Возможности управления коэффициентами Пуассона современных многослойных композиционных материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 620.22-419.8(075.8)

А. А. Смердов

ВОЗМОЖНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПУАССОНА СОВРЕМЕННЫХ МНОГОСЛОЙНЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

Рассмотрены возможности управления значениями коэффициентов Пуассона многослойных структур в результате целенаправленного изменения структурных параметров. Особое внимание обращено на связь рассматриваемых параметров с прочими жест-костными характеристиками материала и предельные возможности сочетаний требований к нескольким характеристикам, среди которых коэффициенты Пуассона. Исследован также вопрос о возможностях минимизации сдвиговой чувствительности материала при неизбежных отклонениях траекторий армирования от номинальных значений.

E-mail: asmerdov@mail.ru

Ключевые слова: многослойный композит, оптимальное проектирование, коэффициенты Пуассона, жесткость.

Коэффициенты Пуассона, или коэффициенты поперечных деформаций, материала входят в число независимых констант, определяющих его жесткостные свойства. В плоской задаче ортотропный материал характеризуется одной парой коэффициентов Пуассона vxy и vyx (продольно-поперечные). Эти коэффициенты определяют линейные деформации в направлении одной из осей ортотропии при одноосном деформировании вдоль другой оси (при этом vyxEx = vxyEy, где Ex и Ey — модули упругости материала в направлении осей ортотропии x и у). Для неортотропного материала имеются еще две пары коэффициентов (называемые иногда продольно-сдвиговыми и поперечно-сдвиговыми или коэффициентами Ченцова) vxs и vsx, а также vys и vsy. Эти коэффициенты характеризуют угловые деформации (Yxy), возникающие при одноосном растяжении-сжатии вдоль осей x и у, а также линейные деформации (ex и ey), которые появляются при чистом сдвиге в указанных осях. Для этих коэффициентов справедливы соотношения

vsxEx vxsGxy j vsy Ey vysGxyj

где Gxy — модуль сдвига материала.

Расчет коэффициентов Пуассона многослойных структур может быть проведен на основе существующих алгоритмов [1,2]. Исследованию коэффициентов Пуассона композиционных материалов посвящено немало опубликованных работ, начиная с классических оценок возможных диапазонов этих значений [3,4]. Особый интерес представляет анализ возможности существования материалов с отрицательными

коэффициентами Пуассона [5-8]. Имеются публикации, посвященные изменениям коэффициентов Пуассона при нелинейном деформировании материала, а также изменению их во времени [9-13].

Следует отметить, что практически не исследованы вопросы о связи коэффициентов Пуассона со значениями прочих характеристик материала, доступными при изменении его внутренней структуры. Таким образом, неясно, как могут сочетаться требования к коэффициентам Пуассона, устанавливаемые при проектировании многослойных структур, с требованиями к другим жесткостным характеристикам этих структур. Кроме того, представляет практический интерес вопрос о возможностях минимизации сдвиговой чувствительности материала (определяемой продольно-сдвиговыми и поперечно-сдвиговыми коэффициентами Пуассона) при неизбежных отклонениях траекторий армирования от номинальных значений. Рассмотрение указанных вопросов и составляет содержание настоящей работы. Оптимизационные расчеты проводились на основе методик, изложенных в работе [14].

Коэффициенты Пуассона многослойного неортотропного материала определяются по формулам [2]

_ 9ху9зз ЗхзЗуз ;

Vху 2 '

дуудвв — 9ув

_ дуудхв — дхудув ; , .

^х8 _ 2 ' (1)

9уу9зз — 9уз

9хх9ув дху 9x8

Vys 2 ;

9хх988 — 9x8

где

П

9ав _ ^ 9(авзЪг; (2)

г=1

9x1 = gil cos4 Рг + gS sin4 Рг + (2g8 + 4g6e) а^РгЮ^Рг;

gS = (gfi + g2:2 - ^S) ^Рг^Рг + gS (^4Рг +^Р) ;

gS = gn)sin4Pi + g22)lCos4Pi + (2gg + 4g6e) sin2 Ргcos^;

g%} = (gl? + g22 - 2gä) ^Рг^Рг + gS (^2Рг- ^Р)2; (3)

gXS = [gl?cos2 Рг- g22sin2 Рг+

+ (g22 + 2g2) (sin2 Рг - cos2 Рг)] sin Рг COS рг; 2г) Г (г) -2 (г) 2

gys = [gil sin Рг - 9222 COs Рг-

- (gS + 2g66)) (sin2 Рг - cos2 Рг)] sin Рг cos Рг;

(i) g11 =

E

(i)

(i) (i)

(i) g22 =

E

(i) 2

у\2 V

12 21

(i) (i) v12 v2i

(4)

g(i) - V(i) g(i) - V(i) g(i) • g(i) - G(i) g12 — v12 g22 — V21 g11 ; g66 — G12 •

В выражениях (2)-(4) введены следующие обозначения: п — число слоев в многослойной структуре; — относительная толщина г-го слоя, равная отношению толщины слоя к толщине многослойного пакета; ф — угол ориентации слоя (угол между направлением волокон в слое и осью х пакета); Е?}, Е^, вЦ, vÍ2 — технические константы упругости г-го слоя, заданные в естественной системе координат слоя, ось 1 которой совпадает с направлением волокон в слое, а ось 2 направлена по нормали к ней в плоскости слоя [2].

Для ортотропного материала с симметричным армированием слоев ±ф в выражениях (1) следует принять дХ8 = ду8 = 0, в результате чего коэффициенты уХ8 и уу8 обнуляются, а формула для расчета величины

приобретает более простой вид:

^Ху дху /дуу •

На рис. 1 показаны графики зависимости продольно-поперечного коэффициента Пуассона от угла армирования (угол между осью х и направлением волокон) для ортотропных перекрестно армированных структур, создаваемых на базе типичных современных углепластиков [15]. Видно, что коэффициенты Пуассона многослойных композиционных материалов могут изменяться в значительно более широком интервале, чем у изотропных материалов. Максимальные зна-

Рис. 1. Коэффициенты Пуассона иху перекрестно армированных структур из различных материалов:

1 — углепластик ЛУ-П/ЭНФБ; 2 — углепластик "Кулон"; 3 — углепластик А84/3501-6; 4 — углепластик Т300/Б8Ь914С

1

1

чения величины рчн могут достигать 1,5 и даже 2. Такие большие значения данной характеристики требуют специальных приемов конструирования. Например, при осевом растяжении-сжатии трубчатых стержней, выполненных из подобных материалов, возникают значительные окружные деформации. Это может привести к появлению недопустимых напряжений в зонах крепления стержня к металлическим законцовкам, что, в свою очередь влечет за собой разрушение или снижение эксплуатационных характеристик конструкции из композиционных материалов.

Графики показывают, что коэффициенты Пуассона могут иметь и весьма малые значения, однако для перекрестно армированных структур они сочетаются с низкими значениями продольного модуля упругости Ех и модуля сдвига Оху. Между тем при проектировании конструкций из композиционных материалов могут встретиться случаи, когда от материала требуется сочетание высокой продольной и сдвиговой жесткости с низким значением коэффициента Пуассона. Результат исследования возможности создания таких материалов на базе однонаправленного углепластика ЛУ-П/ЭНФБ показан на рис. 2.

Здесь приведена поверхность предельных возможностей [16], разделяющая пространство требований к свойствам проектируемого материала на две части: область допустимых сочетаний требований к свойствам и область невозможного, точки которой соответствуют недостижимым сочетаниям характеристик структур, создаваемых на базе данного материала. Каждая точка такой поверхности получена в результате решения задачи оптимизации, так что сама поверхность соответствует оптимальным композитным структурам.

В задачах векторной оптимизации [14] вектору варьируемых па-

Рис. 2. Поверхность предельных возможностей многослойных структур из углепластика ЛУ-П/ЭНФБ в координатах max Ex-max Gxy-min vxy

раметров X = {x1,x2,...,xn} (для многослойных структур компонентами этого вектора являются относительные толщины и углы ориентации отдельных слоев) ставится в соответствие вектор критериев качества Y(X), каждая компонента которого должна быть максимизирована или минимизирована.

Для построения границы предельных возможностей сначала из вектора Y(X) выбирается один критерий y»(X). Для этого критерия ставится и решается цикл задач математического программирования, в которых сам он выступает в качестве целевой функции, а все остальные компоненты вектора Y(X) — в качестве ограничений. Уровни ограничений в каждой задаче выбираются разными:

{y3 (X) < A, если yy (X) ^ min,

jk) (5)

yy (X) > Aj ), если yy (X) ^ max,

где k — номер текущей задачи. Величины Ajk) изменяются в пределах всего интересующего проектанта диапазона. Если это необходимо, то возможен выбор другого критерия yk (X) в качестве целевой функции и повторение описанной процедуры. Решение оптимизационных задач (5) продолжается до тех пор, пока не будет окончательно определен вид границы предельных возможностей в пространстве требований к критериям качества проектируемого объекта [16].

Показанная на рис. 2 поверхность построена в координатах max Ex — max Gxy — min vxy. На графике поверхность показана линиями уровня, как на топографической карте. Она имеет вид ямы, спускающейся в направлении начала координат. Допустимые сочетания требований в данном случае соответствуют точкам, находящимся выше поверхности. Минимальному коэффициенту Пуассона (дно ямы) соответствует однонаправленный материал, ориентированный в направлении оси у; он характеризуется крайне малыми значениями величин Ex и Gxy. Верхнюю кромку ямы образуют перекрестно армированные структуры с углом ориентации от 0 до ±45°. Склон ямы соответствует структурам общего вида, причем одно и то же сочетание требований может быть достигнуто для различных структур, включая трехслойные структуры вида [0/90°/ ± ф\ и двухслойные структуры [±р/± р].

Обращает на себя внимание возможность достижения высоких модулей упругости при весьма малых коэффициентах Пуассона: до 90ГПа при vxy не более 0,05 и до 120 ГПа при vxy не более 0,1. Однако при этом модули сдвига остаются весьма низкими (как у ортогонально армированных структур). При необходимости повышения модуля сдвига приходится существенно снижать продольный модуль упругости.

О 10 20 30 40 50 60 70 80

Угол армирования, градусы

Рис.3. Коэффициенты сдвиговой чувствительности перекрестно армированных структур из различных материалов:

□ — углепластик ЛУ-П/ЭНФБ; А — углепластик "Кулон"; ♦ — углепластик А84/3501-6; -о--углепластик Т300/Б8Ь914С

С коэффициентами Пуассона связана и еще одна проблема, иногда возникающая при проектировании композитных структур. Отклонения от ортотропии многослойного материала, возникающие при неточном соблюдении углов ориентации слоев, приводят к появлению ненулевых продольно-сдвиговых и поперечно-сдвиговых коэффициентов Пуассона, определяющих сдвиговые деформации при продольном и поперечном растяжении-сжатии. Этот эффект также может привести к снижению эксплуатационных характеристик конструкций из композиционных материалов, например к закрутке трубчатых стержней при их растяжении-сжатии. Таким образом, в ряде случаев (например, для размеростабильных конструкций [14]) требуется проводить нормирование допустимых отклонений траекторий армирования. Основанием для такого нормирования могут служить графики анализа чувствительности композитных структур.

Опасность появления вследствие технологических несовершенств сдвиговых деформаций при растяжении-сжатии можно оценить с помощью коэффициента сдвиговой чувствительности кХ8. Этот коэффициент равен абсолютному значению коэффициента уХ8, возникающего при отклонении оси ортотропии данной структуры от ее продольной оси координат на один градус. На рис. 3 приведена зависимость этой величины от угла армирования перекрестно армированных структур из различных углепластиков. Рис. 4 показывает коэффициенты сдвиговой чувствительности для ортогонально армированных структур и структур вида [0/ ± в зависимости от относительной толщины продольного слоя.

0,5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Относительная толщина продольного слоя, %

Рис. 4. Коэффициенты сдвиговой чувствительности различных структур из углепластика ЛУ-П/ЭНФБ:

□ — ортогонально армированная структура; А — структура [0/±15°]; ♦ — структура [0/ ± 30о]; -х- — структура [0/ ± 45°]; -о- — структура [0/ ± 60о]; + — структура [0/ ± 75°]

Представляет значительный интерес поиск структур, сочетающих низкую сдвиговую чувствительность с высокими жесткост-ными характеристиками. Результат такого поиска для углепластика ЛУ-П/ЭНФБ показан на рис. 5. Поверхность предельных возможностей многослойных структур построена в координатах max Ex — min kxs — max Gxy. Анализ приведенных результатов показывает, что максимальная продольная жесткость сочетается с довольно высокой сдвиговой чувствительностью (kxs = 0,4... 0,5) и низким модулем сдвига 5 ГПа). Снижение требований к продольной жесткости позволяет резко уменьшить коэффициент сдвиговой чувствительности. Следует обратить внимание на то, что существуют углепластиковые структуры, сочетающие высокий продольный модуль упругости (свыше 80 ГПа) и достаточно большой модуль сдвига (около 20 ГПа) с практически нулевым коэффициентом сдвиговой чувствительности (kxs = 10-9 ... 10-7) — это структуры, в которых примерно 55 % материала уложено под углом ±(11 — 11,5)°, а остальное — под углом ±(35—37)°. Близки к ним по свойствам также структуры [±20°/ ± 51°], в которых относительная толщина первого слоя составляет 84,5 %, и структуры [0/ ± 22°] с долей продольных слоев 8,4%. При необходимости увеличения модуля сдвига свыше 27. ..30ГПа сдвиговая чувствительность снова начинает ухудшаться.

Выводы: 1. Композитные структуры позволяют управлять свойствами проектируемых материалов путем целенаправленного изменения структурных параметров.

max Gxy, ГПа 36,2

_ Or 35 до 36,2

- Or 30 до 35

- От 25 до 30

- От 20 до 25

- От 15 до 20

■ От 10 до 15 От 5 до 10 Менее 5

Рис. 5. Поверхность предельных возможностей многослойных структур из углепластика ЛУ-П/ЭНФБ в координатах max Ex-min kxs-maxGxy

2. Среди характеристик, подлежащих управлению, находятся и коэффициенты Пуассона многослойных структур, значения которых могут изменяться в очень широком диапазоне, значительно превышающем соответствующие диапазоны изотропных материалов.

3. Коэффициенты Пуассона многослойных структур могут принимать весьма большие значения (до 1,5... 2), что может повлечь за собой сложности при проектировании конструкций из подобных материалов.

4. Минимизация продольно-поперечного коэффициента Пуассона ортотропного материала при одновременном установлении требований к продольному модулю упругости и модулю сдвига возможна в результате решения задачи компромиссной оптимизации. Проведен анализ возможностей такого компромисса для современных углепластиков.

5. Исследована задача минимизации сдвиговой чувствительности материала при отклонениях траекторий армирования от номинальных значений. Показано, что поиск структур, сочетающих низкую сдвиговую чувствительность с высокими жесткостными характеристиками, также представляет собой задачу компромиссной оптимизации. Приведены некоторые результаты решения таких задач для современных отечественных углепластиков. Обнаружены структуры, имеющие продольный модуль упругости свыше 80 ГПа и модуль сдвига около 20 ГПа при нулевом коэффициенте сдвиговой чувствительности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алфутов Н. А., Зиновьев П. А., Попов Б. Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов.- М.: Машиностроение, 1984.-264 с.

2. З и н о в ь е в П. А. Прочностные, термоупругие и диссипативные характеристики композитов // Композиционные материалы: Справочник / Под ред. В.В. Васильева, Ю.М. Тарнопольского. - М.: Машиностроение, 1990. - С. 232267.

3. Lempriere B. M. Poisson's ratio in orthotopic materials // AIAA Journal. -1968. - Vol. 6. No. 11. - P. 2226-2227.

4. АбрамчукС. С.,БулдаковВ. П. Допустимые значения коэффициентов Пуассона анизотропных материалов // Механика композитных материалов. -1979. -№ 2. - С. 235-239.

5. Z h a n g R., Y e h H. -L., Y e h H. -Y. A Preliminary study of negative poisson's ratio of laminated fiber reinforced composites // J. of Reinforced Plastics and Composites. - 1998. - Vol. 17. No. 18. - P. 1651-1664.

6. Negative Poisson's ratios in angle-ply laminates: Theory and experiment / J.F. Clarke, R.A. Duckett, P. J. Hine et al. // Composites. - 1994. - Vol. 9. - P. 863-868.

7. H i n e P. J., D u c k e 11 R. A., W a r d I. M. Negative poisson's ratios in angle-ply laminates // J. of Material Science Letters. - 1997. - Vol. 16. - P. 541-544.

8. Материалы с отрицательным коэффициентом Пуассона: Обзор / Д.А. Конек, К.В. Войцеховский, Ю.М. Плескачевский и др. // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2004. - № 1. - С. 35-69.

9. С а р б а е в Б. С. Об изменении коэффициентов Пуассона слоистых армированных материалов при нелинейном деформировании // Труды МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 1987. - № 475. - С. 44-55.

10. H a h n H. T. On elasto-plastic Poisson's ratio // J. of Composite Materials. - 1974. -Vol. 8. No. 3. - P. 313-317.

11. L a k e s R. S.,Wineman A. On Poisson's ratio in linearly viscoelastic solids // J. of Elasticity. - 2006. - No. 85. - P. 45-63.

12. T s c h o e g l N. W. Poisson's ratio in linear viscoelasticity - A critical review // Mechanics of Time-Dependent Materials. - 2002. - No. 6. - P. 3-51.

13. D u m a n s k y A. M., T a i r o v a L. P. Construction of hereditary constitutive equations of composite laminates // Proc. of the Second International Conf. on Heterogeneous Material Mechanics. - Huangshan, China. - 2008. - P. 934-937.

14. С м е р д о в А. А. Разработка методов проектирования композитных материалов и конструкций ракетно-космической техники. - Дис. ... д-ра техн. наук. -Москва, 2008. - 410 с.

15. З и н о в ь е в П. А., С м е р д о в А. А. Оптимальное проектирование композитных материалов. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. - 103 с.

16. Смердов А. А. Основы оптимального проектирования композитных конструкций. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. - 88 с.

Статья поступила в редакцию 15.04.2011