Сравнение проекционных оценок плотности вероятности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Актуальные проблемы авиации и космонавтики - 2017. Том 2 УДК 519.2

СРАВНЕНИЕ ПРОЕКЦИОННЫХ ОЦЕНОК ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ

В. В. Браништи

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: [email protected]

Рассматривается задача непараметрического оценивания функции плотности вероятности. Приводятся результаты сравнения 4-х видов оценок плотности вероятности проекционного типа. Установлено, что в ряде случаев предлагаемые модификации проекционной оценки показывают лучшие результаты.

Ключевые слова: статистическое оценивание, функция плотности вероятности, непараметрические оценки, проекционная оценка, гильбертово пространство.

COMPARISON OF PROBABILITY DENSITY PROJECTIVE ESTIMATES

V. V. Branishti

Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: [email protected]

This paper considers the problem of nonparametric estimation of probability density function. It gives the results of comparison among 4 kinds of projective estimates of probability density. It is demonstrated that proposed modifications of projective estimate show better results on a number of cases.

Keywords: statistical estimation, probability density function, nonparametric estimates, projective estimate, Hilbert space.

Задача оценивания неизвестной плотности вероятности является одной из основных в математической статистике [1]. Большинство современных алгоритмов классификации, восстановления стохастических зависимостей и распознавания образов используют те или иные алгоритмы восстановления неизвестной плотности. Кроме того, данная задача возникает при диагностике технических систем в аэрокосмической отрасли.

Для решения данной задачи существует несколько подходов, из которых перспективным является непараметрический подход [2]. В настоящей работе исследуется проекционная непараметрическая оценка, предложенная в [3], а также некоторые её обобщения.

При построении проекционной оценки предполагается, что оцениваемая функция плотности вероятности fx) принадлежит весовому гильбертову пространству L2,w. В [4] доказывается, что любая функция, которая является функцией плотности вероятности, принадлежит некоторому пространству L2,w при подходящем выборе весовой функции w(x). Следовательно, для любой такой функции f(x) можно построить проекционную оценку.

Проекционная оценка имеет вид:

Уг(x) = ao Фс (x) + ai9i(x) +... + ai Ф1(x),

где {ф0, ф1, ...} - базис пространства L2,w , а l, a0, a1, ..., al - параметры проекционной оценки, подлежащие настройке. Таким образом, построение проекционной оценки сводится к оцениванию её параметров по независимой выборке x1, ..., xn исследуемой случайной величины.

Секция «Прикладная математика»

Для построения оценок коэффициентов ц имеется несколько подходов. Так, в работе [5] используется формула

1 п

а} (х» Мх»), ^ = ^^ ^ (1)

а в [6] предлагается два подхода, основанных на применении метода моментов.

Кроме того, если при оценивании коэффициентов ц используется формула (1), то имеется два подхода к настройке длины ряда I [7]. При использовании метода моментов параметр I настраивается с использованием несмещённой оценки функционала качества Ж [7].

Итого, для восстановления неизвестной плотности вероятности имеется 4 выборочные оценки проекционного типа (табл. 1).

Таблица 1

Исследуемые оценки плотности вероятности

Обозначение Метод оценивания а,- Метод оценивания 1

Ц( X) 1 п а} =-£ф} ( х ) м>( Х ) П г=1 минимизация смещённой оценки функционала качества [7, форм. (5)]

Л( X) 1п а, = -£ф ](X) м'( X) п г=1 минимизация несмещённой оценки функционала качества [7, форм. (6)]

1з( X) а = Б^Ъ минимизация несмещённой оценки функционала качества

Л( X) а = Б) V минимизация несмещённой оценки функционала качества

В настоящей работе предлагается сравнение предложенных оценок по критерию средней близости оценки / ( х) к истинной плотности Дх):

е {{}

= М

I " I

(2)

где || • 1- норма в пространстве Так как теоретический расчёт значения (2) затруднён, то

применяется численный расчёт методом, аналогичным методу, используемому в [8]. Результаты расчётов при объёме выборки п = 20 занесены в табл. 2.

Таблица 2

Приближённые значения функционала (2) при восстановлении некоторых распределений

с помощью проекционных оценок

w

Распределение Ц( X) и X) 1з(х) М х)

Равномерное 0,466±0,033 0,433±0,03 0,433±0,03 0,433±0,03

Треугольное 0,228±0,013 0,224±0,013 - -

Кубическое 0,225±0,032 0,198±0,028 0,198±0,028 0,198±0,028

Показательное 0,078±0,013 0,071±0,01 0,049±0,008 0,047±0,008

Нормальное 0,051±0,006 0,047±0,005 0,050±0,005 0,048±0,005

Из таблицы видно, что оценки Д3( х) и 14( х) оказываются близкими или лучшими оценок

Ц( х) и 12( х) при оценивании выбранных распределений. Причем оценки 12( х), 13(х) и 14( х)

показывают идентичные результаты при восстановлении равномерного и кубического распределений, так как в этих случаях использовался базис Лежандра, при использовании которого эти оценки совпадают.

При восстановлении треугольного распределения использовался базис Фурье на интервале (-п; п). В этом случае не выполняется условие сходимости оценок 13( х) и 14( х) , следовательно,

Актуальные проблемы авиации и космонавтики - 2017. Том 2

эти оценки оказываются неприменимыми. Данный недостаток можно устранить, используя линейное преобразование исследуемой случайной величины:

% = - % .

п

При этом интервал восстановления функции плотности вероятности сокращается до интервала (-1; 1), на котором условие сходимости оценки выполняется.

В целом, как показало сравнение, подход, предложенный в [6], в ряде случаев даёт существенные преимущества при оценивании неизвестной функции плотности вероятности по сравнению с подходом в работе [5]. Результаты данной работы также могут быть использованы для сравнения с другими видами непараметрических оценок, например оценкой Розенблатта-Парзена.

Библиографические ссылки

1. Деврой Л., Дьёрфи Л. Непараметрическое оценивание плотности. ^-подход. М. : Мир, 1988. 408 с.

2. Тарасенко Ф. П. Непараметрическая статистика. Томск : Изд-во Томск. ун-та, 1976.

289 с.

3. Ченцов Н. Н. Оценка неизвестной плотности распределения по наблюдениям // ДАН СССР. Т. 147, № 1. С. 45-48.

4. Браништи В. В. Введение пространства Ь2,„ при построении проекционной оценки плотности вероятности // Вестник СибГАУ. Т. 17, № 1. С. 19-26.

5. Новоселов А. А. Об оптимальном выборе структуры плотности вероятности и регрессии: препринт. Красноярск : ВЦ СО АН СССР, 1979. 31 с.

6. Браништи В. В. Некоторые обобщения метода моментов при оценивании плотности вероятности в виде ортогонального ряда // Вестник СибГАУ. Т. 16, № 3. С. 566-571.

7. Браништи В. В. Сравнение двух алгоритмов настройки длины ряда для проекционной оценки плотности вероятности // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2016. № 9 (92), ч. 1. С. 10-14.

8. Браништи В. В. О параметрическом оценивании функции плотности вероятности // Научно-технический вестник Поволжья. 2014. № 1. С. 13-16.

© Браништи В. В., 2017