Введение пространства L2,w при построении проекционной оценки плотности вероятности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.5:519.2

ВВЕДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА ПРИ ПОСТРОЕНИИ ПРОЕКЦИОННОЙ ОЦЕНКИ

ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ

В. В. Браништи

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: [email protected]

Рассматривается задача оценивания плотности вероятности непрерывной случайной величины с помощью проекционных оценок в случае, когда искомая плотность не принадлежит пространству L2. Обосновывается необходимость введения гильбертова пространства L2,w. Рассматривается пример оценивания плотности вероятности, не принадлежащей L2.

Ключевые слова: функция плотности вероятности, проекционная оценка, гильбертово пространство, интеграл Лебега.

INTRODUCING THE ^ SPACE FOR BUILDING THE PROJECTIVE ESTIMATION OF PROBABILITY DENSITY FUNCTION

V. V. Branishti

Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: [email protected]

The problem of probability density function estimating in the case when the function is not in the L2 space is considered in the paper. Necessity of introducing the L2,w space is reasoned. There is an example of probability density estimating, when it is not in the L2.

Keywords: probability density function, projective estimation, Hilbert space, Lebesgue integral.

В [1] была впервые предложена оценка неизвестной функции плотности вероятности fx) непрерывной случайной величины по конечной независимой выборке x1, ..., xn в виде

fN(x) = «i9i(x) + a292(x) + ... + aN9n(x). (1)

Оценки вида (1) получили название проекционных. При этом предполагается, что истинная функция плотности вероятности принадлежит гильбертову пространству L2[a, b] функций с интегрируемым квадратом, т. е. удовлетворяющих условию:

b

jf2(x)dx <+<x>,

a

где интеграл понимается в смысле Лебега [2]. Последовательность функций фк, присутствующая в (1), есть ортонормированный базис пространства L2[a, b], оптимальные коэффициенты ak рассчитываются по формуле

b

ak = (Фк,f) = jфk(x)f (x)dx , к = 1,2,...

a

Однако не каждая функция плотности вероятности принадлежит пространству L2, так как существуют функции fx), удовлетворяющие условиям:

b b j f (x)dx = 1, j f2 (x)dx = +<x>.

a a

Секция «Математические методы моделирования, управления и анализа данных»

Простой пример такой функции можно построить следующим образом:

_ 1

/ (х) ='"

х е (0; 1)

2yfx 0, иначе

(2)

Графики функции fx) и соответствующей функции распределения вероятностей F(x) приведены на рис. 1 и 2.

Рис. 1. График функции плотности вероятности, не принадлежащей пространству Ь2

Рис. 2. График функции распределения вероятностей, соответствующей плотности на рис. 1

Для таких функций не выполняется условие сходимости оценки к истинной плотности:

lim || f (х) - fN (x)|| * 0.

N

Например, при использовании ортогональной системы многочленов Лежандра [3], нормированной на отрезке [-1; 1], получаем, что при любом N

\\f (X) - fN (Х)|| = +W ,

т. е. оценки fN(x) не приближаются к истинной плотности в смысле метрики пространства L2.

С целью построения проекционных оценок для плотностей, не принадлежащих пространству L2, вводится гильбертово пространство L2,w[a, b] со скалярным произведением

(f, g) = f f (x)g(x)w(x)dx,

где w(x) - некоторая положительная измеримая по Лебегу функция. В работе доказывается следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть fx) - функция плотности вероятности некоторой непрерывной случайной величины. Тогда существует такая положительная измеримая функция w(x), что

f е L2,w .

Причём в зависимости от функции w(x) пространство L2,w может быть шире или уже. Однако не существует функции w(x), для которой пространство L2w содержало бы всё множество функций плотности вероятности любых непрерывных случайных величин, что показывает следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть w(x) - положительная измеримая функция. Тогда существует непрерывная случайная величина, функция плотности вероятности которой не принадлежит пространству L2,w.

Таким образом, результаты использования проекционных оценок при оценивании плотности вероятности существенно зависят от выбранной функции w(x).

Так, для оценивания функции (2) рассмотрим пространство L2,w[0; 1], где функция w(x) определена следующим образом:

\24~x, x е (0;1),

w( х) = <

1,

иначе.

1 1 / 1 л2 1 1

: Г /2(х)м>(х)дх = Г| —I • 2\[хёх = Г—¡= ёх-

0 0124Х)

В этом случае

2

1

• = 1 < +<х>,

о ; о

поэтому/ е Ь2,м\0; 1]. Следовательно, в этом пространстве последовательность оценок/ы(х) сходится к истинной плотности /Цх).

Построим в этом пространстве ортонормированный базис, применив процесс ортогонализации Грамма-Шмидта [4] для линейно независимой в системы функций:

1, х, х , ..., х , ...

и рассчитаем близость

р( /, /ы )=| /-

полученных оценок/ы(х) к истинной плотности/Цх) (см. таблицу).

Зависимость качества приближения от N в пространстве

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

р(/ . /Ы) 0,5 0,375 0,312 0,273 0,246 0,226 0,209 0,196 0,185 0,176 0,168

График оценки плотности при N = 5 изображён на рис. 3. Из графика видно, что уже при N = 5 функция плотности на интервале (0; 1) достаточно хорошо аппроксимируется проекционной оценкой.

V

3

2 у = Дх)

1 - V = А(х)

1.0 -0.5 0.5 1.5 ""

-1

Рис. 3. Результат оценивания функции плотности вероятности в пространстве Ь2м,.

Таким образом, для оценивания функций плотности вероятности, не принадлежащих пространству Ь2, следует использовать пространство Ь2,к, где функция ^(х) выбирается специальным образом с использованием имеющейся априорной информации о законе распределения исследуемой случайной величины.

Библиографические ссылки

1. Ченцов Н. Н. Оценка неизвестной плотности распределения по наблюдениям // ДАН СССР. 1962. 147, 1. С. 45-48.

2. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. 6-е изд., испр. М. : Наука, 1989. 624 с.

3. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. М. : Интеллект, 2оо7. 344 с.

4. Ленг С. Алгебра. М. : Мир, 1968. 564 с.

© Браништи В. В., 2015