CC BY
129
УДК 621.396.
ВРЕМЕННАЯ СИНХРОНИЗАЦИЯ МОДЕМА N-OFDM СИГНАЛОВ И ОЦЕНКА ПИК-ФАКТОРА
EFFICIENCY ANALYSIS OF TIME SYNCHRONIZATION AND PAPR REDUCTION
OF N-OFDM MODEM
В. А. Майстренко1, В. В. Майстренко1, И. А. Батырев2, А. А. Любченко3, Е. Ю. Копытов1,4
'Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия 2Омский научно-исследовательский институт приборостроения, г. Омск, Россия 3Университет Бургоса, г. Бургос, Испания 4Омский государственный университет путей сообщения, г. Омск, Россия
V. A. Maystrenko1, V. V. Maystrenko1, I. A. Batyrev2, A. A. Lyubchenko3, E. Y. Kopytov1'4 'Omsk State Technical University, Omsk, Russia 2JSC "ONIIP", Omsk, Russia 3University of Burgos, Burgos, Spain 4Omsk State Transport University, Omsk, Russia
Аннотация. В докладе исследованы возможности временной синхронизации пакета данных, передаваемых по каналу связи с аддитивным белым гауссовским шумом (АБГШ) при оптимальной демодуляции сигналов N-OFDM, сформированных посредством преобразования Хартли путем оценки амплитуд принимаемых сигналов с использованием модифицированного метода Коши. Определен порог отношения сигнал/шум, при котором временная синхронизация еще возможна. Исследован пик-фактор сигнала для различного частотного разноса между поднесущими N-OFDM сигнала. В результате исследований пик-фактора N-OFDM сигнала получена математическая зависимость начальной фазы поднесущих от частоты поднесущих. Вычисление начальной фазы для каждой поднесущей по этой зависимости позволяет минимизировать значение пик-фактора N-OFDM сигнала. В докладе приводятся экспериментальные данные, подтверждающие работоспособность модема при способе временной синхронизации, предложенном авторами, путем оценки параметра BER при различных частотах разноса между поднесущими и значениях отношения сигнал/шум в диапазоне от 0 до 25 дБ. В ходе проведенного эксперимента также подтверждена возможность понижения значения пик-фактора путем предварительного вычисления начальной фазы для каждой поднесущей частоты. Эксперимент был проведен посредством моделирования в системе MATLAB с использованием звуковой карты ПК
Ключевые слова: N-OFDM, временная синхронизация, пик-фактор мощности, преобразование Хартли, метод Коши.
DOI: 10.25206/2310-9793-2018-6-4-121-129
I. Введение
В настоящее время остро стоит задача уплотнения сигналов в многочастотных системах при передаче информации по каналам связи, что во многом обусловлено растущей популярностью цифровых беспроводных сетей связи и, как результат, постоянным увеличением числа абонентов радиосвязи. Ставшая уже традиционной технология мультиплексирования с ортогональным частотным разделением (Orthogonal frequency-division multiplexing, OFDM) была успешно использована при разработке используемых сегодня беспроводных и проводных систем связи, таких как WiMAX, PLC - Power line communication, ADSL -Asymmetric Digital Subscriber Line, LTE систем сотовой связи стандарта GSM / UMTS. Такая востребованность и популярность OFDM объясняется, в первую очередь, хорошо известными преимуществами этой схемы мультиплексирования, включающими хорошую спектральную эффективность, устойчивость к замираниям в канале и импульсным помехам [1, 2]. Однако, несмотря на эти доказанные преимущества, OFDM не может использоваться в сетях сотовой связи следующего поколения 5G из-за присущих недостатков, таких как необходимость высокой синхронизации частоты и времени и чувствительность к внеполосным излучениям [3]. Кроме того, в высокоскоростных системах связи спектральная эффективность OFDM уменьшается, поскольку
невозможно распределять частоты поднесущих с более короткими интервалами, чем интервалы ортогональности. Чтобы преодолеть указанные недостатки может быть применена схема мультиплексирования с неортогональным частотным разделением (non-orthogonal frequency-division multiplexing N-OFDM), которая сегодня рассматривается как один из самых перспективных подходов для цифровых беспроводных систем с высокой скоростью передачи данных. В течение последних десяти лет были проведены и продолжаются исследования, посвященные анализу спектральной эффективности N-OFDM [4] и разработке эффективных схем декодирования сигналов [5-11].
В данной работе рассматривается модуляция сигналов N-OFDM на основе вещественного преобразования Хартли, тогда как процесс демодуляции выполняется путем оценки передаваемых векторов амплитуд посредством решения системы линейных алгебраических уравнений модифицированным методом Коши. Некоторые результатов по анализу эффективности указанного метода демодуляции приведены в [12-16].
В работе показана эффективность использования предложенной авторами доклада временной синхронизации пакетов данных для N-OFDM сигналов, определен порог срабатывания отношения сигнал/шум, при котором синхронизация по времени возможна. Порог срабатывания системы временной синхронизации определялся путем исследования параметра BER по синхронизирующей последовательности, передаваемой через канал связи в эквивалентном низкочастотном диапазоне (300-3400) Гц с использованием модуляции BPSK [17]. Моделирование выполнялось с использованием математического пакета MATLAB и звуковой карты ПК, содержащей в своей структуре 16-разрядный ЦАП/АЦП, а также каскады усиления сигнала.
Одной из существенных проблем при использовании схемы с большим количеством поднесущих является большое значение пик-фактора сигналов (Peak-to-average power ratio, PAPR). Для сигналов OFDM задача уменьшения пик-фактора достаточно хорошо исследована [18-21], однако в отношении N-OFDM ситуация абсолютно противоположная. В частности, анализ зарубежных источников показал сравнительно малое количество работ, посвященных этой проблеме. Так, например, в работе [22] авторы исследуют возможность уменьшения пик-фактора N-OFDM сигналов с помощью методов ограничения сигнала по уровню (Clipping), частично передаваемой последовательности (Partial Transmit Sequence) и выборочного отображения (Selective Mapping).
В данной работе предлагается вариант уменьшения пик-фактора путем определения оптимальной фазовой частотной характеристики для сигналов с линейной амплитудной модуляцией. Полученные экспериментальные результаты позволили определить оптимальную фазово-частотную характеристику канала, при которой пик-фактор принимает минимальное значение, а полученная зависимость является квадратичной [23].
Далее, в разделе 2 данной работы, представлено описание метода оптимальной демодуляции сигналов N-OFDM. В разделе 3 рассматривается предлагаемый метод временной синхронизации, а также представлены результаты экспериментов по оценке отношения сигнал/шум. Результаты анализа по уменьшению пик фактора приведены в разделе 4. В разделе 5 сформулированы основные выводы по работе.
II. Описание способа оптимальной демодуляции N-OFDM сигналов
Сигнал, прошедший через канал с АБГШ, описываемый вектором отсчётов напряжения, в матричной форме можно записать в следующем виде:
Q = WBPSK (п, I) •Ап + Мш1, (1)
где Nml = [п1п2... пь]г- вектор отсчетов напряжений шума, WBPSK - сигнальная матрица, Ап = [а1а2... ап] -амплитуды BPSK - сигнала; casLNC (&t) = cos(®t) + sin(®t) - функции Хартли, из которых состоит сигнальная матрица WBPSK (п, I) , L - количество отсчетов BPSK сигнала, N - количество поднесущих частот в групповом сигнале N-OFDM.
Поднесущие частоты N-OFDM сигнала с BPSK определялись следующим образом. Рассчитывался интервал ортогональности (минимальный разнос по частоте между поднесущими для случая ортогональности сигналов):
AF = 1/L.T, (2)
где т - период дискретизации сигнала с выбранной частотой дискретизации, равной fd =8 кГц и установленной в звуковой карте ПК, L - количество отсчетов на символ. Скорость передачи информации на каждой поднесущей частоте R=200 Бит/с. Значение L определяется следующим выражением:
L = fd/R. (3)
Значение т вычисляется по формуле:
V/,. (4)
т = !'
Для случая, когда все поднесущие частоты ортогональны, разнос по частоте равен AF = 200 Гц. Исходя из полученного интервала ортогональности AF, определяем значения частот поднесущих для случая их неортогонального размещения поднесущих по следующему выражению:
Af= £/l •Т , (5)
где £ = Д^ - значение коэффициента ортогональности в относительных единицах, при е = 1, рассматривается случай ортогоналной расстановки поднесущих частот, при 0 < е <1 - случай неортогональной расстановки поднесущих частот.
Использовались значения е, равные 1; 0.5; 0.25; 0.1 соответственно для частот разноса между поднесущими Д/: 200 Гц, 100 Гц, 50 Гц и 20 Гц. Демодуляция сигналов в данном способе осуществляется путем решения системы уравнений (1). Критерием оптимальности демодуляции является оценивание амплитуд сигналов по одному из методов оценки неизвестного параметра. С учетом сказанного, задача оценки амплитуд сигналов будет сведена к минимизации следующего функционала:
М = £/LX = min ^{Q- £N=i[an • casLN]}2 • т ' (6)
Оценка амплитуд по методу Коши выполнена по алгоритму, приведенному в работах [14, 24]. Запишем математическое выражение для BPSK-сигнала в его классическом понимании [25]:
ü(t) = а • cos(wt + <р(0), (7)
где а - передаваемая амплитуда, 0 = 2nf - циклическая частота сигнала, ^(t) - начальная фаза.
Перепишем формулу (7) для базиса функций Хартли, исходя из того, что функция Хартли имеет вид:
са^(Ф) = cos^) + sin (Ф), (8)
где Ф = + £>(£:).
Перепишем формулу (7) в базисе функции Хартли:
У(0 = а • са5(Ф). (9)
Запишем выражение для сигнальной матрицы:
ИЬм* = са^ (Ф). (10)
Запишем выражение (9), используя (10), в матричной форме:
Сш = И^^п, (11)
где - вектор размерностью Ь х N передаваемый по каналу связи с АБГШ.
В ходе эксперимента формировался вектор амплитуд, передаваемый по каналу связи при виде модуляции БР8К с использованием программного генератора случайных последовательностей с гауссовским распределением со значениями А = {1;-1}, размерность вектора А совпадает со значением числа поднесущих N. Далее по методике, изложенной в работе [26], вычислялись оценки амплитуд сигнала на выходе демодулятора для различных уровней АБГШ и рассчитывался параметр БЕЯ, при анализе которого определялся порог срабатывания системы временной синхронизации пакетов передаваемых модемом по каналу связи. Ниже приводятся результаты экспериментальных исследований. Для проведения вычислительного эксперимента передавались 100 реализаций смеси сигнала и шума для каждого значения частоты разноса между поднесущими в спектре сигнала ^ОРБЫ.
На рис. 1 изображена структурная схема модулятора ^ОРБЫ, основанного на вещественном преобразовании Хартли.
Рис. 1. Структурная схема модулятора N-OFDM
На рис. 2 изображена структурная схема демодулятора с блоком временной синхронизации, основанного на модифицированном методе Коши.
Рис. 2. Структурная схема демодулятора N-OFDM
Формирование синхросигнала производится в блоке формирователя сигнальной матрицы модулятора модема (см. рис. 1). В демодуляторе модема осуществляется временная синхронизация принятых пакетов данных посредством двух блоков, собственно блока временной синхронизации и блока вычисления параметра BER. Блок временной синхронизации имеет обратную связь с блоком вычисления параметра BER и пороговым устройством, как это показано на рис. 2.
III. Временная синхронизация N-OFDM модема
Как известно, временная синхронизация оказывает существенное влияние на качество приема информации и помехоустойчивость системы связи в целом [25].
Оценка влияния фазовых шумов генератора несущей частоты на качество принимаемого OFDM-сигнала и методы синхронизации OFDM-сигнала по циклическому префиксу представлены в работах [17, 27]. Во многих случаях без временной синхронизации система связи становится неработоспособной. Это связано прежде всего с наличием временной задержки сигнала, прошедшего через реальный канал связи. Система временной синхронизации производит вычисление задержки по времени сигнала, прошедшего через канал связи, и компенсирует такой временной сдвиг.
На рис. 3 изображена структура передаваемого кадра данных в модеме N-OFDM, предложенная авторами доклада.
СП ИП1 ИП2 ИП3
ИП5
СП
ИП5
Рис. 3. Структура кадра данных N-OFDM: СП - синхропакет, ИП1-ИП5 - информационный пакет 1-5
Информационный кадр N-OFDM состоит из синхропакета, который представляет последовательность значений бит, равных 1, -1, длина этого пакета совпадает с числом поднесущих частот N-OFDM. Далее следуют пять информационных пакетов, составляющих информационный кадр, каждый информационный кадр обязательно начинается с синхропакета. Синхронизирующая последовательность в проведенном эксперименте была выбрана меандром. Копия не сдвинутого во времени синхросигнала хранится в блоке временной синхронизации демодулятора и точно известна на передающем и приемном конце. Принятый приемной частью модема кадр данных обрабатывается, начиная с синхропакета. В блоке временной синхронизации выполняется циклический сдвиг на один бит принятой синхропоследовательности и сравнивается с копией не сдвинутого во времени синхросигнала, далее принятый сигнал поступает на блок оценки принимаемых амплитуд по методу Ко-ши и после оценки поступает на пороговое устройство. С порогового устройства преобразованный таким образом сигнал поступает на блок вычисления параметра BER (см. рис. 2), где производится вычисление BER и сравнение BER c пороговым уровнем, при достижении которого значение параметра BER должно быть минимально и в идеальном случае, стремящемся к нулю. Нулевое или близкое к нулю значение параметр BER принимает только в том случае, когда будет максимальна корреляция принятого синхросигнала, сдвинутого во времени, с копией синхросигнала, хранящегося в блоке временной синхронизации. При достижении равенства нулю параметра BER блоком временной синхронизации считывается значение измеренной таким образом временной задержки со счетчика бит в данном случае она измеряется в количестве отсчетов, на которое необходимо сдвинуть принимаемый синхросигнал для достижения максимальной корреляции с его не сдвинутой во времени копией. После проведения измерения временной задержки полученные ее значения используются для дальнейшей синхронизации и приема остальных пяти информационных пакетов ИП1-ИП5. Дальнейшая синхронизация пакетов ИП1-ИП5 выполняется за один цикл путем сдвига исходных ИП на уже известную величину временной задержки, возникающей в канале связи.
В ходе проведенного эксперимента были оценены пороговые значения отношения сигнал/шум, при которых возможна синхронизация по времени для модема N-OFDM. В табл. 1 сведены результаты проведенного эксперимента в виде пороговых значений отношения сигнал/шум для частоты разноса между поднесущими: Af = (200; 100; 50; 20) Гц при фиксированной информационной скорости передачи 200 бит/с на каждой подне-сущей частоте, для эквивалентного низкочастотного канала (300-3400) Гц. АБГШ без кодирования. Вид модуляции BPSK.
ТАБЛИЦА 1
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ОТНОШЕНИЯ СИГНАЛ/ШУМ
№ Число поднесущих частот N Частотный разнос между поднесущими Af, Гц Пороговое отношение сигнал/шум, дБ
1 16 200 10
2 31 100 14
3 62 50 18
4 155 20 23
Пороговые значения отношения сигнал/шум для временной синхронизации приведены для случая, когда оценка параметра BER для синхронизирующей последовательности принимает нулевое значение. При значении отношения сигнал/шум ниже порогового уровня параметр BER становится больше нуля, и, как результат, происходит срыв временной синхронизации. Необходимо отметить, что для классической OFDM системы связи
поднесущие частоты строго ортогональны и порог срабатывания системы символьной синхронизации равен 10 дБ и совпадает для случая N-OFDM системы связи при ортогональном размещении поднесущих частот.
IV. Исследование пик-фактора N-OFDM сигнала
Одним из существенных недостатков OFDM-сигналов является большое значение пик-фактора, который определяется как:
Р = (12)
В работе [23] показано, что для одной гармоники пик-фактор (ПФ) равен 3 дБ, а максимальный ПФ для суммы N-гармоник равен 2*N.
Пик-фактор определяет требования к линейности аналоговых трактов передачи и разрядности ЦАП/АЦП. Очевидно, чем выше его значение, тем сложнее реализация устройств, поддерживающих данный тип сигнала. Для OFDM-сигналов МЛА"^) определяется как сумма амплитуд всех используемых поднесущих, а определяется статистическим усреднением амплитуды на тех же поднесущих. Следовательно, при большом количестве поднесущих пик-фактор может исчисляться сотнями.
Существует несколько алгоритмов для уменьшения значения пик-фактора [18-21, 25]. Одним из таких алгоритмов является ограничение сигнала по уровню (Clipping), в результате чего возникают искажения в спектре сигнала и увеличивается внеполосное излучение. Другим методом является динамическое изменение уровней модуляционных созвездий. Данный метод эффективен, но требует достаточно сложных расчетов и может применяться для созвездий до КАМ-16. Также используются итеративные методы, которые предлагают поворачивать поднесущие на случайный угол и производить оценку полученного пик-фактора, после чего в случае, если не произошло уменьшение значения пик-фактора, выносится решение о еще одном повороте созвездия. Такие методы тяжело реализуемы в системах реального времени. Еще одним методом является добавление в сигнал поднесущих, предназначенных для формирования защитного интервала. Недостатком данного метода является значительное увеличение объема вычислений, связанное с выбором амплитуды и фазы подне-сущих, а также нарушение спектральной маски сигнала. Таким образом, проблема большого пик-фактора сигнала хоть и имеет решения, однако данные решения имеют ряд недостатков.
В работе [23] для уменьшения пик-фактора решается задача оптимального выбора фазо-частотной характеристики (ФЧХ) канала для ЛЧМ-сигнала. В этом случае ФЧХ изменяется по квадратичному закону:
=(13)
где k - текущий номер поднесущей частоты OFDM сигнала, N - число поднесущих частот в спектре OFDM сигнала. Таким образом, значение начальной фазы для каждой поднесущей частоты вычисляется посредством выражения (13).
Авторами доклада был проведен эксперимент, в ходе которого был осуществлен выбор ФЧХ канала для N-OFDM. Для проведения эксперимента использовалась штатная звуковая карта ПК с 16-битными ЦАП/АЦП с частотой дискретизации 8 кГц для эквивалентного низкочастотного канала в диапазоне (300-3400) Гц без кодирования для вида модуляции BPSK с информационной скоростью передачи 200 бит/с. При реализации имитационного моделирования использовался математический пакет MATLAB. По каналу связи (ЦАП/АЦП, усилительные каскады) передавались пакеты данных, структура которых изображена на рис. 3, вычислялся пик-фактор N-OFDM для каждого из шести пакетов информации при нулевой начальной фазе поднесущих частот при различном частотном разносе и числе поднесущих и для случая расчета начальной фазы поднесущих по формуле (14), полученной авторами экспериментально.
<p(fc) =-. (14)
Отличие формулы (14) от (13) заключается лишь в множителе 3, но для сигнала N-OFDM именно выражение (14) является оптимальным с точки зрения понижения значения пик-фактора.
На рис. 4 изображены ФЧХ для случаев ортогонального размещения поднесущих при Af = 200 Гц и числом поднесущих N=16 и для случая неортогонального размещения поднесущих для Af = 100 Гц , N = 31; Af = 50 Гц, N = 62; Af = 20 Гц , N = 155.
х10
1.8 1.6 1.4
£ 1.2
э
& 1
^
3
в 0.8
0.6 0.4 0.2
0
500
1000
1500 2000
Частота, Гц
2500
3000
3500
2
Рис. 4. Фазо-частотная характеристика канала ^ОРБМ
В табл. 2 сведены результаты, полученные в ходе проведения эксперимента при исследовании пик-фактора ^ОРБМ сигнала для нулевой начальной фазы поднесущих и с учетом расчета значений начальной фазы для каждой поднесущей по формуле (14). Оценка пик-фактора проводилась для пяти информационных пакетов и одного синхропакета сформированного в виде меандра с амплитудой 1, -1. Информационные пакеты задавались при помощи генератора случайных значений, распределенных по Гауссовскому закону в интервале {1, -1}, реализованному в МЛТЬАБ. Пик-фактор вычислялся по формуле (12).
ТАБЛИЦА2
РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ПИК-ФАКТОРА №ОРБМ СИГНАЛА
N СП ИП1 ИП2 ИП3 ИП4 ИП5
Число поднесущих РАЯ, дБ, при <р = 0
16 15.0514 9.9781 10.2729 9.7523 10.9691 9.5424
31 17.8824 11.6109 11.4300 10.1516 11.1438 10.3292
62 20.7973 11.4527 12.4579 13.1530 11.2064 11.5526
155 24.8695 13.9698 13.1524 13.8157 12.4449 13.2032
РАЯ, дБ, при <р(к)= ^^
16 9.9589 12.4304 10.7969 11.1571 11.3599 10.1327
31 11.8173 11.6894 12.3726 11.5265 11.9194 12.1752
62 12.1422 11.8240 12.4385 11.7182 12.9965 13.0689
155 12.9166 13.3724 13.5333 11.6590 12.4830 13.1892
Как видно из полученных результатов табл. 2, пик-фактор ^ОРБМ при передаче по каналу связи периодической последовательности синхропакета (СП) имеет величину, практически равную значению РАЯэр = 10 * 1од10(2 * Ы) при значении начальной фазы <р = 0. Информационные пакеты (ИП) имеют, по сути дела, случайную фазу, задаваемую генератором случайных значений, распределенных по Гауссовскому закону, и в этом случае пик-фактор остается неизменным как при <р = 0, так и при расчете начальной фазы поднесущих по фор-
муле (14). При больших значениях числа поднесущих пик-фактор для синхронизирующей последовательности при нулевой начальной фазе достигает очень большой величины, равной 2*N. Например, для N=155, PAR sp= 2*155= 310 или, в децибелах, 25 дБ. При вычислении начальной фазы для каждой поднесущей частоты N-OFDM по формуле (14) можно получить выигрыш по пик-фактору на 12 дБ, что является уже приемлемым показателем.
V. Заключение
В ходе проведенного эксперимента с использованием звуковой карты ПК авторами настоящего доклада была доказана работоспособность модема N-OFDM, позволяющего повысить спектральную эффективность относительно классических модемов OFDM. Была разработана и исследована программная реализация временной синхронизации N-OFDM модема. Исследования показали, что с уменьшением частотного разноса между под-несущими N-OFDM при фиксированной скорости передачи информации пороговый уровень срабатывания системы временной синхронизации необходимо повышать в среднем на 4 дБ, как это видно из табл. 1. В результате проигрыш по энергетической эффективности составляет 4 дБ, выигрыш по спектральному уплотнению при максимальном уплотнении достигает 10 раз.
При исследовании пик-фактора N-OFDM сигнала была получена аналитическая формула (14), задающая ФЧХ канала, дающая возможность уменьшения пик-фактора для случая периодического сигнала в среднем на 12 дБ для большого числа поднесущих.
Рассмотренный в докладе способ демодуляции информации может быть полезен в разработке проектов по модернизации станций радиорелейной, тропосферной, космической связи, а также для передачи географических координат движущихся объектов в шумовом канале без замираний. Перспективным направлением дальнейших исследований является изучение особенностей применения преобразования Хартли при демодуляции сигналов с замираниями.
Список литературы
1. Gangwar A., Bhardwaj M. An Overview: Peak to Average Power Ratio in OFDM system & its // Effect International Journal of Communication and Computer Technologies. 2012. Vol. 1. P. 22-25.
2. Saad W., El-Fishawy N., EL-Rabaie S., Shokair M. An Efficient Technique for OFDM System Using Discrete Wavelet Transform // Advances in Grid and Pervasive Computing. Lecture Notes in Computer Science. 2010. Vol. 6104. P. 533-541. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-13067-0_55.
3. Honggui Deng, Shuang Ren, Yan Liu, Chengying Tang. Modified PTS-based PAPR Reduction for FBMC-OQAM // Systems Journal of Physics: Conference Series. IOP Publishing. 2017. Vol. 910 (1). P. 012057. DOI: 10.1088/1742-6596/910/1/012057.
4. Kanaras I et al. Spectrally efficient FDM signals: Bandwidth gain at the expense of receiver complexity // Communications IEEE International Conference. 2009. P. 1-6. DOI: 10.1109/ICC.2009.5199477.
5. Xing Yang, Wenbao Ai, Tianping Shuai, Daoben Li. A fast decoding algorithm for non-orthogonal frequency division multiplexing signals // Second International Conference on Communications and Networking in China. 2007. P. 595-598. DOI: 10.1109/CHINATOM.2007.4469461.
6. Kanaras I., Chorti A., Rodrigues M. R. D., Darwazeh I. Spectrally Efficient FDM Signals: Bandwidth Gain at the Expense of Receiver Complexity // IEEE International Conference on Communications. 2009. P. 1-6. DOI: 10.1109/ICC.2009.5199477.
7. Kanaras I. [et al.]. A combined MMSE-ML detection for a spectrally efficient non orthogonal FDM signal // Broadband Communications, Networks and Systems 5th International Conference. 2008. P. 421-425. DOI: 10.1109/BROADNETS.2008.4769119.
8. Bharadwaj S. [et al.]. Low complexity detection scheme for NOFDM systems based on ML detection over hyperspheres // Devices and Communications International Conference. 2011. P. 1-5. DOI: 10.1109/ICDECOM.2011.5738467.
9. Guo M et al. Simplified Maximum Likelihood Detection for FTN Non-Orthogonal FDM System // IEEE Photonics Technology Letters. 2017. Vol. 29 (19). P. 1687-1690 DOI: 10.1109/LPT.2017.2743244.
10. Kai-rui F. U. Study on Non-orthogonal frequency division multiplexing technology // Journal of Qiqihar University (Natural Science Edition). 2014. Vol. 6. P. 013.
11. Fagorusi T., Feng Y., Bajcsy J. An architecture for non-orthogonal multi-carrier faster-than-nyquist transmission // Information Theory (CWIT) 15th Canadian Workshop. 2017. P. 1-5. DOI: 10.1109/CWIT.2017.7994837.
12. Слюсар В. И., Смоляр В. Г., Уткин Ю. В. Исследование возможностей частотного уплотнения сигналов N-OFDM на основе базисных функций Хартли // Радиоэлектронные и компьютерные системы. 2006. № 6. С. 215-218.
13. Слюсар В. И. Метод неортогональной частотной дискретной модуляции на основе преобразования Хартли с квадратурной амплитудной модуляцией частотных несущих // Системы обработки информации. 2008. № 2. С. 102-104.
14. Майстренко В. В. Способ передачи данных в коротковолновом канале связи с неортогональной N^FDM модуляцией сигналов на основе преобразования Хартли с квадратурной амплитудной модуляцией отдельных несущих // Сборник докладов конференции «RLNC 2010». 2011. С. 903-914.
15. Бакулин М. Г, Крейнделин В. Б, Шлома А. М, Шумов А. П. Технология OFDM: учебное пособие для вузов. М.: Горячая линия Телеком, 2016. 352 с.
16. Maystrenko V. A., Maystrenko V. V., Lyubchenko A. Distortion effect analysis of N-OFDM signal with frequency drifts of the carrier wave // 13th International Scientific-Technical Conference on Actual Problems of Electronics Instrument Engineering. 2016. P. 82-86. DOI: 10.1109/APEIE.2016.7806417.
17. Батырев И. А. Методы синхронизации OFDM-сигнала по циклическому префиксу // Техника радиосвязи: научн.-техн. сб. Омск, 2018. Вып. № 1 (36). С. 90-102.
18. Pradhan P. K., Yadav S. S., Patra S. K. PAPR Reduction in OFDM Systems // India Conference (INDICON). 2014. P. 1-5. DOI: 10.1109/INDITON.2014.7030615.
19. Xin Y., Fair I. J. Peak-to-average power ratio reduction of an OFDM signal using guided scrambling coding // Global Telecommunications Conference. 2003. Vol. 4. P. 2390-2394 DOI: 10.1109/GLOCOM.2003.1258663.
20. Mukunthan P., Dananjayan P. PAPR reduction by modified PTS combined with interleaving technique for OFDM system with QPSK subcarriers // Advances in Engineering, Science and Management (ICAESM) International Conference. 2012. P. 410-415.
21. Deng H et al. PAPR Reduction in OFDM-based Visible Light Communication Systems Using a Combination of Novel Peak-value Feedback Algorithm and Genetic Algorithm // Journal of Physics: Conference Series. 2017. Vol. 910 (1). P. 012058.
22. Mokhtar I. M. [et al.]. PAPR Reduction Techniques in Generalized Inverse Discrete Fourier Transform NonOrthogonal Frequency Division Multiplexing System // Indonesian Journal of Electrical Engineering and Computer Science. 2018. Vol. 10 (3). P. 1045-1052. DOI: 10.11591/ijeecs.v10.i3.pp1045-1052.
23. Рухлин С. Н. Вопросы формирования и применения OFDM сигналов в современных системах связи и телекоммуникаций // III Всероссийские Армандовские чтения: материалы IV Всерос. науч. конф. 2013. С. 201-207.
24. Светлаков А. А. Традиционное и нетрадиционное оценивание неизвестных величин: учебное пособие. Томск: ТУСУР, 2007. 522 с.
25. Калашников К. С., Шахтарин Б. И. Синхронизация OFDM-сигналов во временной и частотной областях // Вестник Московского государственного технического университета имени Н. Э. Баумана. Серия Приборостроение. 2011. № 1. C. 18-27.
26. Майстренко В. А., Майстренко В. В. Временная синхронизация модема N-OFDM сигналов и оценка пик-фактора // Современные проблемы радиоэлектроники: сб. науч. тр. участников ежегодной Всерос. научн.-техн. конф. молодых ученых и студентов, посвященной 122-й годовщине Дня радио. Сибирский федеральный университет, Институт инженерной физики и радиоэлектроники. 2017. С. 192-200.
27. Батырев И. А. Оценка влияния фазовых шумов генератора несущей частоты на качество принимаемого OFDM- сигнала // Техника радиосвязи: научн.-техн. сб. Омск, 2016. С. 68-79.
