CC BY
50
2013
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА
№ 193
УДК 629.735.017
ВОЗМОЖНЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ВЛИЯНИЯ НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ НА ОТКАЗОУСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ
Н.А. СЕВЕРЦЕВ, А.В. БЕЦКОВ, И.В. ПРОКОПЬЕВ
Рассмотрен метод безопасной работоспособности системы в зависимости от наличия критических элементов (в смысле надежности) и определения их среднего количества, влияния на устойчивость функционирования системы.
Ключевые слова: работоспособность системы, неотказоустойчивая система, надежность, гарантоспособность, биноминальные вероятности, показатели безотказности.
Вначале заметим, что при выполнении своего предназначения отказоустойчивая система является более безопасной, чем столь же надежная, но неотказоустойчивая. Отказоустойчивость в определенном смысле является гарантией выполнения системой своего функционального предназначения. В отказоустойчивости системы необходимы две составляющие, такие как:
1) структурная избыточность разного рода, позволяющая системе сохранять безопасную работоспособность и после возникновения отказов на главных элементах системы;
2) средства обнаружения, локализации и устранения неисправностей в системе, которые можно отнести в некотором роде к избыточности.
Эти составляющие могут быть пассивными и активными. Если отказы могут быть парированы самой системой в некоторый момент времени, без прекращения функционирования, то этот аспект можно назвать статическим. Статическая отказоустойчивость обеспечивается избыточностью структуры системы. Наличие средств обнаружения, локализации и устранения неисправностей при наличии структурной избыточности позволяет восстанавливать отказавшие элементы без прекращения функционирования и характеризовать отказоустойчивость числом отказов элементов парируемых системой за время с начала функционирования до первого отказа системы в целом.
Этот аспект отказоустойчивости назовем динамическим. Подчеркнем различие между надежностью и гарантоспособностью: система может быт высоконадежной, но не давать гарантий безопасной работоспособности.
Понятие "гарантоспособность" по смыслу то же, что и безопасность, поскольку при наличии гарантии система работает с выполнением предписанных ей требований, то это следует понимать, что угрозы (опасности) неконтролируемого отклонения поведения системы от предписанного отсутствуют. Понятие (термин) «надежность» хотя и имеет изначальный смысл - «способность оправдать надежды», но оно используется во вполне определенном и несколько отличном от указанного значении, а понятие «безопасность» (термин) использоваться должен тогда, когда речь идет об угрозе в различных направлениях (жизнь людей, экология, техногенные катастрофы и пр.).
Рассмотрим систему с независимым восстановлением ее элементов и определим, в какой мере их безотказность обусловлена способностью сохранять работоспособность системы при отказах элементов (отказоустойчивостью), а в какой мере - безотказностью элементов системы, а также в какой мере отказоустойчивость, в свою очередь, обусловлена избыточностью структуры, а в какой мере - режимом восстановления элементов, т.е. их готовностью.
Понятие критического (обобщенного) элемента. Критический элемент - это элемент, отказ которого приводит к отказу всей системы при заданном состоянии всех элементов системы. Определим структурную функцию критического элемента.
7 ] _ 11, если при заданном _е Би элемент 1 является критическим, у 0, в противном случае.
Тогда [2] У1 (_) _ _1 дО/Э_ _ 0(_) - 0(0, _). (1)
Допустим, что компоненты вектора _е Би являются бинарными случайными величинами с распределением р{_1=1}=Р1, р{_1=0}=д1, 1 _ 1,п, и определим вероятность того, что элемент с номером 1 в системе будет критическим. В соответствии с (1)
р{У1 _ 1} _ М0(_) - М0(01, _) _ Я( Р) - Я(0, Р) _ р х ЭЯ/Эр , (2)
где Р_ {р, Р2,..., Рп}.
Для систем, элементы которых не восстанавливаются: Р - вектор вероятности безотказной работы элементов; Я( Р) _ М0( _)- вероятность безотказной работы системы;
Я(0, Р) _ МО(0, _) - вероятность безотказной работы системы при условии, что элемент под номером 1 отказал, а точнее, является ненадежным.
Для систем, элементы которых восстанавливаются после отказа: Р - вектор коэффициентов готовности элементов; Я( Р)- коэффициент готовности системы, при условии, что коэффициент готовности элемента 1 равен нулю. Величина 1Ь(1, Р) _ ЭЯ/ЭР} _ Я(1,-Р) - Я(0, Р) известна [2] как важность элемента, которую мы назовем значимостью элемента № 1. Вероятность р{у1=1} называется вкладом этого элемента в надежность системы. Поскольку р{у1=1} характеризует вклад (важность) элемента № 1 в надежность системы, постольку же она характеризует и устойчивость системы к отказу этого элемента. Вероятность р{у1=1} является системной характеристикой, а вероятность того, что элемент № 1 является критическим при условии, что система работоспособна в силу (1), (2), равна
а (Р) _ Р{у 1 _ V 0 _ 1} _ Р{71 _ 1}/ Я( Р) _ 1 - я(0, Р)/ Я( Р) _
_ Р1/ Я( Р) х ЭЯ/Эр1 _ Э 1п Я/Э 1п Р.
Вероятность а(Р) есть вероятность того, что система окажется неустойчивой к отказу элемента № 1, и следовательно, характеризует устойчивость системы к отказу этого элемента, являясь, как следует из (3), показателем чувствительности логарифма системного показателя надежности к изменению логарифма показателя надежности элемента.
Среднее число критических элементов в работоспособной системе можно вычислить по формуле
и
а( Р) _ ^ а1( Р). (4)
1_1
Соответственно среднее число элементов, при отказе которых система сохраняет работоспособность, равно а(Р) _ п - а(Р). Величина а(Р) позволяет построить количественный критерий отказоустойчивости системы. Систему будем считать отказоустойчивой, если
а(Р) < 1. (5)
Чем меньше среднее число критических элементов в работоспособной системе, тем более она является отказоустойчивой. На основании (4) можно записать неравенство
р|У 71 _ | <а( Р). (6)
Это неравенство показывает, что вероятность наличия хотя бы одного критического элемента в системе не превышает а( Р).
Вычислим значение a(P), например, для параллельного соединения n элементов.
R(P)= 1 -fl<h; R(0,P) = 1 -r(P)/; = Ш (7)
i=1
Подставляя (7) в (3), а затем (3) в (7) и после преобразований получим
a(P) = (l - R(P))¿/?/(gb R(P)). (8)
i=1
В любой системе с понижением надежности элементов среднее число критических элементов в работоспособной системе будет возрастать. Если обозначить q = max qi, тогда
a( P) <u(1 -q)qn-1/(1 -qn)=1 +(nq^ -(n-1)qn-1)/(1 -qn). (9)
Исследуем функцию f (q) = nqn-1 - (n -1) qn -1. Поскольку f (0) = -1, f (1) = 0, и для любого q такого, что выполняется f '(q) = n(n- 1)qn-2(1 - q) > 0, т.е. f(q) не убывает, следовательно, f (q) < 0 для любого q такого, что 0 < q < 1. Тогда в силу (9) a(P) < 1. Причем, если Pi Ф 0,i = 1, n, то неравенство a(P) < 1 становится строгим.
Таким образом, в соответствии с критерием (5) параллельные структуры из элементов с вероятностями безотказной работы, отличными от нуля, всегда отказоустойчивы.
Известно, что вероятности P1 зависят от времени состояния системы, т.е.
Pi = ад,;=Щ p(t) = i?(o,P2(f),..., Pn (t).
Допустим, что вероятность того, что система, будучи работоспособной в момент времени t, откажет на отрезке времени [t, t+ At] и она равна
1 s (f) + 0(Д0 = £ li (0AP(Yi = V Q = 1}+ 0(Af) = £ li (f)ay (Й0)Д' + 0(Af). (10) i=1 i=1 Разделив обе части (10) на Af и выполнив предельный переход A® ¥, получим
n
l 5 (f) = £ li (f)«1(f), (11)
i=1
где a1(f) = a1( R(f)).
Рассмотрим следующие случаи.
1. Для системы, элементы которой не восстанавливаются после отказа: 1s(f) - интенсивность перехода системы из состояния работоспособности в состояние отказа; 11(f) - интенсивность перехода элемента № 1 из состояния работоспособности в состояние отказа в стационарном режиме, т.е. f ws = lim 1s(f) - параметр потока отказов системы; Д = lim I\(f) - стационарный коэффициент готовности элемента № 1; w = lim Aq(f) - параметр потока отказов
t®¥
элемента № 1; a1(P) = lim a^f) - стационарная вероятность критичности элемента № 1. Таким образом, для стационарного режима
n
W = £ ю^ P). (12)
i=1
Выражения (11), (12) связывают показатели безопасности системы 1s(t), ws с показателями ее устойчивости к отказам элементов a1(t), ai(P),i = 1, n и показателями безотказности элементов 11(t), w, i = 1, n.
2. Система из элементов равной надежности, для которой 11(t) = l(t), w = w, P1(t) = P(t), P1 = P, i = 1П.
Вероятность безотказной работы системы в этом случае является функцией одной переменной R(P). Тогда выражение (11) будет иметь вид
l s (0 = 1(t)a s (P(t)), (13)
где as(P(t)) = R(P(t))xdR(P(t))/dP(t) - среднее число критических элементов в работоспособной системе к моменту времени t.
3. Для систем из восстанавливаемых элементов в стационарном режиме (t®¥) ws = coas(P). Тогда средняя наработка системы на отказ Ts может быть определена по формуле
Ts = w-1 = Te/as (P), где Te = w-1- средняя наработка элемента на отказ. Обозначив
IA = 1/ a s (P), получаем
Ts = TeTA. (14)
Величину Ia назовем индексом средней наработки системы на отказ.
4. Для однородных систем среднее число критических элементов в работоспособной системе as(P) может быть вычислено (оценено) с помощью структурных вероятностей. Запишем
a(P) = ¿P(Q)CknPk(1 - P)n-k(k-(n-k)P/(1 -P))/R(P), (15)
k=1
n
где k(P) вычисляется по формуле k(Q, P)=^ Pk (Q) x b(n, k, P) [1]; p - вероятность безотказной
k=1
работы системы; b(n,k,p) - биноминальные вероятности, среднее число элементов в работоспособной системе.
После преобразования (15) получим as = nk (p) - n(p)/(1 - p), где
n
nk(p) = ^kPk(Q)C^PK (1 - P)n-k/k(P) - среднее число элементов в работоспособной системе;
i=1
n(P) = nP - среднее число работоспособных элементов в системе независимо от ее работоспособности; Pk(Q) - вероятность того, что система сохраняет работоспособность при выходе из строя n-k элементов.
5. Для неоднородных систем показатели могут быть оценены методом структурных вероятностей. Таким образом, отказоустойчивость, как и работоспособность, есть свойство системы, гарантоспособности ее функционирования во времени.
ЛИТЕРАТУРА
1. Пирс У. Построение надежности вычислительных машин. - М.: Мир, 1968.
2. Рябинин И.А., Черкесов Г.Н. Логико-вероятностные методы исследования надежности структурно-сложных систем. - М.: Радио и связь, 1981.
3. Северцев Н.А., Бецков А.В. Введение в безопасность. - М.: ВЦ РАН им. А. А. Дородницына, 2008.
A POSSIBLE METHOD OF RESEARCH OF INFLUENCE OF THE RELIABILITY OF THE COMPONENTS ON THE SYSTEM FAULT TOLERANCE
Severcev N.A., Beckov A.V., Prokopiev I.V.
The method of secure health system depending on the availability of critical elements (in the sense of reliability) and to determine their average quantity of influence on the stability of the system.
Key words: system efficiency, unfault-tolerant system, reliability, dependability, биноминальные probability, the rate of reliability.
Сведения об авторах
Северцев Николай Алексеевич, 1931 г.р., окончил Высшее военно-морское инженерное училище им. Крылова (1954), ВМА им. Крылова (1960), профессор, доктор технических наук, заслуженный деятель науки и техники РФ, заведующий отделом ВЦ РАН им. А.А. Дородницына, автор более 300 научных работ, область научных интересов - математическая теория устойчивости, надежности и безопасности динамических систем.
Бецков Александр Викторович, 1968 г.р., окончил ХВВАУРЭ (1989), доктор технических наук, доцент кафедры УДСООП Академии управления МВД РФ, автор более 100 научных работ, область научных интересов - математическое моделирование, математическое и правовое обеспечение безопасности.
Прокопьев Игорь Витальевич, 1965 г.р., окончил ХВВАУРЭ (1986), кандидат технических наук, старший научный сотрудник отдела анализа нелинейных процессов и проблем безопасности ВЦ РАН им. А.А. Дородницына, автор более 50 научных работ, область научных интересов - математическое моделирование, математическое и правовое обеспечение безопасности.
