CC BY
32
УДК 519.7
ВТОРАЯ КООРДИНАТНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЛИНЕЙНОЙ РЕКУРРЕНТЫ МАКСИМАЛЬНОГО ПЕРИОДА НАД КОЛЬЦОМ Z81
Д. Н. Былков
Описывается аналитическое строение второй координатной последовательности линейной рекурренты над кольцом Z8. Уточняется нижняя оценка ранга (линейной сложности), строятся классы многочленов и рекуррент максимального периода, у которых достигается максимально возможный ранг.
Ключевые слова: линейная рекуррентная последовательность над кольцом, координатная последовательность, ранг, аналитическое строение.
Пусть Я = Z8, Я(ж) € Я [ж] — многочлен максимального периода (МП-многочлен) степени т, т. е. унитарный (со старшим коэффициентом е) многочлен степени т с максимально возможным при данном т периодом Т(Я) = 22(2т — 1) [1]. Обозначим через Ь^(Я) множество всех линейных рекуррент над Я с характеристическим многочленом Я(ж), а через Ьи(Я)* —подмножество линейных рекуррент и € Ьд(Я) периода Т(и) = Т(Я), т. е. линейных рекуррентных последовательностей максимального периода (МП ЛРП).
Подмножество К = {к0,к1} С Я назовем координатным множеством кольца Я (см., например, [1]), если справедливы соотношения к0 € 2Я, к1 € Я*. Примером координатного множества кольца Я является двоичное координатное множество К = {0,1}. Пусть а € Я, хорошо известно разложение а = а0 + 2а1 + 22а2, а = 7к (а) € К, г = 0,1,2, называемое разложением элемента а в координатном множестве К. Элемент а2 будем называть старшей координатой элемента а в координатном множестве К. На множестве К можно задать структуру поля: а ® Ь = 7^(а * Ь), * € {+;'}.
Пусть Я (ж) € Я [ж] — унитарный многочлен Галуа (т. е. неприводимый по модулю 2) степени т ^ 5. Рассмотрим последовательность и2 = 7^(и), полученную разложением знаков ЛРП и в координатном множестве К: и2(г) = ^2 (и(г)), г € N0.
Для случая, когда многочлен Я (ж) является отмеченным (Т (Я) = 2т — 1), в работе [2] найдено разложение второй двоичной координатной последовательности и2 в сумму биномиальных последовательностей.
В настоящей работе найдено биномиальное разложение второй координатной последовательности 7^ (и) при произвольном выборе координатного множества К. Пусть в — корень многочлена Я (ж) в расширении Б кольца Я, Г(Б) = {а2 = а :
а € Б} — координатное множество Тейхмюллера. Тогда знак ЛРП и представляется в виде и(г) = Тд(£вг), £ € Г(Б). Пусть также £ = £0 + 2^1 + 4£2, в = в0 + 2в1 + 4в2 — разложения элементов £ и в в координатном множестве Г(Б). Тогда справедлива
Теорема 1. Для знака последовательности и2 справедливо равенство
и2(г) = (2) +у2)^и%)®гв2(г)0^(г)0дк(г 1г(£0^г) + 1г(£1^г) + ^(£0^),^(£0^)),
хРабота выполнена при поддержке гранта президента РФ №НШ-6260.2012.10.
где v = #i/#o, tr(x) = (x), многочлен gK определяется лишь выбором K,
S2(i) = tr(£oVWi)a2(£oWi) 0 o^&vw1) 0 tr(£oVw") tr(£iw*) 0 tr(£o^2Wi-1) 0 tr(£ivw"); si(i) = o^ow1) 0 ^(^w") 0 tr((£o 0 ^w^^ow") 0 tr(£owi)as(£owi) 0 tr^w"); ^(x) = £ x2i+2j ,aa(x)= £ x2i+2j +2* ,^(x) = £ x2i+2j +2*+2s.
o^i<j^m— i o^i<j<fc^m-1 o^i<j<fc<s^m-1
Доказательство теоремы 1 получено при помощи метода исключения младших координат, разработанного В. Л. Куракиным [3].
На основе результата теоремы 1 удалось уточнить известные оценки линейной сложности (ранга) второй двоичной координатной последовательности и получить оценки ранга в случае произвольного координатного множества.
В работе [1] получены нижние оценки ранга двоичной координатной последовательности u2 = Y{°’i}(u) в случае, когда F(x) —МП-многочлен. В частности, описаны ограничения на выбор МП-многочлена F(x), при которых для произвольной ЛРП u Е Lr (F)* справедливы неравенства
(ш\ (ш\ (ш\ (ш\ (ш\ . ,
3ш + Ч 3 ) + С 4 ) ^ rkU2 « 3ш + 2( 3 ) + Ч 2 )Ч 4 ) ■ (1)
причём верхняя оценка в неравенстве (1) справедлива для любого МП-многочлена. Справедлива Теорема 2.
а) Если гарантированный ранг системы элементов {v, v 2,...,v2m } не меньше 3 или tr(v) = e, то для произвольной МП ЛРП u Е Lr(F)* справедливо неравенство
rk(YK (u)) ^3m+2 ( "3) + (7). (2)
б) Если элемент v образует нормальный самодвойственный базис r(S) над {0,1} и элемент £ Е S имеет вид £ = (3 + 4c)0* для некоторых с Е S, t Е N, то для ЛРП u Е Lr(F)* вида u(i) = Tr(£$l) верхнее неравенство из (1) обращается в равенство.
Так как условию tr(v) = e удовлетворяет половина всех МП-многочленов, то нижняя оценка (2) справедлива не менее чем для половины МП-многочленов и произвольного координатного множества K.
ЛИТЕРАТУРА
1. Kurakin V.L., Kuzmin A. S., Mikhalev A. V., and Nechaev A. A. Linear Recurring Sequences over Rings and Modules // J. Math. Sci. (New York). 1995. V. 76. No. 6. P. 2793-2915.
2. Helleseth T. and Martinsen H. M. Binary sequences of period 2m — 1 with large linear complexity // Information and Computation. 1999. V. 151. P. 73-91.
3. Куракин В. Л. Первая координатная последовательность линейной рекурренты максимального периода над кольцом Галуа // Дискретная математика. 1994. Т. 6. № 2. С. 88-100.
