ВТОРИЧНОЕ МОРОЗНОЕ ПУЧЕНИЕВОКРУГ ХОЛОДНЫХ ТРУБ (МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Библиографический список

1. Белов М. С. Термогазодинамическая диагностика трехвальных приводных газотурбинных двигателей: дис. ... канд. техн. наук. - Тюмень, 2010. - 128 с.

2. Чекардовский С. М., Борисов А. Ю. Развитие методов анализа энергоэффективности основного оборудования газокомпрессорных станций // Нефтегазовый терминал. Выпуск 7: сб. науч. ст. памяти профессора Н. А. Малю-шина / Под. общ. ред. Ю. Д. Земенкова. - Тюмень: ТюмГНГУ, 2015. - С. 24-26.

3. Чекардовский М. Н. Методология контроля и диагностики энергетического оборудования системы теплога-зоснабжения. - СПб.: Недра, 2001. - 145 с.

4. Илюхин К. Н. и [др.] Контроль и диагностика оборудования в системе теплогазоснабжения / под общ. ред. проф. М. Н. Чекардовского. - СПб.: Недра, 2015. - 200 с.

5. Методика определения номинальных параметров газотурбинного привода ГТЭ-6,3/МС теплоэлектростанции собственных нужд Тямкинского месторождения [Электронный ресурс] / М. Н. Чекардовский и [др.] // Современные проблемы науки и образования. 2015. - № 2-3. - Режим доступа: Ьйр://шшш.$с1епсе-еёиса1;юп.ги/ги/агис1еМеш?1ё=23678.

Сведения об авторе

Михайленко Алексей Игоревич, аспирант кафедры теплогазоснабжения и вентиляции, Тюменский индустриальный университет, г. Тюмень, тел. 8(3452)256970, e-mail: Mikhaylenko. AI@tmn. gazprom-neft. ru

Information about the author

Mikhaylenko A. I., Postgraduate at the Department of Heat and Gas Supply and Ventilation, Industrial University of Tyumen, phone: 8(3452)256970, e-mail: [email protected]. ru

УДК 697(075)

ВТОРИЧНОЕ МОРОЗНОЕ ПУЧЕНИЕ ВОКРУГ ХОЛОДНЫХ ТРУБ (МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ)

SECONDARY FROST HEAVING AROUND COLD PIPELINE (MATEMATICAL MODEL)

О. А. Степанов, Б. Г. Аксенов, В. В. Фомина

O. A. Stepanov, B. G. Aksenov, V. V. Fomina

Тюменский индустриальный университет, г. Тюмень

Ключевые слова: низкотемпературный трубопровод; вторичное морозное пучение; краевая задача; процесс образования прослоев льда Key words: low temperature pipeline; secondary frost heaving; boundary problem; process of ice layers formation

Введение

Морозное пучение тонкодисперсных грунтов обусловливается миграцией влаги к фронту промерзания или внутри мерзлого слоя под действием градиента температуры. При этом формируется криогенная текстура грунта: слои мерзлого грунта перемежаются с прослоями (шлирами) практически чистого льда. При промерзании грунта влага в талой зоне мигрирует относительно быстро, и рост шлиров происходит за время, измеряемое сутками и неделями. В мерзлой зоне свободная влага замерзает на фронте фазового перехода, а связанная — в широком диапазоне минусовых температур. Коэффициент влагопроводности связанной воды мал, но в ситуации, когда поле температур имеет постоянный градиент в течение ряда лет, пучение все же происходит, и образуются прослои льда. Это происходит, например, вблизи холодной трубы газопровода. Следуя терминологии [1], мы называем такое пучение вторичным. В работах [2-4] одномерная аналогичная задача изучена для случая плоскопараллельной симметрии. В случае с трубопроводом, очевидно, следует применять цилиндрические координаты. В работе [5] описан метод перехода от плоских задач к радиальным. В данной статье на основании результатов [2-5] построена модель вторичного пучения.

Мы не ставили себе задачу построения модели для всех известных видов пучения. По данному вопросу существует обширная литература [6-15]. Мы решаем узкую задачу. Рассматривается сегрегационный механизм вторичного пучения вокруг трубы при следующих допущениях:

• температурное поле близко к стационарному;

• грунт тонкодисперсныи, однородный;

• поры полностью заполнены водой, в порах нет воздуха;

• внешние механические нагрузки отсутствуют. Постановка и решение задачи

Рассматривается образец тонкодисперсного грунта цилиндрической формы начального радиуса г2, внутри которого находится труба радиуса г1. Таким образом, вокруг трубы располагается кольцо грунта с начальной толщиной I = г2 - г1 (рис. 1). Влага заполняет все поры грунта, воздуха в грунте нет.

На поверхности трубы постоянная температура т1 < 0, а на боковой поверхности образца температура т2 > Т1, здесь обеспечивается приток влаги за счет постоянной влажности ж = Ж0. Внешних нагрузок нет.

Согласно работе [2] неза-мерзшая влага мигрирует в направлении понижения температуры, через боковую поверхность проникает внутрь и движется к трубе. Грунт разбухает, и его толщина I с течением времени увеличивается I = ¡(г) .

Частицы грунта вследствие вла-гопереноса перемещаются вдоль координаты г со скоростью у(г,г). Как функции от г, г определены: влажность (Ж) и льдистость (Ь), температура (Т), плотность скелета грунта (рск)- Как и в работе [4], для единицы объема влажность и льдистость являются величинами относительными и, соответственно, равны

^ ^ у

" ^ ^ л ' ^ / ,

■У

2г£_

2 г,

Рис. 1. Холодная труба, окруженная грунтом

ж = т_т =

(1)

Рс,

Рс,

где тв, тл — масса воды и масса льда. Плотность скелета грунта определяется следующим образом:

' Рско Ж < Wн

Рск =■

Гв

ж„ + ь '

Ж. > Ж

(2)

где Жс Жн — суммарная влажность и полная влагоемкость грунта, причем

Ж = Ж + Ь,

(3)

плотность воды, а константа Ь =

Гв

■-Ж.

дсг 0

При Т > 0 суммарная влажность Жс= Ж, так как Ь = 0.

При т < 0 так называемая кривая незамерзшей воды Жнз(Т) является экспериментально определяемой физической характеристикой данного типа грунта, при отрицательной температуре Ж(Т) = Жнз(Т), если Жс > Жнз (Т) -

Образование шлиров проявляется лишь в промерзших грунтах, имеющих значительную начальную влажность, поэтому пусть

> жн, жс > Жнз. (4)

Отсюда непосредственно следует

р = ув . (5)

Иск + Ь

Кроме того, при

т < 0 wc = w + ь = wнз (т) + ь. (6)

Пусть при t = 0 весь грунт имеет постоянные температуру Т = Т2 и влажность Wc = W0, а толщина его i = i (0).

Явления переноса энергии и массы описываются следующими уравнениями:

— + ап(Ио) = -а™(о>Т); (7)

дt

д(т) + а™(ш и) = -ам ^), (8)

дt

т

где н = J Сэ™ ат — энтальпия среды,

С,Т > 0

с°™ [с + K(awlar),T < 0

C — объемная теплоемкость; QT — плотность теплового потока; qB — плотность потока влаги; к — скрытая теплота замерзания воды; m — суммарная масса влаги (тв + тл), содержащаяся в единице объема рассматриваемого образца. С учетом равенств (1) и (3), имеем т = Wcpck . По работе [4] плотности теплового потока и потока влаги определяются из следующих выражений

qв = Л к( Рек ,T)gradW,

QT = -kgradT,

где k0 — константа; К(рск , T) — коэффициент влагопроводности; Я — коэффициент теплопроводности.

Теперь систему уравнений (7)-(8) можно переписать следующим образом:

д

-twcPck ) + aiv(WcPcU) = k0 aiv(K( p^ ,t )graaw), (9)

dt

dH + aiv(Hu) = aiv( XgraaT). (10)

dt

Определим для этих уравнений начальные условия на границах образца

T(r,0) = T2;

T(Г ,t) = Tr < r < l(t);t > 0 (11)

T(l,t) = T2;

W(r,0) = W(r2 ,t) = W0;

* dWW *

для Wc< Wc при r = гг -= 0 ; для Wc>Wc при r = r W( rb t) = W^Tj).

dr

Обратим внимание на граничные условия при г = г1. Когда суммарная влажность достигает уровня , дальнейшее ее возрастание невозможно вследствие разрыва пленок, которые окружают зерна скелета. Именно по этим пленкам движется незамерзшая вода.

Скорость движения частиц грунта определяем по формуле (12), полученной в работе в [4].

У = - ^. (12)

7в

Система (9)—(11) описывает процесс влагопереноса в грунте в начальный период времени, пока скорость движения фронта г = £ существенна и температурное поле нестационарно. Как было показано в экспериментах Э. Д. Ершова [6] и в работе [1], ошибка в определении момента времени перехода на стационарный (вернее квазистационарный) режим г = 4 мало влияет на общие результаты расчета.

Считаем, что при г > 4 температура является известной функцией Т = Т(г, г) и не зависит от дск. Вследствие деформации образца меняется квазистационарным образом температурное поле. Поэтому такое предположение необходимо сделать.

С учетом квазистационарности преобразуем систему (9)—(11). Прежде всего, так как кинетические эффекты в квазистационарном режиме пренебрежительно малы, уравнение (10) будет иметь следующий вид:

^гаСТ) = 0;г е (г1)); (

Т(гхл) = Т ТОЛ) = Т2.

При любом г > 0 значение Т(г, г) является решением задачи (13). Значение ¡(г) определяется при решении задачи массопереноса (9).

Учитывая цилиндрическую форму рассматриваемого образца и то, что температуры внутри и снаружи его неизменны, распределение температур будет зависеть лишь от радиальной координаты. Поэтому вполне естественно рассматривать уравнения (9), (13) для одномерной стационарной задачи в цилиндрической системе координат.

Предположим, что значение Т = Т(г, г) известно и, следовательно,

К = К(рск, Т) = К (дск,г, г). Тогда в мерзлой зоне

дЖ=^дТ=ф,). (14)

дг с1Т дг

Так как Жнз определяется экспериментально, то (р(г, г) считаем известной функцией. Поэтому снижается порядок уравнения (9). Вместо параболического уравнения получаем уравнение первого порядка гиперболического типа.

Из (5) следует, что дск и Жс связаны взаимно-однозначным соответствием. При установленном из (13) поле температур величина Жнз определена в каждой точке и из условий (5) и (6) следует взаимно-однозначное соответствие между Ь и дск. Тогда можно построить уравнение относительно одной неизвестной переменной дск, которое будет справедливо только в мерзлой зоне.

д^+^р^д:=-р2 (Д(15)

г1 < г <£,

где ^ =Ь (К р + р-р-Р) ^ = ^. к д.(& М

Гв {. дРк ) У в \дг г )

начальные условия

Ж(г,0) = рсх(г,0) = р = , (16)

Ж + ъ

где Е— граница фазового перехода (см. рис. 1). При расчете процесса образования шлиров талую зону не учитываем, а на ее границе задаем условия

ШС(ЕЛ) = Ж, ;рск (Е,х) = (17)

Ж + ъ

Еще одно уточнение. Расчеты и эксперименты [6] показывают, что в образце могут возникнуть области, где рск = 0, то есть прослои чистого льда. Один из таких прослоев в режиме одностороннего промерзания образуется на внутренней поверхности образца (г = г1). Поэтому граничное условие здесь задаем на г = г (см. рис. 1)

рск (г*, 0 =-£----(18)

^ 1 ' Жнз (Т(г , X)) + ъ

*

Величина г1 находится по ходу решения.

Задача (15)—(17) решается методом характеристик. Вместо (15) имеем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

сСг

С = ^(рск , Г' Х) (19)

Р = - Рг(Рк г, X)

Рск(г,0) = Р'; г(0) = г>=

где г0 — начальная координата характеристик.

Там, где характеристики пересекаются, слои грунта накладываются друг на друга. Резко увеличиваются плотность и коэффициент влагопроводности К , образуется шлир. У реальных грунтов плотность не может быть выше рск0. Численное исследование

Уравнение (13) для стационарной одномерной задачи в цилиндрических координатах имеет следующий вид:

- +--= 0;г е (г1,1(г));

Сг2 г Сг Т (Г ,Х) = Т; Т(1,Х) = Т.

Его решение имеет вид

Т(г,х) = Т - (Т - Т2)-

1пг

Iп

1(Х)

Зависимость количества незамерзшей воды от температуры имеет вид [3]

Г ж0, т > 0 жнз (т) = \ вт г,2 , (20)

нз [ж0е ~вт /2, т < 0

где в— коэффициент, определяющий форму кривой Жнз

№ 2, 2018 Нефть и газ

Согласно теоретическим и экспериментальным исследованиям [1-6], прослои чистого льда образуются при отрицательной, близкой к стационарной температуре, поэтому и мы производим все расчеты только в мерзлой зоне. Формулы для др

функций р и -— получаются дифференцированием Жнз, согласно выражению

дг

(20).

Коэффициент влагопроводности однородного грунта, найденный экспериментально [6], является функцией от плотности грунта и К(рск) = (рск)2/3. После преобразований ¥1 и система (19) имеет вид

^ = 5крРРск ' Л

3уе

ЖРс,

ж

к

Уе

о Р5 / 3 ■ рск

др + р

дг г

4 считаем начальным моментом времени, тогда нулевые характеристики равны

Уе

го = г(го); Рск(г,0) =

Шс (г, Тс ) + ь

Решение получено численно на компьютере по методу Эйлера. Исходные данные для расчета

Т1 = -5°С; Т2 = 2°С; г1 = 0,1м; г2 = 0,25м; к0 = 1,4 ■ 10-7 м2/с;

Ж» = 0,42; рск0 = 1,25 -103 ru/v3; р, = 0,5кг / м3; в = 1К_1.

Кроме того, было принято условие, что при рск(Жс) = р* влагообмен прекращается, то есть рск < р*.

Рис. 2. Зависимость плотности скелета грунта от радиуса при £ = 580 ч

На рисунке 2 представлен график распределения плотности скелета грунта рск при / = 580 ч. Здесь хорошо видна зона образования шлира.

Если холодный трубопровод длительно эксплуатируется при неменяющейся температуре Ттв <-2°С, то на его поверхности формируется ледяное кольцо. Второй прослой льда образуется там, где кривая незамерзшей воды имеет точку пере-

гиба. Расстояние между прослоями намного больше, чем в плоском образце [3]. Это объясняется качественным различием теплообмена в плоскопараллельной и цилиндрической областях. При т >-20 С образуется только один шлир на

поверхности трубы.

Выводы

• Шлиры формируются в мерзлой зоне, а не на границе фазового перехода.

• Криогенная текстура продолжает формироваться по всей мерзлой зоне длительное время после ее промерзания.

• Шлиры образуются при квазистационарных температурных условиях.

Рекомендации по защите трубопровода от пучения

Проводятся расчеты по вышеизложенной методике, и выбирается один из двух вариантов защиты:

1) траншея, в которую укладывается труба, делается шире второго ледяного кольца и засыпается непучинистым грунтом;

2) труба дополнительно теплоизолируется для предотвращения появления второго кольца, тогда объем вынимаемого грунта значительно ниже.

Выбор варианта должен быть технико-экономически обоснован.

Библиографический список

1. Perfect E. Williams P. J. Thermally induced water migration in frozen soils // Water Resourses Research. - 1985. -Vd. 21, Issue 3. - P. 281-296.

2. Даниэлян Ю. С., Аксенов Б. Г. Тепловлагоперенос и деформация в промерзающих рыхлых грунтах. // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. - 1991. - № 2. - С. 177-182.

3. Аксенов Б. Г. Сегрегационный механизм пучения грунтов. // Известия Российской академии наук. Энергетика. - 1997. - № 5. - С. 135-141.

4. Аксенов Б. Г., Фомина В. В., Липихин А. С. Расчет температурных полей в промерзающих и оттаивающих влажных грунтах [Электронный ресурс] // Современные проблемы науки и образования. - 2013. - № 2. - Режим доступа: www.science-education.ru/108-9010.

5. Аксенов Б. Г., Фомина В. В., Игошин М. Е. Прогнозирование теплового режима вокруг подземного трубопровода [Электронный ресурс] // Современные проблемы науки и образования. - 2014. -№ 2. - Режим доступа: www.science-education.ru/116-12402.

6. Ершов Э. Д. Общая геокриология. - М. : Недра, 1990. - 559 с.

7. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1977. - 736 с.

8. Особенности строительства объектов в нефтегазодобывающих районах Западной Сибири / Ремизов В. В. [и др.]. - М.: Недра, 1996. - 382 с.

9. Аксенов Б. Г. Границы решений некоторых нелинейных немонотонных задач для уравнений типа теплопроводности. - Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1993. - Т. 33, № 6. - С. 884—895.

10. On a general approach to extinction and blow-up for quasi-linear heat equations / J. J. L. Velasques [et al.] - Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1993. - Т. 23, № 2. - С. 246-259.

11. Богословский В. Н. Тепловой режим здания. - М.: Стройиздат, 1976. - 248 с.

12. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. - М.: Наука, 1964. - 488 с.

13. Аксенов Б. Г., Медведский Р. И. Приближенный метод приведения решений осесимметричных задач фильтрации к плоским // Известия АН СССР, Механика жидкости и газа. - 1988. - № 2. - С. 185-189.

14. Сигунов Ю. А., Самылова Ю. А. Динамика роста давления при замерзании замкнутого объема воды с растворенным газом // Прикладная механика и техническая физика. - 2006. - Т. 47, № 6. - С. 85-92.

15. Sychevskii V. A. Calculation of stresses and strains in a spherical volume filed with water caused by its freezing // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. - 2007. - Vol. 80, Issue 4. - P. 820-827.

Сведения об авторах

Степанов Олег Андреевич, д. т. н., профессор, заведующий кафедрой промышленной теплоэнергетики, Тюменский индустриальный университет, г. Тюмень, тел: 8912927 2100, e-mail: stepanovoa@tyuiu

Аксенов Борис Гаврилович, д. ф.-м. н., профессор, консультант кафедры промышленной теплоэнергетики, Тюменский индустриальный университет, г. Тюмень, тел: 89224796978, e-mail: aksenovbg@tyuiu

Фомина Валентина Викторовна, к. т. н., доцент кафедры бизнес-информатики и математики, Тюменский индустриальный университет, г. Тюмень, тел: 89189230680, е-mail: [email protected]

Information about the authors

Stepanov O. A., Doctor of Engineering, Professor, Head of the Department of Business Informatics and Mathematics, Industrial University of Tyumen, phone: 89129272100, e-mail: stepanovoa@tyuiu

Aksenov B. G., Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Consultant at the Department of Industrial Heat Engineering, Industrial University of Tyumen, phone: 89224796978, e-mail: aksenovbg@tyuiu

Fomina V. V., Candidate of Engineering, Associate Professor at the Department of Business Informatics and Mathematics, Industrial University of Tyumen, phone: 89189230680, e-mail: [email protected]