Временная когерентность и вероятностная структура интенсивности случайных оптических излучений Текст научной статьи по специальности «Физика»

обработка информации и управление X

УДК 537.86:519.2

временная когерентность и вероятностная структура интенсивности случайных оптических излучений

В. И. Хименко,

доктор техн. наук, профессор

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Основные характеристики временной когерентности оптического излучения рассмотрены с позиций спектрально-корреляционной теории случайных функций. Показаны новые результаты по исследованию «тонкой» вероятностной структуры интенсивности излучений.

Ключевые слова — когерентность, случайные поля, характеристики выбросов, фазовые траектории, фазовые портреты.

Введение

В оптике вопросы когерентности, по-видимому, можно отнести к классу наиболее распространенных и наиболее изученных (см., например, [1-5] и библиографию [2, 4]). В той или иной мере свойства когерентности рассматриваются (или используются) в подавляющем большинстве работ, относящихся к линейной оптике, спектроскопии, голографии, радио- и оптической интерферометрии. Однако, несмотря на это, постоянное усложнение решаемых задач, развитие статистической радиооптики и внедрение оптических методов обработки в системы дистанционного зондирования, системы связи, локации и навигации требуют повышения информативности оптических измерений, а следовательно, и дополнительных, более детальных исследований вероятностной структуры колебательных и волновых процессов.

Цель данной работы — выделить наиболее важные (с точки зрения обработки информации) характеристики временной когерентности оптических излучений и выполнить исследования взаимосвязи таких характеристик с «тонкой» вероятностной структурой интенсивности излучения. Подобная взаимосвязь позволяет получать дополнительную информацию о свойствах оптических полей при обнаружении, классификации и оценке параметров излучений.

Временная когерентность излучения

Традиционное рассмотрение вопросов когерентности в оптике [2-6], как правило, о пир ает-

ся на анализ интерференционных эффектов. Вместе с тем ясно, что свойства когерентности излучений и явления интерференции — это вполне самостоятельные вопросы и во многих задачах обработки информации их удобнее рассматривать раздельно.

Предположим, что £,(t, r) = ^(t, x, y, z) — случайное оптическое поле, являющееся функцией времени t и координат (x, y, z) пространства r. Для простоты будем считать, что это поле является скалярным, обладает свойством стационарности и имеет математическое ожидание m^(t, r) = M{^(t, r)} = 0. Если рассматривать такое поле в некоторой фиксированной точке пространства r = r1, то ^(t, r1) при r1 = const будет случайной функцией времени, т. е. случайным процессом. Для действительных стационарных случайных процессов ^(t, r1) при описании взаимосвязи между значениями ^(t1, r1) и ^(t2, r1) в два различных момента времени t1 и t2 можно воспользоваться структурной функцией

Вц СО = B (r1, r1, О = M{[£(%,1-1) + £(*2, Г1)]2|,

^ = | *2 _*11‘ (1)

При стационарности процесса ^(t, r1) выполняются равенства M{^2(t1, r1)} = M{^2(t2, r1)} = M{^2(t, r1)} и, следовательно, с учетом M{^(t, r1)} = 0 для функции (1) будет справедливо

Бп(т) = 2о| [1 + Гп(т)/Гп(0)] =

= 2о| [1 + у и (т) ]. (2)

■ Рис. 1. Определение временной когерентности или функции собственной когерентности излучения

Выражение

Грр(т) = М {^(#р, Гр) ^(#2, Гр) }= а|уп(т) (3)

соответствует здесь определению [1-5] функции временной когерентности излучения, Уп(т) — степени временной когерентности, а о| = Грр(0) характеризует дисперсию случайного процесса ^(Ь, г1) или среднюю интенсивность оптического поля ^(Ь, г) в выбранной точке пространства г = г1.

Из формулы (3) легко заметить, что функция Г11(т) по своей сути является корреляционной функцией R^(í1, Ь2) процесса ^(Ь, г1), и именно поэтому свойства когерентности оптических излучений (когда это представляется более удобным) могут описываться в привычных для задач обработки информации терминах спектрально-корреляционной теории (рис. 1).

Временная когерентность интенсивности излучения

В оптическом диапазоне мгновенные значения поля ^(Ь, г), как правило, не поддаются непосредственным измерениям, и свойства ^(Ь, г) приходится оценивать по изменениям параметров интенсивности 1(Ь, г).

По аналогии с выражением (3) запишем для интенсивности оптического поля ^(Ь, г) в точке г = г1 функцию временной когерентности ги (т) = г I (Гр, Гр, т) =

= М {1(#р, Гр) 1(#2, Гр)}-М2 {1(#, Гр)}. (4)

Для определенности будем считать, что излучение является квазимонохроматическим и его временные флюктуации описываются простой и наиболее распространенной на практике моделью [7-9]

^(#, Гр) = А(#, Гр) сов [ю0 # + ф(#, Гр) ], (5)

в которой мгновенные значения ^(Ь, г) характеризуются гауссовым распределением, а огибающая А(Ь, г) и фаза ф(Ь, г) имеют соответственно распределение Рэлея и равномерное распределение:

2

Р? (Е) = -

: Т2П

ехр

2о:

4о)=

Вц(г)

Уп(т)

Р|(х) 1

р^(т) СОвЮпТ

■ Рис. 2. Характерный вид структурной функции В11(т) оптического излучения ?(£, г1) и степени временной когерентности у11(т) и у11(т) для значений случайного поля ?(£, г1) и значений егоинтенсивности ї(і, г1)

А

РА (А) = -^ ехр О?

2о?

, А є(0, те);

1

рФ(ф)=2п, фє[-пп]-

(6)

Для такой модели функцию когерентности Г11(т) удобно представить в виде

Гп(т) = Гп (0) у її (т) = Гп (0) р? (т) еов ЮоТ,

її

(0) = о? ,

(7)

где ю0 — средняя частота излучения, а р^(т) — некоторая медленно изменяющаяся (по сравнению с cosю0т) функция, зависящая от формы спектральной плотности излучения ^(Ь, г).

Результаты (3)-(7), в соответствии с определе-р 2

нием 1(#, Гр) = — А (#, г^), позволяют по общим

правилам функциональных преобразований найти простую взаимосвязь функций когерентности (7) излучений ^(Ь, г) и функций когерентности (4) интенсивности 1(Ь, г) рассматриваемых оптических излучений:

Гц (т) = Ги (0)уїі (т) = о?р? (т), У її (т) = У і (її, Гі, т).

(8)

Степень временной когерентности у11(т) интенсивности 1(Ь, г) определяется в данном случае (рис. 2) лишь формой функции р^(т). При переходе от анализа мгновенных значений ^(Ь, г) к анализу интенсивности излучения 1(Ь, г) и измерениям Г17-(т) теряется информация о фазе ф(Ь, г) и средней частоте ю0 процесса (5).

Вероятностный анализ интенсивности излучения

По существу, характеристики интенсивности — это основные характеристики, на которые реагируют все приемники оптического излуче-

ния. Оптимизация алгоритмов приема и оптимизация последетекторной обработки существенно зависят при этом от полноты априорных данных о вероятностной структуре интенсивности 1(Ь, г) исследуемого случайного поля ^(Ь, г).

Если оптическое излучение ^(Ь, г1) в некоторой выбранной точке пространства г = г1 описывается моделью (5)-(7), то хорошо известно [7-9], что интенсивность 1(Ь, г1) будет характеризоваться здесь экспоненциальной плотностью вероятностей (рис. 3)

Р1 (I) = о-2 ехр(-1о-2),

I = I (#, Гр) е(0, те). (9)

Математическое ожидание и дисперсия такого распределения выражаются через параметр о|:

т! = М {^Ct, Г]_) }= о|, с] = М гх)-тТ ]2}= о|. (10)

Таким образом, при т^(Ь, г) = М{^(Ь, г1)} = 0 все основные свойства распределений (6) и (9) зависят лишь от о| и, следовательно, для описания одномерных характеристик процессов ^(Ь), А(Ь), ф(Ь) и 1(Ь) достаточно знать (или измерить) только среднее значение mI = о| интенсивности 1(Ь, г1) излучения ^(Ь, г1) в рассматриваемой области Г = г1.

Выделенные результаты (6), (9) и (3), (8) имеют одну важную особенность — они дают полное описание вероятностных свойств модели (5) на уровне корреляционной теории или теории когерентности излучений. Однако при более тонких исследованиях структуры случайных оптических полей этих результатов оказывается недостаточно.

Px(x)

■ Рис. 3. Одномерные плотности вероятностей для мгновенных значений оптического поля £,(Ь, г1), его огибающей А(Ь, г1) и интенсивности 1(Ь, г1) в точке пространства г = г1 при т^ = т^(Ь, г1) = 0 и дисперсии = Р

Воспользуемся общей теорией выбросов случайных процессов [10, 11] и выполним вероятностный анализ характеристик типа «пересечений уровней» для интенсивности I(t, r). Целесообразность такого анализа подтверждается тем, что характеристики превышений достаточно просто измеряются аппаратурно, они физически наглядны и обладают высокой информативностью.

Предположим (рис. 4), что на некотором интервале времени [t0, t0 + T] длительностью T < х наблюдается реализация процесса I(t, r1) при r = r1 = const. Если в области изменения функции I(t, r) выбрать некоторый произвольный, но фиксированный уровень H, то в моменты времени tk, k = 1, 2, ..., траектория I(t, r1) будет пересекать этот заданный уровень, т. е. интенсивность I(t, r1) излучения ^(t, r1) будет превышать пороговое значение H. Моменты возникновения таких выбросов tk, число выбросов n+(H, T) на интервале [t0, t0 + T] и длительности отдельных выбросов т+(Н) будут при этом случайными.

Среднее число положительных выбросов N+(H, T) будет здесь зависеть от порогового уровня H, длительности наблюдения T и вероятностных свойств интенсивности I(t, r) рассматриваемого излучения ^(t, r). Общая формула для вычисления N+(H, T) в данном случае будет иметь вид

N+ (H, T) = M\n+ (H, Т)| =

to +T оо

= J dtjIp(H, I'; t)dI', (11)

to 0

гдеp(H, I'; t) = p(I(t, r1), I'(t, r1))|I = h — совместная плотность вероятностей для значений интенсивности I(t, r1) и значений ее производной I'(t, r1) = = dI(t, r1)/dt в один и тот же момент времени t.

Предполагая, что исследуемое излучение ^(t, r) характеризуется функцией когерентности Г11(т)

m ri) | j h 1

-4/i/lJ —* h |J|/* |cT+(i > I 0 J u 1 111# 1

i 1

t0 *0+Т

■ Рис. 4. Выходы траектории случайного процесса 1(Ь, г1), Ье[Ь0, Ь0 + Т] за заданный уровень Н

вида (7), для плотности вероятностей р(1, I'; Ь) при экспоненциальном распределении значений 1(Ь, г1) получим [10]

p(I,I,;t) = pI (I)

, ехр ]------------

фгсо!д-р£о ) [ 8Iо!; (-Р^0 )

(I ')2

где (—р|) = d р^(т)^шт |Т=о. Подставив эту плотность вероятностей в общую формулу (11) и выполнив интегрирование при I = 1(Ь, г1) = Н, найдем

N + (Н, Т) = Т о^

2Н(—р£о) ^2

PI (Н) =

= Т

2Н

по|

V2

(—р4о )р2 ехр

(12)

Параметр — р^ связан здесь со спектральными свойствами излучения ^(Ь, г), и для наглядности его можно представить в виде [10]

р те

2

-р£о

J йрр(ю)dю J(ю — Юо)2

:£п(ю) dю = к2Дю2,

(13)

где £рр (ю) = ^ ГРР(т)ехр(—/ют)dт — спектраль-

—те

ная плотность оптического излучения ^(Ь, г1); па/ // \Р2 — Р

раметр к = (—р^ ) Дю2 — коэффициент фор-

мы; Аюэ — эффективная ширина спектральной плотности 511(ю).

С учетом этого результирующая формула (12) для среднего числа выбросов интенсивности 1(Ь, г1) примет окончательный вид

2h ^

^ (Н, Т) = Т

кДюэ е

h = Н/оI > 0. (14)

Если теперь воспользоваться экспоненциальным распределением и в соответствии с выражением (9) найти вероятность

те

Р{Ц#, Гр) > Н }= / рг (I) dI = ехр( Н! о I), (15)

Н

то несложно определить и среднюю длительность положительных выбросов функции 1(Ь, г1) над заданным уровнем Н:

т+(Н) = Р{Д#, Гр) > Н} п

^ (Н, Р)

h = Н > 0. о!

Р2

2h

кДюэ

(16)

Полученные результаты (14)-(16) показывают простую функциональную связь характеристик выбросов интенсивности 1(Ь, г) с величиной порогового уровня Н, коэффициентом формы к и шириной Аюэ спектральной плотности 511(ю) исследуемого оптического излучения.

В целях конкретизации результатов на рис. 5, а показан характер изменения среднего числа выбросов ^(—, 1) реализации 1(Ь, г1), Ье[0, Т] = [0, 1] в зависимости от нормированного порогового уровня — = Н/о1, где о2 = о| = т, для трех наиболее распространенных моделей нормированной функции когерентности (7):

У п(х) = (х)еов ю0х, i = 1,2,3,

вт(Дюэт/2)

Р^1(х) = ■

Дюэ т/2

Р^2 (х) = ехр1-ДюЭ т2 / (4 к)

Р^з (х)= (1+ а 111) ехр(-а | х |), а = 2 Дюэ/ я.

(17)

Эти модели соответствуют прямоугольной, гауссовой (или доплеровской) и лоренцевской (резонансной) формам спектральной плотности 511(ю) оптического излучения ^(Ь, г). Согласно формуле (13) и определению

те

ДЮэ = 5р—рР(Юо)J 8п(ю^ю, (18)

для моделей (17) коэффициент формы к спектральной плотности удовлетворяет условию к1 < < к2 < к3 и соответственно

кр = РД/Р2, к2 = рД/2п, к3 = 2/п.

При рассмотрении средней длительности выбросов (16) значение т + (Н) для большей наглядности удобно сравнивать с длительностью интервала временной когерентности тк излучения. Если для тк использовать определение

те те

тк = г—рР(0)/ |Гп(т)|ат = / |урр(т)|с1т, (19)

0 0

то, в соответствии с формулой (18), для параметров тк и Аюэ будет выполняться соотношение (2 п)-1 Аюэтй = 1/2. Выражение (16) для т+ (К) можно переписать при этом в виде

Р )р2Р

2пh

—тк , h > 0.

(20)

На рис. 5, б показан характер изменения относительной длительности выбросов Х+ (щ/х к интенсивности 1(Ь, г1) в зависимости от нормиро-

0

У обработка информации и управление У

а) 0)

^+(Л,1) Дюэ К1 < К2 < К3 х +(h)l %k К ! < К2 < К3

0,20 - / \ М

3 \\

0,15 7 1

2 - \ \

0,10

0,05 i i i 1 1 1 1

01 2 ЗЛ о 1 2 ЗЛ

■ Рис. 5. Характер изменения среднего числа выбросов ^(Н, 1) (а) и относительной длительности выбросов т+ (Н)хк (б) интенсивности Щ, г1) в зависимости от нормированного порогового уровня Н при различной форме спектральной плотности 511(ю) излучения

ванного порогового уровня h = H/aT при трех различных функциях когерентности (17) или, что то же самое, трех различных формах спектральной плотности <Sn(a>) оптического излучения ^ ri).

Результаты (14)-(16) и (20) достаточно полно отражают вероятностную структуру интенсивности I(t, r1) в области r = r1. Они просты по своему виду, физически понятны и позволяют не только описать качественный характер поведения функции I(t, r1), но и выполнить количественную оценку вероятностных характеристик интенсивности оптического излучения. В частности, из формул (14), (16) и рис. 5 видно, что увеличение ширины спектра Аюэ и затягивание «хвостов» (возрастание коэффициента формы к) спектральной плотности <Sn(a>) излучения ^(t, r) всегда приводит к росту флуктуаций интенсивности I(t, r), возрастанию среднего числа выбросов N+(h, 1) и уменьшению их средней длительности т + (h) (за счет появления в спектре более высокочастотных составляющих). В другом частном, идеализированном, случае при уменьшении ширины спектра Аюэ ^ 0 излучение ^(t, r1) приближается к монохроматическому, флюктуации его интенсивности уменьшаются I(t, r1) ^ I0 = const и соответственно число выбросов интенсивности N+(h, 1) ^ 0.

Исследования фазовых траекторий интенсивности

При более детальном рассмотрении вероятностной структуры оптических полей ^(t, r), в дополнение к анализу отдельных реализаций интенсивности I(t, r), te[t0, t0+T], можно рассмотреть фазовые траектории (или фазовые портреты) случайной функции I(t, r). Поведение фазо-

вых траекторий L(I, I') отражает дополнительную информацию о совместных изменениях значений интенсивности 1(1, г) и значений ее производной Г(Ь, г) = d^(t, г)^ на фазовой плоскости

(I, I).

На рис. 6 представлены результаты компьютерного моделирования одной из реализаций процесса Щ, г1) с плотностью вероятностей (9) и нормированной функцией когерентности (17) излучения £,^, г1), соответствующей модели лоренцев-ской (резонансной) формы спектральной плотности. Для этой реализации приведены также результаты вычисления производной Г(Ь, г1) и показан характерный вид фазового портрета L(I, I'), построенного по компонентам 1(1, г1) и Г(Ь, г1).

При анализе фазовых портретов L(I, I') на плоскости (I, Г) = (1(1, г1), Ць, г1)) теряется зависимость выборочных функций Щ, г1) и Т'^Ь, г1) от времени. Однако здесь наглядно отражается информация о совместном поведении реализаций Щ, г1) и Г(t, г1) в совпадающие моменты времени t. Характер фазовых траекторий на рис. 6 позволяет сделать несколько общих выводов.

• Значения интенсивности Щ, г1) излучения характеризуются существенно большей концентрацией в окрестностях малых значений Щ, г1). Это хорошо согласуется с экспоненциальной формой (9) плотности вероятностей рЦ), представленной на рис. 3.

• Изменения значений производной Г(t, г1) в положительную и отрицательную сторону носят приближенно одинаковый характер. Это показывает, что функция Г(t, г1) имеет математическое ожидание МК^ г1)} = 0 и, кроме того, подтверждает известное свойство [10] четности рЦ' I) = р(-! I) условной плотности вероятностей рЦ'I) производной Т'^, г1) стационарного случайного процесса Щ, г1).

I(t, ri)

I (t, ri)

I (t, ri)

0,6

0 1 2 3 4 5 I(t,r1)

Пороговый уровень Л

■ Рис. 6. Выборочная функция Щ, г1), поведение ее производной Г(t, г1) и фазовый портрет ЬЦ, I') интенсивности оптического излучения

• Расположение фазовых траекторий относительно координатных осей на плоскости (I, I') показывает, что значения Щ, г1) и Г(t, г1) в совпадающие моменты времени t обладают свойством некоррелированности. Такое свойство характерно для стационарных процессов.

• Фазовые траектории по своей форме имеют в основном «расходящийся» характер. Относительные отклонения производной Г(t, г1) от ее математического ожидания возрастают с ростом значений интенсивности Щ, г1). Иначе говоря, поведение фазовых траекторий ЬЦ, I) показывает, что дисперсия производной Г(t, г1) зависит от исследуемого процесса Щ, г1) и возрастает при увеличении интенсивности излучения Щ, г1). Такая особенность согласуется с общим выражением условной плотности вероятностей рЦ) для процессов Щ, г1) с экспоненциальным распределением (9).

• Представленные на рис. 6 реализации Щ, г1), Г(t, г1) и фазовые траектории ЬЦ, I') согласу-

ются между собой и во многом отражают одну и ту же информацию о вероятностных свойствах исследуемого процесса I(t, rp). Однако информация эта представляется здесь в различной форме. В качестве иллюстрации на рис. 6 показан простой пример появления положительных выбросов траектории I(t, rp) над некоторым пороговым уровнем h. Значение уровня для простоты и наглядности задано величиной h ~ 4. На фазовой плоскости (I, I ) появление таких выбросов эквивалентно появлению пересечений фазовой траекторией L(I, I') уровня I = I(t, rp) = h в области положительных значений производной I'(t, rp), т. е. в моменты начала выброса фазовая траектория L(I, I') пересекает слева направо заданный уровень h в области I'(t, rp) > 0. Моменты окончания выбросов эквивалентны возвращению фазовой траектории под уровень h в области

I\t, rp) < 0.

Для выбранного порогового уровня h ~ 4 на рис. 6 видно, что реализация I(t, rp) имеет три положительных выброса над этим уровнем. Фазовые траектории L(I, I' ), соответственно, имеют такое же количество выходов за уровень I(t, rp) = = h ~ 4. В качестве дополнительной информации фазовые траектории наглядно отражают характер поведения производной I'(t, rp) во время этих выбросов.

Заключение

Теория когерентности играет в оптических измерениях такую же важную роль, как и корреляционная теория в исследованиях случайных функций. В данной работе, по существу, сделана еще одна попытка к сближению двух самостоятельно развивающихся направлений — статистической радиооптики со статистической радиофизикой и радиотехникой. Представлено более удобное (для задач обработки информации) изложение традиционных вопросов временной когерентности и показаны новые результаты по анализу вероятностной структуры интенсивности оптических излучений. Основное внимание было при этом уделено «измеряемым» характеристикам — параметрам оптических полей, которые реально могут быть измерены. Именно поэтому в работе подробно рассмотрены характеристики выбросов и фазовых траекторий интенсивности. Использование этих результатов позволяет получать дополнительную информацию о вероятностной структуре исследуемых случайных полей при анализе и классификации оптических излучений. Изложение основных результатов выполнено с учетом их потенциальной полезности для радиофизических и радиооптических приложений.

Литература

1. Когерентность // Физическая энциклопедия. М.: Сов. энциклопедия, 1990. С. 394-395.

2. Перина Я. Когерентность света. — М.: Мир, 1974. — 368 с.

3. Франсон М., Сланский С. Когерентность в оптике. — М.: Наука, 1967. — 80 с.

4. Мандель Л., Вольф Э. Оптическая когерентность и квантовая оптика. — М.: Физматлит, 2000. — 896 с.

5. Ларкин А. И., Юу Ф. Т. С. Когерентная фотони-ка. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2007. — 319 с.

6. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. — М.: Наука, 1970. — 856 с.

7. Ахманов С. А., Дьяков Ю. Е., Чиркин А. С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. — М.: Наука, 1981. — 640 с.

8. Гудмен Дж. Статистическая оптика. — М.: Мир, 1988. — 528 с.

9. Хименко В. И., Тигин Д. В. Статистическая акусто-оптика и обработка сигналов. — СПб.: Изд-во СПбГУ, 1996. — 292 с.

10. Тихонов В. И., Хименко В. И. Выбросы траекторий случайных процессов. — М.: Наука, 1987. — 304 с.

11. Тихонов В. И., Хименко В. И. Проблема пересечений уровней случайными процессами. Радиофизические приложения // Радиотехника и электроника. 1998. Т. 43. № 5. С. 501-523.

Krouk Evgenii, Semenov Sergei

Modulation and Coding Techniques in Wireless Communications. — UK.: John Wiley & Sons Ltd., 2011. — 680 p.: il. ISBN-978-0-4709-7677-7

Большое количество технических деталей, содержащихся в спецификациях стандартов, затрудняет определение взаимосвязи между стандартами и теоретическими результатами. Эта книга имеет целью охватить обе эти области, объясняя текущие и перспективные направления теории связи и показывая, как эти результаты используются в современных стандартах беспроводной связи.

Книга разделена на два основных раздела, описывающих методы модуляции, кодирования и множественного доступа. Вначале излагаются основы теории кодирования и модуляции, затем указывается, как эти концепции определяются и реализуются в современных системах беспроводной связи. Первый раздел посвящен основным процедурам и методам физического уровня сети, включая модуляцию, кодирование, выравнивание канала и множественный доступ. Во втором разделе рассматривается использование этих процедур и методов в широком диапазоне стандартов беспроводной связи, включая WLAN, WiMax, WCDMA, HSPA, LTE и cdma2000.

Книгу можно приобрести на сайте издательства Wiley: http://eu.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/ productCd-0470745053.html