Возможный подход для оценки систем молниезащит ракет-носителей на космодромах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.316.98: 22.193

ВОЗМОЖНЫЙ ПОДХОД ДЛЯ ОЦЕНКИ СИСТЕМ МОЛНИЕЗАЩИТ РАКЕТ-НОСИТЕЛЕЙ НА КОСМОДРОМАХ

© 2012 А.Н. Потапенко1, В. Курей2, Т.А. Потапенко1

1 Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова 2Уппсальский университет, Уппсала, Швеция

Поступила в редакцию 07.12.2012

Представлены особенности численного решения задач для исследования распределённых систем мол-ниезащит на стартовых площадках с возможностью определения исследуемого поля на основе потенциала и электрической функции потока. Выполнены численные расчёты с представлением основных результатов для исследуемых объектов.

Ключевые слова: система молниезащиты, математическая модель, численные расчёты, электростатические поля

В работе [1] предложена классификация математических моделей для исследования разряда молнии. За основу классификации приняты виды исходных уравнений: 1) газодинамические (гидродинамические) модели для исследования начального развивающегося канала, приводящего к появлению ударной волны; 2) электродинамические модели на основе уравнений Максвелла для исследования основных эффектов при разряде молнии; 3) математические модели, представляющие разряд молнии в виде переходного процесса в линии передачи с распределёнными электрическими параметрами R, L, C на единицу длины; 4) инженерные математические модели на основе, например, уравнений, связывающих ток в молниевом канале относительно высоты и времени c током в начале канала. За исключением газодинамической модели последние три типа математических моделей для исследования разряда молнии подробно представлены в обзорной работе [2]. Следует отметить математические модели, использующие цепи с распределёнными параметрами для исследования особенностей обратного разряда молнии [3], а также развитие этих моделей на основе модифицированного телеграфного уравнения [4] с учётом распределённых источников тока для исследования тонких эффектов в разрядном канале молнии.

Пример особенностей математического моделирования развития канала при мощном электрическом разряде в жидкости, находящейся в полузамкнутой цилиндрической камере с полусферической верхней частью, представлен в [5]. В этой работе исследовано: 1) появление ударной волны при расширении разрядного канала; 2) гидродинамические эффекты взаимодействия созданных прямых и отражённых ударных волн с учётом

Потапенко Анатолий Николаевич, кандидат технических наук, профессор кафедры электротехники и автоматики. E-mail: potapenko@intbel.ru Курей Вернон, профессор Уппсальского университета, Уппсала, Швеция

E-mail: Vernon.Cooray@angstrom uu.se

Потапенко Татьяна Анатольевна, аспирантка. E-mail:

ttwiggy@rambler. ru

стенок камеры. Результаты численных расчётов в 3-х мерном пространстве позволили объяснить известные экспериментальные данные о концентрации ударных волн, образующихся при мощном электрическом разряде в жидкости [6], причём они принципиально отличны от [7], трактующей процессы на основе эмпирических зависимостей. В дальнейшем эти процессы дополнительно исследовались в [8] с применением метода инверсии для полубесконечных областей (МИПО).

Для определения электромагнитных полей молнии в [2] показаны существующие основные подходы: 1) на основе численных решений точных уравнений с помощью специализированных алгоритмов; 2) численных решений уравнений Максвелла на базе, например, метода конечных разностей во временной области (finite-difference timedomain method - FDTD); 3) с использованием упрощённых уравнений. Отмечается, что если ранее FDTD использовался для анализа перенапряжений, индуцированных в линиях передач разрядом молнии, то в настоящее время применяется для анализа электромагнитных полей молнии.

В целом представленные в обзоре [2] математические модели - это в настоящее время основные модели для исследования разряда молнии и её различных физических проявлений, однако для оценки и сравнительного анализа существующих важных технических решений, например, в виде систем молниезащит ракет-носителей на космодромах [9], необходимы разработки дополнительных математических моделей.

Постановка задачи. Схема расположения типичной системы молниезащиты из 4-х молние-приёмников (рис. 1) для ракет-носителей с космическими аппаратами характерна для стран США (космодром на мысе Канаверал, Флорида), Франции, Индии и др. [9]. Для упрощения исследований представим систему молниезащиты ракеты-носителя в виде башен с металлическими стержнями на их вершинах (например, не учитываются тросы, расположенные на вершинах стержней молниезащиты по контуру, особенности этих стержней, их материал и др.). Устройство 5 (рис.

1), связанное с ракетой-носителем на старте, представляется в виде металлической фермы, например, как на стартовой площадке №40 космодрома на мысе Канаверал для ракет-носителей типа «Falcon 9» для запуска космических аппаратов SpaceX Dragon.

1 д д2 5

д3 д4

Рис. 1. Схема типичной системы молниезащиты на космодроме: 1 - 4 - башни с цилиндрическими стержнями; 5 - ферма

При математическом моделировании системы молниезащиты на стартовой площадке применяется схема, показанная на рис. 2. Для учёта влияния дистанции 11 от металлической фермы 5 до башни со стержнем 1 исследования проводятся в вертикальной диагональной плоскости от 1-ой до 4-ой башни. Границы области В(ху) следующие: 01 - плоскость в виде поверхности земли F(x,y); О2 - нижняя граница облака У(х,у) в виде плоскости относительно поверхности F(x,y); О3, О4 - границы для искусственного ограничения расчетной области путём введения в постановку задачи граничного условия типа ду/дп = 0, так как в этой задаче не учитывается краевой эффект от У(х,у).

G2

Ga h Gi

h 1Г sH Gi

Рис. 2. Схема моделирования области В(х,у) системы молниезащиты на космодроме (цифровые обозначения как на рис. 1)

В [10, 11] было проведено сравнение результатов расчета внешней краевой задачи с учётом краевого эффекта от облака и заземлённого стержня на основе МИПО с данными [12] в вертикальной плоскости по распределению поля у. В [12] решалась задача определения поля потенциала у, и также были введены облако и стержень, но внешняя краевая задача была сведена к внутренней на основе условия ду/дп=0. Погрешность была незначительная для исследуемой части области, при этом в [11] были показаны особенности исследуемого краевого эффекта. В связи с этим исходные данные для расчёта следующие: 1) расстояние от металлической фермы 5 до границы О3 считается 12

= 1000 м; 2) высота от F(x,y) до нижней границы V(x,y) принимается H1 = 1000 м; 3) высота башней со стержнями считается H2 = 100 м; 4) высота металлической фермы принимается H3 = 50 м; 5) дистанция l1 =var.

Для представления особенностей плоского или плоскопараллельного электростатического необходимо определить эквипотенциальные поверхности с шагом Ду = const и поверхности электрической функции потока ц с шагом Дц=const [13]. Как и потенциал у функция ц является относительной характеристикой поля, причём физический смысл имеет только разность её значений например, в точках p, d и не зависит от формы кривой и

определяется в виде:

p

ц - ^ = {Endl. (1)

d

Здесь En - проекция напряженности поля по нормали к кривой.

Следует заметить, что вектор напряженности поля E направлен по касательной к силовой линии (поверхности), поэтому линейный поток напряженности поля через любой отрезок силовой линии равен нулю. В связи с этим точки силовой линии характеризуются одним значением функции потока, причём каждая силовая линия в плоскопараллельном поле - это линия (поверхность) функции потока ц с уравнением вида

ц- = const. (2)

Приращение потенциала dy на длине dn связано зависимостью

dy = - Ek dn. (3)

Здесь знак «-» означает, что падение у происходит в направлении силовой линии. По определению функции потока её приращение dц на длине dl равно

dц = Ekdl. (4)

С учётом зависимостей (3), (4) величина E может определяется в виде

Ek = - dy / dn и Ek = dц / dl. (5)

Следовательно, напряженность поля равна падению потенциала на единицу длины в направлении силовой линии или увеличению функции потока на единицу длины в направлении эквипотенциальной линии. Эти соотношения необходимы при решении задачи о распределении ц. Для оценки и сравнительного анализа существующих технических решений систем молниезащит ракет-носителей на стартовых пло-щадках предлагается решение задачи в два этапа.

Первый этап. Определяется поле распределения потенциала у на основе решения уравнения Лапласа в виде

□ д2у /дх2 + д2у /ду2; (xy) е B(xy). (6)

Граничные условия задачи с учётом рис. 2 следующие: • на границе Оь

y(xy)=0, (xy) е Gi;

(7)

• на границах башен со стержнями 1 (Оп), 4 (014) и на металлической ферме 5 (015) заземлённых относительно F(x,y):

y(xy)=0, (xy) е Gii, Gi4, G15; на границах G3, G4:

dy/d«=0, (xy) е G3, G4; (9)

(8)

на границе G2:

y(xy)=^0, (xy) е G2;

(i0)

где В(ху) - исследуемая область, ограниченная 01 - О4, Оц, О14, О15.

Считаем, что на 02 потенциал равен у0 при возникновении электрических полей в атмосфере. При этом исследуется электростатическое поле при условии, что внешнее поле, прикладываемое к объектам 1-5, существенно мало, т.е. подразумевается отсутствие объёмных электрических зарядов в атмосфере исследуемой области B(xy). При решении задачи определяются поле у и эквипотенциальные поверхности уi=const с некоторым шагом Aу=const. Затем относительно высоты Н1 на основе расчётов этого этапа выделяется некоторая область D(xy) до уровня Н4 относительно поверхности F(x,y) с учётом симметрии в области В(ху) относительно 5.

Рис. 3. Схема моделирования области D(xy) системы молниезащиты (цифровые обозначения как на рис. 1)

Особенность выбора D(xy) следующая: 1) на уровне H4 поверхность уk=const должна быть параллельна границе G2, чтобы было исключено влияние системы молниезащиты на распределение напряженности поля на этом уровне; 2) H4 должна превышать max высоту H2 объектов 1 - 4 системы молниезащиты.

Второй этап. Схема моделирования области D(xy) системы молниезащиты на космодроме, показана на рис. 3. Границы исследуемой области D(xy) следующие: G21 - граница в виде части G1; G22 - граница на уровне H4 в виде некоторой поверхность = const; G31 - граница в виде части G3; G41 - граница в виде части симметрии области B(xy), проходящая через объект 5; G1b G15 - границы соответствующие области B(xy).

Исходные данные для расчёта следующие: 1) расстояние от металлической фермы 5 до границы G31 считается l3 = 200 м; 2) высота от F(x,y) до поверхности yk=const равна H4 (будет определена после расчетов первого этапа); 3) высота башни со стержнем H2=100 м; 4) высота металлической фермы H3=50 м; 5) дистанция l1=var. Поле распределения электрической функции потока ц определяется из эллиптического уравнения аналогичному уравнению Лапласа:

□ôV /ex2 + /c'y2; (xy) е D(xy). (11)

Граничные условия задачи c учётом рис. 3 следующие:

• на границе G21:

5ц/5п=0, (xy) е G21;

(12)

• на границах башни со стержнем 1 (G11) и на металлической ферме 5 (G15):

5ц/5п=0, (xy) е Gn, G15; на границе G31:

^(xy)=M 0, (xy) е G31; на границе G41:

M(xy)=0, (xy) е G41; на границе G22: ^(xy)=0, (xy) е G22;

(13)

(14)

(15)

(16)

где D(xy) - исследуемая область, ограниченная G21, G31, G41, G22, G11, G15.

Для оценки и сравнительного анализа системы молниезащиты на космодроме считаем, что появление молнии возможно, например, со стороны границы G22, а именно, её левого края. Тогда на этой части границы G22, а именно, на границе G23 выполняется условие:

5ц/5«=0, (xy) е G23.

(17)

Особенности дискретных математических моделей каждого этапа расчёта заключаются в том, что исходные области В(ху) и D(xy) представляются дискретными с регулярной прямоугольной

сеткой (Дх=Ду) по аналогии, например, [10]. При расчетах не учитываются размеры в горизонтальных сечениях элементов систем молниезащит 1-4 и металлической фермы 5, так как они пренебрежимо малы по сравнению с шагом Д сетки по координатам x, у (по поверхности -(х,у) между О3 и О4 расстояние 2000 м, а Н]=1000 м, при этом считаем, что в горизонтальном сечении металлическая ферма имеет размеры 4,0 х 3,0 м2).

Для каждой из областей В(ху) и Б(ху) во внутренних узлах сетки выполняется условие сходимости итерационного метода Гаусса-Зейделя. В этих узлах дискретных областей потенциал у-- рассчитывается с помощью числен-ного метода, например, ускоренного метода Либмана с учётом уравнения Лапласа в конечно-разностных аппроксимациях как в [10]. На границах О- областей В(х,у) и О(ху) потенциалы у-- рассчитываются с учетом конечно-раз-ностных аппроксимаций на основе условий: 1) для области В(ху) используются граничные условия (7)-(10); 2) для области О(ху) соответственно граничные условия (12)-(17).

Результаты численных расчетов. При исследованиях на первом этапе существующих технических решений систем молниезащит ракет-носителей на космодромах в области В(х,у) определяются поля распределения потенциала у и эквипотенциальные поверхности в виде уравнений уi=const. Расчёты ведутся в безразмерном виде, а именно, потенциалы у- =у-/у0; где у0 - базовое значения потенциала в исследуемой области. Аналогично записываются безразмерные параметры и для других величин. Результаты численного расчета согласно уравнениям (6)-(10) для схемы моделирования области В(ху) системы молниезащиты, показаны на рис. 4 в виде распределения эквипотенциальных поверхностей у- =const с Ду =const.

Рис. 4. Распределение эквипотенциальных поверхностей для исследуемой области В(ху) в виде у- =const с Ду =const

Последующая схема для математического моделирования области В(ху) с учётом системы молниезащиты на космодроме, показана на рис. 3. На основе полученных результатов величина Н4 выбирается равной 500 м.

А1. Для оценки и сравнительного анализа технического решения системы молниезащиты ракеты-носителя на космодроме (см. рис. 1) принимается дистанция Д от металлической фермы 5 до башни со стержнем 1 равной 200 м, т.е. элемент молниезащиты находится на границе Оз; области

В(ху). Для исследования предлагаемого подхода на основе 2-х этапов считаем, что появление молнии возможно, например, со стороны границы О22, а именно, её левого края границы О23. Результаты численного расчета согласно уравнениям (11)-(17) для схемы моделирования области В(ху), показаны на рис. 5 в виде распределения поверхностей электрической функции потока ц- =const с шагом Дц =шт1 При этом на рис. 5а показаны 30 функций потока ц- ; рис. 5б соответственно 100 функций потока ц- .

а) б)

Рис. 5. Распределение поверхности электричес-кой функции потока ц- =const с шагом Дц =const при

¡1= 200 м

Из результатов, представленных на рис. 5б, следует: 1) в объект 5 входят 19 функций потока ц-и одна частично в объект 5 и в поверхность -(х,у); 2) в поверхность -(х,у) входят 38 функций потока ц-; 3) в элемент молниезащиты 1 входят 41 функция потока ц- и одна частично в элемент 1 и в -(х,у).

А2. Принимается дистанция ¡\ от металлической фермы 5 до башни со стержнем 1 равной 100 м, т.е. элемент молниезащиты находится по средине между границей Оз; и объектом 5 области В(ху). Результаты численного расчета для этой схемы моделирования области В(ху) с учётом ¡!=100 м, показаны на рис. 6 в виде распределения поверхностей электрической функции потока ц- =const с шагом Дц При этом на рис. 6а

показаны 30 функций потока ц- ; рис. 6б соответственно 100 функций потока ц- .

Из результатов, представленных на рис. 6б, следует: 1) в объект 5 входят 11 функций потока ц-и одна частично в объект 5 и в поверхность -(х,у); 2) в поверхность -(х,у) входят 5 функций потока

ц-*; 3) в элемент молниезащиты 1 входят 71 функция потока ц- и 2 частично в элемент 1 и в поверхность F(x,y), т.е. справа и слева от элемента 1.

а) б)

Рис. 6. Распределение поверхности электричес-кой функции потока ц- =const с шагом Ац =const при /1=100 м

а) б)

Рис. 7. Распределение поверхности электричес-кой функции потока ц- =const с шагом Ац =const при /1=50 м

А3. Принимается дистанция /1 от металлической фермы 5 до башни со стержнем 1 равной 50 м. Результаты численного расчета для схемы моделирования области D(x,y) с учётом /1=50 м, показаны на рис. 7 в виде распределения поверхностей электрической функции потока ц- =const с шагом Ац =еот1 При этом на рис. 7а показаны 30 функций потока ц- ; рис. 7б соответственно 100 функций потока ц- .

Из результатов, представленных на рис. 7б, следует: 1) в объект 5 входят 3 функций потока ц-и одна частично в объект 5, в поверхность F(x,y) и в элемент молниезащиты 1; 2) в поверхность F(x,y) перед объектом 5 входит одна функция потока ц-частично в объект 5, в поверхность F(x,y) и в элемент молниезащиты 1 и 25 после элемента молниезащиты 1; 3) в элемент молниезащиты 1 входят 69 функция потока ц- и 1 частично в элемент 1 и в поверхность F(x,y).

Сравнительный анализ технического решения системы молниезащиты на космодроме (см. рис. 1) показывает следующее: 1) при дистанции /1=200 м в объект 5 в целом входят 19 функций потока ц- и одна частично, тогда относительная величина входа функций потока ц- в объект 5 в процентах равна 20%; 2) при /1=100 м в объект 5 входят 11 функций потока ц- и одна частично, тогда относительная величина входа функций потока ц- в объект 5 в процентах равна 12%; 3) при /1 = 50 м в объект 5 входят 3 функций потока ц- и одна частично, тогда относительная величина входа функций потока ц- в объект 5 в процентах равна 4%. В заключение отметим, что для типичной системы из 4-х элементов молниезащиты ракеты-носителя с космическим аппаратом согласно распределению электрической функции потока ц- при уменьшении дистанции /1 с 200 до 50 м относительная величина входа функций ц- в объект 5 уменьшается с 20 до 4%.

Выводы:

1. Анализ полученных результатов расчёта на основе предложенного подхода показал, что имеется возможность оценивать и выявлять особенности системы из 4-х элементов молниезащиты на космодроме. Например, установлено, что согласно распределению электрической функции потока ц-при уменьшении дистанции /1 в 4 раза, относительная величина входа функций ц- в объект 5 уменьшается в 5 раз. Полученные результаты и выводы определяются соотношениями размеров исследуемой системы молниезащиты и соответствующими допущениями при расчётах.

2. Показаны особенности предложенного подхода для численного моделирования исследуемой системы молниезащиты на космодроме в два этапа. На первом этапе решения задачи определяются поле распределения потенциала у и эквипотенциальные поверхности у =const с Ау =const. Затем относительно высоты Ж1 на основе расчётов этого этапа выделяется некоторая область D(x,y) до уровня Ж4 относительно поверхности земли F(x,y). На втором этапе определяется распределение поверхностей электрической функции потока ц- =const с шагом Ац =const при изменении,

например, дистанции l1 от металлической фермы 5 до башни со стержнем 1.

3. Представлены особенности выбора области D(x,y) в следующем виде: 1) на уровне H4 выделенная поверхность yk=const должна быть параллельна границе G2, чтобы было исключено влияние системы молниезащиты на распределение напряженности поля на этом уровне; 2) H4 должна превышать max высоту H2 объектов 1-4 системы мол-ниезащиты.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Rakov, V.A. Review and evaluation of lightning return stroke models including some aspects of their application / V.A. Rakov, M.A. Uman // IEEE Transactions Electromagnetic Compatibility. 1988. Vol. 40. Р. 403-426.

2. Раков, В.А. Обзор недавних исследований молнии и молниезащиты / В.А. Раков, Ф. Рашиди // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2010. №1. С. 24-47.

3. Theethayi, N. On the representation of the lightning return stroke process as a current pulse propagating along a transmission line / N. Theethayi, V. Cooray // IEEE Transactions on Power Delivery. 2005. Vol. 20. Р. 823-837.

4. Cooray, V. Pulse propagation along transmission lines in the presence of corona and their implication to lightning return strokes / V. Cooray, N. Theethayi // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 2008. Vol. 56. Р. 1948-1959.

5. Chtifanov, A.I. Features of Controlling the Concentration of Electrical Discharge Energy in a Liquid for Compacting Powders / A.I. Chtifanov, A.N. Potapenko, M.I. Knyasev // In a book: Powder Compaction; Sintering; Post-sintering; Hot Isostatic Pressing; Microsturcture. Granada, Spain. 1998. Vol. 2. Р. 193-199.

6. Чебанов, Ю.И. Формирование поля давления на заготовке при штамповке на электрогидравлических установках / Ю.И. Чебанов, В.К. Борисевич, М.К. Князев // Кузнечно-штамповочное производство. 1996. №4. С. 15-18.

7. Борисевич, В.К. Построение расчётных моделей полей нагружения установки ЭГШ на основе эмпирических аппроксимаций / В.К. Борисевич и др. // Кузнечно-штамповочное производство. 1997. №9. С. 20-23.

8. Потапенко, А.Н. Математическое моделирование поля давлений в многоэлектродных разрядных блоках / А.Н. Потапенко, М.И. Дыльков, А.И. Штифанов // Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики. 2003. №9-10. С. 120-124.

9. Kumar, U. Lightning protection of satellite launch pads / U. Kumar // In a book: Lightning Protection. Series: IET Power and Energy Series, 58. Edited by V. Cooray. -London: Institution of Engineering and Technology. 2010. Р. 789-819.

10. Потапенко, А.Н. Особенности метода инверсии для численного решения внешних краевых задач, связанных с электрическими полями в атмосфере / А.Н. Потапенко, Е.А. Канунникова, Т.А. Потапенко // Научно-технические ведомости СПб ГПУ. 2012. №1. С. 84-88.

11. Potapenko, T.A. Research of 3 -D Exterior Boundary Problems Related to Electric Fields in Atmosphere by Inversion Method / T.A. Potapenko, E.A. Kanunnikova, A.N. Potapenko // 2012 International Conference on Lightning Protection (ICLP), Vienna, Austria. 2012.

12. Резинкина, М.М. Расчет трехмерных электрических полей в системах, содержащих тонкие проволоки / М.М. Резинкина // Электричество. 2005. № 1. С. 44-49.

13. Смайт, В.Р. Электростатика и электродинамика / В.Р. Смайт. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1954. 606 с.

A POSSIBLE APPROACH FOR ESTIMATION THE LIGHTNING PROTECTION SYSTEMS OF CARRIER ROCKETS AT SPACE-LAUNCHING SITES

© 2012 A.N. Potapenko1, V. Cooray2, T.A. Potapenko1

1 Belgorod State Technological University named after V.G. Shukhov 2 Uppsala University, Uppsala, Sweden

A features of numerical decision of a problem for study the distributed lightning protection system at a launch site with possibility of determine the investigated field on a base of potential and electric flow function are presented. Numerical calculations are executed, representing general results of investigated objects.

Key words: lightning protection system, mathematical models, numerical calculations, electrostatic fields

Anatoliy Potapenko, Candidate of Technical Sciences, Professor at the Department of Electrical Engineering and Automatics. E-mail: potapenko@intbel.ru

Vernon Coorey, Professor. E-mail: Vernon.Cooray@angstrom uu.se Tatiana Potapenko, Post-graduate Student. E-mail: ttwiggy@rambler.ru