫХ ОПЕРАТОРОВ ОБМЕНА
ЭО! 10.24411/2072-8735-2018-10156
Максименко Владимир Николаевич,
МТУСИ, Москва, Россия, [email protected]
Ключевые слова: теория категорий, отношения, морфизмы, функциональное распараллеливание, процедурное распараллеливание, информационная безопасность, управление качеством услуг, параллельные алгоритмы, системные операторы обмена.
Вычислительные системы высокой производительности предназначены для решения сложных задач информационных систем. Сложность задачи определяется требованиями времени решения задачи (задачи реального времени) и связностью (распределенностью) частей информационной системы. Связность определяется числом обменных операций между отдельными частями информационной системы. В зависимости от степени связности выделяют не связные, слабо связные и сильно связные сложные задачи. Методика структурного крупноблочного распараллеливания предполагает использование функционального или процедурного подхода к распараллеливанию. Эффективность параллельных алгоритмов оценивается соотношением времени параллельных и последовательных вычислений. Время обменных операций между параллельными ветвями относится к последовательной части вычислительного процесса. Снижение времени обменных операций повышает эффективность решения задачи. На основе двух основных схем системных обменов: точка - точка (индивидуальные обмены) и точка - много точка (групповые обмены) можно предложить дополнительные виды обменов различной эффективности. В свою очередь, исследование эффективности системных операторов обмена и адекватного отображения структуры системных операторов обмена в структуру вычислительных средств информационной системы. позволяет обосновать выбор топологии вычислительной системы. Для этих целей воспользуемся формальным аппаратом теории категорий.
Информация об авторе:
Максименко Владимир Николаевич, доцент каф. ИБ к.т.н, доцент, МТУСИ, Москва, Россия
Для цитирования:
Максименко В.Н. Выбор базиса частных алгоритмов в категории параллельных алгоритмов с функциональным параллелизмом и исследование эффективности системных операторов обмена // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2018. Том 12. №10. С. 46-51.
For citation:
Maksimenko V.N. (2018). The choice of the basis of private algorithms in the category of parallel algoritms with functional parallelism and the study of the efficiency of system exchange operators. T-Comm, vol. 12, no.10, рр. 46-51. (in Russian)
7TT
Введение
Отдельные аспекты информационной безопасности для информационных систем сетей сотовой подвижной связи исследованы в работах [1-8], а аспекты управления качеством - в работах [9-12 |. В работе [17] на формальном уровне показано, что на уровне алгоритмов эти две предметные области - информационная безопасность и управление качеством становятся неразличимы, и возникает задача выбора базиса, т.е. набора частных алгоритмов, упорядочение которых позволяет решать как задачи информационной безопасности, так и задачи управления качеством. Для целей упорядочения можно воспользоваться методом функционального или процедурно распараллеливания. Для оценки эффективности метода распараллеливания необходимо предварительно оценить эффективность системных операторов обмена. Как было показано в работе [17] определение основных понятий категорий параллельных алгоритмов с процедурным параллелизмом позволяет перейти к исследованию эффективности системных Операторов обмена и исследовать эквивалентность пространственных и структурных характеристик параллельных алгоритмов сервисов управления качеством и сервисов информационной безопасности.
Исследование эффективности
системных операторов обмена
В рамках формального аппарата теории категорий [1316] возьмем категорию параллельных алгоритмов с процедурным параллелизмом Кп с множеством объектов, являющимся множеством параллельных ветвей, и множеством морфизмов Кп(В;,В$, являющимся множеством системных операторов взаимодействия [17]. Сосредоточим свое внимание на тех морфгомах из /(¡¡'(¡¡¡.Вт), у которых фиксирован исходный объект. Поскольку ниже речь будет идти только о системных операторах, ТО СЛОВО "системный" в дальнейшем будет опускаться.
Введем отображение ¡пк Я-> В^(вц. в/.....
в^-> (0,0,...,Вц), выделяющее из множества объектов В
категории Кц исходный объект б*.
Определение 1. Оператором трансляционного обмена категории Кп' называется отображение Ж:
В/I-> В, (вщ-> в и, в!.....пересылающее информацию из ветви Вк в ветви В^
Определение 2. Оператором индивидуального
обмена категории Кп' геиываетея отображение, р: Вк-> Вч
(вК-> вч), пересылающее информацию из вет ви вк в выделенную е„ ветвь.
Па основе введенных операторов обмена определим дополнительно различные операторы.
О п р е д е л е н и е 3. Оператором транеляционно-цнкиического обмена категории Кп' называется отображение, дтя которого диаграммы
дчя к—О, I, 2, .....В коммутативны.
Трансляпионно-циклический обмен реализует трансляцию информации из каждой ветви во все остальные. Действительно, морфизм тк :В-> из множества объектов В
категории Кц выделяет исходные объекты для каждого к=0,
1, 2.....(в„, вI, .... вь)-> (О, О,.... 0), а морфизм Л":
В/. -> В§ реализует оператор трансляционного обмена
для каждого объекта Вх -> (во, (¡¡, .... вв).
Тогда /г ; В -> (ва в/.....вв>-> (во, е/р вц).
Операторы трансляционного и трансляционно-цикличеекого обменов не зависят от пространственной структуры ветвей параллельного алгоритма. Введем операторы гиперобменов, которые зависят от пространственной струкгуры ветвей параллельного алгоритма. Определим предварительно отображение
тК:В->т \;(во,в1,...в<'... во2в,2...вк2... в/в
(00... вк'...00... вк:...00... в/...), которое выделяет исходные объекты непересекающихся подмножеств категории Кп\ Если категория Кц имеет структуру плоской решетки, то
тК:
во в/
во вI
£ £ во в/
в
в,-
в*
00 ... вЩ 00 ... вк2
00
О и р е д е л е н и е 4. Оператором гипертрансля-ци о иного обмена категории Ки' называется отображение для которого диаграммы
ж
-- ¿^
коммутативны,
О и р с д е л е н и е 5. Оператором гипергрансля-ционно-циклического обмена категории Кп' называется отображение/ для которого диаграммы
11
м
для Кц' =0. /, 2,..., В коммутативны.
11ри разработке конкретных параллельных алгоритмов немаловажное значение имеют вопросы функциональной полнота и :х|)(]>ек1Т1 внести операторов обмена. И а языке теории категорий теорема о полноте трансляционного обмена может быт ь записана следующим образом.
Теорема 1. Произвольный оператор обмена категории Кц' может быть представлен в виде композиции операторов трансляционного обмена.
Из теоремы 1. вытекает:
Следствие. Любой оператор обменов обладает функциональной полнотой.
Эффективность применения того или иного вида обмена определяется длиной его композиции. Так, например, для передачи информации из одной ветви в остальные можно воспользоваться трансляционным обменом.
Я:Вк-> В§
_ -
47 б, о 2 ... 6р
Помимо трансляционного обмена можно воспользоваться индивидуальными обменами, выполняемыми последовательно.
Доказательств»
Ро В„
Р, Вг
Р2 Дг
ps ВК
В,
в,
В, Bf
в. В..
в,
в.
Во Bi
В2
В,
Можно образовать композицию
ВК
В а Ро
Если диаграмма, коммутативна, TX>pJ=po pq. Аналогично
т
р1
Р2=Р2 Pl=P2 Р1°Р0
___§-l
Доказательство этой теоремы слсдует из определения оператора трансляци-онио-циклического обмена. Чтобы диаграмма
тг
была коммутативна, она должна быть коммутативна для каждого К=0,1,2,... В, где К - число операторов трансляционного обмена.
Т е о р е м а 4. Эффективность операторов гипертрансляционного И гипсртрансляционно-циклического обменов в $ раз эффективнее оператора трансляционного обмена, где £ -мощность гиперобменов.
Доказател ьство: Из коммутативности диаграммы
В§к ---► В§(
in
В
следует, что при одном гнпертрансляциониом обмене оператор трансляционного обмена выполняется ж: В/ •--> В/
выполняется § раз. Аналогично, из коммутативности диаграммы
¡1
ВК- -► ^
т
§
и т.д. р(~ р/ ' ... р2 р/'р». Таким образом, мы получили композицию индивидуальных обменов, длина которой в § раз больше композиции трансляционного обмена.
Теорема 2. Оператор трансляционного обмена п в § раз эффективнее системного оператора индивидуального обмена р.
Индивидуальный обмен является частным случаем трансляционного обмена, когда В§= Вч и л: В, -у
В/вк->в/
Поэтому эффективность операторов обменов мы будем определять длиной композиции трансляционных обменов.
Из двух операторов обменов эффективнее тот, у которого дина композиции трансляционных обменов короче.
Т с о р с м а 3. Эффективность оператора трансляционного обмена равна эффективности оператора транеляционно-циклнческого обмена.
В
следует, что при одном гипертраисляционно-циклическом обмене выполняются £ траисляционно-циклических обменов И:
В/ --> В/, а поскольку эффективность трансляционного
и трансляционпо-циклического обменов равна, то гипертранс ля циоино-циклический обмен в £ раз эффективнее трансляционного обмена. Сосредоточим внимание на мор-физмах КП°(В, В.), у которых фиксированы конечные объекты.
Дчя исследования этих морфизмов воспользуемся принципом дуальности теории категорий.
Введем отображение /¡п1.:В<-Вф(вф-> (00,,, вф)),
делящее из множества объектов В категории Кц конечный объект Вф.
О п р е д е л е н и е 6. Оператором коллективного обмена категории Кц называется отображение
к;В§-> В,,, (вф <-(вф&з,_,.в§) ) , пересылающее информацию из ветвей В> в ветвь В,„.
Как было показано, индивидуальный обмен является частным случаем трансляционного обмена. .Дуально можно показать, что индивидуальный обмен р:Вч->Вф(вч-> вф)
является частным случаем коллекторного обмена.
Определение 7. Оператором коллекторио-циклического обмена категории Кц" называется отображение V, для которого диаграммы
к
> в<
finK
Для К=0.1,2,...В коммутативны.
Коллекторно-циклический обмен осуществляет сбор информации в каждой ветви от всех остальных ветвей.
Введем структурно-зависимые операторы обмена категории Кп.
Отображение finj. В <- Вф
/тКфо'е/ .yißjßne?.(00...
'()()...
fin
ä .
1
в„ в! вп в,
в/f ef
вф вф
вф
00 00
00
вф вф2
вф
вМ>- e J), выделяет конечные объекты непересекающихся подмножеств категории Кц". Если категория Кп имеет структуру плоской решетки, то
О и р с д с л е н и с 8. Оператором ги пер коллекторного обмена категории Ки называется отображение, для которого диаграммы
коммутативны.
Определение 9. Оператором гиперкол-лекторко-циклического обмена категории Кп называется отображение, для которого диаграммы
Дуально можно записать теоремы I., 3., 4. в категории^/'.
Т с о р е м а 5. Произвольный оператор обмена категории К," может быть представлен в виде композиции операторов коллекторного обмена.
Т е о р е м а 6. Эффективность операторов коллекторного обмена категории Кп" равна эффективности оператора коллектор! ю-цикл и чес кого обмена категории К и".
Т е о р е м а 7. Операторы гиперколлекторного и гипер-коллекторно-циклического обменов в § раз эффективнее операторы коллекторного обмена, где § - мощность гиперобменов.
Доказательство теорем 6. и 7, аналогично доказательству теорем 3. и 4. Поэтому приведем их без доказательства.
Мы рассмотрели две категории параллельных алгоритмов Кц чКц" одним и тем же множеством — множеством параллельных ветвей, но С разными множествами морфиз-мов. Рассмотрим теперь категорию Ки с множеством параллельных ветвей и множеством морфизмов Кц (В/, BJ- Кц (В/Вт) U Ku"(Biß2) объединяющим морфизмы категории Кц1 и категории Кц.
Определим области эффективного применения морфизмов К,/ (В,В2) и морфизмов Kn(BiBi) для случая, когда необходимо выполнить произвольный обмен в категории Кц. Поскольку морфизмы К,,' (Biß:) построены па основе трансляционного обмена, а морфизмы Кц (В¡В?) на основе коллекторного обмена, достаточно найти соответствие между эффективностью трансляционного и коллекторного обменов. В качестве меры воспользуемся операторами индивидуального обмена, так как это единственный морфизм, принадлежащий одновременно морфизмам Кп' (В/В,) морфизмам Кц"(В,Вв то же время являющийся частным случаем как трансляционного, так и коллекторного обменов.
Возьмем оператор трансляционного обмена к: В,-->
Bj(eK-где ек— исходный объект, а -
конечные объекзы. Для реализации этого же обмена с помощью коллекторного обмена необходимо в качестве конечных объекгов брать поочередно объекты % вл и пересылать информацию объекту вк
кВк4- В$(e<ßi~.es)-> вк
При пересылке информации от одного объекта к другому выделенному объекту, вместо оператора коллекторного обмена можно пользоваться оператором индивидуального обмена, таким, что диаграммы
ж
тк
для к =0.1,2, .... В коммугативны.
будут коммутативны для всех К - 0,1.2, , §.
Из теоремы 2. следует, что оператор коллекторного обмена моделирует оператор трансляционного обмена с эффективностью.
При появлении в категории К„ необходимости реализации произвольных обменов (при числе исходных объектов на пересекающемся множестве объектов больше одного) необходимо составить композицию исходных объектов и последовательно применять для ого исходного объекта наиболее
эффективный оператор обмена. Разобьем множество объектов на два класса: к первому классу будут относиться только исходные объекты, а ко второму - конечные объекты.
Теорема 8. Если число исходных объектов категории К„ меньше 1/2 числа конечных объектов, то применение оператора трансляционного обмена эффективнее применения оператора коллекторного обмена.
Обратная теорема 9. Если число исходных объектов категории К,, больше 1/2 числа конечных объектов, то применение оператора коллекторного обмена эффективнее применения оператора трансляционного обмена.
Доказательство. Поскольку эффективность оператора коллекторного обмена обратно пропорциональна эффективности оператора трансляционного обмена, то эффективнее применять оператор, длина композиции которого короче. Если число исходных объектов меньше числа конечных объектов, то длина их композиции соответственно короче и, значит, применение трансляционного обмена более эффективно.
Если число исход: 1ых и конечных объектов категории К„ одинаково, то эффективность трансляционного и коллекторного обменов тоже одинакова.
Выводы
Использование формального аппарата теории категорий позволяет па ранних этапах проектирования защищенной информационной системы осуществить обоснование выбора топологии прототипа вычислительной системы и эффективных системных операторов обмена по критерию адекватного отображения структуры системных операторов обмена в структуру вычислительных средств информационной системы
Формализация основных понятий параллельных алгоритмов с процедурным параллелизмом средствами теории категорий позволяет перейти к исследованию эффективности системных операторов обмена и исследовать эквивалентность пространственных и структурных характеристик параллельных алгоритмов сервисов управления качеством и сервисов информационной безопасности. Снижение времени выполнения обменных операций повышает эффективность решения задачи.
Литература
I. Максименко ВН. Качество услуг информационной безопасности на сетях сотовой подвижной связи // Мобильные системы. 2004. №10. С.44-48.
2. Максименко ВН. Услуга определения местоположения абонента как средство защиты в сети сотовой подвижной связи // Известия ЮФУ. Технические науки, 2007, №4 (76). С. 151-155.
3. Белъфер P.A., Максименко В.Н. Подход к разработке концепции оценки уровня безопасности мобильник систем третьего поколения. Сборник трудов научно-практической конференции "Информационная безопасность" 28-31 мая 2002 г. Изд-во ТРТУ. С. 205-207
4. Максименко В.Н. Модель коллектива вычислителей и «Проблема 2000» в цифровых системах коммутации. Тезисы докладов научно-практического семинара Проблемы разработки, внедрения и эксплуатации цифровых систем коммутации. 6-9 нюня 2000, Санкт-Петербург. С. 42-46.
5. Максименко ВН., Афанасьев В.В. Волков П.В. Защита информации в сетях сотовой подвижной связи. М.: Горячая линия -Телеком, 2007. 360 с.
6. Максименко В Н., Кудин A.B., Дедовской А Н. Безопасность и качество услуг сотовой подвижной связи: Терминологический справочник, М,; Горячая линия - Телеком, 2007, 244 с.
7. Алексеев /O.A., Максименко В.Н. Методическое обеспечение решения «Проблемы 2000» в технических средствах электросвязи. Сб. трудов ЦНИИС. 1999. С. 4-11.
8. Шапарев A.B.. Жарков М.А,. Максимеtuco В.Н, Проблема 2000: Модель негативных последствий на сети ТфОП в чрезвычайных ситуациях // Электросвязь, № 6. 2000. С, 4-6,
9. Максименко В.П.. Филиппов A.A. Пентр обработки данных в структуре системы управления качеством оператора сотовой связи //T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. №6. 2008. С. 47-51.
10. Максименко В.Н. Васильев М.А. Методика расчёта стандартизованных показателей качества дополнительных услуг па сетях подвижной связи // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. № 4. 2011.С. 26-28.
11. Максименко В Н. Интеграция методов защиты информации и оценка качества услуг в сетях сотовой подвижной связи. Материалы XI Международной научно-практической конференции "Информационная безопасность". 4.1. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФО, 2010. С. 236-240.
12. Евреинов Э.В. Косарев Ю.Г. Однородные универсальные вычислительные системы высокой производительности. М.: Наука, 1966. С. 307.
13. Максименко В Н. Построение категорий безопасности и качества услуг сетей сотовой ПОДВИЖНОЙ связи. Материалы X Международной научно-практической конференции "Информационная безопасность". 4.2. Таганрог, Изд-во ТТИ ЮФО, 2008. С. 117-119.
14. Алгебраическая теория автоматов, языков и полугрупп. Под ред. М.А. Арбиба. М.: Статистика, 1975, 333 с.
15. Арбиб М.А.. Мямес Э.Г. Стрелки, структуры, функторы: Категорный императив; Пер. с англ. под ред. Койфмана Л.А. М.: ВГПТИ ЦСУ СССР, 1979. 275 с.
16. Букур И.. Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. М.: Мир, 1972.259 с.
17. Максименко В.Н. Категорный подход к исследованию аспектов защиты информации и управления качеством сервисов и услуг в сетях сотовой подвижной связи // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. № 9. 2018. С. 41-49.
THE CHOICE OF THE BASIS OF PRIVATE ALGORITHMS IN THE CATEGORY OF PARALLEL ALGORITMS WITH FUNCTIONAL PARALLELISM AND THE STUDY OF THE EFFICIENCY OF SYSTEM EXCHANGE OPERATORS
Vladimir N. Maksimenko, MTUCI, Russia, [email protected]
Abstract
High-performance computing systems are designed to solve complex problems of information systems. The complexity of the task is determined by the time requirements of solving the problem (real-time task) and the connectivity (distribution) of the information system parts. Connectivity is determined by the number of exchange transactions between individual parts of the information system. Depending on the degree of connectivity, they distinguish non-connected, weakly connected, and strongly connected complex tasks. The technique of structural large-block parallelization involves the use of a functional or procedural approach to parallelization. The efficiency of parallel algorithms is estimated by the ratio of the time of parallel and sequential calculations. The time of exchange operations between parallel branches refers to the sequential part of the computational process. Reducing the time of exchange operations increases the efficiency of solving the problem. Based on the two main schemes of system exchanges: point - point (individual exchanges) and point - many point (group exchanges), we can offer additional types of exchanges of various efficiencies. In turn, the study of the effectiveness of system exchange operators and the adequate mapping of the structure of system exchange operators into the structure of the computational tools of the information system allows you to justify the choice of topology computing system. For these purposes, we use the formal apparatus of category theory.
Keywords: category theory, relations, morphisms, functional parallelization, procedural parallelization, information security, service quality management, parallel algorithms, system exchange operators.
References
1. Maksimenko V.N. (2004). Quality of information security services on cellular mobile networks. Mobile systems. No. 10. pp. 44-48.
2. Maksimenko V.N. (2007). Subscriber location service as a means of protection in a cellular mobile communication network. Izvestiya SFU. Technical science. No. 4 (76), pp. 151-155.
3. Belfer R.A., Maksimenko V.N. (2002). The approach to the development of the concept of assessing the level of security of third-generation mobile systems Collection of works of the scientific-practical conference "Information Security" May 28-3 1, Publisher TSURE, pp. 205-207
4. Maksimenko V.N. (2000). Model of a team of computers and "Problem 2000" in digital switching systems Abstracts of a research and practical seminar Problems of development, implementation and operation of digital switching systems. June 6-9. St. Petersburg, pp. 42-46.
5. Maksimenko V.N., Afanasyev V.V. Volkov N.V. (2007). Information security in cellular mobile networks. Moscow: Hotline-Telecom. 360 p.: Ill.
6. Maksimenko V.N., Kudin A.V., Ledovskoy A.I. (2007). The safety and quality of mobile cellular services: A terminological reference. Moscow: Hotline-Telecom. 244 p.: Ill.
7. Alekseev, Yu.A., Maksimenko, V.N. (1999). Methodical support of the "Problem 2000" solution in technical telecommunication facilities. Sat Works ZNIIS. pp. 4-11.
8. Shaparev A.V., Zharkov M.A., Maksimenko V.N. (2000). Problem 2000: A Model of Negative Impacts on PSTN in Emergencies. Telecommunication. No. 6, pp. 4-6.
9. Maksimenko V.N., Filippov A.A. (2008). Data center in the quality management system of a cellular operator. T-Comm, No.6, pp. 47-51.
10. Maksimenko V.N., Vasilyev M.A. (2011). The method of calculating the standardized indicators of the quality of additional services on mobile networks. T-Comm, No. 4, pp. 26-28.
11. Maksimenko V.N. (2010). Integration of information protection methods and assessment of the quality of services in cellular mobile networks. Materials of the XI International Scientific and Practical Conference "Information Security" Part 1. Taganrog, Publishing House of TTI SFD, pp. 236-240.
12. Evreinov E.V., Kosarev Yu.G. (1966). Uniform universal computing systems of high performance. Moscow: Science. 307 p.
13. Maksimenko V.N. (2008). Building categories of security and quality of cellular mobile services. Materials of the X International Scientific and Practical Conference "Information Security" Part 2. Taganrog, TTI SFD Publishing House, pp. 117-119.
14. The algebraic theory of automata, languages and semigroups. Edited by MA Arbib. (1975). Moscow: Statistics. 333 p.
15. Arbib M.A., Maynes E.G. (1979). Arrows, structures, functors: The categorical imperative. Translation from English edited by Kojfman, LA, Moscow: VGPTI TsSU USSR. 275 p.
16. Bukur I., Delyanu A. (1972). Introduction to the theory of categories and functors. Moscow: Mir. 259 p.
17. Maksimenko V.N. (2018). A categorical approach to the study of aspects of information protection and quality management of services and services in cellular mobile networks. T-Comm. Vol. 12. No. 9, pp. 41-49.
Information about author:
Vladimir N. Maksimenko, Associate Professor of the IB Department. Ph.D.,MTUCI, Moscow Russia
( I л
