CC BY
31
ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
2008 Теоретические основы прикладной дискретной математики № 2(2)
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
УДК 621.391.1:004.7
РАССТОЯНИЕ ЕДИНСТВЕННОСТИ СЕМЕЙСТВА КООРДИНАТНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, ПОЛУЧЕННЫХ УСЛОЖНЕНИЕМ ЛИНЕЙНЫХ РЕКУРРЕНТ НАД КОЛЬЦОМ ГАЛУА1
Д.Н. Былков
Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики
E-mail: [email protected]
В настоящей работе обсуждается наличие эквивалентных последовательностей при усложнении координатных ЛРП над кольцом Галуа, а также рассмотрен вопрос о минимальной длине, на которой выходные последовательности будут различимы.
Ключевые слова', координатные ЛРП, кольцо Галуа, эквивалентные состояния, расстояние единственности.
Пусть R = GR(qn, pn) - кольцо Галуа характеристики pn, состоящее из qn элементов [1], n > 1, q = pr, e -единица. Для кольца Галуа R поле R = R/pR будем называть полем вычетов. Естественный эпиморфизм R R индуцирует эпиморфизм колец многочленов R[x] R [х]. Образ многочлена A(x) = X a,x е R[x] бу-
дем обозначать А(х): А(х) = X а,х е R[x].
Подмножество B = {b0 , ... , bq _ 1} называется координатным множеством кольца R, если его элементы образуют полную систему вычетов по модулю идеала pR. В [1] показано, что каждый элемент a е R однозначно представляется в виде a = a0 + pa1 + ... + pn- 1an _ 1, as е B, 0 < s < n - 1, называемом разложением элемента a в координатном множестве B.
Пусть l, t е N и t удовлетворяет условиям 1 < t < l. Произвольную функцию h: Rl B от переменных x1 , ., xl можно рассматривать как функцию от переменных хг7, 0 < i < n - 1, 1 < j < l, отображающую Bnl в B, где величины х0j, ..., хп _ 1 j суть коэффициенты из разложения переменной хj в координатном множестве B. Скажем, что отображение h биективно по переменной хп _ 1 t , если при произвольной фиксации nl - 1 переменных
(х0 1, ■■■, хп - 1 1, ■■■, х0 h ■ ■ ^ хп - 2 Ь х0 t + 1, ■ ■ ^ хп - 1 t + 1, ■ ■ ^ х0 l, ■ ■ ^ хп - 1 l) е B
функция h = h(xo 1, ., хп - 2 t, х, хо t + 1, ., хп - 1 l) - биекция.
Всюду далее F(x) - унитарный многочлен над R, через LR(F) будем обозначать множество всех линейных рекуррентных последовательностей над R с характеристическим многочленом F(x). Каждой последовательности и из Lr(F) сопоставим последовательности u0, ..., ип- 1, получающиеся из разложения знаков последовательности и в координатном множестве B: u(i) = u0(i) + pu1(i) + . + pn- 1ип - 1(i), us(i) е B, 0 < s < n - 1, i > 0.
Зафиксируем параметры l е N, 1 < t < l, и s1, ., sl е N. Рассмотрим алгоритм A, сопоставляющий каждой из последовательностей u е Lr(F) выходную последовательность u = A(u) по правилу: u = h(u(i + s1), ., u(i + sl)), i > 0, где отображение h биективно по переменной хп - 1 t.
Будем говорить, что алгоритм A не допускает эквивалентных состояний, если существует натуральное L со свойством
V u, v е Lr(F) ( u Ф v ) =ф ((u(0), ., u(L - 1)) Ф (v(0), ., v(L - 1))). (1)
В этом случае минимум Ud(F, A) значений L со свойством (1) назовем расстоянием единственности алгоритма A. В противном случае будем считать Ud(F, A) = да.
Определим норму элемента a е R и норму последовательности у е R<1> следующим образом:
||a|| = max{0 < t < n | a е p‘R}, jLyjj = max{0 < t < n | у е _ptR<1>}.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Совета поддержки научных школ при Президенте РФ (номер проекта НШ -8564.2006.10).
6
Д.Н. Былков
Положим Lr(F)* = {u е Lr(F) : ||u|| = 0}. Будем говорить, что многочлен F(x) е R[x] реверсивный, если
F(0) е R*. Назовем многочлен F(x) е R[x] многочленом Галуа, если его образ F(x) е R[x] неприводим над R. При условии T(F) = pn- 1(qm - 1), m = deg F(x), скажем, что F(x) - многочлен максимального периода (ММП) над R.
Теорема 1. Пусть существует натуральное L, такое, что для любой последовательности и е Lr(F) для каждого 0 < k < n - 1 найдется 0 < i0 < L - 1 со свойством
u(i0 + Sj) = 0, для всехj е {1, ..., 1} \ {t},
||u(io + s)|| = k.
Тогда верно неравенство Ud(F, A) < L.
Условия теоремы 1 выполняются, например, если I = 1 и F(x) - многочлен максимального периода. В [1] показано, что на цикле линейной рекурренты максимального периода появятся все элементы кольца R, то
есть справедливо неравенство L < T(F). В случае кольца Z4 можно указать более точные оценки величины L.
Теорема 2. Пусть F(x) = xm - x - 1 е Z4[x], где m > 2. Тогда для любой последовательности и е Lii(F)*, для всех z е {1, 3} существует i0 < 4m - 2, такое, что u(i0) = z. Причем указанная оценка достижима.
Теорема 3. Пусть F(x) = xm - xk - 1 - многочлен Галуа над кольцом Z4, где 1 < k < m. Тогда для любой последовательности u е Lii(F)*, для всех z е {1, 3} существует i0 < 3mk + 2m - 2k - 1, такое, что u(i0) = z. Следующие результаты дают достаточные условия конечности величины Ud(F, A).
Теорема 4. Пусть F(x) - многочлен Галуа степени m над кольцом R, удовлетворяющий условию
T(F) >p2(n- \qnl - 1)qm 7 2.
Пусть также а - корень многочлена F(x) в расширении S = GR(qmn, pn) кольца R. Тогда при условии, что система а % ..., а s линейно независима над R, верно неравенство Ud(F, A) < да.
Нетрудно заметить, что результат теоремы 4 нетривиален при выполнении неравенства m > 2n1(1 + o(1)). Теорема 5. Пусть 1 = t = 1 и F(x) = F1(x) F2(x), где F1(x), F2(x) - унитарные и реверсивные многочлены над R, такие, что (T(F1), T(F2)) = 1. Пусть также для произвольной последовательности u е Lr(Fs) , s = 1, 2, для каждого 0 < k < n найдется i0 < T(F) со свойством ||u(i0)|| = k. Тогда верно неравенство Ud(F, A) < да.
Теорема 6. Пусть 1 = t = 1 и F(x) = F1(x) F2(x), где F1(x), F2(x) - взаимно простые, унитарные, реверсивные многочлены Галуа над R, степеней m и k соответственно, такие, что
d0 > p2(n - 1)q m 7 2, d1 > p2(n - 1)q k 7 2,
где ti = T(Fj), di = ti / (t1, t2), i = 1, 2. Пусть также выполнено равенство (T(F1), T(F2)) = 1. Тогда верно неравенство Ud(F, A) < да.
В некоторых случаях удается получить более точные оценки величины Ud(F, A). Всюду далее R = Z4, 1 = t = 1, h(x) = x11 и вместо Ud(F, A) будем писать Ud(F). В [2] показано, что если F(x) - многочлен максимального периода степени m, то для любой u из Lr(F) выполнено равенство rank(u1) = m(m + 3) / 2. И поэтому Ud(F) < m(m + 3) / 2. Ниже приводятся оценки расстояния единственности для трехчленов вида F(x) = xm + axk + b, (a, b) Ф (1, 1).
Вид F(x) Дополнительные условия Теоретически полученная верхняя оценка Ud(F) Точные значения Ud(F) для m < 18
x S 1 x 1 F(x) примитивный, k < (m2 - m) / (2m - 3) m(3 + k) - 2k + 1 Ud(F) < 3m
F(x) примитивный, k > (m2 - m) / (2m - 3) m(3 + m - k) - m + k + 1
kделит m 4m - 2k + 1
m-kделит m 3m + k + 1
x s 1 x Ä- 1 F(x) примитивный, k < (m2 - 2m) / (2m - 3) m(3 + k) - k + 1 Ud(F) < 3m
F(x) примитивный, k > (m2 - 2m) / (2m - 3) m(3 + m - k) - 2m + 2k + 1
kделит m 4m - k + 1
m-kделит m 2m + 2k + 1
x s 1 x Ä- 1 3 F(x) примитивный, k < (m - 1) / 2 m(3 + k) - k + 1 Ud(F) < 4m
F(x) примитивный, k > (m - 1) / 2 m(3 + m - k) - m + k + 1
kделит m 4m - k + 1
m-kделит m 3m + k + 1
Расстояние единственности семейства координатных последовательностей
7
Оказывается, для большого числа трехчленов максимального периода теоретическая оценка расстояния единственности существенно меньше m(m + 3) / 2. Имеющиеся результаты точного вычисления на ПК расстояния единственности для указанных многочленов позволяют выдвинуть гипотезу о том, что для таких многочленов Ud(F) < 4m.
Показано, что если F(x) е {x2 + 2i + x‘ + 1, x2 + 3i + x + 1, x4 + 3i + x2 + 1}, i > 0, то Ud(F) = да.
В отдельных случаях можно указать точное значение величины Ud(F).
Теорема 7. Пусть R = Z4, 1 = t = 1, h(x) = x11 и F(x) = xm - x - 1. Тогда справедливо равенство Ud(F) = 3m. Автор выражает глубокую благодарность А.А. Нечаеву за помощь в проведении исследования и ценные советы по оформлению данной работы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кузьмин А.С., Куракин В.Л., Нечаев А.А. Кольца Галуа в приложениях к кодам и рекуррентам // Труды Академии криптографии РФ. Тема 26. М., 1998.
2. Нечаев А.А. Код Кердока в циклической форме // Дискретная математика. 1989. Т. 4. № 1. С. 123 - 139.
